CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình vơ tỷ bản:  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x2  x   x  b) 2x 1  x  4x  Lời giải: a) Phương trình tương đương với: x  2 b) Điều kiện: x  Bình phương vế ta được:  x  8 3x   2 x  x  x   2 x  x  x    2 4(2 x  x)  ( x  8) x   x  8 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có    x   16 x  12 x  64    x  nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: II MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ THƢỜNG GẶP Giải phương trình vơ tỷ phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Dấu hiệu: + Khi ta gặp tốn giải phương trình dạng: n f ( x )  m g ( x )  h( x )  Mà đưa ẩn, đưa ẩn tạo phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích giải trực tiếp khó khăn + Nhẩm nghiệm phương trình đó: thủ cơng ( sử dụng máy tính cầm tay) Phương pháp:  Đặt điều kiện chặt phương trình ( có) Ví dụ: Đối phương trình: x2    x2   x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: Phương trình xác định với x  R Nhưng chưa phải điều kiện chặt Để giải triệt để phương trình ta cần đến điều kiện chặt là: + Ta viết lại phương trình thành: x2   x2   x  x   x   phương trình có nghiệm 2x    x  Để ý rằng:  Nếu phương trình có nghiệm x0 : Ta phân tích phương trình sau: Viết lại phương trình thành: n f ( x)  n f ( x0 )  m g ( x)  m g ( x0 )  h( x)  h( x0 )  Sau nhân liên hợp cho cặp số hạng với ý: +  +  a b  a b   a  ab  b2  a  b3  a  b  a  b2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Nếu h( x )  có nghiệm x  x0 ta ln phân tích h( x)  ( x  x0 ) g ( x) Như sau bước phân tích rút nhân tử chung x  x0 phương trình  x  x0  ban đầu trở thành: ( x  x0 ) A( x)     A( x)  Việc lại dùng hàm số , bất đẳng thức đánh giá để kết luận A( x)  vơ nghiệm  Nếu phương trình có nghiệm x1 , x2 theo định lý viet đảo ta có nhân tử chung là: x  ( x1  x2 ) x  x1.x2 Ta thường làm sau: + Muốn làm xuất nhân tử chung n f ( x ) ta trừ lượng ax  b Khi nhân tử chung kết sau nhân liên hợp n f ( x )  ( ax  b ) + Để tìm a, b ta xét phương trình: n f ( x)  (ax  b)  Để phương trình có ax1  b  n f ( x1 ) hai nghiệm x1 , x2 ta cần tìm a, b cho  ax2  b  n f ( x2 ) + Hoàn tồn tương tự cho biểu thức lại: Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải phương trình: a) x   x   x   b) x    x  x2  5x  Giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Phân tích: Phương trình đề gồm nhiều biểu thức chứa quy ẩn Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu , tạo phương trình tối thiểu bậc Từ ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu thức liên hợp để tách nhân tử chung Điều kiện x  Ta nhẩm nghiệm phương trình là: x  Khi x3     2; x     x3    x    x   Ta viết lại phương trình thành:  x3  5x 1   2x    x  1  5( x  x  1)  ( x  1)    x3     2x 1 1  x 1    1   x  1  x    Dễ thấy : 5( x  x  1)  Với điều kiện x  5 x3   2 3  x  1  2x 1 1 1  Nên phương trình cho có nghiệm x  b) Điều kiện: x   2; 4 Ta nhẩm nghiệm phương trình là: x  Khi x     1;  x    Từ ta có lời giải sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương trình cho tương đương với: x      x  x  5x  x 3 x 3    ( x  3)(2 x  1) x  1   x 1     x  3    (2 x  1)    x  1   x  x   1    (2 x  1)   x   1   x Để ý rằng: Với điều kiện x   2; 4 1  1;  1; x   nên x  1 1  x 1   (2 x  1)  x  1 1  x Từ suy ra: x  nghiệm phương trình Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối vơ nghiệm ta thường dùng A ước lượng bản: A  B  A với B  từ suy  với A B A  B  số A, B thỏa mãn  B  Ví dụ 2: Giải phương trình: a) x   x  x  b) x  x   x   x   3x  28  Giải: a) Điều kiện: x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta nhẩm nghiệm x  Nên phương trình viết lại sau: x    x   x3    x2  x2 1  x2 1  x3  27  x3  x3    x3 x  3x    ( x  3)  1 0 3 x   x   x     x    x3 x  3x  1 0  x   x   x3   Ta dự đoán: x3 x2 1  x2 1  giá trị x  ta thấy Ta chứng minh: 1 x  3x  x3   x3 x2 1  x2 1  x3  ( Bằng cách thay x2 1  x2 1   1 x  3x  x3   x  3x  x3    0) 2 Thật vậy: x3 + Ta xét Đặt x  1  x   1 x  1  x   x  x   t   x  t  Bất phương trình tương đương với t  2t   t   t  3t  6t  4t  Điều hiển nhiên http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Ta xét: x  3x  x 2 5   x  3x   x3   x  x3  x  x   x  0(*) Điều ln Từ suy phương trình có nghiệm nhất: x  b.) Điều kiện: x  Để đơn giản ta đặt x  t   x  t3 Phương trình cho trở thành: t  2t  (t  4) t   3t  28   3t  t  2t  28  (t  4) t   Nhẩm t  Nên ta phân tích phương trình thành:  4t  t  2t  32  (t  4)   t  1    t  2t     (t  2)  4t  7t  16   (t  4)     t      Để ý 4t  7t  16  t  nên ta có  t  2t   t  t  16  ( t  4)      Vì phương trình có nghiệm  t  1 t   x  Nhận xét: Việc đặt x  t toán để giảm số lượng dấu giúp đơn giản hình thức tốn Ngồi tạo liên hợp (t  4)  nên ta tách khỏi biểu thức để thao tác tính tốn đơn giản Ví dụ 3: Giải phương trình: a) x   19  3x  x  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x  11 b) 3x   x   c) x2  x  (Tuyển sinh vòng lớp 10 Trường THPT x  x  1 chuyên Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội 2012) d) x3  x  x   x2  x  2 x  2x  a) Điều kiện: 3  x  19 Ta nhẩm nghiệm x  1, x  2 nên ta phân tích để tạo nhân tử chung là: x  x  Để làm điều ta thực thêm bớt nhân tử sau: + Ta tạo x   (ax  b)  cho phương trình nhận x  1, x  2 nghiệm  a  a  b   Để có điều ta cần:   2a  b  b  20  + Tương tự 19  3x  (mx  n)  nhận x  1, x  2 nghiệm  a  m  n    Tức  2m  n  b  13  Từ ta phân tích phương trình thành: http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word 20  4  13 x  x    x    19  x       x  x     3  3  4 19  x  (13  x) x    x       x2  x  2   3    x2  x    x2  x    x2  x  2     x    x    3 19  3x  (13  x)      1     x  x  2   1   3 x    x   3 19  3x  (13  x)       Dễ thấy với 3  x  19  0, 3 x    x  5 3 19  x  (13  x)  Nên 0 1  1  3 x    x   3 19  x  (13  x)    x  Phương trình cho tương đương với x  x      x  2 Vậy phương trình có nghiệm là: x  3, x  b) Điều kiện: x  Phương trình viết lại sau: 3x   x   x  11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta nhẩm nghiệm x  3, x  nên suy nhân tử chung là: x  11x  24 Ta phân tích với nhân tử 3x  sau: + Tạo 3x    ax  b   cho phương trình nhận x  3, x  3a  b  a  nghiệm Tức a, b cần thỏa mãn hệ:   8a  b  20 b  4 3m  n  10 m  + Tương tự với x   (mx  n)  ta thu được:   8m  n  15 n  Phương trình cho trở thành: 3x   (3x  4)  ( x  7)  x    9( x  11x  24) x  11x  24  0 3x   (3x  4) ( x  7)  x    9   x  11x  24    0  x   (3 x  4) ( x  7)  x    x  11x  24    9  0  x   (3 x  4) ( x  7)  x  Ta xét A( x)  9  x   (3 x  4) ( x  7)  x  Ta chứng minh: A( x)  tức là: 9  0 x   (3 x  4) ( x  7)  x   3x   3x   9( x   x  1)  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 8) Giải: Phương trình cho tương đương với: x    x2  x  2k  1   4k  4k  1   k  2k  1  1  x    x    x  2k  1   x    k  1   x  1   x  k  2 Vậy phương trình có nghiệm k  9) Phương trình cho tương đường với: m x  m  Đặt t   1 x  x  1   x  1   x  x  1  x2  x4  x2   x4  x2  x2  x4  x2  m m , (t  0) ta được:  t   t  t   t t x 1 a) Với m  10 ta có phương trình: 3t  10t   ta suy t  t  b) Tự giải 10) Giải: Điều kiện: x  Phương trình tương đương với x    x  1 x   x  x   x  x   3 x  x   3x  x   x  x       x  x     0  x  0    Trường hợp x  x    (vô nghiệm) 9 x  x  8 x  1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Trường hợp 1  x  1  x  1  x    x  x 1     x  x  x   x  4 x   x  11) Giải: Điều kiện x  1.Ta có x  nghiệm phương trình Với x  Đặt x   y ,  y   , phương trình cho thành: y  y  2 y  y Ta có 4y  y2  y  y  y  2y  2y  4y  2y  4y  2y  2y  4y  y Phương trình vô nghiệm Với  x  Chứng minh tương tự, ta có phương trình vơ nghiệm Vậy x  nghiệm phương trình 12) Giải: Ta có (*)   x  x   x   (1) x x x Đặt u  x  ; v  x  u , v  u  v   x x x x Do (1) thành: u  v  u  v    u  v  u  v  1   u  v (vì u, v  ) Từ ta có: x 5  2x   x   2x   x x x x (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương trình x   x  có nghiệm x  2 x x Từ (2) suy có x  nghiệm phương trình cho 13) Giải:Điều kiện x  Phương trình tương đương với: x9  x 2x 9x  2x    0 x 1 x 1 x 1 x 1  2x  8x 2x        1  x 1 x 1  x 1   2x   x  x   x  (thỏa mãn x 1 14) Giải: Điều kiện: x  Dễ thấy x  nghiệm (1) Với x  , chia hai vế (1) cho (1)   Đặt u   x  , ta được: 1  1  x x 1  0, v    x x u  v  u  v   Ta có hệ phương trình:  2 2 u  v    v   v  (2) (3) Giải hệ ta v  0, u  từ ta có x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 15) Giải:     x2  x  9  x   x      x  3   x 1   0 x     x3  x 1   Vậy phương trình có nghiệm x  16) Giải: Điều kiện: x  2 Nhân hai vế phương trình (1) với trình tương đương: x   x   , ta phương  x  x  10  x   x   x 5 1  x  4    x    x  1 (l ) (tm ) 17) Giải: Đặt y  x , y  , ta có (*) thành: 12  Bình phương biến đổi thành:  3  4y  4y  y y y2   y    y2  y   Do nghiệm phương trình x  1, x  1 18) Điều kiện:  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nhân tử mẫu vế trái với biểu thức  x3  x   1 x 1   x   x ta thu được: x3  x   1 x 1    x   x   x (*) Nếu x  VT (*)   VP (*) nên x  nghiệm phương trình Nếu  x   x    x   hay VT(*)  với  x  Vì  x  nên x     2, x    VP(*)  Do phương trình cho khơng có nghiệm nửa khoảng  0;1 Vậy phương tình cho có nghiệm x  19) Giải: Điều kiện: x  Trường hợp x  : áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 4x  x2  5 x2   x  3 x x  25 x  x   x 3x 3 3x Dấu xảy x2  x x 3 3x Trường hợp x  : từ phần ta thấy, với x  thỏa mãn bất phương trình x  Đáp số  x  20) Giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Điều kiện x  x  x  1 đặt t  x  , t  , ta x Chia hai vế bất phương trình cho 1 đưa bất phương trình   t  t  t t Với điều kiện t  hai vế (1) dương Bình phương hai vế ta   đưa bất phương trình tương đương  t   1  t   Bất phương trình nghiệm với t  Vậy nghiệm bất phương tình cho x  21) Giải: Điều kiện:  x  Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x2  4 x  x  2.1   x    x   x24 x 1; x  1 1 x  1 x 1 ;   2 x  ; x x  x 27  x  27 Do VT  VP với x thỏa mãn  x  Vậy nghiệm bất phương trình  x  22) Đặt t  x  x   x  x  t Phương trình trở thành : t   x  1 t  x   Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  x    x  3  1 t  2 Do t  ta   x  x   x    x  3    x 1 x   x2 t  cần giải: x  x2  x  x     x   13 x  6x   2 x    23) Điều kiện: 1  x  Bình phương vế ta thu được:  x  x2   x 1   x2   2 x  x   x  1 1  x    x  x   x  1 1  x    1  x    x2  x 1    x2  x 1  x2  x      1  x   1  Đối chiếu với điều kiện nài tốn có nghiệm x  thỏa mãn điều kiện   24) Ta viết lại phương trình thành: 16x2  32x  40  x  15    4x    56  4x  60 Đặt 4x  60  4y  ta có hệ sau:  4y   4x  60  4y   4x  60       2  4x    56  4y   4x    4y  60   Trừ vế phương trình hệ ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  4x  2   4y  2   y  x   16  x  y  x  y     y  x  x  y    x  y    Giải phương trình ứng với trường hợp ta thu được: x  1; x  9  221  3 x  25) Điều kiện:   3 x   Ta viết lại phương trình thành:  2x  32  (x  1)  (x  1) (x  1)(2x  3)  (x  1)  u  2x    v  (x  1)(2x  3)  (x  1) Đặt ta có phương hệ trình:  u  x   (x  1)v   v  x   (x  1)u Trừ vế hai phương trình ta có: u  v  u  v  u  v  x  1   u  v  x   Giải theo hai trường hợp ta thu phương trình vơ nghiệm 26) Cách 1: Ta viết lại phương trình thành: x2  3x       3   x        x  x2  x   x2  x   x2  x     x2  x   x2  x   x2  x    3 x   x  x2  x  3  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x   x  x2   Chia phương trình cho x  x   ta thu được:  x2  x    x2  x    2 1    Đặt t   x2  x    x2  x     Ta có phương trình: 2t   x2  x     0  x2  x     t 1  t  3  x2  x    x1   x2  x     Giải  * Cách 2: Xét x  chia hai vế phương trình ta có: x   Đặt t  x   ta có phương trình: t    t 1 x Xét x  chia hai vế phương trình ta có: x   Đặt t  x   x2   x x2  x2   x x2 ta có phương trình: t   t 1 x 27) Điều kiện:  x  Phương trình viết lại: Ta viết lại phương trình thành: x     x  3x  30x  75    x  5 x 1    x  (x  5)(3x  15)  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  30x  75    x  5 x 1    x  (x  5)(3x  15)  x   2   x  (x  5)(3x  15)   2  x x 1   x      x(3x  15)    x  5 Ta thấy   x(3x  15)  0x  1;  Ta chứng minh: 2  x x 1     x     x  điều hiển nhiên do:  x    nên   x  Vậy phương trình có nghiệm x  28) Điều kiện x  Đặt u  x  1; v  2x  phương trình cho trở thành  2u  1 v   2v  1 u   u  v  2uv  1  2 x  + Nếu u  v  x   2x     x  4x   x2 1    + Nếu 2uv    1  x  2x    x   ;1   1   Mặt khác ta có: 1  x       ; 2x     nên phương trình cho vơ nghiệm Kết luận: x   29) Sử dụng đẳng thức:  a  b   a3  b3  3ab  a  b  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương trình  2x   3  x  1 x     x   x   2x   x   x   2x  3   (*)  x  1; x  2; x   x  1 x   2x     30) Điều kiện: 1  x  Đặt t   x2 x x2   t2    x x2  x2  x2 PT cho thành: 2t  5t    t  2; 1  x  1  x2 x    2   x * t  2  t   x2 x 3    x2  x2 x 1  x   x2 x     x2 hệ vô nghiệm x    1 x 2 1 x x * t  Vậy phương trình cho có nghiệm x   31) Điều kiện x  1 PT  2  x  1  x  x  1   x  x     x   x1 x x1 Đặt t  5 x1 x x1   0(Do : x  x   0x) t  , t  , ta có: 2t  5t     t  x2  x   x1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word * t2 * t x1 x x1   4x2  5x   PT vô nghiệm x1  37    x2  5x    x  2 x2  x  32) Do VT  nên  VP   x  1 Ta có PT   2x2   2x     2x  2x        2x2  2x    2x  1   2x  1 2x    2x   2 3  2x2  2x    x  2 2x  2x    x  2x  2x  1  2x  2  0 1 nghiệm phương trình cho 33) Điều kiện: x   3 Ta thấy x  khơng nghiệm phương trình nên ta có: Phương trình   x3  6x2  2x   x3  5x  x3  6x2  2x  x3  4x2   2x  x3   2x   x3   2x (1) 5x  5x  x  x   21   x  x  x  3x    x  4x    * Nếu x3   2x    Khi (1)  x  * Nếu x     21 nghiệm phương trình  x3  4x   (1)  21 x3  4x  x  4x    1    5x   x3   2x  5x  (2) x3   2x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  Ta thấy: (1) có nghiệm x  1; x   21   x  x  x  (2)  x   3x       x   x3  9x2  6x    x  1 x2  8x       x    x   x2  8x    Vậy phương trình có nghiệm: x  1; x   21 ;x   22 34) Điều kiện: x  4  x2  x   PT      x2     x4   x2  x  x4  x2  x  1 x4  x2   x 1  1  x2  x 3 2    x2   x2        x    x  x  1  x   x2   0 x2  0   x2   x2           x2   1 0   x2   x2     x   x2  x   x             x2    x   35) Điều kiện: x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word * Với x  , phương trình cho tương đương với: 25  9x2  18 (1)   2 x x x 1 Dễ thấy phương trình (1) có VT  25 x  162  25 ta có VP   13 nên phương trình cho vơ nghiệm * Với x   phương trình cho tương đương với 25  9  Đặt x  x  18 x 1  9  t   t   , phương trình (2) thành: 4 x  25  9  4t  2t   36  t    4t   18t 18t   9  4t  2t   16 1 t 1 t  t   t   t 1 Lưu ý với  t  nên (2) 18  4t    18 t4   t  2   0   4t  t   có 18  4t   18 (1) t4 18  1 4 t 1 t 1 t4  t 1 Vậy (3)  t   x   2 KL: Phương trình có nghiệm x   2 36) Điều kiện: x  2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word BPT viết lại: Đặt a = 2x + 1; b  2x  1  20  3x    2x   3x  3x  ; BPT  5a  20b2  a  4b a  4b  0b  a  4b   2 ab 5a  20b   a  4b   x   2x   3x     x 1 4x2  x    Kết luận: Nghiệm bất phương trình là: x  37) Điều kiện: 1 ≤ x ≤ Bình phương vế ta có : x2  13  x2   x2   256   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:     13 13  x2  3  x2   13  27 13  13x2   3x2  40 16  10x2          16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10x2 16  10x2     64     x   x  Dấu    x      2 x   10x  16  10x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  ... word Giải phƣơng trình vơ tỷ phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn + Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn phương pháp chọn số hạng phương trình để đặt làm ẩn sau ta quy phương trình ban đầu dạng phương trình. .. dụng máy tính cầm tay) Phương pháp:  Đặt điều kiện chặt phương trình ( có) Ví dụ: Đối phương trình: x2    x2   x + Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy: Phương trình xác định với... nghiệm phương trình Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối vô nghiệm ta thường dùng A ước lượng bản: A  B  A với B  từ suy  với A B A  B  số A, B thỏa mãn  B  Ví dụ 2: Giải phương trình: