Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠ SI) Cho số thực khơng âm a, b, c ta có: a  b  ab Dấu đẳng thức xảy a  b a  b  c  3 abc Dấu đẳng thức xảy a  b  c Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực khơng âm (Còn gọi bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau: x2 y  x  y  1 2 1)   ;    ab a b ab a  b2 a b 2) 1 3     a b c abc a  b2  c 3 3) a  ab  b  (a  b)2  (a  b)  (a  b) 4 4) a  ab  b  (a  b)  (a  b)  (a  b) 4 5) a  b  c ab  bc  ca  x2 y z  x  y  z     6) a b c a bc 7) a  b 3  a  b   a  b2  c2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 8) 2(a  b )   a  b  2   a  b 2  ( a  b) ( a  b)   a  b4      9) Với a, b  a m n  b m n  (a m  b m ) (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với (a n  bn )(a m  bm )(a n  bn )  điều hiển nhiên (**) Tổng quát ta có a n  bn  a  b      n a n  b n  a  b   a n 1  b n 1   ab  Thật áp dụng (*) ta có      2      10) Với a, b, c  a m n  bm  n  c m n  (a m  bm  c m )(a n  bn  c n ) (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (a m  bm )(a n  bn )  (bm  c m )(bn  c n )  (c m  a m )(c n  a n )  mà điều hiển nhiên n a n  bn  c n  a  b  c    Thật áp dụng (*) ta có: 3   n Tổng quát ta có: a n  b n  c n  a  b  c   a n 1  b n 1  c n 1   a  b  c   a n   b n   c n         3 3        Áp dụng bất đẳng thức ta có: n n a n  n bn  n bn  n a  n b  n c      3   n a  n b  n c n a bc  3 1 1 1  n n     n Tương tự ta có: a b c   a b c  3     n n 1 1   Do    suy n  n  n    a b c a bc a b c  a bc  11) 1 với a, b    a  b  1  ab http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1   n n (1  a ) (1  b)  ab Tổng quát: với a, b  ta có 12) Với  a, b    n 1   a  b  1  ab Tổng quát: Với a, b   0;1 ta có: n 1 n  1 a  b n  ab 13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si +  a3  b3  x3  y  m3  n3    axm  byn  (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a3 x3 m3    a  b3 x  y m3  n b3 y3 n3    a  b3 x  y m3  n 3axm a  b3  x3  y  m3  n3  3byn a  b3  x3  y  m3  n3  Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra: 3axm  3byn 3  a  b3   x3  y3  m3  n3  a  b3  x3  y  m3  n3    axm  byn  + Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: a  b3  c3  x3  y  z  m3  n3  p3    axm  byn  czp  Ví dụ 1: Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng: a) a  b3  ab  a  b  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1 1 Với (a, b, c  0)  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc c)  a  b  b  c  c  a   8abc b)  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca  d) e) Cho  a  b  b  c  c  a   Chứng minh: ab  bc  ca  ( Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015) Lời giải: a) Ta có : a3  b3   a  b   a  ab  b  Suy a3  b3  ab  a  b    a  b   a  2ab  b    a  b  a  b   suy đpcm b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: a  b3  abc  ab  a  b   abc  ab  a  b  c  Suy 1  Tương tự ta có: a  b  abc ab  a  b  c  b  c  abc 3  1 ;  Cộng ba bất bc  a  b  c  c  a  abc ca  a  b  c  đẳng thức chiều suy ra: 1 1  3   Dấu xảy 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc a  b  c c)  a  b  b  c  c  a   8abc Cách 1: Ta có: a  b  ab , b  c  bc , c  a  ca   a  b  b  c  c  a   8abc Cách 2:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b  c  3 abc , ab  bc  ca  3 a 2b 2c  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  a  b  c  ab  bc  ca   9abc Suy  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc  8abc Chú ý:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức: d)  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca  Chú ý rằng:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Áp dụng câu c ta có đpcm e) Ta ý:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Suy ab  bc  ca   abc abc Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b  b  c  c  a  3  a  b  b  c  c  a    a  b  c  khác sử dụng:  a  b  b  c  c  a   8abc  abc  Mặt Từ suy ra: 1  abc  Dấu ‘’=’’ xảy ab  bc  ca   abc abc 1 Ví dụ 2: a) Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a  b  c  Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1   Chứng minh: a b 1 Q   Trích đề tuyển sinh lớp 10 2 2 a  b  2ab b  a  2a b chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013) c) Cho số thực dương a, b cho a  b  Chứng minh: b) Cho số thực dương a, b cho : a b  1   a  b           10 b a a b  d) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ P  2a  bc  2b  ac  2c  ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014 e) Cho số thực không âm a, b cho a  b  Tìm GTLN P ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015 ab2 Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a  b  c  Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a  b2  2ab, b2  c  2bc, c  a  2ac, a   2a, b   2b, c   2c Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy  a  b2  c     ab  bc  ca  a  b  c   12  a  b  c  Dấu xảy a  b  c  b) Dự đoán a  b  bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cơ si sau: Ta có: a  b2  2a 2b, b  a  2ab Từ suy Q 1 1     Từ 2 2a b  2ab 2b a  2a b 2ab  a  b  2ab  a  b  ab  a  b  giả thiết 1 ab  2   a  b  2ab suy Q  Do a b ab  a  b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1 1     Suy Q  Dấu xảy a b ab a b 2 a  b  2 c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:  2  a  b   2ab     a  b   2ab a  b 9  2ab  10 Hay ab a 2b  2ab  2ab  4ab   2  10   2a 2b  4a3b3  24ab  12a 2b  36  18ab  ab ab  2a 2b  4a 3b3  24ab  12a 2b  36  18ab   4t  10t  42t  36   a  b (*) với  t  ab   Ta có (*) tương đương với: 2t  5t  21t  18    t  1  2t  3t  18  Do 2t  3t  18  t   nên  t  1  2t  3t  18  Dấu xảy t   a  b  d) 2a  bc  a  a  b  c   bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si  a  b  a  c   abac , tương tự ta có: 2b  ac  b  a  b  c   ac  2c  ab   b  a  b  c   babc , cacb Từ suy P  2a  bc  2b  ac  2c  ab  Dấu xảy a  b  c  Ta viết lại P  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b    2(a  b  c) 2 2 ab  Đặt a  b   t  t  ab2  a  b  2ab   t    2ab  t  2t   a  b    t   Ta có : 2 2  a  b2    a  b    a  b    a  b  2   t  2  Ta 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word chứng minh: P  ab t  2t  Dự đoán dấu xảy  ab2 t a  b   t  2  nên ta chứng minh: P t  2t     t 1 1 Hay t         1 t2  2  t  2      t    t  2  t    Bất đẳng thức  t  2  Dấu xảy t 2 22 a b MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cơ si Đối với tốn bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho x, y số dương thỏa mãn x  y  Chứng minh x2 y  x2  y   (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Lời giải: Ta dự đoán dấu xảy x  y  Khi xy  , x  y  Mặt khác để tận dụng giả thiết x  y  ta đưa đẳng thức  x  y Vì ta phân tích tốn sau: x y  x  y   xy.2 xy  x  y  Theo bất đẳng thức Cauchy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  x  y xy   xy  x  y   x  y   Từ  , xy  x  y        2 4 suy x y  x  y   Dấu xảy x  y  Ngoài cách làm ta giải tốn cách đưa biến: t  x  y t  xy với ý:  x  y   xy ,  x  y    x  y  Thật 2 vậy: Đặt t  xy;  x  y   x  y  xy   x  y  2t  x  y   2t Do 2 2  x  y xy     t  Ta cần chứng minh: t   2t    t  2t     t  1  t  t  1  Bất đẳng thức với giá trị  t  Ví dụ 2: a) Cho a, b số không âm thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009) b) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  , tìm giá trị lớn biểu thức: Q  x y z   (Đề thi tuyển x  x  yz y  y  zx z  z  xy sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Dự đoán dấu xảy a  b  Khi 3a  a  2b,3b  b  2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy  x y , dễ thấy 3a  a  2b  2a  ab , 3b  b  2a b 3b  b  2a   b  2b  ab a 3a  a  2b   a Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được: M  a 3a  a  2b   b 3b  b  2a    a  b   2ab   2ab Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:  2ab   a  b  Từ ta có M  Dấu xảy  a  b  b) Ta có:    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương x   x x  x  y  z   yz  x x x  yz  x x   x  yz  x x  x  y  z   yz  x x  x  yz  x  y  x  z   x  xy  yz  xz ab  ab ta có:  x yxz  x  x xy  xz    Chứng xy  yz  xz  xy  yz  xz  minh tương tự cộng vế, ta suy Q  Đẳng thức xảy 1 Vậy Q lớn x  y  z  3 Ví dụ 3: Cho c  a, b  c Chứng minh x yz c  a  c   c  b  c   ab Lời giải:Dự đoán dấu xảy a  b Bất đẳng thức cần chứng minh viết thành: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  a 2 b  c  1 2  b  c  1 2 Từ cộng bất đẳng thức a  b  c  b  c     1     chiều ta suy điều phải chứng minh: a 2 Chú ý: Với giả thiết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ta cần ý biến đổi để sử dụng điều kiện: a  b  c  0, b  c  a  0, c  a  b  Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   1 3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b Phân tích: a a  m(3a  b  c) m  Ta chọn m  đó: 3a  b  c 3a  b  c a abc Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh   3a  b  c 4(3a  b  c) viết lại thành: Ta viết lại: a b c 1        3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b 4 abc bca c  a b    3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b Ta có a  b  c  b  c  a  a  c  b VT    a  b  c  3a  b  c   a  b  c a  b  c  2(ab  bc  ca ) 1 Đối với bất đẳng thức dạng f (a )  f (b)  f (c)  M Ta thường thêm bớt vào số m để tử số có dạng bình phương http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Ví dụ 4: Cho số thực dương a, b, c cho abc  Chứng minh rằng: 1    a  a 1 b  b 1 c  c 1 Phân tích: 1  m  ma  ma để  m  ma  ma phân tích  m  2 a  a 1 a  a 1 thành: ( xa  y )  m  ma  ma  có nghiệm kép Hay Ta lấy Ta viết lại bất đẳng 4       1 hay thức thành: a  a 1 b  b 1 c  c 1   m2  4m(1  m)   m   3m    m  (2a  1)2 (2b  1)2 (2c  1)    Áp dụng bất đẳng thức: a  a  b2  b  c  c  x2 y z  x  y  z     ta thu được: A B C A B C  2(a  b  c)  3 VT  a  b  c   (a  b  c)   2(a  b  c)  3 a  b  c Ta cần chứng minh:   a  b2  c   (a  b  c)  3 hay  6(ab  bc  ca)   a  b  c  Ta có: (ab  bc  ca)2  a 2b2  b2c  c a  2abc(a  b  c)  a 2bc  b2ca  c ab  2abc(a  b  c)  3abc(a  b  c)  3(a  b  c) Ta quy toán chứng minh:  a  b  c   3(a  b  c)   a  b  c  Đặt t  3(a  b  c)  t  Ta có bất đằng thức trở thành: t4  6t  3t  t  27t  54t   t  t  27t  54   t (t  3)2 (t  6)  Điều hiển nhiên Dấu xảy a  b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh rằng: a b c    a  2b  b  2c  c  2a  2 Một số cách thêm bớt khơng mẫu mực: Ví dụ 5: Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh: a2 b2 c2    3a  3b  3c  18( ab  bc  ca) Giải: a2 3a 1 a    a  Ta có:  Vì ta quy tốn chứng 3a  3a   3a   minh: a b c    1 3a  3b  3c  6(ab  bc  ca) a  b  c a   Ta có:  3a  a  3a  1  b  3b  1  c  3c  1  a  b  c   Suy VT  1   1 2  a  b  c   6(ab  bc  ca)  a  b  c   Ví dụ 6: Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  Chứng minh:  b c a  1 a 1 b 1 c 2        a b c  1 a 1 b 1 c Giải: 1 a 2a   nên ta viết lại bất đẳng thức thành: 1 a b  c b c a a b c a a ab       Lại có:  nên ta  a b c bc ca ab c b  c c(b  c) Do http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word chứng minh:  ab  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta có: c(b  c )  ab  bc  ca  ab a 2b    c(b  c) abc(b  c) 2abc  a  b  c   ab  bc  ca   2abc  a  b  c  2 Ta cần chứng minh: toán quen thuộc Ví dụ 7: Cho số thực dương a, b, c cho ab  bc  ca  Chứng minh: a  b  c  ab bc ca 3    bc ca ab Giải: Nhân vế với a  b  c ý: ab a 2b Ta viết bất  a  b  c   ab  bc bc đẳng thức cần chứng minh thành: a  b  c 1 a 2b b2c c2a 3    a  b  c bc ca ab  ab  bc  ca  a 2b b2c c2a     Ta có: b  c c  a a  b b(b  c )  c (c  a )  a (a  b)  a  b  c 2  Cuối ta chứng minh:  a  b  c    a  b  c 1  3 a  b  c 3  a  b  c    a  b  c   3 nên ta quy về: 2   a  b  c   3 Dành cho học sinh a  b  c 1    a  b  c 1 Nhưng 4) PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Tùy theo tốn ta chọn cách đặt ẩn phụ sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1 1 1)  a, b, c    , ,  a b c  ka kb kc  2)  a, b, c    , ,   b c a  kb kc ka  3)  a, b, c    , ,   a b c   ka kb kc  , , 4)  a, b, c      bc ac ab   kbc kca kab  5)  a, b, c    , ,  b c   a Ví dụ 1: Cho số thực dương x, y, z cho xyz  Chứng minh rằng: 1    x  x 1 y  y 1 z  z 1 Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức: X Y Z2  X Y  Z     bất đẳng thức bị ngược dấu A B C A B C Để không bị ngược dấu ta thay  x, y, z    bc ca ab  , ,  bất đẳng thức a b c  cần chứng minh trở thành: a4 b4 c4    (*) a  a 2bc  b2c b4  b2 ac  a 2c c  c ab  a 2b2 X Y Z2  X Y  Z     Bây áp dụng bất đẳng thức: ta có: A B C A B C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word VT  a  b2  c2  a  a 2bc  b 2c  b  b ac  a 2c  c  c ab  a 2b Ta cần chứng minh: a  b2  c2  1 a  a 2bc  b c  b  b ac  a 2c  c  c ab  a 2b  b2c  a 2c  a 2b2  abc(a  b  c) Nhưng kết quen thuộc Ví dụ 2: Cho số thực dương x, y, z cho xyz  Chứng minh rằng: 1 1    ( x  1)( x  2) ( y  1)( y  2) ( z  1)( z  2) Phân tích: Đặt x   bc ac ab ; y  ; z  bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a b c a4  Áp dụng bất đẳng thức: 2 (2a  bc)(a  bc) X Y Z2  X Y  Z     ta có: A B C A B C VT    a  b2  c  (2a  bc)(a  bc) Ta cần chứng minh:   a  b2  c   (2a  bc)(a  bc)  a 2b2  b2c  c a  abc(a  b  c) Đây kết quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: 2x  x y 2y 2z  3 yz zx Giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a b c Đặt x  ; y  ; z  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: b c a a2 b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức    2 a  bc b  ac c  ab Bunhiacopxki ta có:    a(a  b)(a  c)  a2 b2 c2   a          a  bc   (a  b)(a  c)  b  ac c  ab a  bc      Mặt khác ta có:  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a  Mặt khác ta có:   ab  bc  ca  a   Ta quy (a  b)(a  c) (a  b)(b  c)(c  a ) 4(a  b  c) toán chứng minh:  a(a  b)(a  c)   a  b  c  Mặt khác ta có: a  bc a(a  b)(a  c) a (b  c) Ta quy toán chứng minh:  a  a  bc a  bc a (b  c)   abc a  bc KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HĨA Ví dụ 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: 2a 2b 2c   3 ab bc ca Giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có: 2a  ab 2a  a  c      a  b  (a  c)  2a  a  c      a  b  (a  c)    a b c 2(a  b  c)       a  b  (a  c)  b  c  (b  a)  c  a  (c  b)   a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a  Bây ta cần chứng minh:  a  b  c  ab  bc  ca     a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a  Nhưng kết quen thuộc: Ví dụ 2: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh: a b c    a  b  2c b  c  2a c  a  2b Giải: Ta có: a  a  b  2c a  a  2b  c      a  b  2c  a  2b  c   a  a  2b  c     a  b  c a  b  c       a   ab    a      a  a  2b  c      a  b  c a  b  c       a  b  2c  a  2b  c  (b  2a  c) Ta cần chứng minh:   a   ab    a   a  b  2c  a  2b  c  (b  2a  c)  Sau khai triển thu gọn được:  a3  b3  c3   ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a) Đây toán quen thuộc Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c cho a  b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Chứng minh: ab bc ca    ab  bc bc  ca ca  ab Giải: Ta có:     ab a 2b   ac ab  bc a 2b  a  b   a  c  a  b  suy 2     a    a b  abc  a  a 2b  a  b   a 2b      a  b       a  c  a  b    a  b  b  c  (c  a )   a  c  a  b   Ta cần chứng minh:   a    a 2b  abc  a      a    a 2b  abc  a   a  b  b  c  (c  a)   a  b  c  a  b  b  c  (c  a ) Khai triển thu gọn ta quy về: ab  a  b2   bc  b2  c   ca  c  a    a 2b2  b2 c  c a  Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo BĐT cô si: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 1) 2) 3) 4) 5) 6) a b c a bc    2 b  bc  c c  ca  a c  ca  a ab  bc  ca a b c a bc    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a a b c a  3 b2  3 c  3   a  b  c  1 a3b b3c c3a abc(a  b  c)    2  ab  bc  ca  abc 2 a b c    với a  b  c  2 a  2b b  2c c  2a ab bc ca    a  b  c a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ab2 bc ca a bc    2 2 2 a  2b  c b  2c  a c  2a  b 1    với a  b  c  2 2ab  2bc  2ca  3a  b 3b  c 3c  a    Với a, b, c độ dài cạnh tam giác 2a  c 2b  a 2c  b a b c ab  bc  ca    2  Với a, b, c độ dài 10) bc ca ab a b c cạnh tam giác 7) 8) 9) 10) ab bc ca biết a, b, c  cho không  2   2 a b b c c a 11) có số đồng thời a  b2  c  2(ab  bc  ca) a b c    biết a, b, c  cho 4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab khơng có số đồng thời a  b  c  12) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 1) Ta có: a b c a bc    2 b  bc  c c  ca  a c  ca  a ab  bc  ca a a2 Suy  b2  bc  c ab2  abc  ac a  b  c a2   2 ab  abc  ac ab  ac  bc  ba  3abc a  b  c abc ab  ac  bc  ba  3abc ab  bc  ca   ab  bc  ca  a  b  c   ab  ac  bc  ba  3abc (Nhưng Ta cần chứng minh: 2 2  đẳng thức) 2) Ta có: ab  bc  ca  a  b  c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy a b c a bc    2 2 2 b  bc  c c  ca  a c  ca  a a b c 2   b  c  12    b  c   3)  a  b  c  1   a        a  3 1  3        b  c  12  Từ suy  a  b  c  1   a  3 1   Ta chứng minh:   2   b  c  12   a  3 1     a  3 b  3 c  3  3   b  c  1    b     Bất đẳng thức tương đương với: 3   b  c  1    b  3 c  3    b  c  2bc  2b  2c   9b  9c  3b     b  c   3b 2c  8(b  c)  8bc  13  Ta viết lại bất đẳng thức   thành: b2  c  2bc  8(b  c)    bc  1      Ta có b2  c  2bc, b2  c   b  c   b2  c   b  c  Nên 2  b2  c   2bc  8(b  c)    bc  1  2(b  c)  8(b  c)   2bc  2bc  3(bc    b  c    3(bc  1)2  Dấu xảy a  b  c  4) a3b b3c c3a abc(a  b  c)    2  ab  bc  ca  abc http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có: a3b a 4b c Suy   ab2 abc  a 2b3c a 2bc  b ac  c ab   a 3b a 4b c     ab abc  a 2b3c abc  a 2b3c  bca  b 2c 3a  cab  c a 3b 2  a 2b c  a  b  c  abc  a 2b3c  bca  b 2c3a  cab  c a3b Ta chứng minh: a 2b c  a  b  c  abc  a b c  bca  b c a  cab  c a b 2 2 2  abc(a  b  c)  abc 1  abc  abc(a  b  c)  abc  a 2b3c  bca  b 2c3a  cab  c a3b Đây đẳng thức.Dấu xảy a  b  c 5) a2 a4  a  2b a  2a 2b a  b2  c2   a2 a4   Suy  Ta chứng minh: a  2b a  2a b  a   a 2b 2 a  b2  c2   a   a 2b Hay a 1  b2  c2  a  2a b 2   a  b  c  a  b3  c Ta cần chứng minh: a  b  c  a  b3  c với a  b  c  Ta chứng minh:  a  b4  c    a3  b3  c3   a  b  c    a  b  c   ab  a  b   bc  b  c Để ý rằng:  a  b4    a  b2    a  b2  a  b2   2ab  a  b2   a  b4  ab  a  b2  Cộng ba bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh: 6) Ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1 1 1  ab  ab          a  3b  2c (a  c)  (b  c)  2b  a  b b  c 2b  a  3b  2c  a  b Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại thu được: ab bc ca  ab ab bc bc c       a   b a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b  a  c b  c ba ca c ab bc ca     a  b  c a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b 7) Ta có ab2 bc ca a bc    2 2 2 2 a  2b  c b  2c  a c  2a  b  b  a2 a  b  ab b b2       a  2b  c  a  b  b  c   a  b b  c  Suy b  a2 b2  c  b2 c2  a  a2 c2  a  b  c VT              a  b2 b2  c2   b2  c2 c2  a   a  b2 c  a  1   1 2 2ab  2bc  2ca  8) c2 suy  2ab2  2ab2c  c Ta có: VT  a  b  c a  b2  c  2a 2b2 c  2a 2bc  2ab2 c a  b  c a  b  c  2a b c  2a bc  2ab c 2 2 Ta chứng minh: 2 2   ab  bc  ca  a 2b 2c  a 2bc  ab 2c  ab  bc  ca  abc(a  b  c )  abc  Theo bất đẳng thức Cô si ta có:  a  b  c  3 abc   abc  điều phải chứng minh http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 9) Ta xét: 3a  b a(3  2m)  b  mc m  2a  c 2a  c Chọn m  để xuất hiện: 3a  b abc 1  2a  c 2a  c Khi ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: a bc bc a c  a b   1 2a  c 2b  a 2c  b Suy a  b  c  b  c  a  c  a  b VT  (a  b  c)(2a  c) a  b  c  a  b  c  Đpcm 10) Ta viết lại bất đẳng thức thành: 1 a b c ab  bc  ca 1 1   2 bc ca a b a b c a  b  c bc a a c b a bc     bc ca ab  a  b2  c2  4a  b  c a  b  c  Ta có VT    b  c  a  b  c   a  b  c  11) Ta có: ab ab a  b 2ab   2 2 2 a b a b a b Ta quy toán chứng minh:  a  b a  b2 b  c   b2  c c  a   2ab 2bc 2ca  2  Hay a  b b  c c  a2 2 c2  a2  Thật ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word VT  4a  b  c 4a  b  c 2  a  b2  c2   a 2  b  c   2ab  2bc  2ca  Dấu xảy a  b, c  hoán vị a b c     12) Ta có: VT   a  b  c     4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab  a b c    2    Ta chứng minh:  4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab  a b c    4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab a b c        4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab bc ca ab     4a  3bc 4b  3ca 4c  3ab Ta có: VT   ab  bc  ca   a b  b c  c a  4abc  2 2 2  ab  bc  ca    a b  b c  c a  2abc  a  b  c   2 2 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  ...    Bất đẳng thức  t  2  Dấu xảy t 2 22 a b MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng thức Cô si Đối với toán bất đẳng thức đối... 2b,3b  b  2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy  x y , dễ...  c    a  b  c  Bất đẳng thức cuối a  b  c  hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta 1 có:  a  2, ;  b  2;  c  a b c Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a  b  c  http://dethithpt.com