TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* PHẠM THỊ TUYẾT CHINH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN DỰNG HÌNH TRONG E KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* PHẠM THỊ TUYẾT CHINH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN DỰNG HÌNH TRONG E KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Thị Trà HÀ NỘI – 2018 Mưc lưc Líi c£m iv Líi v Lới n cam m oan Ưu 1 Kián thùc têng quan v· 1.1 phép bi¸n hình Phép bi¸n hình - Phép afin 1.1.1 Đành nghĩa 1.1.2 Tính ch§t 1.2 Phép díi hình 1.2.1 Đành nghĩa 1.2.2 Tính ch§t 1.3 Phép tành ti¸n 1.3.1 Đành nghĩa 1.3.2 Tính ch§t 1.3.3 Ví dư minh håa 1.4 Phép quay 10 1.4.1 Đành nghĩa 10 i 1.4.2 Tính ch§t 10 i Khóa luªn tèt nghiằp Ôi hồc PhÔm Th Tuyát Chinh 1.4.3 V í P đè hi Đ T í V P5.đè í hi Đ T í V P6.và í h tü Đ T í V Ph7.g í ép h Đ T í V í Ùng dưng phép bi¸n hình vào hình E2 2 2 P h P h P h P h P h P h 11 12 12 13 13 15 15 15 16 18 18 18 19 20 20 21 22 gi£i mët sè toán düng 26 ii Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc PhÔm Th Tuyát Chinh Kát luên 45 Ti liằu tham khÊo 46 Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc PhÔm Th Tuyát Chinh Lới c£m ơn Trưỵc trình bày nëi dung cõa khúa luên, em xin by tọ lũng cÊm n tợi cỏc thƯy cụ khoa Toỏn, trớng Ôi Hồc S PhÔm Hà Nëi 2, th¦y tê bë mơn Hình håc th¦y tham gia gi£ng dÔy ó tên tỡnh truyãn Ôt nhỳng tri thực quý bỏu v tÔo iãu kiằn thuên lủi em hon thành tèt nhi»m vư khóa håc khóa luªn Đ°c bi»t, em xin bày tä sü kính trång lòng biát n sõu sc tợi ThS Nguyạn Th Tr, ngới ó trỹc tiáp hợng dăn, ch bÊo tên tỡnh giỳp đï đº em có thº hồn thành khóa luªn Do thíi gian, lüc đi·u ki»n b£n thân cũn hÔn chá nờn bÊn khúa luên khụng th trỏnh khọi nhỳng sai sút Vỡ vêy, em rĐt mong nhên đưđc nhúng ý ki¸n góp ý q báu cõa thƯy cụ v cỏc bÔn H Nởi, thỏng nm 2018 Sinh viờn PhÔm Th Tuyát Chinh Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc PhÔm Th Tuyát Chinh Lới cam đoan Em xin cam đoan đ· tài em thüc hi»n, k¸t qu£ q trình nghiên cựu cừa em dợi sỹ hợng dăn cừa ThS Nguyạn Thà Trà đ· tài khơng trùng vỵi khóa luªn khác Hà Nëi, tháng năm 2018 Sinh viờn PhÔm Th Tuyát Chinh Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc PhÔm Th Tuyát Chinh Lới m Ưu Lý chån đ· tài Trong hình håc ph¯ng, phép bi¸n hình ln giú mët vai trò vơ quan trång khơng ch¿ bði nét đµp riêng mà v· ùng dưng rëng rãi cõa Có thº nói vỵi phép bi¸n hình tốn hình håc ph¯ng thưíng cú lới giÊi rĐt ởc ỏo, sỏng tÔo v ụi ngn gån ngồi sùc tưðng tưđng Bði vªy mà tø lỵp 11 håc sinh đưđc håc v· phép bi¸n phép tành ti¸n, phép quay, phép đèi xùng tröc, phép đèi xùng tâm, phép tỹ é Ôi hồc sinh viờn ủc nghiờn cựu sõu phép bi¸n hình đ°c bi»t đưđc giợi thiằu thờm mởt phộp bián hỡnh nỳa l phộp nghàch đ£o Nëi dung cõa phép bi¸n hình đưa vào chương trình khơng ch¿ cơng cư đº gi£i tốn mà giúp em làm quen vỵi phương pháp t v suy luên mợi, biát nhỡn sỹ vêt hiằn tủng xung quanh vợi quan im vên ởng bián đêi, góp ph¦n rèn luy»n cho håc sinh tính sáng tÔo hồc têp Hỡnh hồc phng cú nhiãu dÔng toỏn khú, mởt số ú l bi toỏn dỹng hỡnh PhƯn lợn nhỳng bi toỏn dỹng hỡnh hồc ph¯ng ch¿ dành cho håc sinh khá, giäi dùng kì thi Olympic ho°c thi håc sinh giäi Toỏn ối vợi dÔng toỏn ny, quỏ trỡnh i tứ bợc "Phõn tớch" án "Dỹng hỡnh" thớng khụng n giÊn v gõy nhƯm lăn Lới giÊi cừa cỏc bi toỏn dỹng hỡnh hồc phng thớng di v phực tÔp, nhiờn biát cỏch ỏp dửng Khúa luên tốt nghiằp Ôi hồc PhÔm Th Tuyát Chinh phộp bián hỡnh mởt cỏch linh hoÔt vo nhỳng lới giÊi chúng trð nên ngn gån d¹ hiºu có M, N thc đưíng kính AB; P, Q thc nûa đưíng tròn Khi O ph£i trung im cừa M N Náu lĐy mởt hỡnh vuụng M N P Q0 cho M , N thuëc AB, O trung điºm cừa M N thỡ thĐy 38 OM ON OP OQ = = = 0 OP OQ0 OM ON Tø suy hình vng M N P Q £nh cõa hình vng M N P 0 Q qua phép tü tâm O t¿ sè k, suy O, P, P hàng O, Q, Q0 th¯ng Düng hình: Düng hình vng M N P Q0 n¬m nûa hình tròn cho cho M N thuëc AB O trung điºm cõa M N Tia OP ct nûa ớng trũn tÔi P ; tia OQ0 ct nỷa ớng trũn tÔi Q Khi ú thĐy tự giỏc M NP Q hình vng c¦n düng Bài tốn 2: Trờn cÔnh AB cừa tam giỏc 4ABC cho im P Hãy nëi ti¸p 4ABC tam giác P XY ỗng dÔng vợi tam giỏc LM N cho trợc Lới gi£i Phân tích: 39 Gi£ sû ta düng đưđc tam 4P XY có điºm X Y n¬m cỏc cÔnh AC v BC tng ựng Ta ó biát phép bi¸n hình bi¸n điºm X PY LN thành điºm Y tích cõa phép tü tâm P t¿ sè tü k = = PX LM \ \ phép quay tâm P góc quay ϕ = X PY = M LN Nh vêy im Y cƯn tỡm l giao im cừa oÔn thng BC v Ênh cừa oÔn thng AC qua phộp bián hỡnh tớch trờn Düng hình: ϕ Düng £nh d cõa AC qua phép bián hỡnh tớch f = Q V k vợi = M\LN P P LN k = LM Düng Y giao điºm cõa d BC Qua phép bi¸n hình f −1 (Y ) ta düng đưđc £nh X Nèi P, X, Y ta đưñc tam giác ỗng dÔng vợi tam giỏc 4LM N 2.6 Phộp nghàch đ£o vỵi tốn düng hình Bài tốn 1: Cho điºm P n¬m trưc đ¯ng phương cõa hai đưíng tròn (O), (O0 ) Hãy düng qua P mët ớng trũn tiáp xỳc vợi hai ớng trũn ú Lới gi£i Phân tích: Gi£ sû düng đưđc đưíng tròn qua P thäa mãn đi·u ki»n đ¦u Gåi CC ti¸p tuy¸n chung cõa (O) (O0 ) Điºm P n¬m trưc đ¯ng phương cõa hai đưíng tròn (O) (O0 ) nên ta có 39 −→ − →0 → D C − −→ P D C = Suy tù giác CDD0 C nëi ti¸p Phép nghàch đ£o cüc P , phương tích → − −→ k = A P B bi¸n đưíng tròn (O) thành nó, đưíng tròn (O0 ) thành nó, hai điºm C C tương ùng thành D D 40 Do phép nghàch đ£o bi¸n đưíng th¯ng CC thành đưíng trũn ngoÔi tiáp tam giỏc P DD0 tiáp xỳc vợi hai đưíng tròn (O) (O0 ) Düng hình: Düng tiáp tuyán chung CC vợi hai ớng trũn (O) (O0 ) Düng điºm D = P C ∩ (O); D0 = P C ∩ (O0 ) Düng ớng trũn ngoÔi tiáp tam giỏc 4P DD0 ú đưíng tròn c¦n düng Theo cách düng ta có: −→ − →0 → − −→ → D C A P B − −→ P D C = Suy = phép nghàch đ£o cüc P bi¸n tiáp tuyán CC thnh ớng trũn ngoÔi tiáp DD0 4P M°t khác: phép nghàch đ£o b£o tồn tính ch§t trüc giao cõa đưíng th¯ng đưíng tròn Nờn ớng trũn ngoÔi tiáp 4P DD0 tiáp xỳc vợi hai đưíng tròn (O) (O0 ) Bài tốn có nhi·u nh§t hai nghi»m hình Bài tốn 2: Qua điºm A cho trưỵc, düng đưíng tròn trüc giao vỵi hai đưíng tròn cho trưỵc Líi gi£i Phân tích: Gi£ sû düng đưđc đưíng tròn O qua A trüc giao vỵi hai đưíng tròn cho trưỵc (O1 ; R1 ), (O2 ; R2 ) Phép nghàch đ£o cüc A, phương tích k = −→2 O b£o tồn đưíng − R1 tròn (O1 ) k bơng phng tớch cừa A ối vợi ớng trũn (O1 ; R1 ) N Ak : (O1 ; R1 ) 7→ (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) 7→0 (O02 ; R2 ) Vì (O) đưíng tròn qua cüc A nên có £nh đưíng th¯ng d khơng qua A Vì (O) ⊥ (O1 ), (O) ⊥ (O2 ), nên d ⊥ (O1 ), d ⊥ 2(O0 ), d qua tâm O1 tâm O20 Vªy d düng đưđc Düng hình: Düng đưíng tròn (O0 ) = N k (O2 ) vỵi k = A − 2 − R →O 1 Düng đưíng th¯ng d qua O1 O k Đưíng tròn (C) = N A (d) chớnh l ớng trũn cƯn dỹng Thêt vêy, dỹa vo tớnh chĐt bÊo giỏc cừa phộp nghch đ£o ta có C thäa mãn đi·u ki»n đ¦u Vợi nhỳng bi têp v lới giÊi cử th trờn, mong rơng quý thƯy cụ v cỏc bÔn có thêm nhi·u sü u thích hùng thú vợi cỏc phộp bián hỡnh Sau õy em xin a mët sè tốn đº ngưíi đåc có thº tü tìm hiºu tü gi£i Bài 1: Cho hai đưíng tròn (O1 ) (O2 ) ct tÔi hai im A v B Hóy k qua A ớng thng d cho oÔn thng cừa ớng thng n¬m đưíng tròn (O1 ), (O2 ) có đë dài cho trưỵc Bài 2: Cho hai dây cung khơng ct AB CD cõa đưíng tròn Tìm đưíng tròn mët điºm X cho dây cung AX BX đành dây cung CD oÔn EF cú di cho trợc Bi 3: Cho tam giỏc ABC Tỡm mởt im M trờn cÔnh AB v mởt im N trờn cÔnh AC cho M N song song vợi cÔnh BC v AM = CN Bài 4: Cho hai đưíng tròn (O1 ) (O2 ) đưíng th¯ng d Hãy düng đưíng th¯ng d1 song song vỵi đưíng th¯ng d cho: kho£ng cách giúa giao điºm cõa đưíng th¯ng d1 vợi cỏc ớng trũn (O1 ) v (O2 ) bơng mởt Ôi lủng a cho trợc Bi 5: Cho ba đưíng th¯ng x, y, z đơi mët ct Hãy düng tam giác đ·u có đ¿nh n¬m ba ớng thng ó cho Bi 6: Trờn cỏc cÔnh cừa tam giác nhån ABC v· phía ngồi düng tam giác đ·u 4A1 BC, 4AB1 C, 4ABC1 Hãy khôi phưc tam giác ABC bi¸t đ¿nh A1 , B1 , C1 cõa tam giác Bài 7: Düng 4ABC n¸u cho điºm A, B đưíng th¯ng chùa phân C giác cõa góc Bài 8: Cho đưíng th¯ng M N hai điºm A B nơm cựng mởt phớa so vợi nú Dỹng trờn ớng th¯ng M N điºm X cho A\XM = 2B\XN Bài 9: Cho góc nhån M\ON điºm A B n¬m góc Hãy tìm cÔnh OM im X cho 4XY Z cõn tÔi X, Y, Z l¦n lưđt giao điºm cõa đưíng th¯ng XA, XB vỵi ON Bài 10: Düng tù giác ABCD có đưíng chéo AC đưíng phân giác cõa góc A bi¸t đë dài cÔnh cừa nú Bi 11: Qua im A cho trợc hóy k mởt ớng thng cho oÔn thng xỏc đành bði giao điºm cõa vỵi mơt đưíng thng cho trợc v mởt ớng trũn cho trợc nhên điºm A làm trung điºm Bài 12: Cho mët góc góc cho hai điºm A B Hãy düng mët hình bình hành nhªn A B làm hai đ¿nh đèi nhau, hai đ¿nh n¬m trờn cỏc cÔnh cừa gúc Bi 13: Cho ớng th¯ng tøng đơi khơng song song vỵi mët điºm O khơng n¬m đưíng th¯ng Hãy düng mët hình bình hành vỵi tâm O đ¿nh n¬m tương ùng đưíng th¯ng cho Bài 14: Cho hai dây cung không ct AB CD cõa đưíng tròn điºm J dây CD Hãy düng điºm X đưíng tròn cho dây cung AX BX đành dây cung CD oÔn thng EF nhên J lm trung im Bài 15: Cho góc xdOy mët điºm A n¬m góc Hãy düng đưíng tròn qua A v ỗng thới tiáp xỳc vợi hai cÔnh Ox v Oy Bài 16: Düng tam giác ABC cho bi¸t trung tuyán AM v di cỏc cÔnh AB = c, AC = b Bài 17: Düng đưíng tròn ti¸p xúc vợi hai cÔnh cừa gúc xdOy v tiáp xỳc vợi đưíng tròn (C) cho trưỵc Bài 18: Düng tam giác cõn biát gúc nh bơng ( < 180o ) têng cõa đáy vỵi đưíng cao thc đáy a cho trưỵc Bài 19: Düng đưíng tròn qua hai im A, B cho trợc v tiáp xỳc vợi đưíng th¯ng d cho trưỵc Bài 20: Qua mët điºm A hóy dỹng mởt ớng trũn tiáp xỳc vợi mởt đưíng th¯ng d mët đưíng tròn (O) cho Kát luên Xuyờn suốt khoỏ luên "Phộp bián hỡnh ùng dưng gi£i tốn düng hình E2 ", em ó têp trung nghiờn cựu cỏc phộp bián hỡnh ùng dưng gi£i tốn düng hình E2 Cỏc kát quÊ chớnh m em ó Ôt ủc khúa luên ny l: (1)Trỡnh by ủc cỏc kián thực têng quan v· phép bi¸n hình hình håc ph¯ng (2)Trình bày ví dư minh håa cõa phép bi¸n hình (3)Trình bày ùng dưng cõa phép bi¸n hình gi£i tốn düng hình thơng qua tốn chån låc, đ°c bi»t ð bưỵc Phân tích Düng hình (4)Xây düng h» thèng tªp düng hình E2 có thº gi£i nhí cơng cư phép bi¸n hình Do hÔn chá vã thới gian v kinh nghiằm lm tªp nghiên cùu chưa nhi·u nên khóa luªn khơng trỏnh khọi nhỳng thiáu sút Vỡ vêy em rĐt mong cỏc thƯy cụ giỏo, cỏc bÔn sinh viờn úng gúp ý kián khúa luên ủc hon chnh hn Em xin chân thành c£m ơn! Tài li»u tham kh£o [1]Nguy¹n Mëng Hy, Các phép bi¸n hình m°t ph¯ng, NXB Giáo dưc, 1996 [2]Nguy¹n Minh Chương - Lê Đình Phi - Nguyạn Cụng Qu, Hỡnh hồc s cĐp, NXB Giỏo ửc, 1963 [3]TrƯn Viằt Cớng - Nguyạn Danh Nam, Giỏo trình hình håc sơ c§p, NXB Giáo dưc, 2013 [4]Bùi Vn Bỡnh - Nguyạn Vn VÔn, Hỡnh hồc s cĐp tªp 1, 2, NXB Giáo dưc, 1993 [5]V.V Praxolov, Các tốn v· hình håc ph¯ng tªp 1, NXB H£i phũng, 1994 [6]Bựi Vn Bỡnh - Nguyạn Vn VÔn, Bi têp Hỡnh hồc s cĐp têp 1, NXB Giỏo dửc, 1993 46 ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* PHẠM THỊ TUYẾT CHINH PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TỐN DỰNG HÌNH TRONG E KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa... Chương 1: Ki¸n thùc têng quan v· phép bi¸n hình Chương 2: Ùng dưng phép bi¸n hình vào gi£i mët sè tốn düng hình E2 Chương Ki¸n thùc têng quan v· phép bi¸n hình Trong chương em đưa đành nghĩa,... hình håc Mưc đích nghiên cùu Tìm hiºu v· phép bi¸n hình ùng dưng phép bi¸n hình vào gi£i mët sè tốn düng hình m°t ph¯ng ối tủng nghiờn cựu, phÔm vi nghiờn cựu ối tưđng nghiên cùu: Phép bi¸n hình