SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2019 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) 4 x  x  x 1 x 1    x  0 x3 x 2 x 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn A Câu (2,5 điểm ) Giải phương trình: x    x   x  1  x   Cho biểu thức A    x    y   y  Giải hệ phương trình:   2 x   x  y   xy  Câu (1,0 điểm) n  a  b Tìm số ngun khơng âm a, b, n thỏa mãn  2 n   a  b Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn  O; R  đường kính AB, điểm M nằm đoạn OB ( M khác O B) Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt  O  hai điểm C E Gọi F hình chiếu C AE I hình chiếu M CF.Đường thẳng AI cắt (O) điểm thứ hai H a) Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp b) Tiếp tuyến C  O  cắt đường thẳng AB D Gọi  O1  đường tròn ngoại tiếp CHD (điểm O1 tâm đường tròn) Chứng minh đường thẳng BD tiếp tuyến  O1  c) Gọi O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMD Biết OM  R , tính diện tích tam giác OO1O2 theo R Câu (1,5 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  1; b  1; c  a  b  c  Chứng minh a2018  b2019  c2020  2 Cho trước p số nguyên tố Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy hai điểm A  p8 ;0  B  p9 ;0  thuộc trục Ox Có tứ giác ABCD nội tiếp cho điểm C , D thuộc trục Oy có tung độ số nguyên dương ĐÁP ÁN Câu x  1  1a) A    x  1 x  2  x  1  x  x    x     x  1 x  2 x  4 x  x     x  1 x  1 x    x  1 x   x 2 1 x  5  Với x  ta có: x   nên x 1 x 1  Giá trị lớn A  x  Do A  5  x 1 Câu 1b) A  2.1 x 1   x   x  1  x   (1) Điều kiện 1  x  t2  Đặt x    x  t    x  1  x   t  1(ktm) t2  Phương trình (1) trở thành: t  1  t  3(tm)  x  0(tm) 32  t    x  1  x      x  3x     x  3(tm) Vậy S  0;3 2    x    y   y   x  y  (1) 2.2   x  x  y  xy      2 x   x  y   xy   (2) Thế  x  y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được: 2x3   x  y   x  xy  y   x3  y  x  y Thay x  y vào phương trình (1) ta được: x2   x   Hệ phương trình có nghiệm Câu   2; ;  2;   Có :  a  b    a  b2   n4   n3   hay n3  n     6 x 1 Nếu n  n3  n     n3   0(ktm)  n 0;1;2 Với n  0;1 Khơng có số ngun a, b thỏa mãn  a  1; b  Với n    (tm) Vậy  n; a; b   2;1;3 ; 2;3;1   a  3; b  Câu O1 C I A O H MB D O2 F E a) Chỉ IM / / AE suy MIH  EAH , mà EAH  ECH nên MIH  MCH Suy tứ giác CIMH nội tiếp b) Chỉ ED tiếp tuyến  O  suy HED  HCE Do tứ giác CIMH nội tiếp nên CHM  900 suy HCM  HMC  900 (1) Mà HMD  HMC  900 nên CHM  HMD (2) Từ (1) (2) suy HED  HMD nên tứ giác EMHD nội tiếp Do HDM  HEM mà HEM  HCM mà HDM  HCD Từ chứng minh BD tiếp tuyến  O1  c) Sử dụng tính chất đường nối tâm vuong góc với dây chung ta có: OO2  HE, O2O1  HD ED  HD suy OO2  O2O1 Chỉ COM  450 suy CAE  450 nên O2OO1  450 Tam giác O2OO1 vuông cân O2 Chỉ tam giác OCDE hình vng cạnh R O2 trung điểm DE 5R 5R Tính O2O  Vậy diện tích tam giác OO1O2 Câu 5.1 Từ giả thiết ta có:  a  1 b  1 c  1  1  a 1  b 1  c   Suy  a  1 b  1 c  1  1  a 1  b 1  c   Rút gọn ta có: 2  ab  bc  ca   Mặt khác :  a  b  c   a  b2  c   ab  bc  ca    a  b2  c  2  ab  bc  ca   a  b2  c  Dấu "  " xảy hạn a  0, b  1, c  1 5.2 Xét tứ giác ABCD thỏa mãn đề Gọi C  0; c  ; D  0; d  c  d  , suy c.d  p8 p9  p17 Tứ giác ABCD nội tiếp OC.OD  OAOB (1) Do p nguyên tố c, d nguyên dương nên có cặp  c; d  với c  d thỏa mãn (1) :  p ;1 ,  p 17 16 ; p  , ,  p9 , p8  Vậy có tứ giác thỏa mãn đề ...  y   xy   (2) Thế  x  y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được: 2x3   x  y   x  xy  y   x3  y  x  y Thay x  y vào phương trình (1) ta được: x2   x   Hệ phương... hình vng cạnh R O2 trung điểm DE 5R 5R Tính O2O  Vậy diện tích tam giác OO1O2 Câu 5.1 Từ giả thi t ta có:  a  1 b  1 c  1  1  a 1  b 1  c   Suy  a  1 b  1 c  1...  bc  ca   a  b2  c  Dấu "  " xảy hạn a  0, b  1, c  1 5.2 Xét tứ giác ABCD thỏa mãn đề Gọi C  0; c  ; D  0; d  c  d  , suy c.d  p8 p9  p17 Tứ giác ABCD nội tiếp OC.OD  OAOB