Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc Các phơng pháp giải các bài toán chia hết Phần I: Tóm tắt lý thuyết I. Định nghĩa phép chia Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0 r | b| Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d. Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số d r {0; 1; 2; ; | b|} Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: ab hay b\ a Vậy: a b Có số nguyên q sao cho a = bq II. Các tính chất 1. Với a 0 a a 2. Nếu a b và b c a c 3. Với a 0 0 a 4. Nếu a, b > 0 và a b ; b a a = b 5. Nếu a b và c bất kỳ ac b 6. Nếu a b (a) (b) 7. Với a a (1) 8. Nếu a b và c b a c b 9. Nếu a b và cb a c b 10. Nếu a + b c và a c b c 11. Nếu a b và n > 0 a n b n 12. Nếu ac b và (a, b) =1 c b 13. Nếu a b, c b và m, n bất kỳ am + cn b 14. Nếu a b và c d ac bd 15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III. Một số dấu hiệu chia hết Gọi N = 011nn a .aaa 1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N 2 a 0 2 a 0 {0; 2; 4; 6; 8} + N 5 a 0 5 a 0 {0; 5} + N 4 (hoặc 25) 01 aa 4 (hoặc 25) + N 8 (hoặc 125) 01 aaa 2 8 (hoặc 125) 1 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc 2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 + N 3 (hoặc 9) a 0 +a 1 + +a n 3 (hoặc 9) 3. Một số dấu hiệu khác + N 11 [(a 0 +a 1 + ) - (a 1 +a 3 + )] 11 + N 101 [( 01 aa + 45 aa + ) - ( 23 aa + 67 aa + )] 101 + N 7 (hoặc 13) [( 01 aaa 2 + 67 aaa 8 + ) - [( 34 aaa 5 + 910 aaa 11 + ) 11 (hoặc 13) + N 37 ( 01 aaa 2 + 34 aaa 5 + ) 37 + N 19 ( a 0 +2a n-1 +2 2 a n-2 + + 2 n a 0 ) 19 IV. Đồng d thức a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dơng. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số d khi chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m. Ký hiệu: a b (modun) Vậy: a b (modun) a - b m b. Các tính chất 1. Với a a a (modun) 2. Nếu a b (modun) b a (modun) 3. Nếu a b (modun), b c (modun) a c (modun) 4. Nếu a b (modun) và c d (modun) a+c b+d (modun) 5. Nếu a b (modun) và c d (modun) ac bd (modun) 6. Nếu a b (modun), d Uc (a, b) và (d, m) =1 d b d a (modun) 7. Nếu a b (modun), d > 0 và d Uc (a, b, m) d b d a (modun d m ) V. Một số định lý 1. Định lý Euler Nếu m là 1 số nguyên dơng (m) là số các số nguyên dơng nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1 Thì a (m) 1 (modun) Công thức tính (m) Phân tích m ra thừa số nguyên tố m = p 1 1 p 2 2 p k k với p i p; i N * Thì (m) = m(1 - `1 1 p )(1 - 2 1 p ) (1 - k p 1 ) 2. Định lý Fermat Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì a p-1 1 (modp) 2 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc 3. Định lý Wilson Nếu p là số nguyên tố thì ( P - 1)! + 1 0 (modp) phần II: các phơng pháp giải bài toán chia hết 1. Phơng pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45 Giải Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để a56b 45 a56b 5 và 9 Xét a56b 5 b {0 ; 5} Nếu b = 0 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9 a + 11 9 a = 7 Nếu b = 5 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9 a + 16 9 a = 2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560 a = 2 và b = 5 ta có số 2560 Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó chia hết cho 9. Giải Gọi số đã cho là a Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số d 5a - a 9 4a 9 mà (4 ; 9) = 1 a 9 (Đpcm) Ví dụ 3: CMR số 1 số 81 111 111 81 Giải Ta thấy: 111111111 9 Có 1 số 81 111 111 = 111111111(10 72 + 10 63 + + 10 9 + 1) Mà tổng 10 72 + 10 63 + + 10 9 + 1 có tổng các chữ số bằng 9 9 10 72 + 10 63 + + 10 9 + 1 9 Vậy: 1 số 81 111 111 81 (Đpcm) Bài tập tơng tự 3 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho a. 34x5y 4 và 9 b. 2x78 17 Bài 2: Cho số N = dcba CMR a. N 4 (a + 2b) 4 b. N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẵn c. N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó. Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A = 192021 7980. Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao? Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao? Bài 6: Chứng tỏ rằng số 1 số 100 11 11 2 số 100 22 22 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: a. x = và y = 2 x = và y = 6 b. 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = 2 Bài 2: a. N4 ab 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4 b. N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵn c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mà (1000, 29) =1 dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Gọi ab là số có 2 chữ số Theo bài ra ta có: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vào (1) a = 3; b = 6 Bài 4: Có 1980 = 2 2 .3 2 .5.11 Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và 5 A 4 và 5 Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3+ +7).10+8 = 279 Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1+ +9).6+0 = 279 Có 279 + 279 = 558 9 A 9 4 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc 279 - 279 = 0 11 A 11 Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2. Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46. Bài 6: Có 1 số 100 11 11 2 số 100 22 22 = 1 số 100 11 11 0 số 99 02 100 Mà 0 số 99 02 100 = 3. 3 số 99 34 33 1 số 100 11 11 2 số 100 22 22 = 3 số100 33 33 3 số 99 34 33 (Đpcm) 2. Phơng pháp 2: Sử dụng tính chất chia hết * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n. CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp m + 1; m + 2; m + n với m Z, n N * Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; n - 1} * Nếu tồn tại 1 số d là 0: giả sử m + i = nq i ; i = n1, m + i n * Nếu không tồn tại số d là 0 không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n phải có ít nhất 2 số d trùng nhau. Giả sử: +=+ +=+ r qjn j m n j i;1 r nqi i m i - j = n(q i - q j ) n i - j n mà i - j< n i - j = 0 i = j m + i = m + j Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n Ví dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Giải a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn Số chẵn đó chia hết cho 2. Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2. Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3. Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1. Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6. 5 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9. Giải Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - 1 , n , n+1 Ta có: A = (n - 1) 3 + n 3 + (n + 1) 3 = 3n 3 - 3n + 18n + 9n 2 + 9 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n 2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) 3 (CM Ví dụ 1) 3(n - 1)n (n + 1) 9 mà + 918 9)1(9 2 n n A 9 (ĐPCM) Ví dụ 3: CMR: n 4 - 4n 3 - 4n 2 +16n 3 84 với n chẵn, n4 Giải Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2 Ta có n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n = 16k 4 - 32k 3 - 16k 2 + 32k = đặt 16k(k 3 - 2k 2 - k + 2) = đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1) Với k 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4. (k - 2)(k - 1)(k + 1)k 8 Mà (k - 2) (k - 1)k 3 ; (3,8)=1 (k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24) Vậy n 4 - 4n 3 - 4n 2 +16n 384 với n chẵn, n 4 Bài tập tơng tự Bài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) 6 b. n 5 - 5n 3 + 4n 120 Với n N Bài 2: CMR: n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n 24 Với n Z Bài 3: CMR: Với n lẻ thì a. n 2 + 4n + 3 8 b. n 3 + 3n 2 - n - 3 48 c. n 12 - n 8 - n 4 + 1 512 Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p 2 - 1 24 Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27. Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] 6 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) 6 b. n 5 - 5n 3 + 4n = (n 4 - 5n 2 + 4)n = n(n 2 - 1) (n 2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bài 2: n 4 + 6n 3 + 6n + 11n 2 = n(n 3 + 6n 2 + 6 + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bài 3: a. n 2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) 8 b. n 3 + 3n 2 - n - 3 = n 2 (n + 3) - (n + 3) = (n 2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 c. n 12 - n 8 - n 4 + 1 = n 8 (n 4 - 1) - (n 4 - 1) = (n 4 - 1) (n 8 - 1) = (n 4 - 1) 2 (n 4 + 1) = (n 2 - 1) 2 (n 2 - 1) 2 (n 4 + 1) = 16[k(k + 1) 2 (n 2 + 1) 2 (n 4 + 1) Với n = 2k + 1 n 2 + 1 và n 4 + 1 là những số chẵn (n 2 + 1) 2 2 n 4 + 1 2 n 12 - n 8 - n 4 + 1 (2 4 .2 2 . 2 2 . 1 . 2 1 ) Vậy n 12 - n 8 - n 4 + 1 512 Bài 4: Có p 2 - 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3 p 3 ta có: (p - 1) (p + 1) 8 và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k N) (p - 1) (p + 1) 3 Vậy p 2 - 1 24 Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1; n + 2; ; n + 1989 (1) trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; ; n + 999 có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n 0 , khi đó n 0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của n 0 là s khi đó 27 số n 0 , n 0 + 9; n 0 + 19; n 0 + 29; n 0 + 39; ; n 0 + 99; n 0 + 199; n 0 + 899 (2) Có tổng các chữ số lần lợt là: s; s + 1 ; s + 26 Có 1 số chia hết cho 27 (ĐPCM) * Chú ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 Các số ở (2) nằm trong dãy (1) 3. Phơng pháp 3: xét tập hợp số d trong phép chia 7 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc Ví dụ 1: CMR: Với n N Thì A (n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6 Giải Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn. Với n N A (n) 2 Ta chứng minh A (n) 3 Lấy n chia cho 3 ta đợc n = 3k + 1 (k N) Với r {0; 1; 2} Với r = 0 n = 3k n 3 A (n) 3 Với r = 1 n = 3k + 1 2n + 7 = 6k + 9 3 A (n) 3 Với r = 2 n = 3k + 2 7n + 1 = 21k + 15 3 A (n) 3 A (n) 3 với n mà (2, 3) = 1 Vậy A (n) 6 với n N Ví dụ 2: CMR: Nếu n 3 thì A (n) = 3 2n + 3 n + 1 13 Với n N Giải Vì n 3 n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3} A (n) = 3 2(3k + r) + 3 3k+r + 1 = 3 2r (3 6k - 1) + 3 r (3 3k - 1) + 3 2r + 3 r + 1 ta thấy 3 6k - 1 = (3 3 ) 2k - 1 = (3 3 - 1)M = 26M 13 3 3k - 1 = (3 3 - 1)N = 26N 13 với r = 1 3 2n + 3 n + 1 = 3 2 + 3 +1 = 13 13 3 2n + 3 n + 1 13 với r = 2 3 2n + 3 n + 1 = 3 4 + 3 2 + 1 = 91 13 3 2n + 3 n + 1 Vậy với n 3 thì A (n) = 3 2n + 3 n + 1 13 Với n N Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2 n - 1 7 Giải Lấy n chia cho 3 ta có n = 3k + 1 (k N); r {0; 1; 2} Với r = 0 n = 3k ta có 2 n - 1 = 2 3k - 1 = 8 k - 1 = (8 - 1)M = 7M 7 với r =1 n = 3k + 1 ta có: 2 n - 1 = 2 8k +1 - 1 = 2.2 3k - 1 = 2(2 3k - 1) + 1 mà 2 3k - 1 7 2 n - 1 chia cho 7 d 1 với r = 2 n = 3k + 2 ta có : 2 n - 1 = 2 3k + 2 - 1 = 4(2 3k - 1) + 3 mà 2 3k - 1 7 2 n - 1 chia cho 7 d 3 Vậy 2 3k - 1 7 n = 3k (k N) Bài tập tơng tự 8 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc Bài 1: CMR: A n = n(n 2 + 1)(n 2 + 4) 5 Với n Z Bài 2: Cho A = a 1 + a 2 + + a n B = a 5 1 + a 5 2 + + a 5 n Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n 2 - 1 24 Với n Z Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 2 2n + 2 n + 1 7 Bài 5: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m 4 + 1 = n 2 CMR: mn 55 Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: + A (n) 6 + Lấy n chia cho 5 n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4} r = 0 n 5 A (n) 5 r = 1, 4 n 2 + 4 5 A (n) 5 r = 2; 3 n 2 + 1 5 A (n) 5 A (n) 5 A (n) 30 Bài 2: Xét hiệu B - A = (a 5 1 - a 1 ) + + (a 5 n - a n ) Chỉ chứng minh: a 5 i - a i 30 là đủ Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + 1 (k N) Với r {1} r = 1 n 2 - 1 24 Bài 4: Xét n = 3k + r (k N) Với r {0; 1; 2} Ta có: 2 2n + 2 n + 1 = 2 2r (2 6k - 1) + 2 r (2 3k - 1) + 2 2n + 2 n + 1 Làm tơng tự VD3 Bài 5: Có 24m 4 + 1 = n 2 = 25m 4 - (m 4 - 1) Khi m 5 mn 5 Khi m 5 thì (m, 5) = 1 m 4 - 1 5 (Vì m 5 - m 5 (m 4 - 1) 5 m 4 - 1 5) n 2 5 n i 5 Vậy mn 5 4. Phơng pháp 4: sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử Giả sử chứng minh a n k Ta có thể phân tích a n chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k. Ví dụ 1: CMR: 3 6n - 2 6n 35 Với n N Giải Ta có 3 6n - 2 6n = (3 6 ) n - (2 6 ) n = (3 6 - 2 6 )M 9 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc = (3 3 + 2 3 ) (3 3 - 2 3 )M = 35.19M 35 Vậy 3 6n - 2 6n 35 Với n N Ví dụ 2: CMR: Với n là số tự nhiên chăn thì biểu thức A = 20 n + 16 n - 3 n - 1 232 Giải Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minh A 17 và A 19 ta có A = (20 n - 3 n ) + (16 n - 1) có 20 n - 3 n = (20 - 3)M 17M 16 n - 1 = (16 + 1)M = 17N 17 (n chẵn) A 17 (1) ta có: A = (20 n - 1) + (16 n - 3 n ) có 20 n - 1 = (20 - 1)p = 19p 19 có 16 n - 3 n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chẵn) A 19 (2) Từ (1) và (2) A 232 Ví dụ 3: CMR: n n - n 2 + n - 1 (n - 1) 2 Với n >1 Giải Với n = 2 n n - n 2 + n - 1 = 1 và (n - 1) 2 = (2 - 1) 2 = 1 n n - n 2 + n - 1 (n - 1) 2 với n > 2 đặt A = n n - n 2 + n - 1 ta có A = (n n - n 2 ) + (n - 1) = n 2 (n n-2 - 1) + (n - 1) = n 2 (n - 1) (n n-3 + n n-4 + + 1) + (n - 1) = (n - 1) (n n-1 + n n-2 + + n 2 +1) = (n - 1) [(n n-1 - 1) + +( n 2 - 1) + (n - 1)] = (n - 1) 2 M (n - 1) 2 Vậy A (n - 1) 2 (ĐPCM) Bài tập tơng tự Bài 1: CMR: a. 3 2n +1 + 2 2n +2 7 b. mn(m 4 - n 4 ) 30 Bài 2: CMR: A (n) = 3 n + 63 72 với n chẵn n N, n 2 Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phơng lẻ liên tiếp CMR: a. (a - 1) (b - 1) 192 Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p 4 - 1 240 Bài 5: Cho 3 số nguyên dơng a, b, c và thoả mãn a 2 = b 2 + c 2 CMR: abc 60 Hớng dẫn - Đáp số Bài 1: a. 3 2n +1 + 2 2n +2 = 3.3 2n + 2.2 n = 3.9 n + 4.2 n 10 [...]... 60 = 3.4.5 Đặt M = abc Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều d 1 a2 b2 + c2 Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 Vậy M 3 Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 a2, b2 và c2 chia 5 d 1 hoặc 4 b2 + c2 chia 5 thì d 2; 0 hoặc 3 a2 b2 + c2 Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5 Vậy M 5 Nếu a, b, c là các số lẻ b2 và c2 chia hết cho 4 d 1 b2 + c2 (mod 4) a2 b2 + c2... Phơng pháp chứng minh chia hết Phơng pháp 1: Dùng tính chất Trong n ( n 1) số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n Ví dụ 1: a) Tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 + 11n6 a) Ta có 120 = Giải 3 2 3.5 20 Nguyễn Văn Tam Trờng TH Hợp Lý Lập Thạch Vĩnh Phúc Trong 5 số nguyên liên tiếp phải có 2 số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho... nên tích chia hết cho 8 Mặt khác trong 5 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5 nên tích chia hết cho 3 5 mà (3,5,8) = 1 Vậy tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120 b) Ta có : n3 + 11n = n3 n + 12n = n(n 1)(n + 1) + 12n 6 Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích ( n-1) n (n+1) 6 Phơng pháp 2: Dùng công thức khai triển a n b n a b, (a b)n N a n + b n... số 1991; 19911991 ; ; 1991 1991 chia cho 1992 Vì đây là 1992 so1991 dãy các số lẻ nên không có số nào chia hết cho 1992, do đó d trong phép chia các số này cho 1992 chỉ thể là 1; 2; ; 1991 Vậy phải có 2 số có cùng d khi chia cho 1992, hiệu 2 số đó có dạng 19911991 19910 0 và chia hết cho 1992 b) Lấy 8 số đã cho chia cho 7 thì có 2 số có cùng số d, giả sử là abc và def chia cho 7 có số d là r Khi đó... và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và cho 3 1) Các dấu hiệu chia hết đơn giản a Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125 an an 1 a1a0 2 a0 2 a0 = 0; 2; 4;6;8 an an 1 a1a0 a0 = 0;5 5 an an 1 a1a0 4 ( hoặc 25) a1a0 4 ( hoặc 25) an an 1 a1a0 ( hoặc 125) a2 a1a0 ( hoặc 125) 8 8 b) Chia hết cho 3; 9 3 an an 1 a1a0 (hoặc 9) a0 + a1 + + an ( hoặc 9) 3 Nhận xét: D trong phép chia N cho 3 ( hoặc 9)... bài tập khác về chia hết 1) Chứng minh không chia hết - Nếu a b và bc thì a c - Nếu a c và b c thì c b c - Nếu abp thì a p hoặc bp với p là số ngyuên tố - Số chính phơng( là bình phơng của số tự nhiên ) chia hết cho số nguyên tố p thì sẽ chia hết cho p2 Vậy nếu np nhng n p 2 thì n là số chính phơng Ví dụ 11 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : a) n 2 + n + 1 9 b) n 2 + 11n + 39 49 Giải: 2 a)Với... + 15n 19 Phơng pháp 6: Dùng định lý Fermat Với P là số nguyên tố ta có: a p p(mod p) Đặc biệt nếu (a,p) =1 thì a p 1 1(mod p) Ví dụ 6: Chứng minh rằng 11991 + 21991 + + 19911991 11 Giải: Theo định lý Fermat : a11 a(mod11) a1991 a(mod11) Do đó : 11991 + 21992 + + 19911991 1 + 2 + + 1991 = 1991.966 0(mod11) Vấn đề 2: Dấu hiệu chia hết *Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và... tố (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 vô lý II Phép chia hết * Tóm tắt lý thuyết 1 Định lý về phép chia hết: a) Định lý Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý, b 0 , khi đó có 2 số nguyên q, r duy nhất sao cho : a = bq + r với 0 r b , a là só bị chia, b là số chia, q là thơng số và r là số d Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ớc của a, ký hiệu a b Vậy a có số... (kp - 1)(p - 1), k N đều chia hết cho p 8 Phơng pháp 8: sử dụng nguyên lý Đirichlet Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên Ví dụ 1: CMR: Trong n + 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n Giải Lấy n + 1 số nguyên đã cho chia cho n thì đợc n + 1 số d nhận 1 trong các số sau: 0; 1; 2; ; n - 1 có ít nhất 2 số d có cùng số d khi chia cho n 16 Nguyễn Văn... =80, ta có số 123480 2 Một số dấu hiệu chia hết khác a) Dấu hiệu chia hết cho 11: Cho A = a5 a4 a3a2 a1a0 A ( a0 + a2 + a4 + ) ( a1 + a3 + a5 + ) 11 11 Ví dụ 8 Tìm các chữ số x, y để N = 7 x36 y5 1375 Giải: Ta có: 1375 = 11.125 N 6 y 5 y = 2 125 125 N = 7 x3625 ( 5 + 6 + x ) ( 2 + 3 + 7 ) = 12 x x = 1 11 11 Vậy số cần tìm là 713625 b) Dấu hiệu chia hết cho 101 A = a5 a4 a3a2 a1a0 A ( a1a0 . phần II: các phơng pháp giải bài toán chia hết 1. Phơng pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45 Giải Ta thấy 45 =. không chia hết cho 3 a 2 , b 2 và c 2 chia hết cho 3 đều d 1 a 2 b 2 + c 2 . Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M 3 Nếu a, b, c đều không chia hết