Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG SƠ LƯỢC VÊ LICH SỬ CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Đồ thị vô hướng: Bậc đồ thị: .7 3.Đường đi, chu trình, tính liên thông: Biểu diễn đồ thị vô hướng: CHƯƠNG CHU TRÌNH VÀ ĐƯỜNG ĐI ELUER 11 Chu trình Eluer: 11 Các thuật toán tìm chu trình Euler: 14 CHƯƠNG BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 18 Bài toán Domino: 18 Bài toán người phát thư Trung Hoa: 19 3.Bài toán xếp chỗ ngồi: 20 KẾT LUẬN 23 Tài liệu tham khảo 24 Nhóm thực hiện: Nhóm Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có từ lâu đời có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đươc đề xuất từ năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigsberg Từ lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải toán thực tế nhờ vào việc tìm ngày nhiều định lý, cơng thức thuật tốn Lý thuyết đồ thị khơng có nhiều ứng dụng thực tế mà cơng cụ đắc lực cho ngành cơng nghệ thơng tin Nó giúp cho mơ tả cách dễ dàng toán phức tạp cụ thể, để từ ta mã hố tốn vào máy tính Ngồi lý thuyết đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Hiện có nhiều tài liệu, sách, giáo trình viết lý thuyết đồ thị với nội dung, đầy đủ giúp cho người muốn nghiên cứu lý thuyết đồ thị tham khảo Lý quan tâm vận dụng rộng rãi đồ thị nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn, đồ thị xác định mạch vòng vấn đề giải tích mạch điện Chúng ta phân biệt hợp chất hóa học hữu khác với công thức phân tử khác cấu trúc phân tử nhờ đồ thị Chúng ta xác định xem hai máy tính mạng trao đổi thông tin với hay không nhờ mơ hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị có trọng số cạnh sử dụng để giải tốn như: Tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thông Chúng ta sử dụng đồ thị để giải tốn lập lịch, thời khóa biểu, phân bố tần số cho trạm phát truyền hình Tuy nhiên, tốn thực tế, lượng liệu vào liệu tương đối lớn Một số tốn có số lượng đỉnh đến hàng nghìn, tương ứng với số lượng kết đưa Nhóm thực hiện: Nhóm 2 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc lên đến hàng trăm nghìn, ví dụ tốn kiểm thử tốc độ tính tốn thuật tốn dùng tìm kiếm mạng Với đồ thị trên, lượng đỉnh cạnh đồ thị lớn ta cần có cách tổ chức liệu cho hợp lý cho toán vấn đề cần đặt Xuất phất từ nhóm tơi chọn đề tài “ Đường Eluer ứng dụng” Tiểu luận gồm nội dung sau :  Chương : Sơ lược lịch sử  Chương : Đại cương đồ thị vơ hướng – định nghĩa, ví dụ đồ thị vơ hướng  Chương 3: Chu trình đường Eluer – định nghĩa,ví dụ đường Eluer  Chương : Một số toán ứng dụng chu trình, đường Eluer  STT Nhóm thực : Nhóm Họ tên Bùi Quốc Thịnh Phạm Lê Kim Thanh Lê Thị Thi Võ Thị Ni Na Lê Thị Thu Vân Nhóm thực hiện: Nhóm Cơng việc Chương 2,3 Chương 3,4 Chương 1,3 Chương 2,4 Chương 2,3 Chữ ký Nhận xét GV Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến CHƯƠNG GVHD: Trần Qu ốc SƠ LƯỢC VÊ LICH SỬ Có thể nói lý thuyết đồ thị bắt đầu với tư cách ngành Toán học báo tiếng nhà toán học Euler năm 1736 cầu Konigsberg Mãi 100 năm sau, tức kỷ 19, người ta ý đến vấn đề lý thuyết đồ thị, đăc biệt nước Anh Có nhiều lý dẫn đến hồi sinh Lý thuyết đồ thị Trước hết nguyên cứu mạng điện mơ hình tinh thể cấu trúc phân tử Sự phát triển Logic hình thức dẫ đến việc nghiên cứu quan hệ hai dạng đồ thị Nhiều toán đố vui tiếng phát biểu dạng đồ thị Bài toán tiếng Giả thiết bốn mùa DeMorgan đưa lần năm 1850 Có thể nói khơng có tốn đồ thị làm tốn nhiều giấy mực có nhiều đóng góp cho lý thuyết đồ thị toán giả thuyết bốn mùa Ngày Lý thuyết đồ thị phát triển thành ngành Tốn học có vị trí đặc biệt quan mặt lý thuyết ứng dụng Lý thuyết đồ thị kiến thức sở cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Điện tử, Hóa học, Ngơn ngữ học, Kinh tế học, Máy tính… Bài tốn cầu Kưnigsberg: Thành phố Kưnigsberg thuộc Phổ (bây gọi Kaliningrad thuộc Cộng hòa Liên bang Nga) chia thành bốn vùng nhánh sông Pregel Các vùng gồm vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof miền nằm nhánh sông Pregel Vào kỷ thứ XVIII, người ta xây cầu nối vùng lại với sơ đồ sau: Nhóm thực hiện: Nhóm Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Vào chủ nhật, người dân thường dọc theo vùng thành phố Họ tự hỏi “Có thể xuất phát điểm thành phố, qua tất cầu, lần, trở điểm xuất phát khơng?” Nhà tốn học Thụy Sĩ Leonard Euler nghiên cứu giải tốn Lời giải ơng cơng bố năm 1736 Bài tốn coi ứng dụng lý thuyết đồ thị Ta xây dựng đồ thị G = (V, E) mơ tả tốn sau: + Đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với vùng đất sơ đồ Đối tượng toán vùng đất sơ đồ Vậy, đỉnh biểu diễn cho vùng đất Đồ thị G có đỉnh A, B, C, D tương ứng với vùng đất Euler nghiên cứu tốn này, mơ hình đa đồ thị, bốn vùng biểu diễn đỉnh, cầu cạnh đồ thị sau: + Cạnh: Trong đồ thị G đỉnh nối với cạnh e đại diện cho cầu nối hai vùng đất Đồ thị G có cạnh tương ứng với cầu nối vùng đất sơ đồ Nhóm thực hiện: Nhóm Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Bài tốn tìm đường qua tất cầu cầu khơng q lần phát biểu lại mơ hình sau: “Tồn hay khơng chu trình đơn đa đồ thị G= (V, E) có chứa tất cạnh?” Nhóm thực hiện: Nhóm Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến CHƯƠNG GVHD: Trần Qu ốc ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Đồ thị vô hướng: Định nghĩa: Đồ thị vô hướng G = (V, E) gồm tập V đỉnh E cạnh Mỗi cạnh e �E liên kết với cặp đỉnh v, w ( không kể thứ tự) hình sau : V e W Ví dụ 1: Hình a đồ thị đỉnh cạnh Hình b đỉnh cạnh Hình a Hình b Cho đồ thị G = ( V, E) Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w ta nói cạnh e liên thuộc; đỉnh v, w v,w liên thuộc cạnh e, đỉnh v, w đỉnh biên ạnh e đỉnh v kề đỉnh w Nếu có cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w ta viết e=( v, w) Nếu e cung thi v gọi đỉnh đầu w gọi đỉnh cuối cung e Nếu có nhiều cạnh liên kết với đỉnh ta nói cạnh song song Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng gọi khuyên Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi đỉnh cô lập Số đỉnh độ thị gọi bậc đồ thị, số cạnh số cung đồ thị gọi cỡ đồ thị Nhóm thực hiện: Nhóm Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Đồ thị hữu hạn đồ thị bậc cỡ hữu hạn Đồ thị đơn đồ thị khun khơng có cạnh song song Đồ thị vô hướng đủ đồ thị mà cặp đỉnh kề Đồ thị có hướng đủ đồ thị có đồ thị có lót đủ Bậc đồ thị: Cho đồ thị G = (V, E) Định nghĩa: Giả sử v �V có p khuyên q cạnh liên thuộc ( khơng phải khun) Khi bậc đỉnh v 2p +q kí hiệu deg G( v) đơn giản deg (v) Số bậc đỉnh lớn G kí hiệu  (G), số bậc đỉnh nhỏ G kí hiệu  (G) Từ định nghĩa suy đỉnh cô lập đồ thi đơn đỉnh có bậc Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Ví dụ: v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 Ta có deg(v 1)=7, deg(v2)=5, deg(v3)=3, deg(v4)=0, deg(v5)=4, deg(v6)=1, deg(v7)=2 Đỉnh v4 đỉnh cô lập đỉnh v6 đỉnh treo Đường đi, chu trình, tính liên thơng: Định nghĩa 1: Cho đồ thi G=(V, E) Dây  từ đỉnh v đến đỉnh w tập hợp đỉnh cạnh nối tiếp đỉnh v kết thúc đỉnh w.Số cạnh  gọi độ dài dây  Dây  từ đỉnh v đến đỉnh w đọ dài k biểu diễn sau  (v, e1 , v1 , e2 , v , , v k  , ek , w) Nhóm thực hiện: Nhóm Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Trong vi( i=1,…,k-1) đỉnh dây e i (i= 1,…,k-1)là cạnh dây liên thuộc đỉnh kề trước sau Các đỉnh cạnh dây lặp lại Đường từ đỉnh v đến đỉnh w dây từ đỉnh v đến w, cạnh không lặp lại Đường sơ cấp đường không qua đỉnh lần Chú ý: Trong đồ thị n đỉnh, đường sơ cấp hai đỉnh khác có nhiều n-1 cạnh Vòng dây có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trung Chu trình sơ cấplà chu trinh khơng qua đỉnh q lần Ví dụ : x y z w v u Trong đơn đồ thị trên, x, y, z, w, v, y đường đơn (không sơ cấp) độ dài 5; x, w, v, z, y khơng đường (v, z) không cạnh; y, z, w, x, v, u, y chu trình sơ cấp độ dài Định nghĩa 2: Một đồ thị (vô hướng) gọi liên thơng có đường cặp đỉnh phân biệt đồ thị Một đồ thị không liên thông hợp hai hay nhiều đồ thị liên thơng, cặp đồ thị khơng có đỉnh chung Các đồ thị liên thông rời gọi thành phần liên thông đồ thị xét Như vậy, đồ thị liên thơng có thành phần liên thơng Nhóm thực hiện: Nhóm Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Ví dụ : x y z a b g v w d c h k u t G i l G’ Đồ thị G liên thông, đồ thị G’ không liên thông có thành phần liên thơng Biểu diễn đồ thị vô hướng: Định nghĩa: Cho đồ thị vô hướng G =(V,E) có n đỉnh theo thứ tự v 1,v2,…,vn Ma trận kề đồ thị G ma trận vng A= (a ij)mxn, aij số cạnh (khuyên) nối vi với vj.Lưu ý tinh bậc đỉnh khuyên tính hai bậc Từ định nghĩa suy ma trận kề đồ thị vơ hướng ln đối xứng qua đường chéo Ví dụ: Đồ thị v1 v2 v3 v4 v5 có ma trận kề V1 0 V2 1 Nhóm thực hiện: Nhóm V3 1 V4 0 0 V5 1 1 10 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Mệnh đề Cho đồ thị G=( V, E) với ma trận kề (aij).Khi n n j 1 j 1 deg(vi )  a ij a ij  a ji  aij , vi  V Chứng minh Suy từ định nghĩa Định lý : Cho đồ thị đơn G=( V, E) có n đỉnh, V={ v1,v2,…,vn} ma trận kề đồ thị G ma trận A=(aij)nxm Giả sử Ak= (cij)nxm, k 1.Khi cij, i j, số chiều dài k từ đỉnh vi đến vj Đặc biệt phần từ ô [i,j], i n , A2 bậc đỉnh vi Chứng minh Quy nạp Hệ quả: Cho đồ thị đơn G=(V, E) có n đỉnh, V={ v 1,v2,…,vn} ma trận kề đồ thị G ma trận A=(aij)nxm.Kí hiệu T  A  A   A n  Khi đồ thị G lien thông phần từ ngồi đường chéo ma trận T lớn Chứng minh Sử dụng định lí mục trên, suy đồ thị G liên thông cấp đỉnh có đường sơ cấp nối chúng với Mặt khác đường sơ cấp có đọ dài khơng q (n-1) Từ áp dụng định lí ta suy điều phải chứng minh Chú ý Nếu đồ thị có thành phần lien thơng ta đánh số lại đỉnh  A1 ma trận kề có dạng  0 0 A2  Nếu đồ thị lưỡng phân ta có thher đánh số lại đỉnh ma trận kề  có dạng  T A A  Nhóm thực hiện: Nhóm 11 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến CHƯƠNG GVHD: Trần Qu ốc CHU TRÌNH VÀ ĐƯỜNG ĐI ELUER Lý thuyết chu trình Đường Euler có từ lâu nguyên cứu nhiều ta bắt gặp tốn thực tiễn mà sử dụng lý thuyết chu trình, đường Euler để giải quyết, ví dụ sử lí lý thuyết đường đi, chu trình Eluer để tìm hành trình đường cho người phát thư, cho xe rửa đường… cho hành trình tối ưu Chu trình Eluer: Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) Chu trình Euler chu trình qua cạnh G đỉnh đồ thị, cạnh không lần Đường Euler đồ thị G=(x,u) đường qua tất cạnh đồ thị, cạnh qua lần Cho đồ thị có hướng G=(V,E) Chu trình có hướng Euler chu trình có hướng qua cung đỉnh đồ thị, cung khơng q lần Đồ thị chứa chu trình Euler gọi Đồ thị Euler Ví dụ Đồ thị có chu trình Euler Nhóm thực hiện: Nhóm 12 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc (1, 2, 4, 3, 6, 5, 2, 3, 1)  Định lý (Định lý Euler) Đồ thị G có chu trình Euler G liên thơng đỉnh có bậc chẵn khác Chứng minh (i) (): Giả sử G có chu trình Euler v đỉnh G Khi chu trình Euler đến v theo cạnh e khỏi v cạnh e’  e Do bậc v phải số chẵn G hiển nhiên liên thông (ii) (): Giả sử G liên thông đỉnh có bậc chẵn khác Ta chứng minh G có chu trình Euler quy nạp theo số cạnh m G  m = 1: Vì G liên thơng đỉnh bậc chẵn nên G có đỉnh khuyên Khuyên tạo thành chu trình Euler  Giả sử G có m cạnh, số đỉnh n > đồ thị liên thơng có số cạnh nhỏ m với đỉnh bậc chẵn có chu trình euler + Trường hợp n = hiển nhiên tồn chu trình Euler + Trường hợp n > Vì bậc đỉnh chẵn  2, chọn đỉnh a, b, c với cạnh x=(a,b), y=(a,c) - Giả sử G chứa cạnh z=(b,c) Xét đồ thị G’ thu từ G cách loại bỏ ba cạnh x,y,z Sẽ xảy ba khả sau: G’ liên thơng Vì số cạnh G’ nhỏ m đỉnh có bậc chẵn nên theo giả thiết quy nạp tồn chu trình Euler C’ G’ Nối chu trình (x,y,z) với C’ ta thu chu trình Euler C G G’ có thành phần liên thơng G1 G2 Khơng tính tổng qt giả sử G1 chứa a, G2 chứa b c G1 có chu trình Euler C1, G2 có chu trình Euler C2 Ta xây dựng chu trình Euler C G sau Xuất phát từ đỉnh a theo chu trình C1 quay a, sau theo cạnh x=(a,b) đến Nhóm thực hiện: Nhóm 13 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc đỉnh b, từ b theo chu trình C quay b, sau theo cạnh z=(b,c) y=(c,a) quay a G’ có thành phần liên thông G1 , G2 G3 Khơng tính tổng qt giả sử G1 chứa a, G2 chứa b G3 chứa c G1 có chu trình Euler C1, G2 có chu trình Euler C2 , G3 có chu trình Euler C3 Ta xây dựng chu trình Euler C G sau Xuất phát từ đỉnh a theo chu trình C quay a, sau theo cạnh x=(a,b) đến đỉnh b, từ b theo chu trình C2 quay b, sau theo cạnh z=(b,c) đến đỉnh c, từ c theo chu trình C3 quay c, sau theo cạnh y=(c,a) quay a - Giả sử G không chứa cạnh z=(b,c) Xét đồ thị G’ thu từ G cách loại bỏ cạnh x,y thêm cạnh z Sẽ xảy hai khả sau: G’ liên thơng Vì số cạnh G’ nhỏ m đỉnh có bậc chẵn nên theo giả thiết quy nạp tồn chu trình Euler C’ G’ Thay cạnh z C’ cạnh x y ta thu chu trình Euler C G G’ có thành phần liên thơng G1 G2 Khơng tính tổng quát giả sử G1 chứa a, G2 chứa b c G1 có chu trình Euler C1, G2 có chu trình Euler C2 Ta xây dựng chu trình Euler C G sau Thay cạnh zC2 cạnh x y ta có chu trình C 2’ Nối C2’ với C1 ta thu chu trình Euler C G  Định lý Cho đồ thị G có k đỉnh bậc lẻ Khi số đường tối thiểu phủ G k/2 Chứng minh Ta biết số đỉnh bậc lẻ chẵn, k=2n Chứng minh quy nạp theo n Nhóm thực hiện: Nhóm 14 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến (i) GVHD: Trần Qu ốc n=1: Nối đỉnh bậc lẻ với cạnh z ta thu đồ thị G’ thoả định lý Euler Như G’ có chu trình Euler C’ Bỏ cạnh z C’ ta thu đường Euler phủ G (ii) Giả sử G có số đỉnh bậc lẻ 2n định lý với k dO(v)} T = {u  V : dI(v) < dO(v)} Từ bổ đề bắt tay ta có d vV O (v ) =  d (v )    d (v )  d I I vV vS O (v )  =  d O (v )  d I (v )  vT Ta ký hiệu k=   d (v )  d I vS O (v )  =  d O (v )  d I ( v )  vT  Định lý (i) Đồ thị có hướng G có chu trình có hướng Euler G liên thông yếu đỉnh có nửa bậc vào nửa bậc ra, tức S =  T =  (ii) Nếu S  , số đường có hướng tối thiểu phủ G k Các đường nối đỉnh T đến đỉnh tập S Chứng minh Tương tự trường hợp vô hướng (bài tập) Các thuật tốn tìm chu trình Euler:  Thuật tốn + Đầu vào Đồ thị G  , khơng có đỉnh lập Nhóm thực hiện: Nhóm 15 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc + Đầu Chu trình Euler C G, kết luận G khơng có chu trình Euler + Phương pháp (1) phát: Đặt H := G, k := 1, C :=  Chọn đỉnh v  G (2) Xuất phát từ v, xây dựng chu trình Ck H Nếu tồn Ck , nối Ck vào C, C := C  Ck Sang bước (3) Nếu không tồn Ck , kết luận khơng có chu trình Euler, kết thúc (3) Loại khỏi H chu trình Ck Nếu H chứa đỉnh lập loại chúng khỏi H Sang bước (4) (4) Nếu H = , kết luận C chu trình Euler, kết thúc Ngược lại sang bước (5) (5) Nếu H C khơng có đỉnh chung, kết luận khơng có chu trình Euler, kết thúc Nếu H C có đỉnh chung Chọn v đỉnh chung H C Đặt k := k+1 Quay lại bước (2) + Ví dụ Cho G đồ thị Thanh mã tấu Mohammed a j c b f i d g c h k Ta áp dụng thuật tốn để tìm chu trình Euler (1) Đặt H := G, k := 1, C := , v := f (2) Ta xây dựng chu trình C1 H: C1 := (f,g,k,h,i,e,b,c,d,f) Nhóm thực hiện: Nhóm 16 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Đặt C := C  C1 = (f,g,k,h,i,e,b,c,d,f) (3) Loại C1 khỏi H, ta đồ thị H sau a j e b f i d g h Các đỉnh c k đỉnh lập, ta loại chúng khỏi H nhận đồ thị H sau a e b i j f d h g (5) Chọn đỉnh chung H C v := f Đặt k := k+1 = Quay lại bước(2) (2) Ta xây dựng chu trình C2 H: C2 := (f,i,j,h,g,d,b,a,e,f) Nối C2 vào C ta chu trình C sau C := C  C2 = (f,g,k,h,i,e,b,c,d,f)  (f,i,j,h,g,d,b,a,e,f) = (f,g,k,h,i,e,b,c,d,f,i,j,h,g,d,b,a,e,f) (3) Loại C2 khỏi H, ta đồ thị H gồm toàn đỉnh cô lập Loại nốt đỉnh cô lập ta có H =  (4) Vì H = , ta kết luận C chu trình Euler, kết thúc  Thuật tốn (Fleury) Nhóm thực hiện: Nhóm 17 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc + Đầu vào Đồ thị G  , khơng có đỉnh lập + Đầu Chu trình Euler C G, kết luận G khơng có chu trình Euler + Phương pháp (1) Chọn đỉnh xuất phát v0 Đặt v1 := v0 , C := (v0) H := G (2) Nếu H = , kết luận C chu trình Euler, kết thúc Ngược lại sang bước (3) (3) Chọn cạnh tiếp: - Trường hợp đỉnh v1 đỉnh treo: Tồn đỉnh v2 kề v1 Chọn cạnh (v1 , v2 ) Sang bước (4) - Trường hợp đỉnh v1 không đỉnh treo: Nếu cạnh liên thuộc v1 cầu, khơng có chu trình Euler, kết thúc Ngược lại, chọn cạnh (v1 , v2 ) cầu H Thêm vào đường C đỉnh v2 Sang bước (4) (4) Xoá cạnh vừa qua, xố đỉnh lập: Loại khỏi H cạnh (v1 , v2 ) Nếu H có đỉnh lập, loại chúng khỏi H Đặt v1 := v2 Sang bước (2) + Ví dụ Cho G đồ thị hình sau v1 v2 v3 v6 Nhóm thực hiện: Nhóm v4 v5 v7 18 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Đồ thị liên thơng có đỉnh bậc chẵn Ta có chu trình Euler sau (v6, v4, v7, v5, v1, v3, v4, v2, v1, v4, v5, v2, v3, v6) CHƯƠNG BÀI TỐN ỨNG DỤNG Bài tốn Domino: Domino hình chữ nhật chia thành hình vng hình mang số 0,1,2,3,4,5,6 Hai hình vng domino mang số Ví dụ 4 Có tất 28 quân Domino khác Chứng minh ta xếp domino thành hình tròn cho hai hình vng kề domino khác mang số Giải: Ta lập đồ thị đỉnh v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6 đỉnh vi ứng với số i, i=0, ,6 Mỗi đỉnh nối với đỉnh lại để tạo thành domino Nhóm thực hiện: Nhóm 19 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Ta có đồ thị sau : liên thơng với tất đỉnh có bậc chẵn Do tồn chu trình Euler Mỗi chu trình Euler cho tương ứng cách xếp Bài toán người phát thư Trung Hoa: Một nhân viên từ sở bưu điện, qua số đường phố để phát thư, quay sở Người phải qua đường theo chu trình tự để đường ngắn nhất? Bài toán nhà toán học Trung Hoa Guan nêu lên (1960), thường gọi “ Bài toán người phát thu Trung Hoa” Ta xét toán dạng đơn giản sau Cho đồ thị liên thơng G Một chu trình qua cạnh G gọi hành trình G Trong hành trình đó, tìm hành trình ngắn nhất, tức qua cạnh Nhóm thực hiện: Nhóm 20 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc Rõ ràng G đồ thị Euler ( đỉnh có bậc chẵn) chu trình Euler G ( qua cạnh G lần) hành trình ngắn cần tìm Chỉ xét trường hợp G có số đỉnh bậc lẻ ( số định bậc lẻ số chẵn) Khi hành trình phải qua hai lần số cạnh Dễ dàng hành trình qua canh (u, v) q hai lần khơng phải hành trình ngắn G Vì vây, ta cần xét hành trình T qua hai lần số cạnh G Ta quy ước xem hành trình T g hành trình đồ thị Euler GT, có từ G cách vẽ thêm cạnh song song cạnh mà T qua hai lần toán đặt đua toán sau: Trong đồ thị Euler GT, tìm đồ thị có số cạnh ( chu trình Eluer đồ thị hành trình ngắn nhất) Ví dụ: Gải toán người phát thư Trung Hoa cho đồ thị sau: D C D E C B A F J K I H E B F J G A I K H G Tập hợp đỉnh bậc lẻ V O (G) ={ B, G, H, K} tập hợp phân hoạch cặp P = { P1, P2, P3}, Nhóm thực hiện: Nhóm 21 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc P1 = { (B,G), (H,K)} � d(P1) = d (B, G ) + d( H,K) =4+1 =5; P1 = { (B,H), (G,K)} � d(P2) = d (B, H ) + d( G,K) =2+1 =3; P1 = { (B,K), (G,H)} � d(P3) = d (B, K ) + d( G,H) =3+2 =5; m(G) = (d(P1), d (P2),d(P3))=3 Do GT có từ G cách thêm vào cạnh: (B, I) , (I,H), (G,K) GT đồ thị Euler Vậy hành trình tìm đường ngắn cần tìm theo chu trình Euler GT: A,B,C,D,E,F,K,E,C,I,K,H,J,I,H,I,B,I,A Bài tốn xếp chỗ ngồi: Có n đại biểu từ n nước đến dự hội nghị quốc tế Mỗi ngày họp lần ngồi quanh bàn tròn Hỏi phải bố trí ngày bố trí cho ngày, người có hai người kế bên bạn Lưu ý n người muốn làm quen với Xét đồ thị gồm n đỉnh, đỉnh ứng với người dự hội nghị, hai đỉnh kề hai đại biểu tương ứng muốn làm quen với Như vậy, ta có đồ thị đầy đủ Kn Đồ thị Hamilton rõ ràng chu trình Hamilton cách xếp yêu cầu toán Bái toán trở thành tìm chu trình Hamilton phân biệt đồ thị đầy đủ Kn (hai chu trình Hamilton gọi phân biệt chúng khơng có cạnh chung) n Định lý: Đồ thị đầy đủ Kn với n lẻ n  có chu trình Hamilton phân biệt n(n  1) Chứng minh: Kn có cạnh chu trình Hamilton có n cạnh, nên số n chu trình Hamilton phân biệt nhiều n Giả sử đỉnh Kn 1, 2, , n Đặt đỉnh tâm đường tròn đỉnh 2, , n đặt cách đường tròn (mỗi cung 360 0/(n-1) Nhóm thực hiện: Nhóm 22 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc cho đỉnh lẻ nằm nửa đường tròn đỉnh chẵn nằm nửa đường tròn Ta có chu trình Hamilton 1,2, , n,1 Các đỉnh giữ cố định, xoay khung theo chiều kim đồng hồ với góc quay: n  360 360 360 360 , , , , , n n n n n n ta nhận khung phân biệt với khung Do ta có chu 2 trình Hamilton phân biệt Ví dụ 5: Giải toán xếp chỗ ngồi với n=11 Có (111)/2=5 cách xếp chỗ ngồi phân biệt sau: 10 11 1 11 10 1 11 10 1 11 10 1 11 10 5 3 1 1 9 1 Nhóm thực hiện: Nhóm 2 1 1 23 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc KẾT LUẬN Từ ứng dụng “ Chu trình, đường Eluer ứng dụng” ta giải lớp tốn Các ứng dụng minh họa ví dụ, tốn cụ thể dễ hiểu Từ lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải tốn thực tế nhờ vào việc tìm ngày nhiều định lý, công thức thuật tốn Lý thuyết đồ thị khơng có nhiều ứng dụng thực tế mà cơng cụ đắc lực cho ngành cơng nghệ thơng tin Nó giúp cho mô tả cách dễ dàng tốn phức tạp cụ thể, để từ ta mã hố tốn vào máy tính Ngoài lý thuyết đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Hiện Nhóm thực hiện: Nhóm 24 Đề tài: Chu trình đường Eluer ứng dụng Chiến GVHD: Trần Qu ốc có nhiều tài liệu, sách, giáo trình viết lý thuyết đồ thị với nội dung, đầy đủ giúp cho người muốn nghiên cứu lý thuyết đồ thị tham khảo Đề tài hướng dẫn nhiệt tình thầy PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Tập thể nhóm xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Mặc dù cố gắng đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Tập thể nhóm mong nhận ý kiến thầy bạn để đề tài hoàn thiện Tài liệu tham khảo [1] Trần Quốc Chiến : Giáo trình Lý thuyết đồ thị ứng dung Đà Nẵng 2007 [2] Nguyễn Tô Thành, Nguyễn Đức Nghĩa: Giáo trình Tốn rời rạc Trường Đại học bách khoa Hà Nội Hà Nội 1994 [3] Nguyễn Cam, Chu Đức Khánh : Lý thuyết đồ thị NXB TP Hò Chí Minh 1999 [4] Nguyễn Xn Quỳnh: Cơ sở Toán rời rạc ứng dụng NXB Giáo dục Hà Nội 1995 Nhóm thực hiện: Nhóm 25 ... ỨNG DỤNG Bài tốn Domino: Domino hình chữ nhật chia thành hình vng hình mang số 0,1,2,3,4,5,6 Hai hình vng domino mang số Ví dụ 4 Có tất 28 quân Domino khác Chứng minh ta xếp domino thành hình... thị G Bây xét đồ thị có hướng G = (V, A) Ký hiệu R = {u  V : dI(v) = dO( v)} S = {u  V : dI(v) > dO( v)} T = {u  V : dI(v) < dO( v)} Từ bổ đề bắt tay ta có d vV O (v ) =  d (v )    d (v )... tròn cho hai hình vng kề domino khác mang số Giải: Ta lập đồ thị đỉnh v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6 đỉnh vi ứng với số i, i=0, ,6 Mỗi đỉnh nối với đỉnh lại để tạo thành domino Nhóm thực hiện: Nhóm