VỀ các điều KIỆN (ci) của MÔĐUN và MÔĐUN LIÊN tục

LỜI NÓI ĐẦULớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai lớp môđun đóng vai trò trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành. Các kết quả về chúng còn là công cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán… Với tầm quan trọng như vậy nên vấn đề mở rộng các lớp môđun này được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là mở rộng lớp môđun nội xạ.Trong nghiên cứu các mở rộng của lớp môđun nội xạ, người ta đã đưa ra các điều kiện sau đây đối với môđun M.(C1) Mỗi môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.(C2) Với mọi A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau, nếu A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M.(C3) Với mọi A và B là các hạng tử trực tiếp của M, nếu thì cũng là hạng tử trực tiếp của M.Một môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C2). M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn điều kiện (C1) và (C3). Một môđun thỏa điều kiện (C1) được gọi là CS môđun hay môđun extending. Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ giữa các điều kiện (Ci), môđun liên tục và chứng minh một số tính chất của chúng. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 : Các khái niệm cơ sở.Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở bao gồm: Các định nghĩa và một số tính chất của môđun con cốt yếu, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun đều, CS môđun, môđun suy biến.Chương 2: Về các điều kiện (Ci) của môđun và môđun liên tục.Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số tính chất, các điều kiện (Ci), mối liên hệ giữa chúng. Một số tính chất của CS môđun, (1 C1) môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh một cách chi tiết và chặt chẽ một số kết quả về lớp CS môđun, môđun liên tục.Luận văn được thực hiện từ tháng 3 năm 2010 và hoàn thành tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã dành cho chúng tôi sự chỉ bảo tận tình nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái.Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo của khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Vinh đã trang bị cho tôi nền kiến thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngành Đại số, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giảCHƯƠNG 1CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞChương này chúng tôi sẽ trình bày những định nghĩa, kết quả cơ bản liên quan đến nội dung của khóa luận. Các khái niệm, tính chất và kí hiệu cơ bản chúng tôi chủ yếu dựa vào các tài liệu: N.V.Dung D.V.Huynh P.F.Smith R.Wisbauer3. Mohamed Muller6.Các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên một vành luôn được hiểu là các môđun phải unita. 1. Môđun con cốt yếu, môđun con đóng và môđun con bé1.1. Định nghĩa. Cho R là vành và M là R môđun phải. Xét N môđun con của M.(a) Môđun con N được gọi là cốt yếu (essential) trong M và kí hiệu N e M nếu với mọi môđun con K M, K 0 thì K N 0. Nếu N là môđun con cốt yếu của M, ta sẽ nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N.(b) Môđun con N được gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói cách khác, N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M là N e K thì K = N.(c) Môđun con K của M được gọi là bao đóng (closure) của môđun con N trong M nếu K là môđun tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K.(d) Một môđun con B của môđun M được gọi là bé (Hay là đối cốt yếu) trong M và ký hiệu B