TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - TỔ TOÁN  CHUYÊN ĐỀ : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI LÝ THỊ LOAN THẢO Tháng 5/2008 ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Phương pháp: Cơ sở phương pháp sử dụng đánh giá giá trị hàm số hai công cụ sau tam thức bậc hai : (i): ù f (x ) = é ëu ( x ) û +a ³ a; $u ( x ) = : f ( x ) = a Þ f ( x ) = f ( x ) = a xỴ R ù f (x ) = b - é f ( x ) = f ( x ) =b ëu ( x ) û £ b ; $u ( x ) = : f ( x ) = b ị xẻ R (ii) : ẹeồ tỡm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (x ); " x Ỵ R (1) ta biến đổi : (1) Û g (x ) = [ a( y )] x +[b ( y )] x +c ( y ) = (*) TH1 : Khi a( y ) : $x ẻ R Û D g ³ (2) TH2 : Khi a( y ) = Þ y điểm tập giá trị (3) ; tương ứng x0 Ỵ R II Kết hợp (2) (3), ta tập giá trị f(R) viết dạng : m£y £M émax f (x ) = f (x ) = M ờx ẻ R ị f (x ) = f (x ) = M êmin ëx Ỵ R Bài tập ứng dụng Bài Cho hàm số : y = f(x) = 4x2 -4ax + a2 – 2a, tập D = [ -2 ; ] Tìm a để f (x ) = xỴ R Giải Để ý đỉnh S Parabol (P) : y = f(x) = 4x2 -4ax + a2 – 2a x = a ta xét ba trường hợp vị trí xs so với đoạn D = [ -2 ; ] với ý : a1 = > TH1 : Khi : x = a >0 Û a>0 Nhìn vào đồ thị, ta có : f (x ) = f (0) = a - 2a = x- D éa > Û ê êa = + Û a = + ë TH2 : a Khi : x s = 0; " y > ïï PF = 2y ïïỵ Vậy tam thức bậc hai F(x0) có nghiệm y ³ lúc hai nghiệm dương : x 0.2 ³ x 0.1 > Þ max f (x ) = Bài Cho phương trình với tham số a ³ nhö sau : x2 + 2(a-3)x + a - 13 = (1) Tìm a để nghiệm lớn phương trình cho đạt giá trị lớn Giải : ỉ 39 Ta có D = a 7a + 22 = ỗỗỗa - ÷ ÷ ÷ + > 0; " a ³ è 2ø / Phương trình (1) có nghieäm : éx = - a - a - 7a + 22 ê1 ê êx = - a + a - 7a + 22 ë Xét nghiệm lớn : x = y = - a + a - 7a + 22 Û y - + a = a - 7a + 22 ìï y - +a > ïì y - +a > Û ïí Û íï ïï ( y - + a) = a - 7a + 22 ïïỵ 2ay + a =- y + y +13(*) ỵ Ta thấy y =- không thoả (*) với a ³ 2 - y + y +13 - y + y +14 Þ a= ³ 1Û a = ³ y +1 y +1 Û y £ - Ú- £ y £ Suy GTLN = a = Vậy a = GTLN x2 = Baøi 5: Cho f(x) = 2x2 +2(m+1)x +m2 + 4m +3 có nghiệm x1 ,x2 Tìm GTLN biểu thức : A = x 1x - 2(x + x ) Giải : Điều kiện tồn nghiệm x1, x2 D / ³ Û - m - 6m - ³ Û - £ m £ - Lúc đó: m + 4m + A= + 2(m +1) Þ A = m + 8m + ; " m Ỵ [- 5; - 1] Xét : ù m m2+8m+7 -7 -5 -1 + - - + (m + 8m + 7) =- é (m + 4)2 - 9ù ê ú ë û 2 9 Þ A = - (m + 4)2 £ ; " m Ỵ [- 5; - 1] 2 Þ GTLN A = Û m =- ẻ [- 5;- 1] ị A =- Vậy GTLN A BÀI TẬP : Tìm giá trị nhỏ hàm số : f(x;y) = (x - 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2 ; " x ; " y 2 Cho hàm số y = f (x ) = 3x - 6x + 2a - ; x Ỵ [- 2; - 3] Định giá trị a để giá trị lớn hàm số lại đạt giá trị nhỏ 2 Cho hàm số y = f (x ) = x +( m +1) + x + m - Tìm tham số m để giá trị nhỏ hàm số không lớn I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÔNG CỤ TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp Cơ sở phương pháp , muốn chứng minh bất đẳng thức : A ³ B (1) công cụ tam thức bậc hai ta phải thực việc quan sát (1) , để thiết lập tam thức bậc hai đặc trưng cho (1) f(x) Thông thường f(x) thiết lập cần thỏa : Df ³ Û A ³ B D f £ Û A ³ B ….v.v… ìï D f £ ïí Þ f (x ) ³ 0; " x ïïỵ af > ìï D f £ ïí Þ f (x ) £ 0; " x ….v.v… ïïỵ af < f(x) D f phải thỏa C ³ D Mà từ phương pháp khác ta chứng minh : A ³ B (1) II Bài tập ứng dụng Bài : Chứng minh : " a,b ,c Ỵ R ; ta coù : (a - b )2 (c - d ) £ (ac - bd )2 Giaûi : Xét tam thức đặc trưng cho bất đẳng thức (1) nhö sau : f (x ) = (a - b )x - 2(ac - bd )x + (c - d ) Þ D f = (ac - bd )2 - (a - b )(c - d ) (*) ' 2 Maø : f (x ) = (ax - c ) - (bx - d ) ( có nghiệm ) Þ D f ³ Þ (a - b )2 (c - d ) £ (ac - bd )2 (dpcm) Bài 2: Cho a,b,c,d bốn số thực thoả mãn : b < c < d Chứng minh raèng : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) Giải : Yêu cầu toán tương đương với viêc chứng minh : (a + b + c + d)2 - 8(ac + bd)> , với b < c < d Xét tam thức bậc hai đặc trưng cho bất đẳng thức sau: f(a) = a2 + 2(b + c + d – 4c)a + (b + c + d)2 – 8bd Ta coù : D / = (b + c + d – 4c)2 – [(b + c + d)2 – 8bd] Þ Þ Þ Þ D/ D/ D/ D/ = -8bc – 8c2 – 8cd + 16c2 + 8bd = (8bd - 8bc) + (8c2 – 8cd) = 8b(d – c) + 8c(c – d) = 8(d - c)(b – c) ìï d - c > Þ ïí Từ b < c < d ïïỵ b - c > Þ D/ > Maø a = > Nên f(a) > , với a( với b < c < d) Suy (a + b + c + d)2 - 8(ac + bd)> (ñpcm) Bài 3: Chứng minh " x , y , z Ỵ ¡ , ta có : 19x2 + 54y2 + 16z2 + 36xy - 16xz – 24yz ³ (1) Giải : Ta biến đổi dạng tam thức f(x) ( xem y,z tham số ) Û f (x ) = 19x + 4(9 y - 4z )x + 54 y +16z - 24 yz ³ / Với D f = -702y2 + 168yz – 240z2 / Để xét dấu D f , ta tính : / D (2) = -16124z2 (2) / Þ D (2) £ 0, " z Þ D /f £ 0, " y , z (vì aD =- 702 < ) Theo định lý dấu tam thức bậc hai , ta có : f (x ) ³ 0, " x , y , z ( ñpcm) f ìï D /f = ïï Đẳng thức xảy Û íï 2(4z - y ) (*) ïï x = 19 ïỵ / ìï D (2) =0 ïï / ï Nhưng D f = Û íï ïìï z = 64 Þ x =0 ïï y = z Û íï 72 ïỵ ỵï y = Do đẳng thức (1) xảy x = y = z = Baøi 4: Cho a , b, c số dương thoả mãn điều kiện : ìï a +b +c = (1) ïí ïïỵ a +b +c = ab +bc +ca Chứng minh : a , b , c £ Giải : 8 Ta chứng minh c £ Các trường hợp lại chứng minh tương tự Đặt S = a+b , P = a.b Ta biến đổi (1) : ìï S + 2P +c - = (2) ìïï S - 2(1-c)S +c - 2c - = ïí Û í ïỵï (1-c)S-P+c =0 (3) ïỵï (1-c)S-P+c =0 (5) (4) Bằng cách giải phương trình bậc hai (4), ta coù : é S=(1-c)+3=4-c ê ê S=(1-c)-3=-c-2 (*) ë (*) không xảy S = a+b >0 mà – c - < ìï S = a +b = - c ïí Û Thay vào (5) ta (4) (5) ïïỵ P = ab = c - 4c + ìï x + y = - c ï Suy hệ íï có nghiệm ïỵ xy = c - 4c + ( nghiệm x = a vaø y =b) (4 - c )2 - 4(c - 4c + 4) ³ Þ - 3c + 8c ³ Þ c (- 3c + 8) ³ Þ c £ (c > 0) Dẫn đến Þ a, b , c £ ( vai trò a, b, c ngang (1) Baøi 5: Cho < a £ b £ c Chứng minh : x , y , z số không âm ỉx y z ö (a +c )2 £ ( x + y + z )2 ( ax +by +cz ) ỗỗỗ + + ÷ ÷ (1) ÷ èa b c ø 4ac Giải : Thiết lập tam tam thức bậc hai đặc trưng cho (1) có nghiệm (không âm ) : a1 = a, a2 = c sau : f (x ) = a - (a +c )a + ac Mà b Ỵ [ a; c ] Þ f (b ) < a =1 > Û f (b ) = b - (a +c )b +ac £ Û b + Û yb + ac y £ (a +c ) y b (2) (y ³ 0) Để ý : f(a) = f(b) = ac £ a +c (b > 0) b ìï ïï a + ac = a +c Þ xa + ac x = (a +c )x ï a a Þ í ïï ac z ïï c + = a +c Þ zc +ac = (a +c )z c c ïỵ (3) (4) Cộng (2) , (3) ,(4) theo vế ta có : ỉx y zư ( ax +by +cz ) +ac ỗỗỗ + + ữ ữ ữÊ (a +c )(x + y + z ) èa b c ø (5) Theo bất đẳng thức Côsi : ỉ x y zử ổ x y zử ỗ + + ữ ( ax +by +cz ) +ac ỗỗỗ + + ữ ữ ữ ỗ ữ ( ax +by +cz ) ac ố ữ (6) ỗa b c ứ ốa b c ø p dụng tính chất bắc cầu (5) (6) ta : ỉx y z ị ( ax +by +cz ) ac ỗ + + ữ ữ ỗ ữÊ (a +c )(x + y + z ) ỗ ốa b c ứ ổx y z (a +c )2 ữ ỗ ị ( ax +by +cz ) ỗ + + ữ Ê (x + y + z )2 (ủpcm) ữ ỗ ốa b c ø 4ac Bài 6: Cho n số dương a1, a2,…, an cho < a1 £ a2 £ £ an Chứng minh : n n ù 1 é ê £ n (a1 + an ) - å ak ú (1) å ú a1 an ê k =1 ak k =1 ë û Giải : Xét tam thức bậc hai đặc trưng cho bất đẳng thức (1) : f(X) = X2 – (a1+an)X + a1an (coù a1,an nghiệm) Để ý với ak Î [ a1 , an ] ; k = ; ;3 …; n Þ f (ak ) = ak2 - (a1 + an )ak + a1.an £ Ta coù ak + a1 an £ a1 + an cho ak 10 ìï ïï a1 +( a1 an ) £ a1 + an ïï ak ïï ïï ï a2 +( a1 an ) a £ a1 + an (+) í k ïï ïï ïï ïï a +( a a ) £ a + a n n ïï k ak ùợ n ị 1 Ê a1an k =1 ak k =1 1 £ n ( a1 + an ) a k =1 k n ak +( a1 an ) å n é ê n ( a1 + an ) ê ë (2) ù ú (dpcm) a å k ú k =1 û n BAØI TẬP : Cho số thực a ,b , c không đồng thời thoả mãn : ìï a +b +c = ïí ïïỵ ab +bc +ca = 2 é 4ù ê- ; ú a , b , c Ỵ Chứng minh raèng ê ë 3ú û Cho £ x £ 1; £ y £ vaø x + y = 3xy Chứng minh 1 £ (x + y ) £ Cho n soá £ a1 , a2 , , an £ Chứng minh : ( +a1 +a2 + +an ) ³ 4(a12 +a22 + +an2 ) Cho số thực a,b , c thoả: a3 > 36 abc = Chứng minh : a2 +b +c > ab +bc + ac 11 ... CÔNG CỤ TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp Cơ sở phương pháp , muốn chứng minh bất đẳng thức : A ³ B (1) công cụ tam thức bậc hai ta phải thực việc quan sát (1) , để thiết lập tam thức bậc hai đặc...ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I Phương pháp: Cơ sở phương pháp sử dụng đánh giá giá trị hàm số hai công cụ sau tam thức bậc hai : (i): ù f... + y +1 = (1) " x Ỵ R Xét tam thức bậc hai F(x0) qua trường hợp : TH1 : y - = Û y = lúc (1) Û - 3x + = Û x = Ỵ R Do y0 = điểm tập giá trị TH2 : y ¹ Lúc tam thức bậc hai có nghiệm : ìï y ¹ ï í