Chủ đề 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC Vấn đề 1: Hàm số bậc Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: + Hàm số bậc hàm số cho công thức: y  ax  b a b số thực cho trước a  + Khi b  hàm số bậc trở thành hàm số y  ax , biểu thị tương quan tỉ lện thuận y x Tính chất: a) Hàm số bậc , xác định với giá trị x R b) Trên tập số thực, hàm số y  ax  b đồng biến a  nghịch biến a  Đồ thị hàm số y  ax  b với  a   + Đồ thị hàm số y  ax  b đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b b cắt trục hoành điểm có hồnh độ  a + a gọi hệ số góc đường thẳng y  ax  b Cách vẽ đồ thị hàm số y  ax  b + Vẽ hai điểm phân biệt đồ thị vẽ đường thẳng qua điểm + Thường vẽ đường thẳng qua giao điểm đồ thị với trục tọa độ  b  A   ;0  , B  0; b   a  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 30 + Chú ý: Đường thẳng qua M  m;0  song song với trục tung có phương trình: x  m  , đường thẳng qua N  0; n  song song với trục hồnh có phương trình: y  n  Kiến thức bổ sung Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  x1; y1  , B  x2 ; y2  AB  x  x2  x1    y2  y1  2 Điểm M  x; y  trung điểm AB x1  x2 y y ;y  2 Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc Cho hai đường thẳng  d1  : y  ax  b đường thẳng  d  : y  a ' x  b ' với a, a '   (d1 ) / /(d )  a  a ' b  b '  (d1 )  (d )  a  a ' b  b '   d1   (d1 )  (d2 )  a.a '  1 cắt  d   a  a ' Chú ý: Gọi  góc tạo đường thẳng y  ax  b trục Ox , a  tan   a Một số tốn mặt phẳng tọa độ: Ví dụ 1) Cho đường thẳng  d1  : y  x  đường thẳng  d  : y   2m  m  x  m  m a) Tìm m để (d1 ) / /(d ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 31 b) Gọi A điểm thuộc đường thẳng (d1 ) có hồnh độ x  Viết phương trình đường thẳng (d3 ) qua A vng góc với (d1 ) c) Khi (d1 ) / /(d ) Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng ( d1 ),  d  d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1 ) tính diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm (d1 ) với trục tọa độ Ox, Oy Lời giải: a) Đường thẳng (d1 ) / /(d )  2m  m   m  1 2m  1   m  2  m  m   m  1 m    (d1 ) / /(d ) b) Vì A điểm thuộc đường thẳng (d1 ) có hồnh độ x  suy Vậy với m   tung độ điểm A l y     A  2;4  Đường thẳng  d1  có hệ số góc a  , đường thẳng  d  có hệ số góc a '  a '.1  1  a '  1 Đường thẳng  d  có dạng y   x  b Vì  d  qua A  2;4  suy  2  b  b  Vậy đường thẳng  d  y  x  c) Khi (d1 ) / /(d ) khoảng cách hai đường thẳng  d1   d  khoảng cách hai điểm A, B thuộc  d1   d  cho AB  (d1 ), AB   d  (d3) Hình vẽ: Gọi B giao điểm đường thẳng (d3 ) (d ) Phương trình hoành độ giao điểm A B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word (d1) (d2) 32  d   d  là: x   x  25 23  25 23  x  y  B ;  8  8  2  25   23  Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: AB              d) Gọi M , N giao điểm đường thẳng  d1  với trục tọa độ Ox, Oy Ta có: Cho y   x  2  A  2;0  , cho y   x  2  N  2;0  Từ suy OM  ON   MN  2 Tam giác OMN vuông cân O Gọi H hình chiếu vng góc O lên MN ta có OH  MN  SOMN  OM ON  ( đvdt) Chú ý 1: Nếu tam giác OMN khơng vng cân O ta tính OH theo cách: y Trong tam giác vuông OMN ta có: N 1   (*) Từ để khoảng cách từ điểm O 2 OH OA OB đến đường thẳng ( d ) ta làm theo cách: H O M + Tìm giao điểm M , N ( d ) với trục tọa độ + Áp dụng cơng thức tính đường cao từ đỉnh góc vng tam giác vng OMN (cơng thức (*)) để tính đoạn OH Bằng cách làm tƣơng tự ta chứng minh đƣợc cơng thức sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 33 x Cho M  x0 ; y0  đường thẳng ax  by  c  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: d ax0  by0  c a  b2 Ví dụ 2:Cho đường thẳng mx    3m  y  m   ( d ) a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng ( d ) qua b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d ) lớn c) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân Lời giải: a) Gọi I  x0 ; y0  điểm cố định mà đường thẳng ( d ) qua với m ta có: mx0    3m  y0  m   0m  m  x0  y0  1  y0   0m   x0   x0  y0   1 1   I ;  Hay  2 2  y0   y   b) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng ( d ) Ta có: OH  OI suy OH lớn OI H  I  OI  (d ) Đường thẳng qua O có phương trình: y  ax 1 1 1 I  ;   OI   a  a   OI : y  x 2 2 2 Đường thẳng ( d ) viết lại sau: mx    3m  y  m      3m  y   mx   m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 34 đường thẳng (d ) : x   song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến ( d ) 2 m m 1 + Nếu m  đường thẳng ( d ) viết lại: y  Điều x 3m  3m  m kiện để (d )  OI  1  m   3m  m  Khi khoảng 3m  2 + Đế ý với m  2 1 1 cách OI        Vậy m  giá trị cần tìm 2 2 2 c) Ta giải toán theo cách sau: + Cách 1: Dễ thấy m  Oy ) Xét m  không thỏa mãn điều kiện (Do ( d ) không cắt , đường thẳng ( d ) cắt Ox, Oy điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB , góc AOB  900  OAB vng cân O Suy hệ số góc đường thẳng ( d ) phải 1 đường thẳng ( d ) không qua gốc O  m m   3m   1  Ta thấy có giá trị m  thỏa mãn điều kiện   m  1  m    3m  toán Cách 2: Dễ thấy m  , m  không thỏa mãn điều kiện m m 1 Xét m  0; , đường thẳng ( d ) viết lại: y  x 3m  3m  Đường thẳng ( d ) cắt trục Ox điểm A có tung độ nên m m 1 1 m 1 m  1 m  x 0 x  A ;0   OA  , đường 3m  3m  m m  m  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 35 thẳng ( d ) cắt trục Oy điểm có hồnh độ nên y m 1 m 1  m 1   B  0; Điều kiện để tam giác OAB   OB  3m  3m   3m   m  m  1 m m 1 cân OA  OB  Giá trị    m  m  m  m 3m    m  không thỏa mãn , đường thẳng ( d ) qua gốc tọa độ Kết luận: m  Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng (d1 ) : mx  (m  1) y  2m   0,(d ) : (1  m) x  my  4m   a) Tìm điểm cố định mà (d1 ) , (d ) ln qua b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P (0; 4) đến đường thẳng (d1 ) lớn c) Chứng minh hai đường thẳng ln cắt điểm I Tìm quỹ tích điểm I m thay đổi d) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác I AB với A, B điểm cố định mà  d1  ,  d  qua Lời giải: a) Ta viết lại (d1 ) : mx  (m  1) y  2m    m  x  y     y  Từ dễ dàng suy đường thẳng (d1) qua điểm cố định: A 1;1 Tương tự viết lại (d ) : (1  m) x  my  4m    m  y  x     x  suy (d ) qua điểm cố định: B  1;3 b) Để ý đường thẳng (d1 ) qua điểm cố định: A 1;1 Gọi H hình chiếu vng góc P lên (d1 ) khoảng cách từ A đến (d1 ) PH  PA Suy khoảng cách lớn PA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 36 P  H  PH   d1  Gọi y  ax  b phương trình đường thẳng qua a.0  b  b  P  0;  ,A 1;1 ta có hệ :  suy phương trình đường  a.1  b  a  3 thẳng PA : y  3x  Xét đường thẳng (d1 ) : : mx  (m  1) y  2m   Nếu m   d1  : x   không thỏa mãn điều kiện Khi m  thì: m 2m  Điều kiện để (d1 )  PA x 1 m m 1 m  3  1  m  1 m  d1  : y  c) Nếu m   d1  : y    d  : x   suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt I  1;1 Nếu m   d1  : x    d  : y   suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt I 1;3  Nếu m  0;1 ta viết lại m 2m  m 1 4m   d  : y  Ta thấy x x 1 m m 1 m m (d1)  m  m   (d2)     1 nên  d1    d  I   m  m  Do hai đường thẳng ln cắt điểm I  d1  : y  Tóm lại với giá trị m hai A B H K đường thẳng  d1  ,  d  ln vng góc cắt điểm I Mặt khác theo câu a) ta có  d1  ,  d  qua điểm cố định A, B suy tam giác I AB vuông A Nên I nằm đường tròn đường kính AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 37 d) Ta có AB   1  1    1 2  2 Dựng IH  AB 1 AB AB SI AB  IH AB  IK AB  AB   Vậy giá trị lớn 2 2 diện tích tam giác IAB IH  IK Hay tam giác IAB vuông cân I Ứng dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN Ta có kết quan trọng sau: + Xét hàm số y  f ( x)  ax  b với m  x  n GTLN, GTNN hàm số đạt x  m x  n Nói cách khác: f ( x)   f  m  ; f  n  max f ( x)  max  f  m  ; f  n  Như m x  n m x  n để tìm GTLN, GTNN hàm số y  f ( x)  ax  b với m  x  n ta cần tính giá trị biên f  m  , f  n  so sánh hai giá trị để tìm GTLN, GTNN + Cũng từ tính chất ta suy ra: Nếu hàm số bậc y  f  x   ax  b có f  m  , f  n   f  x   với giá trị x thỏa mãn điều kiện: m xn Ví dụ 1: Cho số thực  x, y, z  Chứng minh rằng:  x  y  z    xy  yz  zx   Lời giải: Ta coi y, z tham số, x ẩn số bất đẳng thức cần chứng minh viết lại sau: f ( x)    y  z  x   y  z   yz    f    Để chứng minh f  x   ta cần chứng minh:  Thật ta  f    có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 38 + f     y  z   yz    y    z   với y, z thỏa mãn:  y, z  + f      y  z    y  z   yz    yz  với y, z thỏa mãn:  y, z  Từ ta suy điều phải chứng minh: Dấu xảy  x; y; z    0; 2;  hốn vị số Ví dụ 2: Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: P  xy  yz  zx  xyz Lời giải: Khơng tính tổng qt ta giả sử z   x, y, z   z  có  x  y  xy  1  z   x yz  Ta 3 4 P  xy 1  z    x  y  z  xy 1  z   z 1  z  Ta coi z tham số xy ẩn số f  xy   xy 1  z   z 1  z  hàm số bậc xy với 1  z   xy  Để ý rằng:  z  suy hàm số f  xy   xy 1  z   z 1  z  ln đồng biến Từ suy  1  z 2  1 z 2 z  z   f  xy   f   z 1  z      1  z    4   1  1 1  1  z  z  Dấu xảy  z  z   27  108  27  3   27 x  y  z  Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  Chứng minh rằng:  a  b2  c    a3  b3  c3   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 39 a) Cho số a, b, c thỏa mãn a  0, bc  4a , 2a  b  c  abc Chứng b) Cho a, b, c ba số khác c  Chứng minh minh a  phương trình x  ax  bc  x  bx  ac  có nghiệm chung nghiệm lại chúng nghiệm phương trình x  cx  ab  12) a) Cho f  x   ax  bx  c  a   , biết phương trình f  x   x vô nghiệm chứng minh phương trình af  x   bf  x   c  x vô nghiệm b) Cho số a1 , a2 , b1 , b2 cho phương trình sau vơ nghiệm: x2  a1 x  b1  x2  a2 x  b2  Hỏi phương trình x2  1  a1  a2  x   b1  b2   có nghiệm hay khơng? Vì sao? 2 13) Cho phương trình x  2mx  m   ( x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức M 24 đạt giá trị nhỏ x  x22  x1 x2 14) Cho phương trình x   m   x  m  , với m tham số 1) Giải phương trình m  2) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 với x1  x2 , tìm tất nghiệm m cho x1  x2  15) Cho phương trình x  x  3m  , với m tham số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 89 1) Giải phương trình m  2) Tìm tất các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x x x1 , x2  thỏa điều kiện   x2 x1 16) Cho phương trình bậc hai: x  2mx  m  m   ( m tham số) a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12  x22  3x1 x2  17) Cho phương trình: x   m  1 x  2m  m  ( m tham số) a) Giải phương trình m  b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 18) Cho phương trình: x   m  1 x  m   ( m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12   m  1 x2  3m  16 19) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  d  : y  mx  tham số m parabol  P  : y  x a) Tìm m để đường thẳng  d  qua điểm A 1;  b) Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  20) Cho phương trình: x  x  m   (1) ( m tham số, x ẩn) 1) Giải phương trình (1) với m  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 90 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  thỏa mãn:  m  x1  m  x2 10   x2 x1 21) Cho phương trình: x  x  m   ( m tham số) 1) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tìm nghiệm lại 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  22) Chứng minh phương trình: x   m  1 x  m   ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 biểu thức M  x1 1  x2   x2 1  x1  không phụ thuộc vào m 23) Cho phương trình x   m  1 x  m  3m   (1) ( m tham số) 1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  12 24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y    m  1 x  ( m tham số) 3 1) Chứng minh giá trị m  P   d  cắt hai điểm phân biệt 2) Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm  P   d  , đặt f  x   x   m  1 x  x  x1  x2  (Trích đề thi vào lớp 10 trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2013) Chứng minh rằng: f  x1   f  x2    http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 91 LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Vì x  nghiệm phương trình nên ta có:   2m  1  m  m    m  5m    m  1 m  Với m  1 ta có phương trình: x  x   Phương trình cho có nghiệm x  , nghiệm lại x  3 (vì tích hai nghiệm  6  ) Với m  , ta có phương trình x  13x  22  , phương trình cho có nghiệm x  , nghiệm lại x  11 (vì tích hai nghiệm 22) 2) Xét            Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Chú ý: Có thể nhận xét ac  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu  x1  x2   b) Áp dụng định lý Vi ét, ta có:   x1.x2       A  x12  x22   x1  x2   x1 x2       2 2      B  x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2        3  C x1  x2  x1  x2  1  32     x1  x2   x1  1 x2  1 x1 x2   x1  x2      3) a) Ta có    m    m  1  m2  4m    m   2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2     m  Theo hệ  x1  x2  m x1 x2  2m  thức Viet ta có:  Khi P   2  x1  x2   m   x1.x2  m   m  1  Dấu đẳng thức xảy 2m  m    m  1   1 Ta có P  2 m 2 m 2 m 2 m  nên giá trị lớn max P  Tương tự ta có giá trị nhỏ 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 92 P   , đạt m  2 (Xem thêm phần phương pháp miền giá trị hàm số) 4) Cách 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '      2m  1    4m2  4m  3   0, m Vậy phương trình có hai   nghiệm phân biệt với giá trị m Gọi hai nghiệm phương trình  x1  x2   2m  11 x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có:   x1.x2  4m  4m     2m  1   x2  Có thể giả sử x1  x2 (3) Khi từ (1) (3)có  Thay m    x    2m  1 vào (2) ta có phương trình Giải phương trình ta m   4m2  4m   4m  4m  35  m   (thỏa mãn điều kiện) 2 Cách 2: Từ yêu cầu đề suy x1  x2 x2  x1 , tức là:  x1  x2  x2  x1    x1 x2   x1  x2   áp dụng hệ thức Viet ta phương trình 4m  4m  35  5) Phương trình có hai nghiệm phân biệt   '    m   m  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 93  x1  x2  1 Theo hệ thức Viet, ta có:  Ta có x1  x2   x1   x2  x1.x2  m    x2  1 (3) Từ (1) (3) ta có  Thay vào (2) ta có m  3  x1  thảo mãn điều kiện 6) a) Phương trình có nghiệm x   5m    m  b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu   5m     m  c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '   m   5m      m  1 m     m  m   x1  x2  2m Theo hệ thức Viet ta có:   x1.x2  5m   2m  Hai nghiệm phương trình dương   m 5m   Kết hợp với điều kiện ta có  m  m  7) Cách Đặt x   t , ta có x1   x2  x1    x2   t1   t2 Phương trình ẩn x x  x  3m  đưa phương trình ẩn t :  t  1   t  1  3m   t  t  3m  Phương trình ẩn t phải có hai nghiệm trái dấu  3m   m  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 94 Vậy m  Cách 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2      12m   m  Khi theo hệ thức Viet ta có: 12  x1  x2  (1) Hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1.x2  3m x1   x2  x1    x2   x1  x2  trái dấu   x1  1 x2  1   x1 x2   x1  x2    (2) Thay (1) vào (2) ta có: 3m 1    m  Kết hợp với điều kiện ta có m  giá trị cần tìm Chú ý: Nếu hai nghiệm x1 , x2  phương trình ẩn t có hai nghiệm số âm Nếu hai nghiệm x1 , x2  phương trình ẩn t có hai nghiệm số dương 8) Giải: Áp dụng hệ thức Viet ta có: a  b  c; ab  d ; c  d  a; cd  b c  d   a c  a  d  bd Ta có:   a  b  c  a  b  c Kết hợp với ab  d cd  b suy a  1, c  Do a  b  c c  d  a suy b  2, d  2 Do a  b  c  d  12   2   12   2   10 2 9) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 95 a) Vì a  nên  c  c bc  ac  a  c  3b   b  ac  a c  b  3abc  a      (*) Theo a   a  a b c hệ thức Viet, ta có: x1  x2   ; x1 x2  Khi (*) thành: a a 2 3 a  x12 x22  x1 x2   x1  x2   3x1 x2  x1  x2      a3  x12 x22  x1 x2   x13  x23   a3  x12  x2  x22  x1   ac  a  c  3b   b3  a  x12  x2  x22  x1  Mà theo giả thiết ta có ax22  bx2  c  ax1  bx2  c   a   Suy bx2  c  ax22  ax1  x22  x1  Do ac  a  c  3b   b3  b) Vì p, q nguyên dương khác nên xảy hai trường hợp p  q p  q Nếu p  q suy p  q  Khi   p  4q   q  1  4q   q  1  2 Vậy trường hợp phương trình x  px  q  có nghiệm Tương tự trường hợp p  q phương trình x  qx  p  có nghiệm (đpcm) 10) a) Theo điều kiện đầu ta gọi x0 nghiệm chung hai phương trình, ta có:  x  ax0  11   x02   a  b  x0  18    x0  bx0   Do phương trình x   a  b  x  18  có nghiệm (*) Khi    a  b   144  hay a  b  12 Mặt khác, ta có a  b  a  b  12 Vậy a  b bé 12 a b dấu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 96 Với a  b  12 , thay vào (*) ta được: x  12 x  18  Phương trình có nghiệm kép x  20 16 Thay x  vào phương trình cho ta a   ; b   3 Với a  b  12 thay vào (*) ta được: x  12 x  18  Phương trình có nghiệm kép x  3 20 16 Thay x  3 vào phương tình ta được: a  ; b  Vậy cặp số sau 3  20 16   20 16  thỏa mãn điều kiện toán:  a; b     ;   ,  ;  3  3  11) a) Từ giả thiết ta có: bc  4a b  c  abc  2a  4a  2a  2a  2a  1 Suy b, c nghiệm phương trình x   4a3  2a  x  4a  Khi  '  a  2a  1  4a    2a  1   a  2 (vì a  )  x02  ax0  bc  b) Giả sử x0 nghiệm chung, tức   x0  bx0  ca    a  b  x0  c  a  b    a  b  x0  c   Vì a  b nên x0  c Khi ta có: c  bc  ca   c  a  b  c   0, Do c  nên a  b  c   a  b  c Mặt khác theo định lý Viet, phương trình x  ax  bc  có nghiệm x  b; phương trình x  bx  ac  có nghiệm x  a Theo định lý đảo định lý Viet, hai số a b nghiệm phương trình: x   a  b  x  ab  hay x  cx  ab  (đpcm) 12) a) Vì phương trình f  x   x vơ nghiệm, nên suy f  x   x f  x   x, x  Khi af  x   bf  x   c  f  x   x, x  af  x   bf  x   c  f  x   x , x  Tức phương trình af  x   bf  x   c  x vô nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 97 b) Từ giả thiết suy a12  4b1  a22  4b2  Do a  a  4b1  x  a1 x  b1   x     0, x  2  a2  a22  4b2  x  a2 x  b2   x     0, x  nên 2  1 x   a1  a2  x   b1  b2    x  a1 x  b1    x  a2 x  b2    2 1 Do phương trình x   a1  a2  x   b1  b2   vô nghiệm 2 13) 1  a)  '  m  m   m     với m Vậy phương trình ln 2  có hai nghiệm với m b) Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  2m; x1 x2  m  2 M  24 24 24   2 x  x2  x1 x2  x1  x2   x1 x2  x1 x2  x1  x2 2  8x1 x2 24  2m    m  2  24 6   2 Dấu “=” xảy 4m  8m  16  m  12  m  Vậy giá trị nhỏ M  2 m  14) 1) Khi m  phương trình thành: x  x   x  x    2)  '   m    m2  2m2  4m   m2  2m   2   m  1   0, m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Ta có S  x1  x2    m  ; P  x1 x2   m  Ta có x1  x2   x12  x1 x2  x22  36   x1  x2   x1 x2  x1 x2  36    m   36   m    2  m  1  m  15) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 98  x  1 1) Khi m  phương trình thành: x  x     (do x  a  b  c  ) x x 2) Với x1 , x2  ta có:     x12  x22   x1 x2 x2 x1   x1  x2  x1  x2   x1 x2 Ta có a.c  3m  nên   0, m b c  x1.x2   3m  a a Phương trình có hai nghiệm  m     x1 x2  Giả sử Khi   , ta có: x1  x2   x1  x2 Với a   x1  b '  ' x2  b '  '  x1  x2   '   3m2   Do yêu cầu toán  3.2 2  3m2   3m2  m   m2   4m  3m      m  1  m   (l )  16) a) Khi m  ta có phương trình: x  x    x  x  x    x  x  1   x  1  x  Phương trình có tập nghiệm là: S  1;3   x  1 x  3    x  b) Ta có  '  m2   m2  m  1  m  Để phương trình bậc hai cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  '   m    m  Khi theo hệ thức Viet ta có:  x1  x2  2m Theo ra:   x1 x2  m  m  x12  x22  3x1 x2    x1  x2   x1 x2  3x1 x2    x1  x2   5x1 x2    4m2   m2  m  1   m   m2  5m     m  1 m      m  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 99 Đối chiếu điều kiện m  ta có m  thỏa mãn toán 17) a) Khi m  phương trình thành: x  x   có  '  22    Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  2  5; x2  2  1 b) Ta có:  '  2m4  2m   2m4  2m2   2m2  2m  2  2 m   1  1  (vô   m     m    , m Nếu  '    2 2   m    nghiệm) Do  '  0, m Vậy phương trình ln có hai nghiêm phân biệt với m 18) x  a) Với m  , ta có phương tình: x  x     x    b) Xét phương trình (1) ta có:  '   m  1  m2   2m  Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2  m  Theo hệ thức Viet:   x1  x2   m  1 Theo giả thiết: x12   x1  x2  x2  3m  16    x1 x2  m   x12   x1  x2  x2  3m2  16  x12  x22  x1 x2  3m2  16   x1  x2   x1 x2  3m2  16   m  1   m2    3m2  16  8m  16  m  Vậy  m  2 19) 1) Đường thẳng  d  qua điểm A 1;  nên có:  m.1   m  2) Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  : x  mx   Có   m  12 , nên  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 m    m  12   m  12  m    Áp dụng hệ thức  m  2  x1  x2  m Viet ta có:  Theo ta có:  x1 x2  x1  x2    x1  x2     x1  x2   x1 x2  2  m  4.3   m  16  m  4 (TM) Vậy m  4 giá trị cần tìm 20) 1) Thay m  vào phương trình ta có: x  x   Có   12  4.1.1  Vậy phương trình có nghiệm: 1  1  ; x2  2 2) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: 21     m     m  Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2  1 (1); x1 x2  m  (2) x1  Xét:  m  x1    m  x2  x12  x22 10   m  x1  m  x2 10     x2 x1 x1.x2   m  x1  x2    x1  x2    x1 x2 x1 x2  10 1  m     m  5 10 3m  17 10   m5 m5  m  1 (thỏa mãn).Vậy với m  1 tốn thỏa mãn 21) 1) Phương trình có nghiệm x   32  2.3  m     m   m  6 Ta có: x1  x2    x2   x2  1.Vậy nghiệm lại x  1 Thay (1),(2) vào ta có:  2)  '    m  3   m  Để phương trình có hai nghiệm  m    m  2 Khi đó: x13  x23    x1  x2   x1  x2   3x1 x2     http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 101 Áp dụng hệ thức Viet ta được:  22   m  3      3m      6m  18   6m  18   m  3 (thỏa mãn) Vậy m  3 giá trị cần tìm 22) a) Phương trình: x   m  1 x  4m   (1) có  '   m  1   4m  3  m2  2m   4m    m2  2m  1    m  1   với m Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 , x2 Theo hệ thức Viet ta có: S  x1  x2  2m   m  S 2 (2) P3 S 2 P3    2S   P  4  S  P    x1  x2   x1 x2  x1 x2  P  x1 x2  4m   m  23) Phương trình x   m  1 x  2m  2m   Có  '   m  1  2m2  2m   m2  2m   2m2  2m   m2 Phương trình có nghiệm phân biệt m  Theo định lý Vi et ta có:   x1  x2  2  m  1  x12  x2  12   x1  x2   x1 x2  12     x1.x2  2m  2m  1 Hay  m  1   2m2  2m  1   m   24)  y  x2  a) Xét hệ phương trình:  2  m  1  y  3   y  x  3 x   m  1 x   10 1 (1) Có hệ số a c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt m nên  P   d  cắt hai điểm phân biệt với m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 10 2  m  1   3  x1  x2   x1  x2  m   b) Theo hệ thức Viet:    x x  1 3x x  1   Ta có: f  x1   f  x2   x13  x23   m  1  x12  x22   x1  x2   f  x1   f  x2    x13  x23   x1  x2   x12  x22   x1  x2   x13  x23  3x1 x2  x2  x1    x1  x2    x13  x23   x1  x2    x1  x2     x13  x23  3x1 x2  x1  x2     x1  x2   x12  x22  x1 x2     x1  x2  Nên f  x1   f  x2   1  x1  x2  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 103 ... AB   a  b   a  b2  hay AB  a  b  2ab  a  b  2a 2b Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có a  b2  a 2b2  ab , a  b  2a 2b Ta có: AB  ab   2a 2b2  2a 2b2  Vậy AB ngắn a  b... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word (d1) (d2) 32  d   d  là: x   x  25 23  25 23  x  y  B ;  8  8  2  25   23  Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: AB... phẳng tọa độ cho hai điểm A  x1; y1  , B  x2 ; y2  AB  x  x2  x1    y2  y1  2 Điểm M  x; y  trung điểm AB x1  x2 y y ;y  2 Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng