Phòng GD- ĐT PHÚ VANG ========== ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Năm học: 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề ) -Trường THCS Vinh Xuân Gv đề: Phạm Xuân Bình Bài 1: (4 điểm): a Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 b Cho phương trình: x  x 1  x  m x 1 Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm Bài 2: (2 điểm): Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1    a + b + c = abc ta có    a b c a b c Bài 3: (2 điểm): 1 1 + + +…+ 103 101 102 200 Chứng minh S > 12 Cho S = Bài 4: (4 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vần số phương Bài 5: (6 điểm): Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngồi hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC tam giác Câu 2: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b Gọi CD đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân c Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Câu 6: (2điểm): Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2  + ab -(Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 Phòng GD- ĐT PHÚ VANG ========== Câu Nội dung giải a/ x  x   2.x  2  43  x  x   2x  x  4  43; Đặt x2-4x = t Đk: t  -4 Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0  (t + 7)(t – 5) =  t = -7 ( loại) t = Với t = Khi đó: x2 - 4x - 5=0  (x +1)(x – 5) =  x=5 x=-1 Vậy S = { 5; -1} 2 b/ ĐK PT Câu (5 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn x+2 x+1  x-m x-1 2 0,5 0,5 0,5 0,5 (*) x–m   x  m x–1   x  Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = – m (**) - Với m = PT (**) có dạng: 0x = Trường hợp PT (**) vô nghiệm (1) 0,25 0,5 0,5 2-m m 0,5 2-m nghiệm PT (*) phải thỏa mãn điều kiện: m 0,5 - Với m  PT (*) có nghiệm: x = Nghiệm x = Điểm x  m x  Tức : 2-m   2-m  m  m  m 2-m  m  m2 + m -    m - 1 m +   m  m  , m  -2 Như PT (*) vô nghiệm với giá trị m  {-2 ; ; 1} Theo gt: 1    nên a  , b  0, c  a b c 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (2đ) 1 1 1 1   1 1  Ta có:              2     a b c a b c a b c  ab bc ca  1  abc      2 4 a b c  abc  abc Vì a + b + c = abc (gt) nên 1 abc 1 1 1          ( đpcm) a b c a b c 1 1   1 1  Ta có: A =            150   151 152 153 200   101 102 103 Bài 3: (2đ) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta được: 1  1   101  102  103   150   150  50    1  1   151  152  153   200   200  50    1   1  A=           150   151 152 153  101 102 103 0,5 0,5   1 > + = 200  12 1 1      101 102 103 200 12 Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d  N,  a, b, c, d  9, a   A=  abcd  k Ta có:   N, 31  k  m  100 với k, m  (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m  abcd  k   abcd  1353  m Bài 4: ( 3đ) m  k  123 m  k  41   m  k  11 m  k  33 m  67 m  37 (thỏa mãn)  (loại)   k  57 k  Vậy số cần tìm là: abcd = 3136 Câu 1: 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 A 1 0,25 0,5 Do đó: m2 – k2 = 1353  (m + k)(m – k) = 123.11= 41 33 ( k + m < 200 ) E 0,5 F P B C Bài 4: (6 đ) Ta có: AEPF hình bình hành nên AEˆP  AFˆP Xét  EPB  FPC, ta có: EB = FP (= AE) ; EP = FC (= AF) PEˆ B = PFˆC ( 600 - AEˆ P =600 - AFˆP )   EPB =  FPC (c.g c) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: EAˆ F  AEˆP  1800  Aˆ  Eˆ1  60 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do Â3 = Ê2 Xét  EPB  ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) Â3 = Ê2   EPB =  ABC ( cgc ) Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) (2)  PB = PC = BC Vậy  PBC Câu 2: 0,5 0,5 C B H D a Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được:  ABC vuông C Ta có: SABC = AC.BC = AC BC 20.15 AB.CH  CH  = 12 cm  AB 25 b Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = cm     a, b > 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 Vậy: a  b2   ab với a, b dương a + b = a + b http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 CD tia phân giác  ACH nên suy AD = 10 cm ; HD = cm Do BC = BD ( = 15 cm ) Vậy  BDC cân B c Xét  vng : CBH, CAH Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ suy BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Với số a, b dương: Xét: a  b2   ab  a2 + b2 – ab  2  (a + b)(a + b – ab)  (a + b) ( a + b > 0) 3 a + b  a + b 3 3 5 3 5  (a + b )(a + b )  (a + b)(a + b ) (vì a + b = a + b ) 3 6 5 Bài :  a 3+32a b +5 b 5 a + ab + a b + b +ab ( 2đ )  2a b4  ab 2  ab(a – 2a b + b )   ab a  b2 A 5