TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THÙY TRANG PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ HÀM ĐIỀU HỊA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Hà Nội – Năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THÙY TRANG PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ HÀM ĐIỀU HỊA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: ĐỖ HOÀNG SƠN Hà Nội – Năm 2018 Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy tổ Giải tích giúp đỡ em trình học tập tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, TS Đỗ Hồng Sơn Viện Tốn học, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình trình em thực khóa luận Trong q trình nghiên cứu khó tránh khỏi sai sót hạn chế Rất mong nhận đóng góp từ thầy giáo bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Thùy Trang Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn thầy giáo Đỗ Hoàng Sơn, khóa luận em khơng trùng với đề tài khác Để thực khóa luận em dựa số tài liệu tham khảo xin trình bày trang cuối khóa luận Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Thùy Trang Mục lục Lời mở đầu 1 Ký hiệu kiến thức phụ trợ 1.1 1.2 Kí hiệu 1.1.1 Kí hiệu hình học 1.1.2 Ký hiệu hàm số 1.1.3 Ký hiệu đạo hàm 1.1.4 Các không gian hàm Một số kiến thức giải tích thực 1.2.1 Định lý Gauss-Green 1.2.2 Định lý Arzelà-Ascoli 1.2.3 Tích chập trơn hóa Toán tử Laplace hàm điều hòa 2.1 Tốn tử Laplace 2.1.1 Định nghĩa hàm điều hòa 2.1.2 Ví dụ 2.2 Định lý giá trị trung bình 2.3 Nguyên lý cực đại 12 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Bài toán Dirichlet hình cầu 14 3.1 Cơng thức Poisson 14 3.2 Cơng thức nghiệm hình cầu 15 3.3 Tớnh liờn tc Hăolder 17 Một số đánh giá hàm điều hòa 21 Định lý Harnack ứng dụng 25 5.1 Định lý Harnack 25 5.2 Tính giải tích hàm điều hòa 27 5.3 Một tiêu chuẩn tính điều hòa 29 Kết luận 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Lời mở đầu Phương trình Laplace phương trình có dạng: ∆u = 0, nghiên cứu nhà toán học, nhà thiên văn học người Pháp, Pierre–Simon Laplace Phương trình ví dụ đơn giản phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai Tuy nhiên, có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học lĩnh vực điện từ, thiên văn học động lực học chất lỏng Mục tiêu khóa luận trình bày vài phương pháp kết quan trọng lý thuyết phương trình Laplace Khóa luận gồm chương: Chương “Ký hiệu kiến thức phụ trợ” nêu ký hiệu sử dụng số kiến thức liên quan Chương “Toán tử Laplace hàm điều hòa” trình bày khái niệm số tính chất tốn tử Laplace hàm điều hòa Chương “Bài tốn Dirichlet hình cầu” trình bày cơng thức nghiệm tốn Dirichlet trờn hỡnh cu v tớnh liờn tc Hăolder ca nghim iu kin biờn l liờn tc Hăolder Chng “ Một số đánh giá hàm điều hòa” trình bày định lý Harnack miền tổng quát Rn , định lý Liouville số đánh giá khác Chương “ Định lý Harnack ứng dụng” trình bày định lý Harnack, tính giải tích hàm điều hòa, tập khơng điểm hàm điều hòa điều kiện cần đủ để hàm liên tục điều hòa Chương Ký hiệu kiến thức phụ trợ 1.1 Kí hiệu 1.1.1 Kí hiệu hình học • Rn : khơng gian Euclide thực n chiều, n ≥ 2, với điểm x = (x1 , xn ), xi ∈ R • ei = (0, , 0, 1, 0, , 0) vectơ tọa độ thứ i • U, V Ω, Ω thường ký hiệu tập mở Rn Ta viết Ω ⊂⊂ Ω Ω ⊂ Ω Ω compact • ∂Ω tập điểm biên Ω, Ω bao đóng Ω • Br (a) := {x ∈ R| |x − a| < r} hình cầu mở tâm a ∈ Rn , bán kính r • ωn thể tích hình cầu đơn vị Rn tính theo cơng thức: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang   π n/2   n chẵn, (n/2)! ωn = [n/2]    2.2π n lẻ n!! • Ω\Ω := {x ∈ Ω | x ∈ / Ω } 1.1.2 Ký hiệu hàm số • Nếu u : U → R, ta viết u(x) = u(x1 , , xn ) (x ∈ U ) • Nếu Σ mặt trơn (n − 1) chiều Rn , ta viết uds Σ để ký hiệu tích phân u Σ với độ đo (n − 1) chiều • Tính trung bình: udy = Br (x) ωn rn udy Br (x) trung bình u hình cầu Br (x), uds = nωn rn−1 ∂Br (x) uds ∂Br (x) trung bình u mặt cầu ∂Br (x) 1.1.3 Ký hiệu đạo hàm Giả thiết u : U → R, x ∈ U • ∂u u(x + hei ) − u(x) (x) = lim , giới hạn tồn h→0 ∂xi h Khóa luận tốt nghiệp Đại học • Di u = Nguyễn Thị Thùy Trang ∂ 2u ∂u , Dij u = , Du = (D1 u, Dn u) gradient ∂xi ∂xi ∂xj u • Đa số n số tự nhiên α = (α1 , , αn ), αi ∈ N, với quy ước n αi ; xα = x1 α1 x2 α2 xn αn ; |α| = i=1 ∂ |α| u D u= ∂x1 α1 ∂x2 α2 ∂xn αn α 1.1.4 Các khơng gian hàm • C (Ω) (C (Ω)): tập hàm liên tục Ω (Ω) • C k (Ω): tập hàm khả vi đến cấp k liên tục Ω • C ∞ (Ω): tập hàm khả vi vô hạn Ω 1.2 1.2.1 Một số kiến thức giải tích thực Định lý Gauss-Green ¯ với B hình Định lý (Định lý Gauss-Green) Giả sử u ∈ C (B) cầu Rn Khi uν i ds (i = 1, n) uxi dx = B (1.1) ∂B ¯ Định lý (Cơng thức tích phân phần) Giả sử u, v ∈ C (B) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Chứng minh định lý 10 Bằng cách thực phép vị tự, ta giả sử R = Cố định < a < γ Ta chứng minh định lý theo bước sau Bước 1: Ta chứng minh tồn C1 phụ thuộc vào n, a, ϕ cho, với 1/2 < r < x0 ∈ ∂B1 , |ϕ(x0 ) − u(rx0 )| ≤ C1 (1 − r) (3.4) Thật vậy, với x0 , y ∈ ∂B1 1/2 < r < 1, ta có |rx0 − y|2 = (1 + r2 ) − 2rx0 y = (1 − r)2 + r|x0 − y|2 Do − r2 (ϕ(x0 ) − ϕ(y))dsy |ϕ(x0 ) − u(rx0 )| = | | nωn ∂B1 |rx0 − y|n − r2 |ϕ(x0 ) − ϕ(y)|dsy ≤ nωn ∂B1 |rx0 − y|n − r2 Cγ |x0 − y|γ dsy ≤ nωn ∂B1 max (1 − r), |x0 − y|/2 2n+a (1 − r)a Cγ dsy ≤ n−1−γ+a nωn ∂B1 |x0 − y| ≤ C1 (1 − r)a , Cγ > tn ti tớnh liờn tc Hăolder ca ϕ, bất đẳng thức cuối đạt tính khả tích |x0 − y|−n+1+γ−a mặt cầu ∂B1 Bước 2: Ta chứng minh tồn C2 phụ thuộc vào n, a, ϕ cho, với x ∈ B1 y ∈ ∂B1 , |u(x) − ϕ(y)| ≤ C2 |x − y|a 19 (3.5) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Thật vậy, |x| ≤ 1/2 nguyên lý cực đại |u(x) − ϕ(y)| ≤ max ϕ − ϕ ≤ 2(max ϕ − ϕ)|x − y| ∂B1 ∂B1 ∂B1 ∂B1 Nếu |x| > 1/2 theo bước 1, ta có |u(x) − ϕ(y)| ≤ |u(x) − ϕ(x/|x|)| + |ϕ(x/|x|) − ϕ(y)| ≤ C1 (1 − |x|)a + Cγ |x/|x| − y|γ ≤ C2 |x − y|a Bất đẳng thức cuối xảy khoảng cách từ x đến ∂B1 (1 − |x|) đánh giá |x/|x| − y| ≤ |x/|x| − x| + |x − y| = (1 − |x|) + |x − y| ≤ 2|x − y| Bước 3: Ta chứng minh tồn C3 phụ thuộc vào n, a, ϕ cho, với x, y ∈ B1 < a < γ, |u(x) − u(y)| ≤ C3 |x − y|a (3.6) Thật vậy, d := − |x| = d(x, ∂Ω) ≤ 2|x − y| ta có, kết bước 2, |u(x) − u(y)| ≤ |u(x) − ϕ(x/|x|)| + |u(y) − ϕ(x/|x|)| ≤ C2 (da + |y − x/|x||a ) ≤ C2 (2da + |x − y|a ) ≤ C2 (21+a + 1)|x − y|a Nếu d > 2|x − y| y nằm hình cầu Bd/2 (x) Theo hệ 2, ta có C|x − y| ( max u − u) ≤ d ∂Bd (x) ∂Bd (x) 2C|x − y| 2C.C2 (2d)a |x − y| max |u(w) − u(x/|x|)| ≤ ≤ C3 |x − y|a d d ∂Bd/2 (x) |u(x) − u(y)| ≤ Ta có điều phải chứng minh 20 Chương Một số đánh giá hàm điều hòa Ở chương trước, ta đề cập tới bất đẳng thức Harnack hình cầu Sử dụng bất đẳng thức này, ta có định lý Liouville Định lý 12 Nếu u hàm điều hòa khơng âm có tập xác định tồn Rn u hàm Chứng minh Với x ∈ Rn với R > |x| =: r, áp dụng bất đẳng thức Harnack, ta có (R − r)n (R + r)n u(x) ≤ u(0) ≤ u(x) R2 − r2 Rn−2 R − r2 Rn−2 Cố định x cho R → ∞, ta có u(x) ≤ u(0) ≤ u(x) Vậy, u(x) = u(0) Do cách chọn x tùy ý, ta suy u hàm Đối với miền Ω tổng quát Rn , ta có phiên tổng quát bất đẳng thức Harnack sau 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Định lý 13 Giả sử u hàm điều hòa khơng âm miền Ω Khi với miền bị chặn Ω ⊂⊂ Ω, tồn số C = C(n, Ω , Ω) cho sup u ≤ C inf u Ω Ω Chứng minh Giả sử y ∈ Ω R > cho B4R (y) ⊂ Ω Khi với hai điểm x1 , x2 thuộc BR (y) Dựa vào tính khơng âm u định lý giá trị trung bình ta có: 1 u(x1 ) = udx ≤ udx; ωn Rn BR (x1 ) ωn Rn B2R (y) 1 u(x2 ) = udx ≥ udx, n ωn (3R) B3R (x2 ) ωn (3R)n B2R (y) suy u(x1 ) udx ≤ u(x2 ), ≤ 3n ωn (3R)n B2R (y) sup u ≤ 3n inf u (4.1) BR (y) BR (y) Bây giờ, giả sử Ω ⊂⊂ Ω Ta chọn điểm x1 , x2 thuộc Ω cho u(x1 ) = sup u u(x2 ) = inf u Ω Ω Giả sử Γ ⊂ Ω cung đóng nối x1 , x2 cho R > thỏa mãn 4R < dist(Γ, ∂Ω) Khi đó, theo Định lý Heine-Borel, Γ phủ số N hữu hạn ( phụ thuộc vào Ω, Ω ) hình cầu bán kính R Sử dụng cơng thức (4.1) với hình cầu gộp chúng lại, ta u(x1 ) ≤ 3nN u(x2 ) Vậy có bất đẳng thức cần chứng minh với C = 3nN Ở chương 2, ta chứng minh kết rằng, miền R2 , ∆u ≥ trung bình tích phân u mặt cầu 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang ∂Br (y) hàm lồi theo biến log r với y cố định Từ điều này, ta có định lý sau Định lý 14 Nếu Ω miền R2 u ∈ C (Ω) thỏa mãn ∆u ≥ với y ∈ Ω, hàm số S(u, y)(t) = max u lồi tăng ∂Bet (y) (−∞, T ), T = log(d(y, ∂Ω)) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử y = d(y, ∂Ω) = Để đơn giản, ta ký hiệu M (u) = M (u, 0), S(u) = S(u, 0) Gọi Φk ∞ k=1 dãy trù mật không gian đẳng cự tuyến tính Rn Dễ thấy ∆u(Φk ) ≥ B1 với k Bằng tính toán cụ thể, ta thấy rằng, với m, N > 0, hàm m−1 log(ems1 + + emsN ) lồi tăng theo biến RN Do hàm số um,N (x) = m−1 log(em.u(Φ1 ) + + em.u(ΦN ) ), thỏa mãn ∆um,N ≥ B1 với m, N Áp dụng định lý 5, ta suy M (um,N )(t) lồi tăng (−∞, 0) Cho m → ∞, ta suy hàm số M (uN )(t) lồi tăng (−∞, 0), uN (x) = lim um,N (x) = max{u(Φ1 )(x), , u(ΦN )(x)} m→∞ Chú ý lim uN (x) = max u(w) =: U (x), N →∞ |w|=|x| với x ∈ B1 Do S(u)(t) = M (U )(t) = lim M (um,N )(t) hàm N →∞ lồi tăng (−∞, 0) 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Hệ Nếu Ω miền R2 u hàm điều hòa Ω với y ∈ Ω, hàm số S(u, y)(t) lồi tăng (−∞, T ), T = log(d(y, ∂Ω)) Hệ Nếu u hàm điều hòa xác định tồn R2 thỏa mãn u(x) lim sup = u hàm |x|→∞ log |x| S(u, 0)(t) = Do tính lồi t t→∞ tăng S(u, 0), ta suy S(u, 0) hàm Áp dụng nguyên lý Chứng minh Do giả thiết ta có lim sup cực đại, ta có điều phải chứng minh Hệ Nếu Ω miền R2 u1 , , um hàm điều hòa Ω với y ∈ Ω, hàm số S( u21 + + u2m , y)(t) lồi tăng (−∞, T ), T = log(d(y, ∂Ω)) Chứng minh Xét u = u21 + + u2m + với Áp dụng định lý 14 cho u cho minh 24 > Ta có ∆u ≥ giảm 0, ta có điều phải chứng Chương Định lý Harnack ứng dụng Mục tiêu chương trình bày định lý Harnack hội tụ dãy hàm điều hòa số ứng dụng việc nghiên cứu tính chất hàm điều hòa 5.1 Định lý Harnack Định lý 15 (Định lý Harnack) Cho {uk }∞ k=1 dãy hàm điều hòa miền Ω Rn Khi (i) Nếu uk hội tụ địa phương tới hàm u u hàm điều hòa (ii) Nếu {uk }∞ k=1 dãy đơn điệu tồn y ∈ Ω cho {uk (y)} bị chặn uk hội tụ địa phương tới hàm điều hòa Chứng minh (i) Giả sử {uk }∞ k=1 dãy hàm điều hòa miền Ω Vì uk bị chặn nên {Dα uk }∞ k=1 bị chặn địa phương với đa số α 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Theo định lý số gia giới nội, ta có: |uk (x) − uk (y)| ≤ sup |Duξ (ξ)|.|x − y| [x,y] Do ∀ε > 0, ∃ δ(ε) > cho |x − y| < δ |uk (x) − uk (y)| < ε ∀uk , suy uk liên tục đồng bậc Tương tự, ta có {Di uk }∞ k=1 liên tục đồng bậc i {Dij uk }∞ k=1 liên tục đồng bậc i, j Áp dụng Định lý Arzelà-Ascoli chương 1, tồn dãy uk kí hiệu uk cho     uk    Di uk      Di,j uk ⇒u ⇒ gi ⇒ hij , u ∈ C (Ω) Di u = gi , Dij u = hij Từ ∆uk ⇒ ∆u = suy u hàm điều hòa Ω (ii) Theo giả thiết, dãy un (y) đơn điệu bị chặn nên hội tụ Do đó, ε > tùy ý tồn số N cho ≤ um (y) − un (y) < ε với m ≥ n > N Theo Bất đẳng thức Harnack ta lại có sup |um (x) − un (x)| ≤ C inf |um (x) − un (x)| < Cε, Ω Ω với số C phụ thuộc vào Ω, Ω Do {un } hội tụ theo phần (i) giới hạn hàm điều hòa Áp dụng định lý Harnack, ta có hệ sau đây, gọi ngun lý tính compact 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Hệ Giả sử {uk }∞ k=1 dãy hàm điều hòa miền Ω thỏa mãn tính chất bị chặn địa phương Khi tồn dãy {uk }∞ k=1 hội tụ địa phương tới hàm điều hòa Chứng minh Áp dụng hệ 2, ta suy dãy {uk }∞ k=1 liên tục đồng bậc địa phương Do đó, theo Định lý Arzelà-Ascoli, tồn dãy {ukj } hội tụ tập compact Ω Áp dụng Định lý Harnack, dãy vừa hội tụ địa phương đến hàm điều hòa 5.2 Tính giải tích hàm điều hòa Cho Ω tập mở Rn Một hàm khả vi vô hạn u : Ω → R gọi giải tích với điểm x0 , chuỗi Taylor u x0 hội tụ lân cận x0 có tổng chuỗi u Mục tiêu phần nói tính giải tích hàm điều hòa số tính chất liên quan Trước tiên, ta có đánh giá đạo hàm riêng hàm điều hòa u sau Định lý 16 Giả sử u hàm điều hòa Ω Ω tập compact Ω Khi với đa số α ta có α sup |D u| ≤ Ω n|α| d |α| sup |u|, Ω d = dist(Ω , ∂Ω) Chứng minh Như nói đến Chú ý 1, hàm điều hòa khả vi vơ hạn với α ta có Dα u hàm điều hòa Ω Theo định lý giá trị trung bình định lý hội tụ: 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang 1 Dudx = uνds ωn R n B ωn Rn ∂B n |Du(y)| ≤ sup |u| R ∂B Du(y) = |Du(y)| ≤ n sup |u|, dY Ω (5.1) dY = dist(y, ∂Ω) Bằng cách áp dụng liên tiếp bất đẳng thức (5.1) với hình cầu BR/k (y) với k = 1, , |α| ta nhận |Dα u(y)| ≤ ( n|α| |α| ) sup |u| R Ω (5.2) Do Ω tập compact Ω nên d = dist(Ω , ∂Ω > 0) y ∈ Ω chọn R ≥ d.Từ ta suy |Dα u(y)| ≤ ( n|α| |α| ) sup |u| ∀y ∈ Ω d Ω Áp dụng định lý định lý Taylor cho hàm nhiều biến, ta có kết sau Định lý 17 Mọi hàm điều hòa hàm giải tích Sử dụng tính giải tích hàm điều hòa, ta có kết sau Định lý 18 Cho Ω miền Rn Cho u : Ω → R hàm điều hòa Nếu u khơng phải hàm với x0 ∈ Ω, tồn đa số α ∈ Nn cho Dα u(x0 ) = Chứng minh Giả sử phản chứng tồn x0 ∈ Ω cho với đa số α ∈ Nn ta có Dα u(x0 ) = Đặt A = {x ∈ Ω : Dα u(x0 ) = 0, ∀α ∈ Nn } 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Khi x0 ∈ A = ∅ A tập đóng Ω giao tập khơng điểm họ hàm liên tục Do tính giải tích u, ta suy A tập mở Sử dụng giả thiết Ω liên thông, ta có A = Ω u hàm Ta nhận mâu thuẫn Vậy, với x0 ∈ Ω, tồn đa số α ∈ Nn cho Dα u(x0 ) = Định lý 19 Cho Ω miền Rn u : Ω → R hàm điều hòa Nếu u khơng đồng tập khơng điểm u có độ đo Chứng minh Áp dụng định lý 18, ta có n Z(u) := {x ∈ Ω : u(x) = 0} ⊂ {x ∈ Ω : Dα u(x) = α∈Nn k=1 α 0, Dk (D u)(x) = 0} Mỗi tập có dạng {x ∈ Ω : Dα u(x) = 0, Dk (Dα u)(x) = 0} rỗng, đa tạp n − chiều Rn Do đó, tập dạng có độ đo Hợp đếm tập có độ đo có độ đo Do Z(u) có độ đo 5.3 Một tiêu chuẩn tính điều hòa Trong chương 2, ta chứng minh u ∈ C thỏa mãn đẳng thức trung bình u hàm điều hòa Sử dụng định lý hội tụ, thay điều kiện u ∈ C điều kiện u liên tục Định lý 20 Nếu u hàm liên tục thỏa mãn đẳng thức trung bình tích phân hình cầu u hàm điều hòa Chứng minh Ta chứng minh sử dụng tích chập 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang • Bước 1: Ta chứng minh uε xác định định nghĩa thỏa mãn đẳng thức trung bình tích phân Thật vậy: uε dx = ( u(x − y).ηε (y)dy)dx Br (x0 ) Rn Br (x0 ) = ηε (y)( Rn u(x − y)dx)dy Br (x0 ) ηε (y).ωn rn u(x0 − y)dy = Rn = ωn r n ηε (y).u(x0 − y)dy Rn = ωn rn uε (x0 ), suy uε (x0 ) = ωn r n uε dx Br (x0 ) • Bước 2: Ta chứng minh: Nếu u ∈ C(Ω), ηε ≥ ηε ≡ ∀|x| ≥ ε uε ⇒ u U ⊂⊂ Ω Do u : U −→ R hàm liên tục, U khơng gian metric compact nên u liên tục U , nghĩa là, (∀ε > 0), (∃δ > 0) : |u(x) − u(y)| < ε ∀|x − y| < δ Lấy V tập mở cho U ⊂⊂ V ⊂ V ⊂⊂ Ω Chọn δ < d(K, Rn \V ) Ta có: (∀ε > 0), (∃δ > 0), ∀r < δ : |ur (x) − u(x)| < ε, suy ur hội tụ tới u tập compact Ω • Bước 3: Ta chứng minh u hàm điều hòa 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thùy Trang Thật vậy, theo Định lý Harnack, giới hạn dãy hàm điều hòa hàm điều hòa, từ suy u hàm điều hòa Chú ý Bằng lập luận tương tự định lý trên, ta chứng minh u hàm liên tục thỏa mãn đẳng thức trung bình tích phân mặt cầu u hàm điều hòa 31 Kết luận Trên tồn nội dung khóa luận với đề tài “ Phương trình Laplace hàm điều hòa” Trong khóa luận em trình bày hiểu biết phương trình Laplace số tính chất hàm điều hòa Khóa luận đạt nhiệm vụ đề ban đầu trình bày vài phương pháp kết quan trong lý thuyết phương trình Laplace Do nhiều mặt hạn chế nên khóa luận nhiều thiếu sót Rất mong thầy bạn đóng góp ý kiến Trước kết thúc khóa luận, lần nữa, em xin cảm ơn thầy cô giáo Khoa tốn tổ Giải tích đặc biệt cảm ơn thầy giáo TS Đỗ Hồng Sơn Viện tốn học hướng dẫn tận tình, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 32 Tài liệu tham khảo L C Evans , Partial Differential Equations, AMS Press (1998) D Gilbarg and N Trudinger , Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer (1983) ă ă user Boston, L Hormander , Notions of convexity, Birkha Inc., Boston, MA, (1994) M Klimek , Pluripotential theory, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, (1991) Nguyễn Phụ Hy , Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật (2005) Trần Đức Vân , Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội (2008) Trần Văn Bằng , Bài giảng phương trình đạo hàm riêng, Hà Nội (2016) 33 ... k=1 dãy hàm điều hòa miền Ω Rn Khi (i) Nếu uk hội tụ địa phương tới hàm u u hàm điều hòa (ii) Nếu {uk }∞ k=1 dãy đơn điệu tồn y ∈ Ω cho {uk (y)} bị chặn uk hội tụ địa phương tới hàm điều hòa Chứng... Tốn tử Laplace hàm điều hòa 2.1 Toán tử Laplace Cho Ω miền Rn u hàm thuộc C (Ω) Toán tử Laplace u , kí hiệu ∆u, định nghĩa n Dii u = div Du ∆u = i=1 2.1.1 Định nghĩa hàm điều hòa Định nghĩa Hàm. .. gọi hàm điều hòa điểm x0 u có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục x0 thỏa mãn ∆u = 2.1.2 Ví dụ (i) Mọi phiếm hàm tuyến tính hàm điều hòa (ii) Nếu u(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 − x22 − 2x23 hàm điều hòa