Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên DẠNG TOÁN QUY LUẬT – DÃY SỐ - CHUN ĐỀ HSG TỐN Thực phép tính Error! Bookmark not defined a) Dạng tốn có quy luật: (Dãy cộng) Ví dụ 1: Ví dụ 2: Ví dụ 3: Ví dụ 4: Ví dụ 5:  Một số tập có giải  Bài tập tự luyện b) Dạng tốn có khơng có quy luật Bài 1: Tính tổng: Bài 2: Tính tổng: 10 Bài 3: Tính tổng: 11 Bài 4: Tính tổng: 13 Bài 5: Tính tổng: 14 Bài 6: Tính tổng: 16 Bài 7: Tính tổng: 17 Bài 8: Tính tổng: 19 c) Phương pháp dự đoán quy nạp 19 Bài tập áp dụng tổng hợp 20 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên a) Dạng tốn có quy luật: (Dãy cộng) Ở chủ đề 01: “TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN” có số tốn đưa dạng tốn có quy luật đan xen vào tính tổng dãy (phần tập tự luyện) Ở chủ đề này, mục xin đưa phép toán tập hợp số tự nhiên dạng tốn có quy luật Các em học sinh nghiên cứu bước giải ví dụ tính tốn sau: Muốn tính tổng dãy số có quy luật cách thường hướng dẫn học sinh tính theo bước sau: Bước 1: Tính số số hạng có dãy: Số số hạng  Số hạng cuối  Số hạng đầu Khoảng cách số hạng liên tiếp 1  Số hạng cuối  Số hạng đầu  Bước 2: Tính tổng dãy: Tổng dãy    Số số hạng   (quy tắc dân gian : dĩ đầu, cộng vĩ , chiết bán, nhân chi) Với dãy số tăng dần ta có: Số hạng cuối = số hạng lớn Số hạng đầu = số hạng bé Ở tập đây, dãy cộng với số tự nhiên đa phần ta gặp dãy tăng dần Ví dụ 1: Có số tự nhiên có hai chữ số ? Tính tổng chúng Hướng dẫn giải Cách 1: Các số tự nhiên có hai chữ số 10;11;12; ;99 Số số : 99  10   90 số Ta có : A  10  11  12   99(1) A  99  98   11  10 (2) Cộng (1) với (2) áp dụng tính chất giao hoán kết hợp phép cộng ta được: A  A  10  99   11  98     98  11   99  10   109  109   109  109 Nên 2A = 109.90 Do A  109.90 :  45.109  4905 Cách 2: Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Số số hạng dãy:  99 10   90 (khoảng cách số hạng liên tiếp dãy 1, số hạng đầu dãy 10, số hạng cuối dãy 99) Tổng dãy: 99  10 90  4905 Ví dụ 2: Tính giá trị A biết: A       2014 Hướng dẫn giải Dãy số có số số hạng là:  2014 – 1 :1   2014 (số hạng) Giá trị A là:  2014  1 2014 :  2029105 Đáp số: 2029105 Ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; Tìm số hạng thứ 2014 dãy số trên? Phân tích: Từ cơng thức Số số hạng  Số hạng cuối  Số hạng đầu Khoảng cách số hạng liên tiếp 1 Ta có:  Số số hạng  1 Khoảng cách số hạng liên tiếp   Số hạng cuối  Số hạng đầu  Số số hạng  1   Khoảng cách số hạng liên tiếp    Số hạng đầu  Số hạng cuối   Số hạng đầu  Số hạng cuối   Số số hạng  1   Khoảng cách số hạng liên tieáp   Hướng dẫn giải Số hạng thứ 2014 dãy số là:  2014 –1   4028 Đáp số: 4028 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Ví dụ 4: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn dãy 2019 ? Phân tích: Như tập số ta có: Với dãy số tăng dần ta có: Số hạng cuối = số hạng lớn Số hạng đầu = số hạng bé Số hạng đầu  Số hạng cuối   Số số hạng  1   Khoảng cách số hạng liên tiếp   Hướng dẫn giải Số hạng bé dãy số là: 2019   50 – 1  1921 Tổng 50 số lẻ cần tìm  2019  1921 50 :  98500 Đáp số: 98500 Ví dụ 5: Một dãy phố có 15 nhà Số nhà 15 nhà đánh số lẻ liên tiếp, biết tổng 15 số nhà dãy phố 915 Hãy cho biết số nhà dãy phố số ? Phân tích: Dựa vào cơng thức với dãy số có quy luật tăng dần: Bước 1: Số số hạng  Số hạng cuối  Số hạng đầu Khoảng cách số hạng liên tiếp 1 Suy ra:  Số số hạng  1 Khoảng cách sốhạng liên tiếp   Số hạng cuối  Số hạng đầu  Số hạng cuối  Số hạng đầu  Bước 2: Tổng dãy    Số số hạng   Suy ra:  2.Tổng dãy  :  Số số hạng   Số hạng cuối  Số hạng đầu Bài tốn cho biết số số hạng 15, khoảng cách số hạng liên tiếp dãy tổng dãy số 915 Từ bước học sinh tính hiệu tổng số nhà đầu số nhà cuối Từ ta hướng dẫn học sinh chuyển tốn dạng tìm số bé biết tổng hiêu hai số Hướng dẫn giải Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Hiệu số nhà cuối số nhà đầu là: 15  1  28 Tổng số nhà cuối số nhà đầu là: 915 :15  122 Số nhà dãy phố là: 122  28  :  47 (bài toán tổng hiệu quen thuộc) Đáp số: 47 CÂU CHUYỆN VỀ VUA TỐN HỌC GAUSS Ba tuổi, thiên tài tính tốn bộc lộ Gauss; Bảy tuổi đến trường khiến cho giáo viên phải kinh ngạc trước khả tốn học Mười chín tuổi, Gauss tâm trở thành nhà tốn học Khó ngành tốn học mà lại khơng có đóng góp ơng “Vua tốn học” Carl Friedrich Gauss Gauss sinh gia đình người sửa ống nước kiêm nghề làm vườn vào mùa xuân năm 1777 Người ta kể câu chuyện thời thơ ấu ông sau: Cha Gauss thường nhận thầu khốn cơng việc để cải thiện đời sống Ơng hay tốn tiền nong vào chiều thứ bảy Lần ấy, ông vừa đọc xong bảng tốn từ phía giường trẻ có tiếng Gauss gọi: - Cha ơi, cha tính sai rồi, phải đúng… Mọi người không tin, kiểm tra lại Gauss tính Khi ấy, Gauss tròn tuổi Có thể nói, Gauss học tính trước học nói Những ngày đầu đến trường, Gauss khơng có đặc biệt so với trò khác Nhưng tình hình thay đổi hẳn nhà trường bắt đầu dạy môn số học Một lần, thầy giáo cho lớp tốn tính tổng tất số nguyên từ – 100 Khi thầy vừa đọc phân tích đầu Gauss lên tiếng: - Thưa thầy, em giải xong rồi! Thầy giáo không để ý đến Gauss, dạo quanh bàn nói chế nhạo: - Carl, em sai đấy, giải nhanh tốn khó đâu! - Thầy tha lỗi cho em, em giải ạ! Em nhận thấy dãy số có tổng hai số cặp số đứng cách phía đầu phía cuối dãy số nhau: 100 + = 99 + = 98 + =… 50 = 51 = 101 Có 50 tổng nên kết = = 3= … = 101 * 50 = 5050 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Thầy giáo ngạc nhiên thấy Gauss giải tốn cách xác tuyệt đối, mà cách giải lại vơ độc đáo Từ đó,Gauss người biết đến thiên tài toán học Ngay năm trường Đại học Tổng hợp Gottinghen, Gauss đưa cách dựng đa giác 17 cạnh thước kẻ compa Đây phát quan trọng, nên sau người ta theo di chúc ông mà khắc mộ ông đa giác 17 cạnh nội tiếp đường tròn Sau này, nhờ có nghệ thuật tính toán mà Gauss phát hành tinh Vào đầu kỷ XIX, nhà thiên văn học người Italia phát hành tinh gọi Xexera Ơng quan sát khơng lâu, sau dịch lại gần mặt trời bị lẫn vào tia sáng mặt trời Những thí nghiệm nhà thiên văn không đạt kết nữa, họ khơng nhìn thấy chỗ mà theo dự đốn phải hành trình đến Các kính viễn vọng bất lực Nhưng Gauss, với số liệu quan sát ban đầu, ơng tính quỹ đạo hành tinh vị trí với độ xác cao Nhờ thế, nhà thiên văn tìm thấy Xexera Về sau, theo cách này, người ta tìm nhiều hành tinh khác Sau cơng trình thiên văn kiệt xuất đó, Gauss xem nhà toán học vĩ đại giới tơn “Ơng hồng tốn học” C F Gauss thọ 78 tuổi, đời ông cống hiến vĩ đại cho ngành toán học nhân loại Cho đến tận ngày nay, câu chuyện khả tính tốn thiên bẩm Gauss kể huyền thoại  Một số tập có giải Bài 1: Tính A      2013  2014 Hướng dẫn giải Số số hạng là: Tổng dãy:  2014 –  :   2010  2014   2010  2029095 Bài 2: Cho S    11  97  99 a) Tính tổng S b) Tìm số hạng thứ 33 tổng Hướng dẫn giải + Số hạng đầu là: số hạng cuối là: 99 + Khoảng cách hai số hạng là: Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số ngun + S có số số hạng tính cách:  99 –  :   47 Tổng dãy: S   99   47 :  2491 (cách viết khác hay sử dụng: S  b) Số hạng thứ 33 tổng :  99   47  2491 )  33 –1   71 Bài 3: Cho dãy số 2;7;12;17;22;… a) Nêu quy luật dãy số c) Viết tập hợp B gồm số hạng liên tiếp dãy số đó, số hạng thứ năm c) Tính tổng 100 số hạng dãy số Hướng dẫn giải Xét dãy số 2;7;12;17;22;… a) Quy luật: Dãy số cách với khoảng cách b) B  22; 27;32;37; 42 c) Gọi số hạng thứ 100 dãy x, ta có: ( x  2) :   100  x  497 Do tổng 100 số hạng đầu dãy là: (2  497) 100 :  24950 Bài 4: Người ta viết liền số tự nhiên 123456… a) Hỏi chữ số đơn vị số 53; 328; 1587 đứng hàng thứ bao nhiêu? b) Chữ số viết hang thứ 427 chữ số nào? Hướng dẫn giải Viết liền số tự nhiên 123456… a) chữ số đầu tiên: 1, 2, …, 44 số có hai chữ số tiếp theo: 10, 11, …, 53  Chữ số hàng đơn vị số 53 hàng số:  44.2  97 Tương tự, chữ số hàng đơn vị số 328 hàng số  90.2  229.3  876 ; chữ số hàng đơn vị số 1587 hàng số  90.2  900.3  588.4  5241 b) Chữ số viết hàng thứ 427 chữ số (chữ số hàng trăm số 179) Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên  Bài tập tự luyện Bài 1: Tính tổng A      2015 B      1017 C      2014 D      2008 Bài 2: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ; 2014 a, Tính tổng dãy số trên? b, Tìm số hạng thứ 99 dãy? c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số khơng? Vì sao? Bài 3: Tìm tổng số chẵn có chữ số ? Bài 4: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn dãy 2010? Bài 5: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu số 1? Bài 6: Tính tổng: + 5+ + 13 + biết tổng có 100 số hạng? Bài 7: Một dãy phố có 20 nhà Số nhà 20 nhà đánh số chẵn liên tiếp, biết tổng 20 số nhà dãy phố 2000 Hãy cho biết số nhà cuối dãy phố số nào? b) Dạng tốn có khơng có quy luật Bài 1: Tính tổng: a) A  20  21  22  23    210 b) B   20141  20142  20143    20142014  20142015 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Hướng dẫn giải a) A  20  21  22  23    210 A  21  22  23    210  211 - A  20  21  22  23    210 Tài liệu Tốn – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên 211  2A – A    1 11 A  211 –  2047 b) B   20141  20142  20143    20142014  20142015 - B 2014.B  20141  20142  20143  20144  20142015  20142016 B   20141  20142  20143   20142014  20142015 2014.B – B  20142016  20142016  2014 2016   2014  2013 c) S n  a  a1  a  a    a n  a n 1  ( n ; a  1; a  ) a 1 Nhận xét: Từ tốn tổng qt ta vận dụng để giải toán tương tự tổng có nhều số hạng nhanh chóng thuận tiện toán liên quan khác * Một số lưu ý dạy toán dạng này: - Ta thấy biểu thức cần tính tổng dãy số số hạng có số, số mũ dãy số cách tăng dần Vấn đề đặt nhân hai vế biểu thức với số để trừ cho biểu thức ban đầu loạt lũy thừa bị triệt tiêu? - Trong toán ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với số lũy thừa biểu thức thực phép trừ biểu thức cho biểu thức ban đầu ta tìm tổng (có thể để dạng biểu thức) câu a; câu b; - Đối với tập dạng Hs nhận biết cần nhân vế biểu thức với số *Cơng thức tổng qt: A   a  a  a3  a    a n Nhân hai vế A với a ta có a A  a  a  a3  a   a n  a n1 aA – A  a – 1 A  a n 1 – Vậy A   a n  – 1 :  a – 1 với  a   Từ ta có cơng thức : a n 1 –   a – 1   a  a  a   a n  * Bài tập vận dụng: Tính tổng a) A     73   2007 Tài liệu Tốn – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên b) B    42  43   4100 c) Chứng minh : 1414 – Chia hết cho 13 d) Chứng minh rằng: 20152015 – Chia hết cho 2014 Bài 2: Tính tổng: a) A   32  34  36  38   3100 b) B   73  75  77  79   799 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Hướng dẫn giải Nhận xét: Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để trừ cho A loạt lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 a) A   32  34  36  38   3100 32 A  32  34  36  38   3100  3102 - A   32  34  36  38   3100 32 A  A  3102  Với A  32  1  3102   A  3102   A  3102  b) B   73  75  77  79   799 72 B  73  75  77  79   799  7101 - B   73  75  77  79   799 72 B  B  7101  Với B   1  7101 –  B  7101 – 48 c) * Công thức tổng quát: A   a  a  a6  a8   a n a A  a  a  a  a8   a n  a n  - A   a  a  a6  a8   a n a A  A  a 2n2  A  a  1  a n   Tài liệu Tốn – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 10 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số ngun Từ ta có cơng thức :  a  a  a  a   a n   a n  –1 :  a  1 * Công thức tổng quát: B  a  a3  a5  a  a9   a n1 a B  a3  a5  a7  a9   a n1  a n  - B  a  a3  a5  a7  a9   a n1 a B  B  a n 3  a B  a  1  a n 3  a Từ ta có cơng thức: a  a  a  a  a   a n 1  a 2n  – a  :  a  1 * Bài tập vận dụng: Tính tổng C   22  24  26  28  210   2200 D   42  44  46  48  410   4300 E   53  55  57  59   5101 F  13  133  135  137  139   13199 Bài 3: Tính tổng: a) A  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9 b) B  9.10  10.11  11.12   98.99 c) Viết cơng thức tổng qt cách tính tổng Hướng dẫn giải Nhận xét : Khoảng cách thừa số số hạng dạng Nên ta nhân vế A với lần khoảng cách a) Ta có: A  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8 + 8.9   1.2     2.3   1  3.4     4.5   3  5.6      8.9 10    1.2.3 1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5   -7.8.9+8.9.10  8.9.10  720 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 11 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Vậy A  720 :  240 Ta ý tới đáp số 720  8.9.10 , 8.9 số hạng cuối A 10 số tự nhiên kề sau 9, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp b) Cách 1: B  9.10  10.11  11.12   98.99 Với C  1.2  2.3  9.10  10.11  11.12  89.99 ta có: C  A  B  B  C  A Dễ dàng tính 3C  98.99.100 , theo câu a ta có A  8.9.10  720 Vậy B  98.99.100  8.9.10  323160 Cách 2: 3B   9.10  10.11  11.12   98.99  = 9.10(11  8)  10.11(12  9)  11.12(13  10)   98.99(100  97) =  8.9.10  9.10.11  9.10.11  10.11.12  10.11.12  11.12.13   97.98.99  98.99.100  98.99.100  8.9.10 B 98.99.100  8.9.10  323160 c) *Công thức tổng quát: A  1.2  2.3  n  1 n   n  1 n  n  1 : * Bài tập vận dụng: Tính tổng A  1.2  2.3  3.4    199.200 B  1.3  3.5  5.7    97.99 C  2.4  4.6  6.8    98.100 D  51.52  52.53  53.54    99.100 (Gợi ý: Bài B C khoảng cách thừa số số hạng 2) Hướng dẫn giải câu B B  1.3  3.5  5.7    97.99  B  1.3  3.5.6  5.7.6    97.99.6 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 12 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên 6B  1.3.(5  1)  3.5.(7  1)  5.7.(9  3)    97.99.(101  95) 6B  1.3.1  1.3.5  1.3.5  3.5.7  5.7  5.7.9     95.97.99  97.99.101 6B   97.99.101  B  161651 Bài 4: Tính tổng: a) A  12  32  52  72    992 b) C  22  42  62   1002 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Hướng dẫn giải a) A  12  32  52  72    992 Xét B  1.2  2.3  3.4    99.100 B  0.1  1.2  2.3  3.4    99.100 B                99  98  100  B  1.1.2  3.3.2  5.5.2    99.99.2 B  12  32  52   99   A Theo cách giải Bài ta có B  Vậy B  99.100.101 99.100.101  12  32  52   992   A.2 Vậy ta có: A  B 99.100.101   166650 b) C  22  42  62   1002 Xét D  1.2  2.3  3.4  4.5  5.6  6.7   100.101  1.2  2.3   3.4  4.5    5.6  6.7   7.8  8.9    99.100  100.101 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 13 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên    3           100  99  101  2.4  4.8  6.12   100.200  2.2.2  2.4.4  2.6.6   2.100.100 = 2.22  2.42  2.6   2.1002   22  42  62   1002  D   2  42  62   100   2.C Theo cách giải Bài ta có ta có: D  C 100.101.102 D 100.101.102   171700 c) * Công thức tổng quát: A  12  32  52      2n  1   2n  1 2n   2n  3 : *Công thức tổng quát: C  22     2n   2n  2n  1  2n   : * Bài tập vận dụng: Tính tổng M  112  132  152    20192 N  202  222    482  502 P  n2   n  2  n      n  100  ;  n   * Bài 5: Tính tổng: a) A  12  22  32    1002 b) B  12  22  32    992 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 14 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên c) Viết cơng thức tổng qt cách tính tổng Hướng dẫn giải a) A  12  22  32    1002 Cách 1: A  12  22  32    1002 A  12  32  52    99   Theo kết Bài ta có A  2      1002   99.100.101  100.101.102  : A  100.101  99  102  :  100.101  2.100  1 : Cách 2: A  12  22  32    1002 A  1.1  2.2  3.3  4.4    100.100 A    1    1    1    100 100  1  1 A  1.2   2.3   3.4   4.5   +100.(100+1)  100 A  1.2  2.3  3.4  4.5   100 100   – (       100) A  100.101.102 : – 100.101:  100.101  2.100  1 : b) B  12  22  32    992 Cách 1: B  12  22  32    992 B  12  32  52    99    22  42  62    982  B   99.100.101  98.99.100  : B  99.100  98  101 :  99.100  2.99  1 : Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 15 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Cách 2: B  12  22  32    992 B  1.1  2.2  3.3  4.4    99.99 B    1    1    1    99  99  1  1 B  1.2   2.3   3.4   4.5   +99.(99+1)  99 B  1.2  2.3  3.4  4.5   99  99   – (       100) B  99.100.101: – 99.100 :  99.100 101: – 1:   99.100  2.99  1 : c) *Công thức tổng quát: A 12  22  32    n  n  n  1 2n  1 : * Bài tập vận dụng: Tính tổng M   22  32  42  52   9992 P     16  25  36   10000 Q   12  22 – 32  42    192  202 Bài 6: Tính tổng: a) A  1.2.3  2.3.4    7.8.9  8.9.10 b) B  1.3.5  3.5.7  5.7.9  95.97.99 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng A Hướng dẫn giải Nhận xét: ta nhân hai vế A với lần khoảng cách hạng tử có thừa số Ta giải tốn sau : a) A  1.2.3  2.3.4    7.8.9  8.9.10 A  1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6  5.6.7  6.7.8  7.8.9  8.9.10  Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 16 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên A  1.2.3  –   2.3.4  –1    8.9.10 11 –   A  1.2.3.4 – 1.2.3.4  2.3.4.5 – 2.3.4.5   – 7.8.9.10  8.9.10.11 A  8.9.10.11 Vậy A  8.9.10.11:  1980 :  495 b) B  1.3.5  3.5.7  5.7.9  95.97.99 8B  1.3.5.8  3.5.7.8  5.7.9.8    95.97.99.8 B  1.3.5   1  3.5.7   1  5.7.9 11  3    95.97.99 101  93 8B  1.3.5.7  15  3.5.7.9  1.3.5.7  5.7.9.11  3.5.7.9  95.97.99.101  93.95.97.99 8B  15  95.97.99.101 c) *Công thức tổng quát: A  1.2.3  2.3.4  3.4.5     n –1 n  n  1   n  1 n  n  1 (n  2) * Bài tập vận dụng: Tính tổng A  1.2.3  2.3.4  3.4.5   99.100.101 B  9.10.11   99.100.101 C  1.3.5  3.5.7  5.7.9  2015.2017.2019 D  2.4.6  4.6.8   96.98.100 Bài 7: Tính tổng: a) A  1³  2³  3³  4³  5³   100³ b) Viết cơng thức tổng qt cách tính tổng A Hướng dẫn giải Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 17 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Nhận xét: Ta có: n –  n – 1 n  1 n3 – n  n  n – 1  n  n – 1  n  1   n – 1 n  n  1 a) A  1³  2³  3³  4³  5³   100³ A  13 –1  23 –  33 –  43 –  53 –  1003 –100      100  A    22 –1   32 –1   42 –1   100 100 – 1  1     100  A   1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6   100 –1 100 100  1  1     100  Theo kết Bài ta có: (100  1).100.(100  1).(100  2) 100.(100  1)  100(100  1)  A      2   Theo kết Bài ta có: 1.2.3  2.3.4  3.4.5     n – 1 n  n  1   n  1 n  n  1 (n  2) (100  1).100.(100  1).(100  2) 100.(100  1)  100(100  1)  Vậy A       2   A  n 1 n  n  1 n  2  n  n  1  n   n  1 n      2   n  1  n2  n   n(n  1) n (n  1)  n(n  1)  A  n(n  1)  n(n  1)    4 22   Nhận xét Với 2 n  n  1        n nên ta có cơng thức tổng quát sau: A  1³  2³  3³  4³  5³  n³  (      n )² Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 18 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Bài 8: Tính tổng: A  1.22  2.32  3.42    99.1002 Hướng dẫn giải A  1.2   1  2.3   1  3.4   1    99.100 101  1  1.2.3  1.2  2.3.4  2.3  3.4.5  3.4    99.100.101  99.100  1.2.3  2.3.4    99.100.101  1.2  2.3  3.4    99.100  Áp dụng kiến thức Bài 3, Bài ta có: 1.2.3  2.3.4  3.4.5    1.2  2.3  Vậy A  n  n – 1 n  n  1   n  1 n  n  1 (n  2)  1 n   n  1 n  n  1 : 99.100.101.102 99.100.101  c) Phương pháp dự đoán quy nạp Trong số trường hợp gặp toán dạng tổng hữu hạn Sn  a1  a2  an Bằng cách ta biết kết (dự đốn, toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp để giải tốn Ví dụ : Tính tổng S n       n  1 Hướng dẫn giải Thử trực tiếp ta thấy : S1  S2    22 S      32 Tài liệu Tốn – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 19 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên Sn  n2 Ta dự đoán Với n  1; 2; 3 ta thấy kết đúng, giả sử với n  k ( k  1) ta có: Sk  k (2) Ta cần chứng minh S k 1   k  1 (3) Thật ; cộng hai vế (2) với 2k  ta có     k   2k  2k – 1   1  k k  1  k    2k  1  1 nên ta có (3) tức S k 1   k  1 Theo ngun lí quy nạp tốn chứng minh Vậy S n       n  1  n Tương tự ta chứng minh kết sau phương pháp quy nạp toán học:     n  12  22   n2  n(n  1) n(n  1)(2n  1)  n(n  1)     n     3 15  25   n5  2 n  n  1  2n2  2n –1 12 Bài tập áp dụng tổng hợp Dạng 1: Tính tổng A  13 – 23  33 – 43   993 –1003 B  12  42  72    1002 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 20 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số nguyên C  1.32  3.52  5.72    97.992 D  1.99  2.98  3.97    49.51  50.50 E  1.3  5.7  9.11    97.101 F 1.3.5 – 3.5.7  5.7.9 – 7.9.11    97.99.101 G  1.99  3.97  5.95    49.51 H  1.33  3.53  5.73    49.513 I  1.992  2.982  3.972    49.512 J    10  14   202 K    22  23   262  263 L   52  53   599  5100 M   10  13   76 N  49  64  81   169 P  1.4   3.6  4.7   n  n   với n   * Dạng 2: Bài 1: Chứng minh : a, A   22  23  24   220 lũy thừa 22 b, B   22  23   260 3 ; 7; 15 c, C   33  35   31991 13 ; 41 d, D  119  118  117   11  1 Bài 2: Cho A   32  33  34  .3100 Tìm số tự nhiên n biết A   3n Bài 3: Cho M   32  33  34  .3100 Hỏi : a M có chia hết cho 4, cho 12 khơng ? sao? b.Tìm số tự nhiên n biết 2M   3n Bài 4: Cho biểu thức: M    32  33  3118  3119 a) Thu gọn biểu thức M b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 khơng? Vì sao? Bài 5: Cho A  –  –  99 – 100 Tài liệu Toán – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 21 Chủ đề: Dãy số có quy luật tập hợp số ngun a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho không ? c) A có ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên? Tài liệu Tốn – THCS – SP thuộc gói “Mầm Xanh” 22 ... tuổi Có thể nói, Gauss học tính trước học nói Những ngày đầu đến trường, Gauss khơng có đặc biệt so với trò khác Nhưng tình hình thay đổi hẳn nhà trường bắt đầu dạy môn số học Một lần, thầy giáo... đề đặt nhân hai vế biểu thức với số để trừ cho biểu thức ban đầu loạt lũy thừa bị triệt tiêu? - Trong toán ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với số lũy thừa biểu thức thực phép... n  n  1 a) A  1³  2³  3³  4³  5³   100³ A  13 –1  23 –  33 –  43 –  53 –  1 003 –100      100  A    22 –1   32 –1   42 –1   100 100 – 1  1    