https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 ÔN TẬP HÈ TOÁN CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC 1.Nhắc lại luỹ thừa n ( n ∈ N ) số hữu tỷ: (n>0, n ∈ N ) Quy ước: ∀a ∈ Q, ta có a0=1 Với số hữu tỷ a, b ta có: an am = an + m an: am = an - m (a≠ 0, n ≥ m) (a b)n = an bn (an)m = an.m (a: b)n = an: bn (b ≠ 0) Nhân đa thức: (A+B-C).D= D (A+B-C) = AD+BD-CD (A+B)(C+D) = AC+AD+BC+BD 3.Một Số tập: Bài 1: Làm tính nhân a 5.x(3.x2-2.x-5) ; b (x2+3.x.y – 5).(-x.y) ; c 2 x y.(2.x − x y − 1) Bài 2: Rút gọn biểu thức sau a x.(3.x2-5)- x2.(3.x+1)+x2 ; b 3x(x-2)-5x(1-x)-8(x2-3) 1 c .x (6.x − 3) − x( x + ) + ( x + 4) 2 Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau a P = 7.x.(x2-3)+x2(7-5x)-7x2 Tại x=-5 ; b.Q = x.(x-y) +y(x-y) Tại x=15 y=10 Bài 4: Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến a.x(5x-3)-x2(x-1)+x(x2-6x)-10+3x ; b x(x2+x+1)-x2(x+1)-x+5 c (x-6)(2x+3)-2x(x- 4)+x+7 Bài 5: Tìm x biết a 3x(x-7) – x(5+ 3x) = 52 ; b.5x(12x-5) - 6x(10x-3) = 56 c 2x(5-2x) +4x(x-3) = 36 ; d.(6x-5)(8x-1)+(6x-7)(1-8x)=81 Bài 6: Thực phép tính a.(7x-2y)(x2-x.y+1) ; b (x-2)(x+2)(x+3) 1 c .x y (4 x + y )(4 x − y ) ; b ( x − 3)(2 x − 5) 2 d (x-9).(x-5) ; e.(x2-2xy+y2)(x-y) Bài 7: Cho a b hai số tự nhiên.Biết a:3 dư 1;b:3 dư Chứng minh a.b:3 dư Bài 8: Chứng minh biểu thức: n(2n-3) -2n(n+1) chia hết cho với số nguyên n CHUYÊN ĐỀ 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 A.LÍ THUYẾT: I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN *CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ: 1.(A+B)2 = A2+2AB+B2 2.(A-B)2 = A2-2AB+B2 3.A2 -B2= (A+B)(A-B) 4.(A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 5.(A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3 6.A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) 7.A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2) II/ KIẾN THỨC NÂNG CAO Bình phương đa thức + (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc + (a+b+c+d)2= a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd Luỹ thừa bậc n nhị thức (nhị thức niu tơn) + (a+b)0=1 + (a+b)1=1a+1b + (a+b)2=1a2+2ab+1b2 + (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3 + (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 Ta có khai triển (a+b)n ta đa thức co n+1 hạng tử, hạng tử đầu an hạng tử cuối bn * Nếu viết riêng hệ số vế phải ta bảng sau (Gọi tam giác Pa-xcan) 1 1 1 3 1 1 10 10 …………………………………………… B.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ: Bài 1: Cho đa thức 2x2-5x+3 Viết đa thức dạng đa thức biến y y= x+1 HD: Thay x = y-1 : Bài 2: Số lớn hai số A B ? A = (2+1).(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) B = 232 HD: Nhân hai vế A với (2-1) ta được: A = (2-1) (2+1).(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) • Áp dụng đẳng thức A2 -B2= (A+B)(A-B) nhiều lần ta được: A= 232-1 Vậy A 0 b) x2+5y2+2x-4xy-10y+14>0 c) 5x2+10y2-6xy-4x-2y+3>0 MỘT SỐ BÀI NÂNG CAO https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau a) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=232-1 b) 1002+1033+1052+942=1012+982+962+1072 Bài 2: a) Cho a2+b2+c2=ab+bc+ca Chứng minh a=b=c b) Tìm a,b,c thoả mãn đẳng thức : a2-2a+b2+4b+4c2-4c+6=0 Bài 3: Chứng minh khơng có số x, y thoả mãn đẳng thức sau: a) 3x2+y2+10x-2xy+26=0 b) 4x2+3y2-4x+30y+78=0 c) 3x2+6y2-12x-20y+40=0 Bài 4: Tìm x n ∈ N biết x2+2x+4n-2n+1+2=o Bài 5: Chứng minh rằng: a) x2+x+1>0 với x b) -4x2-4x-20 với x,y,z Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A= 25x2+3y2-10x+11 b) B= (x-3)2+(x-11)2 c) C= (x+1)(x-2)(x-3)(x-6) d) x2-4xy+5y2+10x-22y+28 Bài 7: Cho x>y>0 x-y=7; xy=60 khơng tính x, y tính a) x2-y2 b) x4+y4 c) x6+y6 Bài 8: Cho a+b+c =2p Chứng minh rằng: a) a2-b2-c2+2bc=4(p-b)(p-c) b) p2+(p-a)2+(p-b)2+(p-c)2= a2+b2c2 Bài 9: Cho x+y+z=0 chứng minh x3+y3+z3=3xyz Bài 10: Cho x-y=2 tính giá trị biểu thức:A= 2(x3-y3) -3(x+y)2 Bài 11*: Cho a+b+c+d=o chứng minh rằng:a3+b3+c3+d3= 3(b+c)(ad-bc) Bài 12: Cho a+b+c=0; a2+b2+c2=1 Chứng minh a4+b4+c4= Bài 13: Cho a+b=1.Tính giá trị M=2(a3-+b3) -3(a2+b2) Bài 14: Cho x+y=2 x2+y2=10.Tính giá trị biểu thức x3+y3 Bài 15: Chứng minh (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2 Với x,y,z khác thì: a b c = = x y z Chuyên đề 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 5x(x-2y) +2(2y-x)2; b) 7x(y-4)2 –(4-y)3 ; c) (4x-8)(x2+6)-(4x-8)(x+7)+9(8-4x) Bài 2: Chứng minh rằng: a) 432+43.17 M60 ; b) 275-311 M80 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 1000x2- (x2+25)2; b) (x-y+5)2-2(x-y+5)+1 ; c) (x2+4y2-5)2-16(x2y2+2xy+1) Bài 4: Cho A=4a2b2-(a2+b2-c2)2 a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A> Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2-xz-9y2+3yz; b) x3-x2-5x+125; c) x3+2x2-6x-27; d) 12x3+4x2-27x-9 Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2-13x+42 ; b) 6x2-11x-7 ; c) x2-7x+12 ; d).15 x2+29x+14 ; e) x2-6x+8 ; f) 9x2+6x – Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x4+4x3-x2-x b) x6-x4-9x3+9x2 c) x4-4x3+8x2-16x+16 d) (xy+4)2-4(x+y)2 Bài 8: Cho B = x2+7x-3 Tìm x để: a).B=0 ; b).B > ; c) B < Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:a).(x2+x)2+4x2+4x-12 b) x3+3x24 c).2x3-5x2+8x-3; d).x3- 4x2- 8x+8 ; f).x2(x2+4)- x2+4 ; e) x2(x+4)2(x2+4)2- (x2- 1) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a).3x2-22xy-4x+8y+7y2+1 b).12x2+5x-12y2+12y-10xy-3 c).x4+6x3+11x2+6x+1 d).x3+3x2+6x+4 Bài 11: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố: a) A = n3- 4n2+4n -1 b) B = n3- 6n2+9n -2 Bài 12: Tìm x biết: a) x3-x = ; b) (2x-1)2- (x+3)2 = ; c).5x(x-3)+3-x=0 d) x2-4x+3 = ; e) x2-36 =0 ; f) x2- 6x+9=0 Bài 13: Tính nhẩm:a) 742-262 ; b) 47 2- 532 ; c).2006 2- ;d) 20072- 10072 BỔ SUNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I/Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Cách 1: Tách hạng tử cuối: 4x2-8x+3 = 4x2-8x+4-1=(2x-2)2-12=(2x-2+1)(2x-2-1)=(2x-1)(2x-3) Cách 2: Tách hạng tử 2: 4x2-8x+3 = 4x2-2x-6x+3=2x(2x-1)-3(2x-1)=(2x-1)(2x-3) II/ Phương pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x4+y4= 4x4+4x2y2+y4-4x2y2=(2x2+y2)2- (2xy)2= (2x2y2+y2+2xy)(2x2y2+y2-2xy) III/ Phương pháp đổi biến Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2-3x-1)2-12(x2-3x-1)+27 Đặt y=x2-3x-1 ta được: y2 -12y+27=(y-3)(y-9) = (x2-3x-1-3)(x2-3x-1-9)= (x2-3x-4)(x2-3x-10)=(x+1)(x-4)(x+2)(x-5) IV/ phương pháp đồng hệ số https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A=x4 -3x3+6x2-5x+3 Khi phân tích A có dạng:A=x4 -3x3+6x2-5x+3=(x2+ax+1)(x2bx+3) =(x2+ax-1) (x2bx-3) Xét trường hợp A=(x2+ax+1)(x2bx+3) ta có x4 -3x3+6x2-5x+3 = x4+(a+b)x3+(ab+4)x2=(3a+b)x+3 Đồng hệ số hai đa thức ta a+b= -3 (1) ab+4= (2) => a=-1; b= -2 3a+b= -5 (3) Vậy A= (x2-x+1)(x2-2x+3) CÁC DẠNG BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 3x2-11x+6 b) 8x2+10x-3 c) 8x2 -2x -1 d) 6x2+7xy+2y2 e) x2-y2+10x-6y+16 f) x3+x+2 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x4+5x3+10x-4 b) x3+y3+z3-3xyz c) x7+x2+1 d) x8+x+1 e) x5+x4+1 f) x10+x5+1 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2-2xy+y2+3x-3y-4 b) (12x2-12xy+3y2)-10(2x-y)+8 c) (a-b)3+(b-c)3+(c-a)3 d) (x2-2x)(x2-2x-1)-6 e) (x2+4x-3)2-5x(x2+4x-3)+6x2 f) (x2+x+4)2+8x(x2+x+4) +15x2 MỘT SỐ BÀI NÂNG CAO Bài 1: Cho x,y,z số dương thoả mãn điều kiện:(x+y)(y+z)(z+x)=8xyz Chứng minh rằng: x=y=z Bài 2: Chứng minh rằng: a) 2110-1 M200 b) 3920+3913 M40 c) 260+530 M41 d) 20052007+20072005 M2006 Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x4-25x2+20x-4 b) x2(x2-6)-x2+9 c) ab(x2+y2) –xy(a2+b2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (a+b+c)2+(a-b+c)2-4b2 b) a(b2-c2)-b(c2-a2)+c(a2-b2) ; c) a5+b5-(a+b)5 Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (a+b-2c)3+(b+c-2a)3+(c+a-2b)3 ; b) (a+b+c)3+(a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 Bài 7: Chứng minh a) (x+y+z)3-x3-y3-z3=3(x+y)(y+z)(z+x) b) Cho x+y+z=1 x3+y3+z3=1 Chứng minh x2007+y2007+z2007=1 Bài 8: Tính giá trị biểu thức A, biết x3-x=6: A= x6-2x4+x3+x2-x Bài 9: Cho x y hai số khác cho x2-y=y2-x Tính giá trị biểu thức A= x2+2xy+y2-3x-3y Bài 10: Cho x>y>z, chứng minh biểu thức A=x4(y-z)+y4(z-x)+z4(x-y) luôn dương CHUYÊN ĐỀ 4: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 I/ CÁC DẠNG BÀI TẬP (Bắt buộc) * Dạng 1: Cộng, trừ phân thức đại số Bài 1: Thực phép cộng a) x+ y x− y + a a b) Bài 2: Thực phép tính 2x + y 2x − y a) x( y − x) − x( y − x) b) x − x − 3x + x−2 x−2 c) x4 xy − x + xy + y x + xy + y Bài 3: Thực phép tính sau 5x + + + x + x − − x2 3xy x− y c) x − y + y − x3 + x + xy + y a) x2 − x x3 − x x −1 + + 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 x2 + y2 xy − c) 2 x − y − xy x − y − xy 1− 2x 2x + + 2x 2x −1 2x − 4x2 d) x + xy + y + xy − x − y + x − y b) Bài 4: Thực phép tính: x2 + y2 x+ y 3x + 3x − − − d) x − 2x +1 x −1 x + 2x +1 x4 + x2 + 1 + x − x x (1 − x) − − c) x −3 3+ x − x2 b) x + y − a) x + − * Dạng 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức x +1 x + + với x= -1/3 x2 − x − x2 x y z b) Cho xyz=1 Tính tổng T= xy + x + + yz + y + + xz + z + x+2 − + Bài 6: Cho biểu thức B = x+3 x + x−6 2− x Bài 5: Rút gọn tính giá trị biểu thức sau.:a) a) Rút gọn biểu thức B ; b) Tìm giá trị nguyên x để B có giá trị nguyên * Dạng 3: Chứng minh Bài 7: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y,z x− y y−z z−x a) xy + yz + zx Bài 8: Chứng minh đẳng thức: 2x + y 8y 2x − y 1 b) ( x − y )( y − z ) − ( x − z )( y − z ) − ( x − y )( x − z ) 2(2 x − y ) a) x − xy + y − x + x + xy = x(2 x + y ) ;b) 1 16 32 + + + + + = 16 1− x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x − x 32 1 1 c) x( x − y )( x − z ) + y ( y − z )( y − x) + z ( z − x)( z − y ) = xyz Bài 9: Chứng minh đẳng thức: a) z+x x+ y y+z x x2 x2 − − − =0 − − − = − x ;b) ( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z ) ( x − y )( x − z ) x x −1 x +1 x − x II/ CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 10: Rút gọc biểu thức sau.: https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 1 2a 4a 8a + + + + 8 a−b a +b a +b a +b a +b 1 1 + + + + b) B = a + a a + 3a + a + 5a + a + a + 12 a + 9a + 20 1 1 Bài 11: Cho + + = Chứng minh vời n số nguyên lẻ a b c a +b+c 1 1 Ta có: n + n + n = n n n a b c a +b +c a) A = Bài 12: Cho a,b,c khác đôi Chứng minh rằng: b−c c−a a −b 2 a) (a − b)(a − c) + (b − c)(b − a ) + (c − a)(c − b) = a − b + b − c + c − a b−c (b − a ) + (a − c ) 1 HD: (a − b)(a − c) = (a − b)(a − c) = a − b + c − a tương tự với hai phân thức lại ( x − b)( x − c) ( x − c)( x − a ) ( x − a )( x − b) b) (a − b)(a − c) + (b − c)(b − a ) + (c − a )(c − b) = Chọn MTC= (a-b)(b-c)(c-a) 1 1 1 Bài 13: Chứng minh nếu: x − y − z = x = y + z x + y + z = 1 1 HD: Bình phương hai vế x − y − z = áp dụng (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) CÁC BÀI TỔNG HỢP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (TT) x − x y − xy + y A= x + x y − xy − y Bài 1: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Với giá trị x y A=1 Bài 2: Cho biểu thức B= x+2 − + x+3 x + x−6 2− x a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị nguyên x để B có giá trị nguyên Bài 3: Cho biểu thức C = x(1 − x ) 1+ x  − x  + x  :  + x  − x   + x   − x a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị biểu thức C x=4 c) Tìm giá trị x để 3.C=1 Bài 4: Cho biểu thức  + x 4x 2 − x  x − 3x  : D =  − −  − x x − + x  2x − x a) Rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị biểu thức D x − = Bài 5: Cho biểu thức E = x − + (2 x + 1)( x − 1) 9x − a) Rút gọn biểu thức E https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ b) Tìm x để E >0 Bài 6: Cho biểu thức F = file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 x − − (4 x − 2)( x − 3) x − 6x + a) Rút gọn biểu thức F b) Tìm giá trị nguyên x để F có giá trị nguyên x + x −1   x  − − + :   x −1 x +   x + 1 − x x −1   Bài 7: Cho biểu thức G =  a) Gút gọn biểu thức G ; b) Tính giá trị biểu thức G x=16 c) Tìm giá trị x để G =-3  Bài 8: Cho biểu thức K = 1 +  x   2x  − :  x + 1  x −1 x + x − x −1 a) Rút gọn biểu thức K ; b) Tính giá trị biểu thức K x=25; c) Tìm giá trị x để K>1 Bài 9: Cho biểu thức  a2 + b2 L =  2  a −b   a + b a   a + b b   :  + . −    a − b b   a − b a  a =4 b  a  a2   a2 a3    M = + : − Bài 10: Cho biểu thức  a + b b − a   a + b a + b + 2ab      a a) Rút gọn biểu thức M ; b) Tính giá trị biểu thức M = b = a c) Tìm giá trị a b trường hợp = M=1 b 2 2 a b a + b2 N = + − Bài 11: Cho biểu thức ab + b ab − a ab a) Rút gọn biểu thức L ; b) Tính giá trị biểu thức L a) Rút gọn biểu thưc N b) Tính giá trị N a = 5; b = a2 a2 + = N có giá trị khơng đổi b2 b2 + (2 x − 3)( x − 1) − 4(2 x − 3) P = Bài 12: Cho biểu thức ( x + 1) ( x − 3) c) CMR a) Rút gọn biểu thức P ; b) Tính giá trị biểu thức P x = c) Tìm giá trị x để P >1 x −1 x   3x −  − +  : 1 −  3x +   3x − 3x + x −    Bài 13: Cho biểu thức Q =  a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị biểu thức Q x = ; c) Tìm x Q = Bài 14: Cho biểu thức R = a) Rút gọn R 2a + 3b − ab − ab + 2a − 3b − ab + 2a + 3b + 10 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ file word đủ 25 buổi Zalo: 0946095198 b + 81 b số nguyên chia hết cho b − 81 a 15 x − 11 3x − 2 x + + − Bài 15: Rút gọn U = Tìm x U = x + 2x − − x x+3 x +  x − 2x +  x−2  Bài 16: Cho biểu thức A1 =  − 2  x − x + 2x + 1 b) CMR R = 2 a) Tìm điều kiện xác định A1 b) Rút gọn A1 ; c) Tìm số trị A1 với x=0,16  x2 + x  x −1  : + ; ( x ≥ 0; x ≠ 1) Bài 17: Cho A4 =  +  x −1 x + x +1 1− x  a) Rút gọn A4 b) CMR: A4>0 ∀x ≥ 0; x ≠  x2 − 2x  A = − +  : Bài 18: Cho  x + x −1 x −1 a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x đẻ A6=0,5 11 ... thức sau a) 1272+146.127+732 b) 98. 28- ( 184 -1).( 184 -1) c) 1002-992+ 982 -972+…+22-12 d).(202+ 182 +…+42+22)-(192+172+ +12) e) 780 − 220 125 + 150.125 + 75 f).342+662+ 68. 66 Bài 7: Tính a) (x+2y)2; (x-2y)2;... đủ 25 buổi Zalo: 09460951 98 MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 5x(x-2y) +2(2y-x)2; b) 7x(y-4)2 –(4-y)3 ; c) (4x -8) (x2+6)-(4x -8) (x+7)+9 (8- 4x) Bài 2: Chứng minh rằng:... tử:a).(x2+x)2+4x2+4x-12 b) x3+3x24 c).2x3-5x2+8x-3; d).x3- 4x2- 8x +8 ; f).x2(x2+4)- x2+4 ; e) x2(x+4)2(x2+4)2- (x2- 1) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a).3x2-22xy-4x+8y+7y2+1 b).12x2+5x-12y2+12y-10xy-3