Bài 1 . Cho tam giác ABC vuông cân tại A ; AB = AC = a ; O trung điểm BC; M trung điểm AC, trên BC lấy điểm D sao cho BD = 2 DC a. Chứng minh BM ⊥ AD b. Tính sinBAD Giải a/ BD = 2DC => BC = a 2 = 3DC => BD = 2a 2 3 ; DC = a 2 3 ; OD = OC – DC = a 2 2 - a 2 3 = a 2 6 Trong tam giác ABC có G trọng tâm => OG 1 OA 3 = OD OC = a 2 6 : a 2 2 = 1 3 => OD OC = OG 1 OA 3 = => GD // AC => DK ⊥ AB. Vậy trong tam giác ABD G là trực tâm => AD ⊥ B b./ Trong tam giác vuông AHD => sinBAD = KD AD KD AC = 2 3 => DK = AC. 2 3 = 2a 3 ; AD 2 = AO 2 + OD 2 = 2 a 2 2    ÷  ÷   + 2 a 2 6    ÷  ÷   AD 2 = 2 2a 4 + 2 2a 36 = 2 18a 36 + 2 2a 36 = 2 20a 36 = AD = a 5 3 sinBAD = KD AD = 2a 3 : a 5 3 = 2 5 5 sinBAD = 2 5 5 Bài 2 .Cho tam giác ABC có H trực tâm và là trung điểm của đường cao AH. Chứng minh : tgB.tgC = 2 Giải. tgB = AD BD ; tgC = AD DC => tgB. tgC = AD BD . AD DC ∆ADB ∽ ∆ CDH => AD CD = DB DH => AD.DH = CD.DB => AD. AD 2 = CD.DB ( Vì DH = AD 2 _ => AD 2 = 2. CD.DB => 2 AD CD.BD = 2 G D M A O B C K H D B C A => AD BD . AD DC = 2 => tgB. tgC = 2 . Bài 3. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, AB < AC, µ C µ C = 2α <45 0 , AM trung tuyến, AH đường cao , AM = m. Chứng minh: a. Sin2α = 2sinα.cosα b. 2cos 2 α = 1 + cos2α c. 2sin 2 α = 1 – cos 2 α. Giải a. Có 2sinα.cosα = 2. AH CH . AC AC = 2 2AH.CH AC = 2AH.CH CH.CB = 2AH 2AH AH CB 2AM AM = = = sin2α Vậy 2sinα.cosα = sin2α b. Có 2.cos 2 α = 2 2 CH CA    ÷   = 2 2CH 2CH CH BC.CH 2AM AM = = (1) Xét 1 + 2cos2α = 1 + HM AM = AM HM MC HM CH AM AM AM + + = = (2) Từ (1) và (2) => 2.cos 2 α = 1 + 2cos2α c. Từ sin 2 α + cos 2 α = 1 => cos 2 α = 1- sin 2 α .Áp dụng kết qủa trên ta có cos2α = 2cos 2 α – 1 = 2(1- sin 2 α) – 1 => 1 + cos2α = 2sin 2 α = 1-cos 2 α Vậy 2sin 2 α = 1 – cos 2 α Bài 4. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, trung trung tuyến AM = m. và AB = c, AC = b. Chứng minh: 2m ≥ b.sinB + c.sinC Vẽ (O; OA) ngoại tiếp của △ABC, vì các góc đều nhọn => Tâm O ở trong tam giác ABC, vẽ BD, CE vuông góc với tiếp tuyến của (O) tại D và E.Áp dụng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ta có : µ · B CAE= ; µ · C DAB= , MH ⊥ DE Trong tam giác vuông BDH => sinDAB = DB AB => DB = AB.sinDAB = c.sinC Tương tự trong tam giác vuông AEC . => CE = b.sinB. Trong hình thang vuông BDEC cosMH đường trung bình 2MH = BD + CE = c.sinC + b.sinB . Mà trong tam giác vuông MHA : MH ≤ AM => 2MH ≤ 2AM Vậy c.sinC + b.sinB ≤ 2Am = 2m => 2m ≥ b.sinB + c.sinC M HB A C H M E D O A B C Bài 5. Cho gócα và 0 0 < α <90 0 . Tìm góc α biết : a/.2sin 2 α – sinα = 0 b/. tgα =3tg(90 0 -α). c/ sinα = 2cosα ( với 0 0 <α <45 0 ) Giải a/ 2sin 2 α – sinα = 0 => sinα(2sinα – 1) = 0 vì 0 0 < α <90 0 , nên sinα ≠ 0  2sinα – 1 = 0 => sinα = 1 2 => α = 30 0 b/ tgα = 3tg(90 0 - α ) => tgα = 3.cotgα = 3 tgα => tg 2 α = 3 => tgα = 3 Vậy => α = 60 0 ( tgα >0) c/Có / sinα = sin(90 0 -2α) => α = 90 0 - 2α => 3α = 90 0 => α = 30 0 Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC. Tính sinBAD. Giải. Vẽ DH vuông góc AB => BH BD 2 AH DC = = => BH = 2AH △BDH vuông cân tại H => HD = BH => HD = 2AH. Áp dụng định lý Py ta go AD = AH. 5 . sinBAD = DH 2AH AD AH. 5 = = 2 2 5 5 5 = Vậy sinBAD = 2 5 5 Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c; AC =b; BC = a (c < b) và µ C = 2α. Phân giác của góc C cắt AB tại D . a. Tính tgα theo a; b; c b. Chứng minh tg2α = tgα. cos2 +1 cos2 α α Giải a. tgα = AD AC Và : AD AC BD BC = (tính chất tia phân giác trong) AD DB AD DB c AC BC AC BC b a + = = = + + Tgα = c b a+ H D A B C c a b B A C α α b. ta có tg2α = AB AC = c b => tg2 c c b a a : 1 tg b b a b b α + = = = + α + = 1 + 1 b a = 1+ 1 cos2α => tg2α = tgα 1 1 cos2   +  ÷ α   = tgα. cos2 +1 cos2 α α . Vậy tg2α = tgα. cos2 +1 cos2 α α Bài 8. Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, µ µ B C> , AH đường cao, AM trung tuyến, đặt · MAH = α . Tìm hệ thức giữa tgα và cotgB với cotgC. Giải Gọi độ dài AH = h, trong tam giác vuông AHC Ta có : cotgC = CH AH => HC = AH.cotgC = h.cotgC Tương tự trong tam giác vuông AHB: HB = h cotgB Vì µ µ B C> => cotgB < cotgC. Trong tam giác vuông AHM ta có Tgα = HM HA Xét hiệu HC – HB = h.cotgC - h cotgB (1) HC – HB = h.(cotgC - cotgB). Ngoài ra HC – HB = (HM + MC) – (BM – MH) = 2MH HC – HB = 2HM = 2htgα (2). Từ (1) và (2) => 2htgα = h.cotgC - h cotgB => tgα = h.cotgC h.cotgB cotgC cotgB 2h. 2 − − = Vậy : cot gC cot gB tg 2 − α = Bài 9.Cho tam giác ABC các góc đều nhọn, AI; BD; CE các đường cao giao nhau tại H.Chứng minh AB + BC + CA = (BH + CH)sinA + (AH + CH)sinB + (AH +BH)sinC Giải Hai tam giác vuông BHI và BCD đồng dạng △BHI∽△BCD => BH.BD = BI.BC △CIH∽△CEB => CH.CE = CI.CB. Cộng vế theo vế BH.BD + CH.CE = BI.BC +CI.CB = BC(BI + IC) = BC 2 BH.BD + CH.CE = BC 2 . Chia hai vế cho BC => BH. BD BC + CH. CE BC = BC=> BH.sinC + CHsinB = BC Tương tự AH.sinB + BHsinA = AB AH.sinC + CHsinA = AC => BH.sinC + CHsinB + AH.sinB + BHsinA + AH.sinC + CHsinA = BC + AB + AC Bài 10. Tìm 0 0 < α < 90 0 Biết 2sin 2 α – 5sinα +2 = 0 A MH B C α H D E I A B C Đặt sinα = x > 0 và x < 1=> 2x – 5x + 2 = 0 (x – 2)(2x – 1) = 0 => x = 2 ; x = 1 2 Sinα = 2 : Loại; sinα = 1 2 => α = 30 0 Bài 11. Cho sinα.cosα = 1 2 . Tính sin 10 α +cos 10 α Có 2.sinαcosα = 1 (vì sinα.cosα = 1 2 ) và sin 2 α + cos 2 α = 1 Vậy sin 2 α + cos 2 - α 2.sinαcosα = 0 => (sinα – cosα) 2 = 0 sinα = cosα => sinαcosα= sin 2 α= 1 2 => sin α = 2 2 => α= 45 0 Vậy sin 10 α +cos 10 = 2.α 10 2 2 æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø = 1 16 Vậy sin 10 α +cos 10 = α 1 16 MONG CÁC BẠN HÀI LÒNG . = 60 0 ( tgα >0) c/Có / sinα = sin (90 0 -2α) => α = 90 0 - 2α => 3α = 90 0 => α = 30 0 Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên BC lấy. ; µ · C DAB= , MH ⊥ DE Trong tam giác vuông BDH => sinDAB = DB AB => DB = AB.sinDAB = c.sinC Tương tự trong tam giác vuông AEC . => CE = b.sinB.