BÀI GIẢNG NHẬP MÔN XÁC SUẤT & THỐNG KÊ (dành cho sinh viên ngành kỹ thuật) TS Ngơ Hồng Long Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2015 Mục lục Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 1.1.1 Phân loại biến cố 1.1.2 Phép toán biến cố 1.1.3 Quan hệ biến cố 1.1.4 Biến cố đồng khả Định nghĩa xác suất 1.2.1 Định nghĩa cổ điển 1.2.2 Hạn chế xác suất cổ điển 1.2.3 Mở rộng định nghĩa xác suất cổ điển 1.3 Xác suất điều kiện 1.4 Sự độc lập 11 1.2 Phép thử biến cố Biến ngẫu nhiên rời rạc 13 2.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 13 2.2 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên rời rạc 14 2.2.1 Định nghĩa 14 2.2.2 Tính chất kỳ vọng 15 Một số phân phối rời rạc thường gặp 16 2.3.1 Phân phối nhị thức B(n, p) 16 2.3.2 Phân phối hình học Geo(p) 17 2.3.3 Phân phối Poisson P oi(λ) 17 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 18 3.1 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 18 3.2 Hàm mật độ 18 3.3 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục tuyệt đối 19 3.4 Một số phân phối liên tục thường gặp 20 3.4.1 Phân phối U [a, b] 20 3.4.2 Phân phối mũ Exp(λ) 20 3.4.3 Phân phối chuẩn N (a, σ ) Vectơ ngẫu nhiên 21 23 4.1 Hàm phân phối vectơ ngẫu nhiên 23 4.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 24 4.2.1 Bảng phân phối đồng thời 24 4.2.2 Hệ số tương quan 25 Vectơ ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối 25 4.3.1 Hàm mật độ đồng thời 25 Một số phân phối thường gặp (tiếp) 26 4.4.1 Phân phối bình phương 26 4.4.2 Phân phối Student 27 4.4.3 Phân phối F 28 4.3 4.4 Các định lý giới hạn 29 5.1 Luật số lớn 29 5.2 Định lý giới hạn trung tâm 29 5.3 Xấp xỉ phân phối nhị thức 30 Mẫu ngẫu nhiên số đặc trưng mẫu 31 6.1 Mẫu ngẫu nhiên 31 6.2 Các số đặc trưng mẫu 32 Ước lượng tham số 7.1 7.2 33 Ước lượng điểm 33 7.1.1 Các khái niệm ước lượng 33 7.1.2 Phương pháp hợp lý cực đại 33 Ước lượng khoảng 34 7.2.1 Khoảng ước lượng kì vọng a mẫu có phân phối chuẩn N (a, σ ) 34 7.2.2 Khoảng ước lượng phương sai σ mẫu có phân phối chuẩn N (a, σ ) 35 Khoảng ước lượng xác suất phân phối nhị thức 35 7.2.3 Kiểm định giả thuyết thống kê 36 8.1 Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê 36 8.2 Kiểm định tham số 37 8.2.1 Kiểm định trung bình mẫu có phân phối chuẩn 37 8.2.2 Kiểm định xác suất p phân phối nhị thức 39 8.2.3 So sánh hai xác suất phân phối nhị thức 40 Kiểm định quy luật phân phối xác suất 41 8.3 Hồi quy tương quan 42 Một số quy tắc đếm Quy tắc nhân Giả sử ta phải thực nhiệm vụ thông qua n bước • Bước có k1 cách thực hiện; • Ứng với cách thực bước có k2 cách thực bước 2; • Ứng với cách thực bước có k3 cách thực bước 3; ··· • Ứng với cách thực bước n − có kn cách thực bước n Khi tổng số cách thực nhiệm vụ k1 × k2 × · · · × kn Quy tắc cộng Giả sử có n phương án để thực nhiệm vụ • Phương án có k1 cách thực hiện; • Phương án hai có k2 cách thực hiện; ··· • Phương án n có kn cách thực Khi tổng số cách thực nhiệm vụ k1 + k2 + · · · + kn Công thức tổ hợp Giả sử tập Ω có n phần tử phân biệt Số cách lấy đồng thời (khơng tính đến thứ tự) n! k phần tử phân biệt từ Ω Cnk = (k = 0, 1, 2, , n) k!(n − 1)! Ví dụ 0.0.1 Bạn Lan có áo dài, quần dài Hỏi có cách cho bạn Lan mặc áo dài Ví dụ 0.0.2 Trong hộp có bi xanh, bi đỏ, bi trắng Hỏi có cách lấy bi từ hộp cho: Hai viên bi màu Hai viên bi khác màu Khơng có viên bi màu đỏ Có bi xanh Chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Phép thử biến cố Định nghĩa 1.1.1 Phép thử : việc thực tổ hợp điều kiện gọi thực phép thử Kí hiệu G Ví dụ 1.1.1 • Gieo đồng xu • Gieo xúc xắc (hình lập phương) • Bắn viên đạn vào bia Định nghĩa 1.1.2 Biến cố: Kết phép thử gọi biến cố Ví dụ 1.1.2 Gieo đồng tiền lần Biến cố "mặt sấp xuất hiện", "mặt ngửa xuất hiện" 1.1.1 Phân loại biến cố Biến cố chắn: định xảy ta thực phép thử Kí hiệu Ω Biến cố rỗng (trống): biến cố xảy ta thực phép thử Kí hiệu ∅ Biến cố ngẫu nhiên: biến cố khơng thể xảy ta thực phép thử Kí hiệu A, B, C gọi tắt biến cố Ví dụ 1.1.3 Gieo xúc xắc Khi "Mặt xuất có số chấm nhỏ 6": Ω "Mặt xuất có số chấm nhỏ 1": ∅ "Mặt xuất có số chấm chia hết cho 2": A (ngẫu nhiên) "Mặt xuất có số chấm số lẻ": B (ngẫu nhiên) Chú ý 1.1.1 Đồng biến cố A tập Ω theo lý thuyết tập hợp: A ⊂ Ω 1.1.2 Phép toán biến cố Phép hợp: Hợp hai biến cố A B biến cố mà xảy A xảy B xảy Phép giao: A ∩ B biến cố mà xảy A B đồng thời xảy Chú ý 1.1.2 Giao hai biến cố A B kí hiệu AB Phép hiệu: hiệu hai biến cố A B (kí hiệu A \ B CBA ) biến cố mà xảy A xảy B không xảy Phép cố đối: biến cố đối biến cố A ( kí hiệu A Ac biến cố hiệu Ω A: A = Ω \ A, A ⊂ Ω 1.1.3 Quan hệ biến cố Quan hệ kéo theo: biến cố A kéo theo biến cố B (A ⊂ B) A xảy B xảy Quan hệ tương đương: A B tương đương (A = B) A kéo theo B B kéo theo A Quan hệ xung khắc: gọi A B hai biến cố xung khắc A xảy B khơng xảy ngượi lại Chú ý 1.1.3 Nếu A B xung khắc ta viết (a) A ∪ B thành A + B (b) A.B = ∅ (c) A ∪ A = A, A ∩ A = A A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅ (d) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) Ví dụ 1.1.4 Gieo xúc xắc Gọi A biến cố "mặt chẵn xuất hiện", B biến cố "mặt lẻ xuất hiện", Ck biến cố "mặt k chấm xuất hiện" Hãy tính A ∪ B, A ∩ B, từ suy A, B; A ∪ C2 , A ∩ C2 , C2 + C4 + C6 , C1 + C3 + C5 , A \ C2 , C4 + C6 , C2 \ A 1.1.4 Biến cố đồng khả Biến cố đồng khả năng: biến cố mà khả xuất ta thực phép thử Biến cố sơ cấp: biến cố khơng thể phân tích thành hợp hai biến cố khác khác rỗng Cụ thể A biến cố sơ cấp A khơng thể phân tích dạng A = B ∪ C B = C B = ∅, C = ∅ Ví dụ 1.1.5 • Gieo đồng tiền cân đối đồng chất Hai biến cố S(mặt sấp) N (mặt ngửa) xuất hai biến cố đồng khả sơ cấp • Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Gọi Ck biến cố "mặt k chấm xuất hiện" Khi C1 , , C6 biến cố sơ cấp đồng khả 1.2 1.2.1 Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển Giả sử thực phép thử G Kết phép thử n biến cố sơ cấp đồng khả (kí hiệu w1 , , wn ) Không gian biến cố sơ cấp kí hiệu Ω, Ω = {w1 , , wn } Giả sử A m biến cố chứa m biến cố sơ cấp đó, nghĩa A = wi1 + · · · + wim Khi tỷ số n xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) Chú ý 1.2.1 • Số lượng n biến cố sơ cấp không gian biến cố sơ cấp gọi n khả phép thử • Số lượng m biến cố sơ cấp thuộc A gọi m khả thuận lợi cho A Suy P(A) = m Số khả thuận lợi cho A = n Số khả phép thử Ví dụ 1.2.1 Gieo đồng tiền (cân đối đồng chất) Tính xác suất để mặt sấp xuất khi: Gieo lần Gieo ba lần 1.2.2 Hạn chế xác suất cổ điển • Số lượng phần tử khơn gian biến cố sơ cấp hữu hạn • Các biến cố sơ cấp phải đồng khả 1.2.3 Mở rộng định nghĩa xác suất cổ điển Giả sử không gian mẫu gồm biến cố sơ cấp w1 , w2 , Với biến cố sơ cấp wi ta đặt tương ứng với khả xuất pi , ≤ pi ≤ cho pi = Khi xác suất i∈I biến cố A P(A) = pi wi ∈A Ví dụ 1.2.2 Xét xúc xắc không cân đối mà khả xuất mặt cho bảng Số chấm Khả 10% 20% 10% 20% 30% 10% Tính xác suất để gieo mặt có chẵn chấm 1.3 Xác suất điều kiện Ví dụ 1.3.1 Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi A biến cố "Hai mặt chấm xuất hiện", B biến cố "tổng số chấm 8" Hãy tính P(A), P(B) Giả sử biến cố A xảy ra, tính xác suất để B xảy Giả sử biến cố B xảy ra, tính xác suất để A xảy Định nghĩa 1.3.1 Cho A B hai biến cố, P(B) > Xác suất để A xảy biết biến cố B xảy P(AB) P(A ∩ B) = P(A|B) = P(B) P(B) Đọc xác suất biến cố A với điều kiện B Từ định nghĩa ta có cơng thức sau Mệnh đề 1.3.1 (Công thức nhân xác suất) Giả sử A B hai biến cố P(B) > Khi P(AB) = P(A|B)P(B) Do P(AB) = P(BA) = P(B|A)P(A) nên ta có cơng thức sau Mệnh đề 1.3.2 (Cơng thức Bayes 1) Giả sử A B hai biến cố thỏa mãn P(A) > 0, P(B) > Khi P(B|A)P(A) P(A|B) = P(B) Mặt khác, sau lần lấy cầu ta không trả lại vào hộp bnn Xi thu có phân phối với X dãy bnn (Xi )1≤i≤n khơng độc lập Khi ta gọi (Xi )1≤i≤n mẫu ngẫu nhiên khơng hồn lại Nếu số phần tử m không gian mẫu lớn cỡ mẫu n nhỏ so với m mặt thực hành khơng có khác biệt đáng kể mẫu hồn lại mẫu khơng hồn lại Định nghĩa 6.1.2 Hàm phân phối mẫu xác định sau n Fn (x) = n IXi 30 tα = xα tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(xα ) = − α2 – Nếu n ≤ 30 tα tra bảng phân phối Student với n − bậc tự mức ý nghĩa α (bảng hai phía) 7.2.2 Khoảng ước lượng phương sai σ mẫu có phân phối chuẩn N (a, σ ) Cho mẫu quan sát X = (X1 , , Xn ) bnn X từ phân phối chuẩn N (a, σ ) Khoảng ước lượng (ϕ1 , ϕ2 ) σ với độ tin cậy − α ϕ1 = (n − 1)Sn∗2 , t2 ϕ2 = (n − 1)Sn∗2 , t1 t1 t2 tra bảng phân phối bình phương với n − bậc tự cho P[χ2n−1 > t1 ] = − 7.2.3 α , P[χ2n−1 > t2 ] = α Khoảng ước lượng xác suất phân phối nhị thức Thực n phép thử Bernoulli với xác suất thành công phép thử đểu p Gọi k số phép thử thành cơng n phép thử kí hiệu pˆ = k/n Khoảng ước lượng p với độ tin cậy − α ϕ1 = pˆ − xα pˆ(1 − pˆ) , n ϕ2 = pˆ + xα pˆ(1 − pˆ) , n xα tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(xα ) = − α2 35 Chương Kiểm định giả thuyết thống kê 8.1 Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê Trong chương trước ta biết tìm khoảng ước lượng cho tham số từ mẫu quan sát Tuy nhiên, nhiều toán thực tế ta cần phải định chấp nhận hay bác bỏ phát biểu liên quan đến phân phối hay giá trị tham số phân phối Những phát biểu gọi giả thuyết quy trình đưa định chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết gọi kiểm định giả thuyết Đây toán quan trọng có nhiều ứng dụng thống kê thực tiễn Sau đưa định nghĩa hình thức cho khái niệm giả thuyết thống kê Định nghĩa 8.1.1 Mỗi giả thuyết thống kê phát biểu hay mệnh đề tham số hay nhiều quần thể đối tượng nghiên cứu Ví dụ ta nghiên cứu suất giống lúa Năng suất lúa nhà cung cấp giống thông báo 10 tấn/ha Năng suất trung bình 100 ruộng lựa chọn ngẫu nhiên 9.8 tấn/ha Dựa vào kết thực tế liệu ta chấp nhận thông tin nhà cung cấp giống thông báo khơng? Ta phát biểu lại tốn cách hình thức H : a = 10, K : a = 10 Phát biểu H : a = 10 gọi giả thuyết không phát biểu K : a = 10 gọi đối thuyết Do đối thuyết K nói trung bình a lớn nhỏ hẳn 10 nên K gọi đối thuyết hai phía Trong vài trường hợp, người ta quan tâm đến đối thuyết phía, ví dụ H : a = 10, K : a > 10; H : a = 10, K : a < 10 Lưu ý giả thuyết thống kê phát biểu phân phối toàn quần thể đối tượng nghiên cứu là phát biểu mẫu ngẫu nhiên Giá 36 trị tham số phân phối phát biểu giả thuyết không thường xác định theo ba cách sau • Cách thứ dựa kiến thức thu thập từ thử nghiệm khứ từ thử nghiệm trước Khi mục tiêu toán kiểm định thường xác định xem giá trị tham số có thay đổi hay khơng • Cách thứ hai dựa lý thuyết mơ hình liên quan đến quần thể nghiên cứu Khi mục tiêu toán kiểm định thường xác định xem kết lý thuyết mơ hình có phù hợp với thực tế hay khơng • Cách thứ ba tham số xác từ nguồn bên đó, chẳng hạn nhà sản xuất, cung cấp hay thiết kế đưa Khi mục tiêu toán kiểm định thường xác định xem phát biểu có tương thích khơng Định nghĩa 8.1.2 Kiểm định giả thuyết thống kê việc chọn hai định bác bỏ giả thuyết H chấp nhận giả thuyết H Khi định chấp nhận hay bác bỏ H ta phải dựa tiêu chuẩn Vì việc chấp nhận hay bác bỏ H phụ thuộc vào mẫu quan sát nên ta tìm miền W Rn cho X = (X1 , · · · , Xn ) ∈ W ta bác bỏ H W gọi miên tiêu chuẩn phép kiểm định Khi dựa vào W để đinh, ta gặp hai loại sai lầm sau: • Sai lầm loại I : Bác bỏ H H Xác suất mắc sai lầm loại I P(X ∈ W |H đúng) • Sai lầm loại II : Chấp nhận H H sai Xác suất mắc sai lầm loại II P(X ∈ W |H sai) Ta mong muốn tìm W cho xác suất mắc hai loại sai lầm nhỏ Tuy nhiên cực tiểu hóa đồng thời hai xác suất mắc sai lầm khó khăn Trên thực tế, người ta xét miền tiêu chuẩn mà xác suất mắc sai lầm loại I khơng vượt q mức α Sau người ta chọn miền miền có xác suất mắc sai lầm loại II nhỏ Mức α gọi mức ý nghĩa phép kiểm định 8.2 8.2.1 Kiểm định tham số Kiểm định trung bình mẫu có phân phối chuẩn Cho mẫu (X1 , · · · , Xn ) bnn X từ phân phối chuẩn N (a, σ ) 37 Kiểm định hai phía Kiểm định giả thiết: H : a = a0 Nếu σ biết: Xác định với K : a = a0 ¯ n − a0 )√n (X Z= σ H bị bác bỏ mức α |Z| > xα xα tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(xα ) = − α2 Nếu σ chưa biết: Xác định ¯ n − a0 )√n (X Z= Sn∗ (X) H bị bác bỏ mức α |Z| > tα • Nếu n ≥ 30 tα = xα • Nếu n < 30 tra tα bảng phân phối Student với n − bậc tự mức ý nghĩa α (bảng hai phía) Kiểm định phía Kiểm định giả thiết: H : a = a0 Nếu σ biết: Xác định với K : a > a0 ¯ n − a0 )√n (X Z= σ H bị bác bỏ mức α Z > x2α x2α tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(x2α ) = − α Nếu σ chưa biết: Xác định ¯ n − a0 )√n (X Z= Sn∗ (X) H bị bác bỏ mức α Z > t2α • Nếu n ≥ 30 t2α = x2α • Nếu n < 30 tra tα bảng phân phối Student với n − bậc tự mức ý nghĩa α (bảng phía) 38 Kiểm định phía Kiểm định giả thiết: H : a = a0 Nếu σ biết: Xác định với K : a < a0 ¯ n − a0 )√n (X Z= σ H bị bác bỏ mức α Z < −x2α x2α tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(x2α ) = − α Nếu σ chưa biết: Xác định ¯ n − a0 )√n (X Z= Sn∗ (X) H bị bác bỏ mức α Z < −t2α • Nếu n ≥ 30 t2α = x2α • Nếu n < 30 tra tα bảng phân phối Student với n − bậc tự mức ý nghĩa α (bảng phía) 8.2.2 Kiểm định xác suất p phân phối nhị thức Giả sử ta thực dãy n phép thử Bernoulli B(1, p) thấy có k lần thành cơng Kiểm định hai phía Kiểm định giả thiết: H : p = p0 với Ta xác định Z= K : p = p0 k − np0 np0 (1 − p0 ) Giả thiết H bị bác bỏ mức α |Z| > xα , xα tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(xα ) = − α2 Kiểm định phía Nếu thấy k n lớn nhiều so với p0 ta kiểm định giả thuyết 39 Kiểm định giả thiết: H : p = p0 K : p > p0 với Giả thiết H bị bác bỏ mức α Z > x2α , x2α tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(x2α ) = − α Nếu thấy k n nhỏ nhiều so với p0 ta kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thiết: H : p = p0 K : p < p0 với Giả thiết H bị bác bỏ mức α Z < −x2α , x2α tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(x2α ) = − α 8.2.3 So sánh hai xác suất phân phối nhị thức Xét hai dãy phép thử: Dãy gồm n1 phép thử Bernoulli B(1, p1 ), có k1 phép thử thành cơng; dãy hai gồm n2 phép thử Bernoulli B(1, p2 ), có k2 phép thử thành cơng Kiểm định hai phía Kiểm định giả thiết: H : p1 = p2 K : p1 = p2 với Ta xác định Z= 1 + n1 n2 k1 k2 − n1 n2 k1 + k2 k1 + k2 1− n1 + n2 n1 + n2 Giả thiết H bị bác bỏ mức α |Z| ≥ xα Kiểm định phía Nếu thấy k1 k2 > ta kiểm định giả thuyết n1 n2 Kiểm định giả thiết: H : p1 = p2 với K : p1 > p2 Giả thiết H bị bác bỏ mức α Z > x2α , x2α tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(x2α ) = − α 40 Nếu thấy k2 k1 < ta kiểm định giả thuyết n1 n2 Kiểm định giả thiết: H : p1 = p2 với K : p1 < p2 Giả thiết H bị bác bỏ mức α Z < −x2α , x2α tra bảng phân phối chuẩn cho Φ(x2α ) = − α 8.3 Kiểm định quy luật phân phối xác suất Trong mục trước ta giả sử mẫu ngẫu nhiên thu từ việc quan sát phân phối dẫ biết ta phải kiểm định giả thiết liên quan đến tham số phân phối Trong mục ta xét dạng tốn khác, ta kiểm định xem mẫu thu có tuân theo phân phối hay khơng Ví dụ ta kiểm định giả thuyết mẫu ngẫu nhiên quan sát có tuân theo phân phối chuẩn tắc hay phân phối Poisson hay khơng? Giả sử ta có mẫu gồm n phần tử Ta xắp xếp giá trị mẫu vào k khoảng (khơng thiết phải có độ dài nhau) Gọi Oi số quan sát rơi vào khoảng thứ i Dưới giả thuyết H phân phối, ta tính Ei tần số trung bình mà giá trị quan sát rơi vào khoảng thứ i Xác định k (Oi − Ei )2 χ0 = Ei i=1 Có thể chứng tỏ χ20 có phân phối xấp xỉ phân phối χ2 với k − p − bậc tự do, với p số tham số phân phối giả thuyết H Ví dụ p = H giả sử phân phối chuẩn N (a, σ ) p = H giả sử phân phối Poisson hay phân phối mũ Giả thuyết H bị bác bỏ mức α χ20 ≥ χ2α,k−p−1 χ2α,k−p−1 tra bảng phân phối χ2 với k − p − bậc tự mức ý nghĩa α (bảng hai phía) 41 Chương Hồi quy tương quan 42 Phụ Lục Bảng giá trị hàm phân phối chuẩn Φ(z) = z 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.5 0.5398 0.5793 0.61791 0.65542 0.69146 0.72575 0.75804 0.78814 0.81594 0.84134 0.86433 0.88493 0.9032 0.91924 0.93319 0.9452 0.95543 0.96407 0.97128 0.97725 0.98214 0.9861 0.98928 0.9918 0.99379 0.99534 0.99653 0.99744 0.99813 0.99865 0.01 0.50399 0.5438 0.58317 0.62172 0.6591 0.69497 0.72907 0.76115 0.79103 0.81859 0.84375 0.8665 0.88686 0.9049 0.92073 0.93448 0.9463 0.95637 0.96485 0.97193 0.97778 0.98257 0.98645 0.98956 0.99202 0.99396 0.99547 0.99664 0.99752 0.99819 0.99869 0.02 0.50798 0.54776 0.58706 0.62552 0.66276 0.69847 0.73237 0.76424 0.79389 0.82121 0.84614 0.86864 0.88877 0.90658 0.9222 0.93574 0.94738 0.95728 0.96562 0.97257 0.97831 0.983 0.98679 0.98983 0.99224 0.99413 0.9956 0.99674 0.9976 0.99825 0.99874 0.03 0.51197 0.55172 0.59095 0.6293 0.6664 0.70194 0.73565 0.7673 0.79673 0.82381 0.84849 0.87076 0.89065 0.90824 0.92364 0.93699 0.94845 0.95818 0.96638 0.9732 0.97882 0.98341 0.98713 0.9901 0.99245 0.9943 0.99573 0.99683 0.99767 0.99831 0.99878 0.04 0.51595 0.55567 0.59483 0.63307 0.67003 0.7054 0.73891 0.77035 0.79955 0.82639 0.85083 0.87286 0.89251 0.90988 0.92507 0.93822 0.9495 0.95907 0.96712 0.97381 0.97932 0.98382 0.98745 0.99036 0.99266 0.99446 0.99585 0.99693 0.99774 0.99836 0.99882 43 0.05 0.51994 0.55966 0.59871 0.63683 0.67364 0.70884 0.74215 0.77337 0.80234 0.82894 0.85314 0.87493 0.89435 0.91149 0.92647 0.93943 0.95053 0.95994 0.96784 0.97441 0.97982 0.98422 0.98778 0.99061 0.99286 0.99461 0.99598 0.99702 0.99781 0.99841 0.99886 /2 z e−x √ dx −∞ 2π 0.06 0.52392 0.5636 0.60257 0.64058 0.67724 0.71226 0.74537 0.77637 0.80511 0.83147 0.85543 0.87698 0.89617 0.91308 0.92785 0.94062 0.95154 0.9608 0.96856 0.975 0.9803 0.98461 0.98809 0.99086 0.99305 0.99477 0.99609 0.99711 0.99788 0.99846 0.99889 0.07 0.5279 0.56749 0.60642 0.64431 0.68082 0.71566 0.74857 0.77935 0.80785 0.83398 0.85769 0.879 0.89796 0.91466 0.92922 0.94179 0.95254 0.96164 0.96926 0.97558 0.98077 0.985 0.9884 0.99111 0.99324 0.99492 0.99621 0.9972 0.99795 0.99851 0.99893 0.08 0.53188 0.57142 0.61026 0.64803 0.68439 0.71904 0.75175 0.7823 0.81057 0.83646 0.85993 0.881 0.89973 0.91621 0.93056 0.94295 0.95352 0.96246 0.96995 0.97615 0.98124 0.98537 0.9887 0.99134 0.99343 0.99506 0.99632 0.99728 0.99801 0.99856 0.99896 0.09 0.53586 0.57535 0.61409 0.65173 0.68793 0.7224 0.7549 0.78524 0.81327 0.83891 0.86214 0.88298 0.90147 0.91774 0.93189 0.94408 0.95449 0.96327 0.97062 0.9767 0.98169 0.98574 0.98899 0.99158 0.99361 0.9952 0.99643 0.99736 0.99807 0.99861 0.999 Bảng giá trị hàm phân phối Student1 phía phía 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 80 100 120 ∞ 75% 50% 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.7 0.697 0.695 0.694 0.692 0.691 0.69 0.689 0.688 0.688 0.687 0.686 0.686 0.685 0.685 0.684 0.684 0.684 0.683 0.683 0.683 0.681 0.679 0.679 0.678 0.677 0.677 0.674 80% 60% 1.376 1.08 0.978 0.941 0.92 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.87 0.868 0.866 0.865 0.863 0.862 0.861 0.86 0.859 0.858 0.858 0.857 0.856 0.856 0.855 0.855 0.854 0.854 0.851 0.849 0.848 0.846 0.845 0.845 0.842 85% 70% 1.963 1.386 1.25 1.19 1.156 1.134 1.119 1.108 1.1 1.093 1.088 1.083 1.079 1.076 1.074 1.071 1.069 1.067 1.066 1.064 1.063 1.061 1.06 1.059 1.058 1.058 1.057 1.056 1.055 1.055 1.05 1.047 1.045 1.043 1.042 1.041 1.036 90% 80% 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.44 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.35 1.345 1.341 1.337 1.333 1.33 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.31 1.303 1.299 1.296 1.292 1.29 1.289 1.282 95% 90% 6.314 2.92 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.86 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.74 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.676 1.671 1.664 1.66 1.658 1.645 97.5% 95% 12.71 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.16 2.145 2.131 2.12 2.11 2.101 2.093 2.086 2.08 2.074 2.069 2.064 2.06 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.009 1.99 1.984 1.98 1.96 P[T1 < 1.376] = 0.8 P[|T1 | < 1.376] = 0.6 44 99% 98% 31.82 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.65 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.5 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.423 2.403 2.39 2.374 2.364 2.358 2.326 99.5% 99% 63.66 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.25 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.75 2.704 2.678 2.66 2.639 2.626 2.617 2.576 99.75% 99.5% 127.3 14.09 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.833 3.69 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 3.153 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 3.067 3.057 3.047 3.038 3.03 2.971 2.937 2.915 2.887 2.871 2.86 2.807 99.9% 99.8% 318.3 22.33 10.21 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.93 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.61 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.45 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.307 3.261 3.232 3.195 3.174 3.16 3.09 99.95% 99.9% 636.6 31.6 12.92 8.61 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 4.437 4.318 4.221 4.14 4.073 4.015 3.965 3.922 3.883 3.85 3.819 3.792 3.767 3.745 3.725 3.707 3.69 3.674 3.659 3.646 3.551 3.496 3.46 3.416 3.39 3.373 3.291 Bảng giá trị phân phối bình phương P[χ2n > α] DF: n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.995 0.00004 0.01 0.0717 0.207 0.412 0.676 0.989 1.344 1.735 2.156 2.603 3.074 3.565 4.075 4.601 5.142 5.697 6.265 6.844 7.434 8.034 8.643 9.26 9.886 10.52 11.16 11.808 12.461 13.121 13.787 0.975 0.001 0.0506 0.216 0.484 0.831 1.237 1.69 2.18 2.7 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.12 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791 0.2 1.642 3.219 4.642 5.989 7.289 8.558 9.803 11.03 12.242 13.442 14.631 15.812 16.985 18.151 19.311 20.465 21.615 22.76 23.9 25.038 26.171 27.301 28.429 29.553 30.675 31.795 32.912 34.027 35.139 36.25 0.1 2.706 4.605 6.251 7.779 9.236 10.645 12.017 13.362 14.684 15.987 17.275 18.549 19.812 21.064 22.307 23.542 24.769 25.989 27.204 28.412 29.615 30.813 32.007 33.196 34.382 35.563 36.741 37.916 39.087 40.256 0.05 3.841 5.991 7.815 9.488 11.07 12.592 14.067 15.507 16.919 18.307 19.675 21.026 22.362 23.685 24.996 26.296 27.587 28.869 30.144 31.41 32.671 33.924 35.172 36.415 37.652 38.885 40.113 41.337 42.557 43.773 45 0.025 5.024 7.378 9.348 11.143 12.833 14.449 16.013 17.535 19.023 20.483 21.92 23.337 24.736 26.119 27.488 28.845 30.191 31.526 32.852 34.17 35.479 36.781 38.076 39.364 40.646 41.923 43.195 44.461 45.722 46.979 0.02 5.412 7.824 9.837 11.668 13.388 15.033 16.622 18.168 19.679 21.161 22.618 24.054 25.472 26.873 28.259 29.633 30.995 32.346 33.687 35.02 36.343 37.659 38.968 40.27 41.566 42.856 44.14 45.419 46.693 47.962 0.01 6.635 9.21 11.345 13.277 15.086 16.812 18.475 20.09 21.666 23.209 24.725 26.217 27.688 29.141 30.578 32 33.409 34.805 36.191 37.566 38.932 40.289 41.638 42.98 44.314 45.642 46.963 48.278 49.588 50.892 0.005 7.879 10.597 12.838 14.86 16.75 18.548 20.278 21.955 23.589 25.188 26.757 28.3 29.819 31.319 32.801 34.267 35.718 37.156 38.582 39.997 41.401 42.796 44.181 45.559 46.928 48.29 49.645 50.993 52.336 53.672 0.002 9.55 12.429 14.796 16.924 18.907 20.791 22.601 24.352 26.056 27.722 29.354 30.957 32.535 34.091 35.628 37.146 38.648 40.136 41.61 43.072 44.522 45.962 47.391 48.812 50.223 51.627 53.023 54.411 55.792 57.167 0.001 10.828 13.816 16.266 18.467 20.515 22.458 24.322 26.124 27.877 29.588 31.264 32.909 34.528 36.123 37.697 39.252 40.79 42.312 43.82 45.315 46.797 48.268 49.728 51.179 52.62 54.052 55.476 56.892 58.301 59.703 Tài liệu tham khảo [1] Soong, Tsu T Fundamentals of probability and statistics for engineers John Wiley & Sons, 2004 46 ... tính xác suất để B xảy Giả sử biến cố B xảy ra, tính xác suất để A xảy Định nghĩa 1.3.1 Cho A B hai biến cố, P(B) > Xác suất để A xảy biết biến cố B xảy P(AB) P(A ∩ B) = P(A|B) = P(B) P(B) Đọc xác. .. bia Giả sử kết lần bắn độc lập với xác suất trúng đích lần bắn 0.8 Tính xác suất để viên đạn bắn trúng đích Tính xác suất để viên đạn bắn có viên trúng Tính xác suất phải bắn đến lần thứ trúng đích... số λ = Tính xác suất để ngày xác định đó, số khách đến cửa hàng khoảng thời gian lớn Giả sử cửa hàng phục vụ tối đa người Tính xác suất để cửa hàng phục vụ tất khách đến Hỏi để xác suất biến cố