TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN VIỆT ANH HÀM TOÀN PHƯƠNG LỒI VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN VIỆT ANH HÀM TỒN PHƯƠNG LỒI VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN NGHỊ HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Hàm toàn phương lồi 1.1 1.2 Dạng toàn phương 1.1.1 Ánh xạ đa tuyến tính 1.1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng dạng tồn phương 11 1.1.3 Ma trận dạng song tuyến tính 11 1.1.4 Đưa biểu thức tọa độ dạng toàn phương dạng tắc 13 1.1.5 Hạng hạch dạng toàn phương 17 1.1.6 Chỉ số qn tính dạng tồn phương 19 1.1.7 Dạng toàn phương tương đương 23 Hàm toàn phương lồi 25 1.2.1 Hàm lồi 25 1.2.2 Hàm toàn phương lồi 28 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Việt Anh Ứng dụng 31 2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi 2.2 Sự tồn nghiệm toán quy hoạch toàn phương 31 lồi 34 2.2.1 Bài toán 34 2.2.2 Định lý kiểu Eaves 37 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Việt Anh Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy khoa Tốn-Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội II, thầy cô tổ môn tổ Hình học thầy tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Nghị, người tận tình hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 30/03/2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Việt Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Việt Anh Lời cam đoan Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn TS Trần Văn Nghị Khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Việt Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Việt Anh Lời mở đầu Lý chọn đề tài Hàm toàn phương lồi đối tượng hình học quan trọng Các nhà tốn học giới nghiên cứu tính chất hàm tồn phương lồi ứng dụng thực tiễn Với mong muốn nghiên cứu sâu tính chất hàm tồn phương lồi tầm quan trọng nó, em chọn đề tài "Hàm tồn phương lồi" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu hàm toàn phương lồi Đưa ứng dụng hàm toàn phương lồi để chứng minh tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Hàm toàn phương lồi - Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng hàm toàn phương lồi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết hàm tồn phương lồi ứng dụng tốn tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương lồi Phương pháp nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Việt Anh Phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Hàm toàn phương lồi Chương 2: Ứng dụng Chương Hàm toàn phương lồi Nội dung chương đề cập tới số kiến thức dạng toàn phương, dạng song tuyến tính, ma trận dạng song tuyến tính, hạch hạng dạng tồn phương, số qn tính, hàm toàn phương lồi 1.1 Dạng toàn phương 1.1.1 Ánh xạ đa tuyến tính Định nghĩa 1.1 Giả sử V W không gian véctơ trường K, k ∈ N∗ Ta gọi ánh xạ ϕ : V × V × × V −→ W k−lần → − → − → − → − → − − → ( β1 , β2 , , βk ) −→ ϕ( β1 , β2 , , βn ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Việt Anh ánh xạ đa tuyến tính (hay k- tuyến tính) tuyến tính với − thành phần → α cố định thành phần lại Tức i → − → − → − → − → − → − → − → − → − − − ϕ( β1 , β2 , , λ βi +µ→ γi , , βk ) = λϕ( β1 , , βi , , βk )+µϕ( β1 , , → γi , , βk ) → − → − → − − (∀λ, µ ∈ K, ∀ β1 , β2 , , βk , → γi ∈ V, i = 1, 2, , k) Đặc biệt: • Nếu W =K ϕ gọi k-tuyến tính V • Nếu k = ϕ gọi ánh xạ song tuyến tính Ánh xạ k-tuyến tính ϕ : V × V × × V −→ W gọi thay phiên (hay phản đối xứng) giá trị φ k véctơ → − → − → − → − có véctơ Tức ϕ( , β , , β , ) = Tính chất 1.1.1 Giả sử ϕ ánh xạ k-tuyến tính thay phiên Khi đó: a) ϕ có tính chất phản đối xứng, nghĩa → − → − → − → − → − → − → − → − ϕ( β1 , , βi , , βj , , βk ) = −ϕ( β1 , , βi , , βj , , βk ) → − → − với β1 , , βk ∈ V, i = j → − → − b) Nếu hệ β1 , , βk phụ thuộc tuyến tính → − → − → − ϕ( β1 , , βk ) = Định lý 1.1 Nếu dimV = n dimAn (V ) = Hơn (e) = − − {→ e , , → e n } sở V De sở An (V ) Chứng minh Do dimV = n suy V có sở (e) = − − {→ e , , → e n } Do có dạng n-tuyến tính thay phiên Hay dimAn (V ) = ... hoạch toàn phương lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Hàm toàn phương lồi - Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng hàm toàn phương lồi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết hàm toàn phương lồi. ..f1 hàm lồi Vậy f hàm lồi 30 Chương Ứng dụng Nội dung chương đề cập tới ứng dụng hàm tồn phương lồi Bài tốn quy hoạch tồn phương lồi trình bày mục 2.1 Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương lồi ... "Hàm toàn phương lồi" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu hàm tồn phương lồi Đưa ứng dụng hàm toàn phương lồi để chứng