Phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) Chú ý : - Phương trình bậc lẻ ln ln có nghiệm thực - Định lý Viete : Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2, x3 : x1 + x2 + x3 = -b/a x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a x1x2x3 = -d/a I Những dạng thông thường Nếu x = x0 nghiệm, ta phân tích thành dạng : (x - x0)(ax2 + bx + c) = Đặc biệt : - Nếu a ± b + c ± d = → x = ±1 nghiệm - Nếu (d/a) = (c/b)3 → x = -c/b nghiệm Phương trình dạng A3 + B3 = (A + B)3 pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = II Những dạng tổng quát Phương trình 4x3 - 3x = q * Với │q│ ≤ - Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q - Gọi α góc thỏa cosα = q, : cos3t = cosα - Ta chọn t1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3 - Kết luận phương trình có nghiệm x1,2,3 = cos t1,2,3 Chú ý bước đặt x = cost cách đặt "ép" ẩn phụ, ta khơng cần chứng minh pt ln có nghiệm nhỏ 1, tìm đủ nghiệm ta kết luận * Với │q│ > : - Ta dễ dàng CM pt nghiệm thuộc [-1;1] phương trình có nghiệm x0 khơng thuộc [-1;1] x0 nghiệm - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 - 3x = ½ (a3 + 1/a3) cách : q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 - 2qa3 + = (→ tìm a) - CM x0 = ½ (a + 1/a) nghiệm (duy nhất) phương trình Phương trình 4x3 + 3x = q - Giả sử phương trình có nghiệm x0, dùng đạo hàm ta CM x0 nghiệm - Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x3 + 3x = ½ (a3 - 1/a3) CM x0 = ½ (a - 1/a) nghiệm (duy nhất) phương trình (phương pháp tương tự trên) Phương trình x3 + px + q = (Công thức Cardan - Tartaglia) - Đặt x = u - v cho uv = p/3 - Từ pt, ta có : (u - v)3 + 3uv(u - v) = u3 - v3 = q - Hệ phương trình uv = p/3 u3 - v3 = q cho ta phương trình trùng phương theo u (hoặc v), từ suy u,v tìm mộtnghiệm x = u + v Chú ý lúc giải phương trình trùng phương ta gặp nghiệm phức (u v) nên từ phương trình bậc ba cho thêm nghiệm phức (đó dạng đầy đủ cơng thức trên) Ngồi ra, phương trình 4x3 ± 3x = q giải PP Phương trình bậc ba tổng quát X3 + AX2 + BX + C = Đặt X = x - A/3, pt trở thành x3 + px + q = (#) Cách : Giải trực công thức Cardan - Tartaglia Cách : - Đặt x = kt (k > 0) , (#) trở thành : k3t3 + pkx + q = (chọn k cho k3/4 = pk/3 p > k3/4 = -pk/3 p < 0) - Phương trình đưa dạng 4t3 ± 3t = Q