BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI BẤT ĐẲNG THỨC I – ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' a < b'' ''a > b'' gọi bất đẳng thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề ''a < b Þ c < d '' ta nói bất đẳng thức c < d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a < b viết a < b Þ c < d Nếu bất đẳng thức hệ bất đẳng thức ngược lại a a < b Û ac < bc Nhân hai vế bất đẳng thức với số c< a < b Û ac > bc a > 0, c > nẻ Ơ * nẻ Ơ a> * v a< b c< d Þ a + c < b+ d a< b c < d Þ ac < bd a < b Û a2n+1 < b2n+1 a> a < b Û a2n < b2n a< bÛ a< b 3 a< bÛ a < b Chú ý Ta gặp mệnh đề dạng Cộng hai bất đẳng thức chiều Nhân hai bất đẳng thức chiều Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa Khai hai vế bất đẳng thức Các mệnh đề dạng a£ b a ³ b gọi bất đẳng thức Để phân biệt, ta gọi chúng bất đẳng thức không ngặt gọi bất đẳng thức dạng bất đẳng a< b a> b thức ngặt Các tính chất nêu bảng cho bất đẳng thức không ngặt II– BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI) Bất đẳng thức Cơ-si Định lí Trung bình nhân hai số khơng âm nhỏ trung bình cộng chúng a+ b ab £ , " a, b ³ ( 1) Đẳng thức xảy a = b a+ b ab = 2 Các hệ Hệ Tổng số dương với nghịch đảo lớn a + ³ 2, " a > a Hệ Nếu dương có tổng khơng đổi tích lớn x, y xy x = y Hệ Nếu dương có tích khơng đổi tổng nhỏ x, y x+ y x = y III – BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x ³ 0, x ³ x, x ³ - x x £ a Û - a£ x £ a a> x ³ aÛ x£ - a x³ a a - b £ a+ b £ a + b CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A B ïìï a < b ïìï a > b Þ a- c < b- d Þ a- c > b- d í í ïïỵ c < d ïïỵ c > d C D ìïï a > b ìïï a > b> Þ a- d > b- c Þ a- c > b- d í í ïïỵ c > d ïïỵ c > d > Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau sai? A B ïìï a > b ïìï a > b b+ c Þ a> Þ a- c > b- a í í ïïỵ a > c ïïỵ a > c C D a > b Þ a- c > b- c a > b Þ c- a > c- b Câu Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A B ïìï a < b ïìï a > b Þ ac < bd Þ ac > bd í í ïïỵ c < d ïïỵ c > d C D ìïï < a < b ìïï a > b Þ ac < bd Þ - ac >- bd í í ïïỵ < c < d ïïỵ c > d Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A B a < b Þ ac < bc a < b Þ ac > bc C D ìï a < b c < a < b Þ ac < bc ùớ ị ac < bc ùùợ c > Cõu Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? A B ìïï < a < b a b ìïï a > b> a b Þ < ị > ớ ùùợ < c < d c d ïïỵ c > d > c d C D ïìï a < b a b ïìï a > b> a d Þ < ị > ớ ùùợ c < d c d ïïỵ c > d > b c Câu Nếu bất đẳng thức sau đúng? a+ 2c > b+ 2c A B C D - 3a >- 3b 2a > 2b 1 a2 > b2 < a b Câu Nếu bất đẳng thức sau đúng? a+ b< a b- a > b A B C D ab> b < a a < b< a> b< Câu Nếu bất đẳng thức sau đúng? < a a2 a > a > a a> a a Câu Cho hai số thực dương Bất đẳng thức sau đúng? a, b A a2 ³ a +1 B C ab ³ ab+1 D a2 +1 £ a2 + 2 Tất Câu 10 Cho A C a, b> 1+ a 1+ b x= , y= 1+ a+ a2 1+ b+ b2 B x > y Câu 11 Tìm giá trị nhỏ m hàm số B m= 1- 2 m= B m Câu 13 Tìm giá trị nhỏ f ( x) = C m= B m B m= m= 18 Câu 15 Tìm giá trị nhỏ m A B m= m= Câu 16 Tìm giá trị nhỏ m A B m= m= Câu 17 Tìm giá trị nhỏ m A A m= B m= m x > m= 1+ x2 + x2 + D Không tồn m= hàm số m= Câu 14 Tìm giá trị nhỏ hàm số m= với D m= 1- m A f ( x) = x + x- C m= 1+ 2 Câu 12 Tìm giá trị nhỏ A x < y D Không so sánh x = y A Mệnh đề sau đúng? với x >- x2 + 2x + f ( x) = x +1 C D m= m= hàm số với x > ( x + 2) ( x + 8) f ( x) = x C D m= 16 m= hàm số với 1> x > x f ( x) = + x 1- x C D m= m= hàm số với < x < 1 f ( x) = + x 1- x C D m= m= 16 hàm số với x > x2 + 32 f ( x) = 4( x - 2) C D m= 4 m= Câu 18 Tìm giá trị nhỏ B m= m= Câu 19 Tìm giá trị nhỏ m A A B m= hàm số 2x3 + f ( x) = x C m m= hàm số f ( x) = D x4 + x C m= Câu 20 Tìm giá trị lớn M với với x > m= 10 x > D 13 m= hàm số m= 19 f ( x) = ( 6x + 3) ( 5- 2x) với é 3ù x Ỵ ê- ; ú ê ë 2ú û A B C D M = M = 24 M = 27 M = 30 Câu 21 Tìm giá trị lớn hàm số với M x ³ x- f ( x) = x A B C D M = M = M = M= Câu 22 Tìm giá trị lớn hàm số với M x > x f ( x) = x +4 A B C D M = M = 1 M= M= Câu 23 Tìm giá trị lớn hàm số với M x > x f ( x) = ( x +1) A Câu M = 24 Tìm B giá M= trị nhỏ C m M= lớn D M M = hàm số hàm số f ( x) = x + + 6- x A B m= 2, M = m= 3, M = C m= 2, M = Câu 25 Tìm giá trị D nhỏ m m= 3, M = lớn f ( x) = x - + 8- x M A B m= 0; M = C D m= 2; M = m= 0; M = + 2 Câu 26 Tìm giá trị nhỏ A m= M = B A S = x+ y [ 0;3] f ( x) = 7- 2x + 3x + C m= 10 D m= f ( x) = x + 8- x2 C D M = 2 x, y 87 m= hàm số M M = Câu 28 Cho hai số thực thức hàm số m B Câu 27 Tìm giá trị lớn A m= 2; M = thỏa mãn x2 + y2 + xy = M = Tập giá trị biểu là: B [ 0;2] Câu 29 Cho hai số thực C x, y thỏa mãn là: P = xy A B C é 1ù - 1;1] [ ê0; ú ê ë 3ú û Câu 30 Cho hai số thực thỏa mãn x, y [- 2;2] D { - 2;2} Tập giá trị biểu x2 + y2 + xy = thức é1 ù ê ;1ú ê ë3 ú û D é 1ù ê- 1; ú ê ë 3ú û Giá trị nhỏ ( x + y) + 4xy ³ biểu thức là: S = x+ y A B C Câu 31 Cho hai số thực thức S = x+ y A [ 0;+¥ ) A { 2;4} - thỏa mãn x, y B [- ¥ ;0] S = x+ y B + x y x2 + y2 = x + y + xy x, y C thỏa mãn Tập giá trị biểu [ 4;+¥ ) D [ 0;4] x2 + y2 - 3( x + y) + = Tập giá trị là: [ 0;4] Câu 33 Cho hai số thực dương S= là: Câu 32 Cho hai số thực biểu thức D C x, y [ 0;2] thỏa mãn D x+ y=1 [ 2;4] Giá trị nhỏ là: S= + x y A B Câu 34 Cho hai số thực dương C x, y Giá trị nhỏ biểu thức A Câu 35 Cho hai số thực dương thỏa mãn điều kiện S = x+ y B x, y Câu (a 1 36 Cho B hai số thực a, b + b3 ) ( a + b) - ab( a- 1) ( b- 1) = B C 1 Câu 37 Cho hai số thực A x, y thỏa mãn A S = x + 2y P = xy C D = xy + xy là: Giá trị nhỏ P = xy C 1 thuộc khoảng D và ( 0;1) thỏa P = ab mãn bằng: [ 0;1] thỏa mãn x + y = 4xy Tập là: C x, y é 1ù ê0; ú ê 3û ú ë thỏa mãn D x + 2y- xy = é1 1ù ê ; ú ê4 3û ú ë Giá trị nhỏ B C Câu 39 Cho hai số thực dương x4 + y4 + thuộc đoạn é 1ù ê0; ú ê 4û ú ë Câu 38 Cho hai số thực dương x2 y + xy2 = x + y + 3xy D B [ 0;1.] Giá trị lớn biểu thức A giá trị biểu thức là: giá trị lớn biểu thức A D x, y thỏa mãn D x + y + xy ³ Giá trị nhỏ là: S = x + 2y B Câu 40 Cho hai số thực A C x, y thỏa mãn D 2x + 3y £ - 11 Giá trị lớn biểu thức là: P = x + y + xy A B Câu 41 Cho hai số thực P = xy A 13 Câu 42 Cho x2 + y2 F= x- y A P = Câu 43 Cho Fmin x, y không âm thỏa mãn C hai số thực thỏa mãn đạt giá trị nhỏ B x, y ìïï x = a í ïïỵ y = b x> y A P= A C F = x + y+ B 1 Fmin = Fmin = Fmin = Câu 44 Cho Giá trị nhỏ biểu thức x > 8y > B Câu 45 Cho hai số thực Câu [- 1;7] 46 Giá trị lớn x, y là: S = x+ y B [ 3;7] thỏa mãn [ 3;7] È { - 1} Biết biểu thức P = Tìm giá trị nhỏ x + y ³ D Fmin = F = x+ y( x - 8y) ( x- + y+3 D x + y +1= C a2 + b2 1000 D D 13 xy = 1000 Tính + 2x y C A x2 + 2y = 12 D C P = P = số thực dương thỏa mãn biểu thức biểu thức D là: B x, y C ) Tập giá trị [- 7;7] số thực thỏa mãn a, b, c a > 0, b> với Tìm giá trị nhỏ biểu thức xỴ ¡ Fmin f ( x) = ax2 + bx + c ³ F= Cho 4a + c b A B C D Fmin = Fmin = Fmin = Fmin = Câu 47 Cho ba số thực không âm thỏa mãn Giá a, b, c a2 + b2 + c2 + abc = trị nhỏ giá trị lớn biểu thức là: S = a2 + b2 + c2 A 48 Câu B ba số Cho C dương thực D x, y, z có giá trị nhỏ bằng: Biểu thức x y z ( x + y2 + z2 ) + yz + zx + xy A B C D 11 2 Câu 49 Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Giá trị x, y, z x + y+ z = lớn biểu thức bằng: 3 3 3 P = x + y + z +3 x + y + z P= ( A 12 B C Câu 50 Cho ba số thực dương x, y, z ) D thỏa mãn điều kiện lớn biểu thức 11 x + y+ z = Giá trị bằng: P = x + y + y+ z + z+ x A B C D 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Bất phương trình ẩn Bất phương trình ẩn f ( x) < g( x) Ta gọi cho f ( x) f ( x) và bất phương trình mệnh đề chứa biến có dạng ( f ( x) £ g( x) ) g( x) g( x) f ( x0 ) < g( x0 ) x ( 1) biểu thức x vế trái bất phương trình ( f ( x0 ) £ g( x0 ) ) ( 1) Số thực x0 mệnh đề gọi nghiệm ( 1) Giải bất phương trình tìm tập nghiệm nó, tập nghiệm rỗng ta nói bất phương trình vơ nghiệm Chú ý: Bất phương trình viết lại dạng sau: ( 1) g( x) > f ( x) ( g( x) ³ f ( x) ) g( x) > f ( x) ( g( x) ³ f ( x) ) Điều kiện bất phương trình Tương tự phương trình, ta gọi điều kiện ẩn số g( x) x để f ( x) có nghĩa điều kiện xác định (hay gọi tắt điều kiện) bất phương trình ( 1) Bất phương trình chứa tham số Trong bất phương trình, ngồi chữ đóng vai trò ẩn số có chữ khác xem số gọi tham số Giải biện luận bất phương trình chứa tham số xét xem với giá trị tham số bất phương trình vơ nghiệm, bất phương trình có nghiệm tìm nghiệm II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn gồm số bất phương trình ẩn mà ta phải x x tìm nghiệm chung chúng Mỗi giá trị đồng thời nghiệm tất bất phương trình x hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình cho Giải hệ bất phương trình tìm tập nghiệm Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất phương trình tương đương Ta biết hai bất phương trình có tập nghiệm (có thể rỗng) hai bất phương trình tương đương dùng kí hiệu để tương đương hai "Û " bất phương trình Tương tự, hai hệ bất phương trình có tập nghiệm ta nói chúng tương đương với dùng kí hiệu để tương đương "Û " Phép biến đổi tương đương Để giải bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi thành bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản mà ta viết tập nghiệm Các phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình ta bất phương trình tương đương P ( x) < Q( x) Û P ( x) + f ( x) < Q( x) + f ( x) Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ln nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình) ta 10 Câu 54 Xét phương trình TH1 Với m- = Û m= 5, Suy với TH2 Với ( m- 5) x2 - 4mx + m- = m= ( *) Û - 20x + = Û x = phương trình m- ¹ Û m¹ 5, ( *) ( *) 20 có nghiệm 20 có nghiệm x= để phương trình ( *) Û D¢ x ³ Û ( - 2m) - ( m- 5) ( m- 2) ³ Û 4m2 - ( m2 - 7m+10) ³ ém³ ê Û 3m2 + 7m- 10 ³ Û ( m- 1) ( 3m+10) ³ Û ê 10 êm£ ê ë Do đó, với é5 ¹ m³ ê ê 10 êm£ ê ë phương trình Kết hợp hai TH, ta Câu 55 Xét phương trình TH1 Với m= có nghiệm giá trị cần tìm Chọn C ( m- 1) x2 - 2( m+ 3) x - m+ = m- 1= Û m= 1, Suy với TH2 Với ém³ ê ê êm£ - 10 ê ë ( *) ( *) Û - 2.4x - 1+ = Û x = phương trình m- 1¹ Û m¹ 1, ( *) ( *) có nghiệm để phương trình ( *) x= có nghiệm Û D¢ x ³ Û ( m+ 3) - ( m- 1) ( 2- m) ³ Û m2 + 6m+ 9- ( - m2 + 3m- 2) ³ 2 ỉ 3ư 79 ÷ Û 2m2 + 3m+11³ Û 2ỗ m + + 0, " mẻ Ă ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ Do ú, vi mạ phương trình ( *) suy D¢ x ³ 0, " mỴ ¡ ln có hai nghiệm phân biệt Kết hợp hai TH, ta giá trị cần tìm Chọn B mỴ ¡ Câu 56 Tam thức đổi dấu hai lần có hai nghiệm phân biệt f ( x) Û f ( x) = 125 Phương trình f ( x) = có hai nghiệm phân ïì a = 1¹ Û ïí ïï D x = ( m+ 2) - 4( 8m+1) > ỵ ém> 28 Û m2 + 4m+ 4- 32m- > Û m2 - 28m> Û m( m- 28) > Û ê êm< ë Vậy giá trị cần tìm Chọn B m< m> 28 Câu 57 Xét có ỉ 1ư 2 x +( m+1) x + m- = 0, D x = ( m+1) - 4ỗ m- ữ = m2 - 2m+ ữ ỗ ữ ỗ ố ø 3 Ta có suy Þ D x > 0, " mỴ ¡ ïìï a = 1> m2 - 2m+ > 0, " mỴ ¡ ï í ïï D m ¢ = 1- = - < ïỵ 3 Vậy phương trình cho ln có nghiệm với Chọn A mỴ ¡ Câu 58 u cầu tốn ìï a = m- 1¹ Û ïí ïï D x = ( 3m- 2) - 4( m- 1) ( 3- 2m) > ợ ỡù mạ ùỡ m¹ Û ïí Û ïí ( *) 2 ïï 9m - 12m+ 4- 4( - 2m + 5m- 3) > ïïỵ 17m2 - 32m+16 > ïỵ Ta có suy ìï a = 17 > 17m2 - 32m+16 > 0, " mỴ ¡ ùớ ùùợ D m  = 162 - 17.16 = - 16 < Do đó, hệ bất phương trình ( *) Û m¹ Chọn B Câu 59 u cầu tốn ïì a = m- 1¹ ùớ ùù D  ợ x = ( - 1) - ( m- 1) ( m+1) > ìï m¹ ìï m¹ ïì m¹ Û ïí Û ïí Û ïí Û mỴ - 2; \ {1} ïỵï 1- m +1> ïỵï m < ïï - < m< ỵ ( Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ) ( Û mỴ Câu 60 u cầu tốn ) 2; \ {1} ïì a = m- ¹ Û ïí ïï D x = ( m+ 3) + 4( m- 3) ( m+1) > ợ ỡù mạ ùỡù mạ Û ïí ïï m + 6m+ 9+ 4( m - 2m- 3) > ỵïï 5m2 - 2m- 3> ỵ 126 Chọn C biệt giá trị cần tìm ïìï m¹ ïï ïì m¹ ỉ ộm> 3ử ữẩ ( 1;+Ơ ) \ { 3} ùớ ớù mẻ ỗ - Ơ ;- ữ ỗ ữ ỗ ùù ( m- 1) ( 5m+ 3) > ïï ê è 5ø ỵ ïï êm ìïï m2 - 4( m+ 3) > ïï ì ïí S > Û íïï x + x = m> Û íïï m - 4m- 12 > Û m> ïï ï ïïỵ m> ïïỵ P > ïïï x1x2 = m+ 3> ỵ Câu 62 u cầu tốn Û ïìï m- ¹ ïï ìï a ¹ ï m - ( m- 2) ( m+ 3) > ïï ï D ¢> ïï é2 < m< ïí Û ïí 2m > Û ê êm ïï m- ë ïï ïï ïïỵ P > ïï m+ >0 ïï ïỵ m- Chọn B Câu 63 Phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt Chọn B ìï D ¢> ìïï ( m+1) - ( 9m- 5) > ïì m2 - 7m+ > ém> ïï ï ï ê ïí S < Û ïïí - 2( m+1) < Û ïí Û ê5 ïï ïï ïï m> ê < m< ê ïïỵ P > ïïỵ ë9 ïïỵï 9m- 5> Câu 64 Phương trình cho có hai nghiệm khơng âm 2 ì ìï D > ïïï ( 3m- 2) - 4( 2m - 5m- 2) > ïìï 3m- ³ ïï ï ï 5+ 41 ïí S ³ Û ïí 3m- ³ Û ïí m2 + 8m+12 ³ Û m³ ïï ïï ïï 2 ïïỵ P ³ ïï 2m - 5m- ³ ïïỵ 2m - 5m- ³ ïỵ Chọn B Câu 65 Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu Chọn B ac < Û 2.( 2m - 3m- 5) < Û - 1< m< Câu 66 Phương trình cho có hai nghiệm trái dấu Chọn B ém> 2 ac < Û ( m - 3m+ 2) ( - 5) < Û m - 3m+ > Û ê êm< ë Câu 67 Phương trình x2 - 2( m- 1) x + m2 - 2m= Û x2 - 2mx + m2 + 2x - 2m= ïì x = m Û ( x - m) + 2( x - m) = Û ( x - m) ( x - m+ 2) = Û ïí ïïỵ x2 = m- 127 Để phương trình cho có hai nghiệm trái dấu Với suy mỴ ( 0;2) ïìï x1 > , í ùùợ x2 < ùỡ x x2 ùớ Û < m< ïïỵ x1x2 < theo ra, ta ( I) có x2 > x1 Û x2 > x1 Û x22 - x12 > Û ( x2 - x1 ) ( x2 + x1 ) > Û ( m- 2- m) ( m- 2+ m) > Û 2m- < Û m< Kết hợp với ( I) , ta Câu 68 Xét phương trình Suy phương trình < m< giá trị cần tìm Chọn B ( m- 1) x2 - 2( m- 2) x + m- = có ( *) , a + b+ c = éx = ê ù Û ( x - 1) é ë( m- 1) x - m+ 3û= Û ê( m- 1) x = m- ë Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ìï m- 1¹ ( *) ï Û ùớ m- mạ ùù ùợ m- Khi đó, gọi x1, x2 ( *) hai nghiệm phương trình Theo ra, ta có x1 + x2 + x1x2 = Kết hợp với ( I) , ta Câu 69 Xét phương trình Phương trỡnh ỡù a ùù ùớ D Â> ùù ùùợ P Khi ú, gi ( *) ( *) suy ( I) 2m- ïìï ïï x1 + x2 = m- ïí ïï m- x x = ïï m- ïỵ 3m- 2m- < 1Û < Û 1< m< m- m- 1< m< giá trị cần tìm Chọn B ( m+1) x2 - 2mx + m- = có hai nghiệm phân biệt khác ( *) , có D ¢= m+ ìï m+1¹ ï ì ïíï m+ > Û ïíï m¹ { - 1;2} ( I) ïï ïï m>- î ïïî m- ¹ nghiệm phương trình suy x1, x2 ìï ( *) ïï x1 + x2 = 2m ïï m+1 í ïï m- ïï x1x2 = m+1 ïỵ 128 Theo ra, ta có ém> x + x2 1 2m m- + = = < 3Û >0Û ê êm< x1 x2 x1x2 m- m- ë Kết hợp với ta giá trị cần tìm Chọn B ém> ( I) , ê êmỴ ( - 2;- 1) È ( - 1;2) ë Câu 70 Đặt f ( x) = x2 - ( m- 1) x + m+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác ìï D > ïí ìï m2 - 6m- > ïï f ( 0) ¹ ùớ ợ ùùợ m+ Gọi khi: ïìï ém> ( *) ùớù ờm Û > 1Û >1 2 2 x1 x2 x1 x2 ( x1x2 ) ïìï m¹ - ( m- 1) - 2( m+ 2) 8m+ ( *) ï Û > Û < Û í ắắđ- m 0, " x Chọn C Chọn A 11 D ' = ( 2m - 1) - 3( m + 4) = 4m - 7m - 11 < Û - < x < Câu 72 Tam thức có Do (khơng dương) a =- nên f ( x ) ³ 0, " x Chọn D (không âm) Chọn B D = ( m + 2) - ( 8m +1) = m - 28m £ Û £ m £ 28 Câu 75 Tam thức có hệ số nên bất phương trình a =1 > f (x) = x2 - mx - m nghiệm với "x D = m + 4m £ Û - £ m £ f ( x) ³ 129 Chọn D Câu 76 Tam thức trình f ( x) < f ( x) = - x2 +( 2m- 1) x + m có tập nghiệm Chọn D Câu 77 Bất phương trình nghiệm với x ¡ có hệ số a= - 1< nên bất phương D = ( 2m- 1) + 4m= 4m2 +1< 0Û mẻ ặ f ( x) = x2 - ( m+ 2) x + m+ £ f ( x) > Tam thức có hệ số nên nghiệm a = 1> f ( x) = x2 - ( m+ 2) x + m+ f ( x) > với Chọn D x D = ( m + 2) - ( m + ) = m - < Û - < m < Câu 78 Tam thức f ( x) có hệ số a = m + > 0, " x nên f ( x) dương với x Chọn A D ¢= ( m +1) - ( m + 2) = 2m - < Û m < Câu 79 • Với , ta có : với x m= f ( x) =- 1< Vi mạ , yêu cầu toán Û ( m- 4) x2 +( 2m- 8) x + m- £ 0, " x Ỵ ¡ m- < ïìï ìïï m< Û í Û m< í ïï ( m- 4) - ( m- 4) ( m- 5) £ ïỵï m- £ ỵ Kết hợp hai trường hợp ta giá trị cần tìm Chọn A m£ ìï a < ùớ ùợù D Ê Cõu 80 Vi Vi m= mạ ùỡ m< Û ïí Û ïỵï D < Câu 81 • Với • Với thay vào ta f ( x) = < ( vô lý ) suy m= khơng thỏa , u cầu tốn ì m< ïíï Û ïïỵ m - 4m( m+ 3) < m= - m¹ - ïíïì ïỵï - ïìï m< m< ï ï Û í ém : với x Chọn B Û ( m+ 2) x2 + 2( m+ 2) x + m+ ³ 0, " x Ỵ ¡ 130 ïìï m+ > ïìï m+ > Û í Û m>- í ïï ( m+ 2) - ( m+ 2) ( m+ 3) £ ïỵï - m- £ ỵ Kết hợp hai trường hợp ta giá trị cần tìm Chọn A m³ - ïì a > Û ïí Û ïỵï D ' £ Câu 82 Xét bất phương trình TH1 Với ( 3m+1) x2 - ( 3m+1) x + m+ ³ ( *) 3m+1= Û m= - , bất phương trình ( *) trở thành 4- ³ (luôn đúng) TH2 Với bất phương trình nghiệm với x *) ( 3m+1¹ Û m¹ - , ìï 3m+1> ïì 3m+1> ïì a > Û ïí Û íï Û íï Û m>- ùùợ D ÂÊ ùù ( 3m+1) - 4( 3m+1) ( m+ 4) £ ïïỵ 3m2 + 46m+15 ³ ỵ Kết hợp hai trường hợp, ta giá trị cần tìm Chọn B m³ Câu 83 Xét m= 2 2m - 3m- = Û m=2 • Khi bất phương trình trở thành : khơng 1 - 5x - 1£ Û x ³ m= nghiệm với x • Khi • m= Khi bất phương trình trở thành ìï ùù mạ - ùù ùợ mạ - 1£ yêu : nghiệm với cầu Û ( 2m2 - 3m- 2) x2 + 2( m- 2) x - 1£ 0, " x Ỵ ¡ ìï ï £ m£ 2 ïìï D ' £ ìïï 3m - 7m+ £ ïïï Û í Û í Û í Û £ m< ïïỵ a < ïï 2m2 - 3m- < ïï ỵ ïï - < m< ïỵ Kết hợp hai trường hợp ta giá trị cần tìm Chọn B £ m£ 131 x toán Câu 84 • Xét m2 - = Û m= ±2 Với , bất phương trình trở thành m= - : không thỏa mãn - 4x +1< Û x > Với , bất phương trình trở thành : vơ nghiệm Do thỏa m= 1< m= mãn • Xét Yêu cầu tốn m2 - ¹ Û m¹ ±2 Û ( m2 - 4) x2 +( m- 2) x +1³ 0, " x Ỵ ¡ ìï m2 - > Û ïí Û ïï D = ( m- 2) - 4( m2 - 4) £ ïỵ Kết hợp hai trường hợp, ta Câu 85 xác định với xỴ ¡ f ( x) TH1: ì ïíï m - > Û ïï - 3m2 - 4m+ 20 £ ỵ 10 m£ m³ é 10 êm£ ê ê êm> ë Chọn A Û f ( x) ³ 0, " x Ỵ ¡ khơng thỏa f ( x) = 8x + ³ Û x ³ - ắắ đ m= - TH2: , yờu cầu tốn m¹ - ìï a > ïì m>- 20 Û ïí Û ïí Û £ m£ ïïỵ D £ ïïỵ 9m2 + 20m£ m= - Chọn B Câu 86 u cầu tốn · m=- Û f ( x) = ( m+1) x2 - 2( m+1) x + ³ 0, " x Ỵ ¡ ( 1) f ( x) = > 0, " x Ỵ ¡ : , · m¹ - thỏa mãn ïì m+1> ïìï m>- Û í ( 1) Û ïí ïì m>- Û ïí Û - 1< m£ ïỵï D ' £ îïï m - 2m- £ ïîï - 1£ m£ Kết hợp hai trường hợp ta Chọn A - 1£ m£ Câu 87 Ta có æ 5ö - 4x2 + 5x - = - ỗ 2x - ữ ữ ỗ ữ - 16 < ỗ ố 4ứ vi mi xẻ Ă 132 Do f ( x) = - x2 + 4( m+1) x +1- 4m2 - 4x2 + 5x - > 0, " x Ỵ ¡ Û - x2 + 4( m+1) x +1- 4m2 < 0, " x Î ¡ Chọn B ìï a = - 1< Û ïí Û 8m+ < Û m Û x > m= ® mãn , ta biện luận trường hợp câu Do thỏa mãn · m> m> , yêu cầu toán · m< D ' > m>- ắắ đ f ( x) = có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 Khi bất phương trình cho có nghiệm x Ỵ ( x1; x2 ) Do thỏa mãn Hợp trường hợp ta Chọn C 1 - < m< m>4 Câu 91 Tập nghiệm 2- x ³ S1 = ( - ¥ ;2] Tập nghiệm x2 - 4x + < Vậy tập nghiệm hệ Câu 92 Tập nghiệm Tập nghiệm Vậy tập nghiệm hệ Câu 95 Tập nghiệm S1 = ( - ¥ ;- 1) È ( 3;+¥ ) S2 = ( - ¥ ;4] È [ 7;+¥ ) là S1 = ( - ¥ ;1) U ( 3;+¥ ) S2 = ( - ¥ ;2) U ( 4;+¥ ) S = S1 I S2 = ( - ¥ ;1) U ( 4;+¥ ) x2 - 3x + £ x2 - 1£ Chọn C S = S1 Ç S2 = ( - ¥ ;- 1) È ( 3;4] È [ 7;+¥ ) x2 - 6x + 8> Câu 94 Tập nghiệm x2 - 4x + 3> Vậy tập nghiệm hệ Tập nghiệm S = S1 Ç S2 = ( 1;2] x2 - 11x + 28 ³ Câu 93 Tập nghiệm S1 = ( 1;3) x2 - 2x - 3> Vậy tập nghiệm hệ Tập nghiệm là S2 = [- 1;1] S1 = [1;2] 3x2 - 4x +1> Chọn B S = S1 I S2 = {1} Chn B ổ 1ử S1 = ỗ ữ ỗ- Ơ ; ữ ữẩ ( 1;+Ơ ) ỗ ố 3ø 134 Chọn D Tập nghiệm é2 ù S2 = ê ;1ú ê ë3 ú û Vậy tập nghiệm hệ Chọn C S = S1 Ç S2 = Ỉ Câu 96 3x2 - 5x + £ Tập nghiệm - 2x2 - 5x + < ỉ ỉ - 5- 57 ữ - 5+ 57 ữ ỗ ữ ữ ỗ ç S1 = ç ¥ ; È ; +¥ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 4 è ø è ø Tập nghiệm - x2 - 3x +10 > S2 = ( - 5;2) Vậy tập nghiệm hệ æ - 5- 57 ÷ ỉ - + 57 ÷ ữ ỗ ỗ S = S1 ầ S2 = ỗ - 5; ẩỗ ;2ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 4 ố ứ ố ứ Do giá trị nguyên Câu 97 Tập nghiệm Tập nghiệm x thuộc tập x2 - < S {- 4;1} Chọn C S1 = ( - 3;3) (x - 1)(3x2 + 7x + 4) ³ é- S2 = ê ;ê ë3 Vậy tập nghiệm hệ ù 1úU[1;+¥ ) ú û Chọn D é- ù S = S1 I S2 = ê ;- 1úU[1;3) ê ú ë û Câu 98 Tập nghiệm x2 - 7x + < S1 = ( 1;6) Tập nghiệm 2x- < Vậy tập nghiệm hệ là S2 = ( - 1;2) S = S1 I S2 = ( 1;2) Câu 99 Đáp án A Tập nghiệm Chọn A x2 - 2x - 3> S1 = ( - ¥ ;- 1) È ( 3;+¥ ) Tập nghiệm S2 = ¡ - 2x2 + x - 1< Vậy tập nghiệm hệ S = S1 Ç S2 = ( - ¥ ;- 1) È ( 3;+¥ ) Đáp án B Tập nghiệm x2 - 2x - < S1 = ( - 1;3) Tập nghiệm S2 = Ỉ - 2x2 + x - 1> Vậy tập nghiệm hệ S = S1 ầ S2 = ặ ỏp ỏn C Tp nghim x2 - 2x - > S1 = ( - ¥ ;- 1) È ( 3;+¥ ) 135 Tập nghiệm S2 = ¡ 2x2 + x +1> Vậy tập nghiệm hệ S = S1 Ç S2 = ( - ¥ ;- 1) È ( 3;+¥ ) Đáp án D Tập nghiệm x2 - 2x - 3< S1 = ( - 1;3) Tập nghiệm S2 = ¡ 2x2 - x +1> Vậy tập nghiệm hệ Chọn B S = S1 Ç S2 = ( - 1;3) Câu 100 Tập nghiệm Tập nghiệm Tập nghiệm x2 + 4x + ³ 2x2 - 5x + 3> Vậy tập nghiệm hệ Suy nghiệm nguyên Câu 101 Bất phương trình Bất phương trình Để ⇔− hệ bất 2x2 - x - 10 £ S1 = ( - ¥ ;- 3] U[- 1;+¥ ) é 5ù S2 = ê- 2; ú ê ë 2ú û æ3 S3 = ( - Ơ ;1) U ỗ ;+Ơ ỗ ỗ ố2 ữ ÷ ÷ ø æ3 5ù S = S1 I S2 I S3 = [- 1;1) U ỗ ; ỳ ỗ ç ú è2 2û {- 1;0;2} Chọn B ( 1) ⇔ −1 ≤ x ≤ m ( 2) ⇔ x < − phương là trình Suy vơ Suy  4 S1 =  −1;   3 m  S2 =  −∞; − ÷ 2  nghiệm S1 ∩ S = ∅ m ≤ −1 ⇔ m ≥ 2 Chọn C Câu 102 Bất phương trình Bất phương trình ( 1) ⇔ −1 ≤ x ≤ ( ) ⇔ x > m Suy Suy S1 = [ −1;1] S = ( m; +∞ ) Để hệ bất phương trình có nghiệm Chọn C Câu 103 Bất phương trình ( 1) ⇔ −3 < x < Suy S1 ∩ S ≠ ∅ ⇔ m < S1 = ( −3; ) 136 Bất phương trình có S = ( −∞; m − 1) Để hệ bất phương trình có nghiệm Chọn B S1 ∩ S2 ≠ ∅ ⇔ m − > −3 ⇔ m > −2 Câu 104 Bất phương trình cho tương tương với (do ) x2 - x +1> 0" x Ỵ ¡ - 9( x2 - x +1) < 3x2 + mx - < 6( x2 - x +1) ìï 12x2 +( m- 9) x + 3> ( 1) Û ïí ïï 3x - ( m+ 6) x +12 > ( 2) ïỵ u cầu (1) (2) nghiệm Û "xỴ ¡ ìï D ( 1) < ìïï ( m- 9) - 144 < ï Û í Û ïí Û - < m< ïï D ( 2) < ïï ( m+ 6) - 144 < ïỵ ïỵ Câu 105 Bất phương trình tương đương ìï 3x + x + + m ìï x + x + + m ³ ( 1) ïï ï ³ Û í ïï x - 3x + ïï 13x - 26 x +14 - m > ( 2) í ïỵ ïï 13x - 26 x +14 - m ïï > x2 - 3x + ïỵ u cầu (1) (2) nghiệm Û "xỴ ¡ ïìï D ( 1) £ Û í Û ïï D ( 2) < ïỵ ïìï 22 - 4.3( + m) £ Û í ïï 26 - 4.13( 14 - m) < ïỵ Câu 106 Bất phương trình - ïìï ï m³ í ïï ỵï m< Chọn A Suy x - 1> Û x > S1 = ( 1;+¥ ) Bất phương trình x - 2mx +1 £ Û x - 2mx + m £ m - Û ( x - m ) £ m - (điều kiện: Û - m2 - £ x - m £ m2 - Suy Û m- ém ³ m - 1³ Û ê ê ëm £ - ) 2 m - £ x £ m+ m - S2 = é mê ë m2 - 1;m+ m2 - 1ù ú û Để hệ có nghiệm Û m + m2 - >1 137 ⇔  1 − m <  m >    m − ≥  m ≤ −1 ∨ m ≥ ⇔ m > ⇔  1 − m ≥  m ≤     m − > ( − m )  m >  Đối chiếu điều kiện, ta thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C m> Câu 107 Điều kiện để (1) có nghiệm D ' = m³ Khi có tập nghiệm é ù ( 1) S1 = ê1- m;1+ mú ë û Ta thấy (2) có tập nghiệm S2 = [ m;m+1] m - > 1- m Û Hệ có nghiệm ìï m£ 1+ m 3+ Û S1 Ç S2 ¹ ỈÛ ïí Û £ m£ ïï 1- m £ m+1 ỵ Câu 108 Bất phương trình Suy S1 = [ −1; 4] ( 1) ⇔ −1 ≤ x ≤ Giải bất phương trình (2) Với bất phương trình (2) trở thành m −1 = ⇔ m = Với Suy m −1 > ⇔ m > Chọn B 0x ≥ bất phương trình (2) tương đương với   S2 =  ; +∞ ÷  m −1  Hệ bất phương trình : vơ nghiệm x≥ m −1 có nghiệm ≤4⇔m≥ m −1 Với m −1 < ⇔ m < Suy bất phương trình (2) tương đương với   S =  −∞; m −   x≤ m −1 Hệ bất phương trình có nghiệm ≥ −1 ⇔ m ≤ −1 m −1 Để hệ bất phương trình có nghiệm Câu 109 Bất phương trình ( 1) ⇔ −8 ≤ x ≤ −2 Suy m³ (không thỏa) Chọn B S1 = [ −8; −2] Giải bất phương trình (2) 138 Với Với m=0 m>0 Suy bất phương trình (2) trở thành 0x ≥ bất phương trình (2) tương đương với  3m +  S2 =  ; +∞ ÷  m  : vơ nghiệm 3m + x≥ m 3m + 1 > −2 ⇔ m > − m Hệ bất phương trình vơ nghiệm Với m < bất phương trình (2) tương đương với x≤ 3m + m 3m +   S2 =  −∞; m  Hệ bất phương trình vơ nghiệm  Suy 3m + −1 < −8 ⇔ m > m 11 Để hệ bất phương trình vơ nghiệm Câu 110 Bất phương trình ( 1) ⇔ ≤ x ≤ Suy Ta thấy (2) có tập nghiệm S2 = é a +1ê ë m>- S1 = [ 1;5] 11 Chọn C 2a ; a +1 + 2a ù ú û ìï a +1 + 2a ³ S1 ầ S2 ặ ùớ 0Ê a£ ïï a +1- 2a £ ỵ Hệ có nghiệm Chọn A 139 ... bất phương trình chứa tham số xét xem với giá trị tham số bất phương trình vơ nghiệm, bất phương trình có nghiệm tìm nghiệm II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn gồm số bất phương. .. Để giải bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi thành bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản mà ta viết tập nghiệm. .. giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất phương trình tương đương Ta biết hai bất phương trình có tập nghiệm (có thể rỗng)