Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trò, vị trí quan trọng, môn học công cụ Nếu học tốt mơn Tốn tri thức Tốn với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Hơn nữa, mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách học sinh Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, mơn Tốn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động như: Tính cẩn thận, tính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo… Do q trình dạy học đòi hỏi đội ngũ thầy, giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dưỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong trình thực tế giảng dạy học sinh khối 11 12 trường THPT Thạch Thành năm học qua đặc biệt năm học 20152016 , tơi thấy học sinh gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học nói chung đặc biệt tốn “Tính khoảng cách” hình học khơng gian nói riêng, có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học hình học, học sinh khơng để ý đến các định nghĩa, định lý tính chất hình học Các phương pháp giải mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải cho riêng tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính dẫn đến tình trạng em bị lúng túng trước cách hỏi tốn Với vai trò giáo viên dạy Toán qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy đồng nghiệp với mong muốn tìm hướng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày số phương pháp kinh nghiệm việc giải tốn “Tính khoảng cách” là: “Hướng dẫn học sinh giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo đề thi THPT Quốc gia ” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm phương pháp dạy học phù hợp cho đối tượng học sinh, để từ tạo hứng thú học tập cho em, giúp cho em hiểu rõ dạng toán định hướng cách giải cho tốn “Tính khoảng cách” Để Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành từ rút kết luận đề xuất số biện pháp cụ thể tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy học Đối tượng nghiên cứu Trong trình giảng dạy học sinh khối 11 12 đặc biệt đối tượng học sinh ôn tập để tham dự kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 Theo cấu trúc đề thi, để em đạt điểm đồng nghĩa với việc em phải vượt qua câu hỏi ( thường số ) có nội dung liên quan đến tốn “Tính khoảng cách” Rõ ràng mốc quan trọng đề thi, mốc mà định đến việc chọn trường để học sau em Với tinh thần tơi định chọn đề tài , nhằm giúp em nắm phương pháp để giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp trực quan  Phương pháp nêu giải vấn đề  Phương pháp thực nghiệm B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÝ LUẬN Các định nghĩa Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900 Nếu đường thẳng a không Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, với H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (α) song song với d khoảng cách từ điểm thuộc d đến mặt phẳng (α) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Các tính chất thường sử dụng a b   Tính chất 1: a, b  ( P)   d  ( P) d  a, d  b  a  ( P)   Tính chất 2: d  ( P)   d  a a  ( P)  Tính chất 3: d  ( P)    d '  ( P) d '/ / d  ( P) / /(Q)    d  (Q) d  ( P)  d / /( P)   d' d d '  ( P)  Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang Nguyễn Sỹ Thạc Tính chất 4: Trường THPT Thạch Thành d  ( P)    ( P)  (Q) d  (Q)  ( P)  (Q)  ( P)  (Q)    Tính chất 5:   d  (Q) d  ( P)   d  Tính chất 6: Cho hai đường thẳng chéo Có nhấy mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Hình học khơng gian nội dung quan trọng cấu trúc đề thi THPT Quốc gia Bộ giáo dục, học sinh không nắm vững phương pháp bước thực em gặp nhiều lúng túng làm dạng tốn Có lẽ tốn mà học sinh gặp nhiều khó khăn tốn “Tính khoảng cách” Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy có nhiều học sinh ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ q trừu tượng thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phía gi�Lời giải mong muốn: S K A D H x B C Từ giả thiết ta có ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD nên AC  CD Vì SH   ABCD  nên SH  CD , từ ta có   600 CD   SAC  Do góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) SCH AC  AD  CD  a  HC  2a a AC  , AH  AC  3 3 SH  HC.tan 600  2a Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang 12 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành Kẻ đường thẳng Ax song song với CD Gọi (P) mặt phẳng chứa Ax SA , AC   P  suy d  CD, SA   d  CD,  P    d  C ,  P    3d  H ,  P   ( CA  3HA ) Ta có AC  CD nên HA  Ax mà SH  Ax  Ax   SAH  Từ H kẻ HK  SA ,  K  SA  , Ax  HK  HK   P  nên HK  d  H ,  P   1 13 2a 13     HK  2 HK AH SH 4a 13 2a 13 Vậy khoảng cách hai đường thẳng SA CD 13 Trong tam giác vng SHK có Nhận xét: Đây tốn mà chưa có sẵn mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại Cách tiếp cận mặt phẳng (P) đáp án trừu tượng học sinh , ta hướng dẫn học sinh tiếp cận mặt phẳng (P) theo lối mòn sau: S K A D H E B C “ Dựng hình bình hành ADCE, ta có CD  EA nên CD   SAE  mà SA   SAE  d  CD, SA   d  CD,  SAE    d  C ,  SAE    3d  H ,  SAE   ” Các bước thực đáp án nêu Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang 13 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh , AC  Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD, M trung điểm cạnh SC, biết SO vng góc với mặt đáy SO  2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM Lời giải mong muốn: S M A B O D H C Vì SA // (OMB) nên d  SA; MB   d  SA;  OMB    d  S ;  OMB    d  C ;  OMB   Kẻ MH  (ABCD)  H  OC Ta có tính OB  1, MH  SO  2 SOBC MH  (1) 3 1 Ta lại có OM  SA  VC MOB  S MOB d  C ;  OMB   1  OB.OM d  C ;  OMB   Do VM OBC  Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn (2) Trang 14 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành Từ (1) (2) ta có d (C ;  OMB   d  SA; MB   Vậy khoảng cách hai đường thẳng SA BM Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  2a Hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 450 Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SD theo a Lời giải mong muốn: S M D C O A H B Gọi H trọng tâm tam giác BCD Theo giả thiết ta có SH  ( ABCD) Gọi O giao điểm AC BD Ta có CH  CO  AC  a  AH  AC  HC  2a 3   450 , SH = AH =2a Cạnh SA tạo với đáy góc 450, suy SAH Gọi M trung điểm SB mặt phẳng (ACM) chứa AC song song với SD Do d  SD ; AC   d  SD ;  ACM    d  D ;  ACM   Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang 15 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành Chọn hệ tọa độ Oxyz , với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2a ; 0), C (a;2 2a;0), S( 2a 2a 5a 2 a ; ;2a ), M ( ; ; a) 3 Từ đó, ta viết phương trình mặt phẳng (ACM) là: 2 x  y  z  Do d ( SD, AC )  d ( D,( ACM ))  | 2 2a | 22a  11 1 Vậy khoảng cách hai đường thẳng AC SD 22a 11 Nhận xét: Ta dùng phương pháp hình học túy, quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải tốn Qua ví dụ cho thấy, tốn khơng phải có cách giải mà toán, tùy vào giả thiết nêu, trường hợp, học sinh định hướng cho nhiều phương pháp giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm tốn Có phương pháp giải hiệu tốn gặp khó khăn toán khác Bài tập Bài 1: (A-2010) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mp(ABCD) SH = a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC Bài 2: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a ; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 3: (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H nằm AB cho AH  HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Bài 4: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang 16 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành vuông, AB  BC  a , cạnh bên A’ A  a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng B’C AM theo a Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a, AD  a Biết góc đường thẳng A 'C mặt phẳng ABCD  600 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo B 'C C ' D theo a Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD theo a Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC tam giác vng B BA =BC = a Góc đường thẳng A′B với mặt phẳng ( ABC) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng A’B AC’ theo a Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy   1200 ; lấy điểm M cạnh (ABC), SA  a , AB  AC  a , BAC BC cho MC = 2MB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SM AC Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy  ABCD  hình thoi cạnh a góc  ABC  600 , SA vng góc với đáy  ABCD  , biết góc SC đáy  ABCD  450 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC theo a Bài 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , BC  3a , AC  a 10 , cạnh bên SA vng góc với đáy  ABC  , góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SM AC theo a , biết M điểm đoạn BC cho MC  MB IV HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM Một số phương pháp giải toán “Tính khoảng cách’’ thân tơi đồng nghiệp đơn vị thí điểm lớp mũi nhọn em học sinh có học lực từ trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua đợt thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang 17 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành Tuy nhiên với đề tài người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, ln khơng ngừng tìm tòi, tham khảo tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại cho học sinh tập định hướng để em học tập, tìm hiểu Đối tượng học sinh học sinh giỏi, tin tưởng thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải toán khoảng cách học sinh Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho em, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải tốn khoảng cách hình học khơng gian Qua thời gian thực tế giảng dạy tốn “Tính khoảng cách” trường THPT Thạch Thành 2, rút số kinh nghiệm sau  Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri học sinh, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng  Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải toán thơng qua việc luyện tập, nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em  Phải thường xuyên học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp  Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập  Ln tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập học sinh  Đặt câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh trình giảng dạy Do thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa nhiều nên đề tài tơi khơng tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang 18 Nguyễn Sỹ Thạc XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Trường THPT Thạch Thành Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Nguyễn Sỹ Thạc Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn Trang 19 ... (trên đường thẳng ∆) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng d mặt phẳng (α) song song với d khoảng cách từ điểm thuộc d đến mặt phẳng (α) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách. . .khoảng cách hai đường thẳng chéo B 'C C ' D theo a Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường ... khoảng cách Rõ ràng mốc quan trọng đề thi, mốc mà định đến việc chọn trường để học sau em Với tinh thần tơi định chọn đề tài , nhằm giúp em nắm phương pháp để giải tốn tính khoảng cách hai đường thẳng