Các khái niệm + Có dạng y  ax  b, a  + Hàm đồng biến ( tạo với Ox góc nhọn, đường thẳng có hướng lên) a  + Hàm số nghịch biến ( tạo với Ox góc tù, đường thẳng có hướng xuống ) a  CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Hàm số bậc Hệ số góc đường thẳng Hàm số đồng biến – Nghịch biến Phương pháp chung: + Đường thẳng có dạng y  ax  b, a  f  x2   f  x1  hệ số góc a , + Nếu  , hàm số đồng x2  x1 + Nếu góc tạo đường thẳng với trục Ox   a  tan  biến + Hệ số góc đường thẳng qua f  x2   f  x1  + Nếu  , hàm số y2  y1 x2  x1 A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  k  x2  x1 nghịch biến + Hai đường thẳng song song có hệ số Chú ý: Hàm số y  ax  b góc: a1  a2 , Hai đường thẳng vng góc Đồng biến a  , a1 a2  1 + Góc tạo đường thẳng y  a1 x  b1 với Giao điểm hai đồ thị Tìm giao điểm hai đồ thị y  f  x  y  g  x  Xét hoành độ giao điểm hai đồ thị thỏa mãn phương trình: f  x   g  x   x , thay x vào y  f ( x ) y  g ( x) để tìm y suy giao điểm Chú ý: Tìm giao điểm đồ thị với Ox: cho y 0 x Tìm giao điểm đồ thị với Oy: cho x 0 y Ba điểm thẳng hàng Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm, thay tọa độ điểm thứ vào, thỏa mãn điểm thẳng hàng, khơng thỏa mãn điểm khơng thẳng hàng Cách 2: Tính hệ số góc đường thẳng AB AC Nếu K AB  K AC điểm thẳng hàng ngược lại đường thẳng y  a2 x  b2 góc α tan   a1  a2  a1a2 Tìm điểm cố định y  f  x, m  (chứng minh đồ thị ln qua điểm cố định tìm điểm mà đồ thị qua với m ) Khi giá trị m hàm số y  f  x; m thay đổi, hàm số y  f  x; m  qua điểm điểm điểm cố định Bước 1: Chuyển y  f  x, m dạng: f  x, m  y  Bước 2: Nhóm số chứa m lại với nhau: m f  x   g  x, y   Bước 3: Gọi I  x, y  điểm cố định, suy  f  x  x  ?      g  x, y    y  ? suy điểm cố định I Ba đường thẳng đồng quy Bước 1: Tìm điều kiện để đường thẳng cắt nhau, để đường thẳng hàm số bậc ( có) Bước 2: Tìm giao điểm đường thẳng ( đường thẳng không chứa m) để đường thẳng đồng quy giao điểm thay vào đường thẳng số phải thỏa mãn, từ tìm m; Vẽ đồ thị Đồ thị đường thẳng, ta cần tìm hai điểm qua , thơng thường hay tìm giao điểm với hai trục tọa độ + Giao Ox : Ta cho y  để tìm x suy giao điểm + Giao Oy : Ta cho x  để tìm y suy giao điểm + Đồ thị y  ax qua điểm O  0;0 A 1; a  Đường thẳng x  a song song với Oy cắt Nghịch biến a  Ox a Đường thẳng y  b song song với Ox cắt Oy b Vị trí tương đối hai đường thẳng Nếu hai đường thẳng biểu diễn dạng: y  a1 x  b1 y  a2 x  b2 : a  a2 a  a2 Cắt nhau: a1  a2 Song song:  Trùng nhau:  vng góc: a1 a2  1 b1  b2 b1  b2 Nếu hai đường thẳng biểu diễn dạng: a1 x  b1 y  c1 a2 x  b2 y  c2 Cắt nhau: a1 b1  a2 b2 Song song: a1 b1 c   a2 b2 c2  a1 b1  a b  a1 b1 c1 Trùng nhau: Vng góc:    a2 b2 c2  a1a2  1  b1b2 Chú ý: Đường thẳng ax  by  c : a   song song với Ox khi: b  c   a   Trùng với Ox khi: b  c   a   song song với Oy khi: b  Trùng với Oy khi: c   Phân giác góc phần tư thứ là: y  x Phân giác góc phần tư thứ hai là: y   x a   b  c   Đường thẳng y  ax  b song song Ox a  0; b  LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Khoảng cách – Diện tích Phương trình đường thẳng Tương giao hàm số bậc bậc hai + Qua hai điểm: Gọi phương trình đường thẳng Bước 1: Xét hoành độ giao điểm đồ thị thỏa mãn  Diện tích tam giác tạo đường thẳng với hai trục: Tìm giao đường thẳng với Ox; Oy A, B Suy y  a.x  b (1) phương trình: f  x   g  x  Đưa phương trình dạng: OA.OB  Khoảng cách từ O đến đường thẳng h Tìm giao đường thẳng với Ox; Oy A, B Sau sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAB : 1   h OA2 OB + Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ax  by  c  lớn nhất: Cách 1: a  + Xét TH   m  khoảng cách b  a  + Xét  Tìm giao đồ thị với Ox; Oy A, B Sử b  S - Thay tọa độ A  x1 , y1  ; B  x2 , y2  vào (1) ta hệ  y  a.x1  b phương trình:   y2  a.x2  b Từ hệ phương trình tìm a, b thay vào (1) ta phương trình đường thẳng + Qua A  x1 , y1  có hệ số góc k Gọi đường thẳng y  ax  b Vì hệ số góc k nên a  k Vì đường thẳng qua A  x1 , y1  nên thay tọa độ A vào đường thẳng để tìm b Chú ý: Nếu đường thẳng tạo với trục Ox góc  k  tan  Nếu đường thẳng song song với y  cx  d k  c Ax  Bx  C  (1) Bước 2: Để hai đồ thị tiếp xúc phương trình (1) có nghiệm kép: A0  Từ tìm m    B  AC   Để hai đồ thị khơng cắt phương trình (1) vô nghiệm: + Xét A   m Thay vào phương trình kiểm tra kết luận + Xét A   m Phương trình vơ nghiệm khi:   B2  AC  Từ tìm m Để hai đồ thị cắt điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt: A0  Từ tìm m    B  AC  + Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K đó: Bước 1: Tìm điều kiện để hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt Bước 2: Viết hệ thức Vi – Ét: Bước 3: Biến đổi điều kiện K thay hệ thức Vi Ét vào để tìm m, so sánh điều kiện kết luận 1 c 1  dụng công thức  để tìm khoảng cách, từ Lập phương trình đường thẳng qua điểm ( biết 2 h OA OB hệ số góc) tiếp xúc với đồ thị (P): tìm max + Gọi đường thẳng y  ax  b Dựa vào điểm qua Cách 2: Dựa vào điểm cố định hệ số góc ta lập đường phương trình + Tìm tọa độ điểm cố định I  x0 ; y0  + Xét phương trình hồnh độ giao điểm, hai đồ thị tiếp xúc + Nhận xét: h  OI Dấu xảy d  OI Bài tốn phương trình có nghiệm kép    phương trở tìm m để đường thẳng d qua I  x0 ; y0  vng trình + Giải hệ phương trình để tìm a, b góc OI Bảng biến thiên hàm số bậc y  ax  b, a  Bảng biến thiên hàm số bậc hai y  ax  bx  c, a  a < : Bảng biến thiên a > : Bảng biến thiên x -∞ +∞ x -∞ +∞ x -∞ +∞ -b 2a y y -∞ a < : Bảng biến thiên a > : Bảng biến thiên +∞ +∞ y Nếu đường thẳng vuông góc với y  cx  d k  +∞ x -b -∞ +∞ 2a +∞ 4a y - -∞ 4a -∞ -∞ Hàm số bậc hai y  ax  bx  c, a  + Hàm số y  ax + Hàm số y  ax  bx  c, a   Nếu a  , hàm số đồng biến x  , nghịch biến x   Nếu a  , hàm số đồng biến x  , nghịch biến x  b + Nếu a  : Hàm số đồng biến   ;   ; Nghịch biến a   b  ; nghịch biến + Nếu a  : Hàm số đồng biến  ;  2a   LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122  ;  b   2a     b ;    2a    Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai Cách vẽ: y  ax  bx  c (a  0) ta làm sau: b - Tìm trục đối xứng: x   2a Δ   b - Tọa độ đỉnh: I   ;    2a 4a  - Lấy điểm phụ ( thường giao với hai trục O x, Oy - Đánh dấu điểm lên hình vẽ Ta thường lấy điểm Các công thức cần nhớ làm toán: b + Trục đối xứng: x   2a Δ   b + Tọa độ đỉnh: I   ;   a a  b   x1  x2   a + Định lí Vi Ét:   x x  c  a + Bài cho tọa độ điểm qua, ta phải thay vào đồ thị CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Xét tính chẵn lẻ hàm số Tìm tập xác định hàm số Bước 1: Tìm điều kiện xác định: Bước 1: Tìm TXĐ : D - Nếu TXĐ đối xứng, ta chuyển qua bước Ví Nếu có  Nếu có dụ TXĐ là: ; 4;4 mẫu mẫu  Bước 2: Biểu diễn điều kiện - Nếu TXĐ không đối xứng suy hàm sô không dạng tập hợp ta TXĐ hàm chẵn không lẻ cách : x  D số x  D Chú ý điều kiện xác định Ví dụ: TXĐ: D   3;5 Ta có:  D biểu thức sau: 4  D  hàm số không chẵn không lẻ f  x  Biểu thức xác Bước 2: Chỉ x  D   x  D : g  x  h  x Bước 3: Tính:   f ( x ) : Hµm sè ch½n g  x  định:  f ( x )    f ( x ) : Hàm số lẻ h x     f ( x ): Hµm sè không chẵn không lẻ f x Biu thc xác - Hàm số y  f  x   hàm số vừa chẵn, vừa lẻ g x h x D tập đối xứng qua O - Để chứng minh hàm số không chẵn ta chứng minh miền xác định D không đối xứng qua O, có x0  D cho f   x0   f  x0  - Để chứng minh hàm số không lẻ ta chứng minh miền xác định D không đối xứng qua 0, có x0  D cho f   x0    f  x0  Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng     định:  g  x  h  x g  x  h  x     g  x   h  x   f  x a + f ( x)  a   ,(a  0)  f  x   a Tịnh tiến điểm đồ thị Tịnh tiến điểm A( x; y ) : Lên p đơn vị ta A1  x; y  p  Xuống p đơn vị ta A1  x; y  p  Sang trái p đơn vị ta A1  x  p; y  Sang phải p đơn vị ta A1  x  p; y  Cho (G ) đồ thị y  f ( x) p, q  Ta có Tịnh tiến (G ) lên q đơn vị đồ thị y  f ( x )  q Tịnh tiến (G ) xuống q đơn vị đồ thị y  f ( x )  q Tịnh tiến (G ) sang trái p đơn vị đồ thị y  f ( x  p ) Tịnh tiến (G ) sang phải p đơn vị đồ thị y  f ( x  p ) f ( x)  a  a  f ( x)  a ,(a  0) Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ Cho đồ thị (C ) : y  f ( x) Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  y  f ( x) thị hàm số y  f ( x) hàm số y  f ( x)  u( x) v( x)  Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)    f ( x)    Ta có: y  f ( x)    y  f ( x)   y   f ( x)      Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) Ta có:  f ( x) nÕu x  y f x  f (- x) nÕu x  Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox     Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)  f ( x) nÕu f ( x)  Ta có: y  f  x     f ( x) nÕu f ( x)  Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) bên trục Ox qua trục Ox LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122  Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x) hợp hai phần:  Phần 1: phần đồ thị (C ) nằm bên trục Ox Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox Vẽ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) Ta có: u( x).v( x) nÕu u( x)  y u( x).v( x) nÕu u( x)  Do đó, đồ thị hàm số y  f ( x)  u( x) v( x) hợp hai phần: Phần 1: phần đồ thị (C ) miền u ( x)  Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C ) miền u ( x)  qua trục Ox  ... đồ thị CÔNG THỨC VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI – Gv: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705 . 12 2 Xét tính chẵn lẻ hàm số Tìm tập xác định hàm số Bước 1: Tìm điều... -b -∞ +∞ 2a +∞ 4a y - -∞ 4a -∞ -∞ Hàm số bậc hai y  ax  bx  c, a  + Hàm số y  ax + Hàm số y  ax  bx  c, a   Nếu a  , hàm số đồng biến x  , nghịch biến x   Nếu a  , hàm số đồng... A  x1 , y1  ; B  x2 , y2  vào (1) ta hệ  y  a.x1  b phương trình:   y2  a.x2  b Từ hệ phương trình tìm a, b thay vào (1) ta phương trình đường thẳng + Qua A  x1 , y1  có hệ số góc