SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: TỐN Thời gian: 180 phút (không kể phát đề) Câu (5 điểm) Giả sử α, β nghiệm thực phương trình [ ; ] là tập xác định hàm số ( ) = a) Đặt ( ) = ( ) b) Chứng minh rằng: Với ( ) + ( = 0 ( ∈ ) =1 ( ) Tìm ( ) theo t , ) , + ∈ 0; ( ) , < √ + + Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC có = 60 , > Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H giao điểm hai đường cao BE CF ( ∈ = cạnh BH, HF lấy điểm M, N cho , ∈ ) Trên Tính giá trị Câu (5 điểm) Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với học sinh có lần phân công làm vệ sinh ngày a) Khi = 3, tìm số cách xếp học sinh thỏa yêu cầu Giải thích b) Chứng minh số lẻ Câu (5 điểm) Xác định tất hàm : → : → thỏa mãn đồng thời điều kiện: (1) Với , (2) Với ∈ ∈ : ( ) : ( ) ( ) ≥ ( )= ( ) + HẾT ; SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: TỐN + Hướng dẫn chung: (nếu có) ……………………………………………………………………………………………………… Câu Nội dung Điểm Ghi Giải sử α, β nghiệm thực phương trình ( ) a) Đặt ( ) = b) Chứng minh rằng: Với + ( 1a) 1= ) [ ; ] là tập xác định hàm số ( ) = 0 ( ∈ ) + ( ) Tìm ( ) theo t , + ( , ∈ 0; , = ) + ( ) < √ Đặt   x1  x2   x12  4tx1   0, x22  4tx2   Do đó: 4( x12  x12 )  4t ( x1  x2 )    x1 x2  t ( x1  x2 )   Vì f ( x2 )  f ( x1 )  x2  t x1  t ( x2  x1 ) t ( x2  x1 )  x1 x2  2   x22  x12  ( x22  1)( x12  1) Và t ( x2  x1 )  x1 x2   t ( x2  x1 )  x1 x2  0 f ( x2 )  f ( x1 )  nên f ( x) hàm tăng  ;   Vì     t   1 t  1(t  ) t  1(2t  5)  g (t )  maxf(x)-minf(x)=f( )-f( )= 25 16t  25 t2  16 1b) 16 (  3)  24cosu i cosu i cos ui cosu i g (tan ui )   16 16  9cos 2ui  cos 2ui g (tan ui )  Vì 16.24 16  (i  1, 2,3) 16  9cos ui 16  9cos 2ui 1 3 1  (16  c os u )  (16.3  9.3  sin ui )    i 16 i 1 16 i 1 g (tan ui ) i 1 Vì  sin u i i 1   với ui  (0; ), i  1, 2,3 ta có 3 sin ui  ( sin ui )  i 1 Vì i 1 1 1    (75  )  g (tan u1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 Cho tam giác ABC có = 60 , > Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H giao điểm hai đường cao BE CF ( ∈ , ∈ ) Trên cạnh BH, HF lấy điểm M, N cho = Tính giá trị Trên đoạn BE lấy điểm K cho: BK = CH Do O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên =2 = 120 Ta có = 180 = 120 nên = suy bốn điểm B, C, O, H thuộc đường tròn → = Xét tam giác BOK COH có OB = OC, BK = CH nên = suy = = Ta có = = 120 , = = 30 Áp dụng định lý sin cho tam giác OKH, ta có Ta có = = = = √3 = √3 Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với học sinh có lần phân công làm vệ sinh ngày a) Khi = 3, tìm số cách xếp học sinh thỏa yêu cầu Giải thích b) Chứng minh số lẻ a) Khi = 3: có học sinh mang số từ đến Số xếp học sinh làm vệ sinh thỏa yêu cầu 12 Cụ thể là: (1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (1,8,9), (2,4,6), (2,7,8), (2,5,9), (3,4,8), (3,5,7), (3,6,9), (4,7,9), (5,6,8) b) Ta lấy cố định học sinh A Vì học sinh A phân cơng vệ sinh lần với học sinh khác ngày có học sinh làm vệ sinh nên học sinh lại chia thành cặp, ta có (3 1) nên n số lẻ Xác định tất hàm : → : → thời điều kiện: ( )= ( ) (1) Với , ∈ : ( ) (2) Với ∈ : ( ) ( ) ≥ + thoả mãn đồng ; Từ 1) thay x  y ta có 2f (x)  g(x)  f (x)  x  f (x)  g(x)  x x   Như giả thiết 1) trở thành : 1.5 2(g(x)  x)  g(x)  (g(y)  y)  y  g(x)  2x  2y  g(y) x, y   Thay y = đặt g(0) = b ta có g(x)  2x  b, f (x)  x  b Thay biểu thức f g vào bất đẳng thức 2) ta : (x  b)(2x  b)  x  x  2x  (3b 1)x  b 1  x (*) Bất đẳng thức (*) thoả mãn với x   (3b 1)2  4.2(b2 1)  b2  6b    (b  3)2   b  Hiển nhiên hàm f (x)  x  ; g(x)  2x  thoả mãn điều kiện 2) Ta chứng minh chúng thoả mãn điều kiện 1) Thật vậy, ta có 2f (x)  g(x)  2(x  3)  (2x  3)  f (y)  y  y   y  Vậy 1) thoả mãn Kết luận : Tất cặp hàm số f g cần tìm f (x)  x  ; g(x)  2x  0.5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: TỐN + Hướng dẫn chung: (nếu... với học sinh có lần phân cơng làm vệ sinh ngày a) Khi = 3, tìm số cách xếp học sinh thỏa yêu cầu Giải thích b) Chứng minh số lẻ a) Khi = 3: có học sinh mang số từ đến Số xếp học sinh làm vệ sinh. .. = = √3 = √3 Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại