SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 10 Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 26/01/2019 Đề gồm có : 01 trang Câu (4 điểm) Cho hàm số y  x  (2m  3)x  2m  (1) 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y  3x  hai điểm A, B phân biệt cho OAB vuông O ( với O gốc toạ độ) Câu (2 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x m 1  2x x  2m xác định khoảng ( - 1; 3) Câu (5 điểm) Giải phương trình sau 1) x  3x    2x 2) 3x   4x   5x  3) 3x    2x  x  3x  10x  26   x  x y  xy  xy  y  Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình:   x  y  xy (2 x  1)    600 Các điểm M, N Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB = 1, AC = x BAC     xác định MC  2MB NB  2 NA Tìm x để AM CN vng góc với Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC ta có       GAGB  GB.GC  GC GA   (AB  BC  CA2 ) Câu (2 điểm) Cho x , y, z  [2018;2019] Tìm giá trị lớn biểu thức: f (x , y, z )  | 2018.2019  xy | | 2018.2019  yz | | 2018.2019  zx |   (x  y )z (y  z )x (z  x )y - Hết - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Câu HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 10 Ngày thi: 26/01/2019 Nội dung 1)Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Điểm 2,0 2) Phương trình hồnh độ giao điểm: x  2mx  2m   0(*) * Tìm điều kiện để dường thẳng cắt đồ thị hàm số tai A, B m  3 m   x1  x  2m * Gọi x1, x nghiệm pt (*), ta có    x x  2m  1(4đ)   * A(x1; 3x1  1), B(x ; 3x  1) Tính   OAOB   10x1x  3(x1  x )   31  26m  31   m  26 31 Kết luận m  26   x  m   x  m   Hàm số xác định     x  2m  x  2m     Tập xá định hàm số D  [m  1;2m ) với điều kiện 0.5 0.5 m   2m  m  1 2(2đ) Hàm số xác định (1; 3) (1; 3)  [m  1;2m )   m0  Vô nghiệm   m   1   2m    m    Kết luận khơng có giá trị m   2x   1) x  3x    2x    x  3x   (2x  7)2       x       x   x     x  10     2 Kết luận S  5 2) 3x   4x   5x    3x       4x      3x   4x   (3x  1)(4x  3)  5x         x  3  x     4     (3x  1)(4x  3)   x 11x  x  12         3(5đ)   x 3     x 1 x     x   12    11  Kết luận Kết luận S  1 3) 3x    2x  x  3x  10x  26  Đk: 1  x  Phương trình viết lại: ( 3x   3)  (  2x  1)  (x  2)(x  x  12)   3(x  2) 3x    (x  2)(  2(x  2)  2x    (x  2)(x  x  12)   x  x  12)  3x    2x    x 2        x  x  12  0(*)    2x    3x   Do x  x  12  0, x  [  1, ] Nên (*) vô nghiệm Kết luận S  2  x  x3 y  xy  xy  y  1(1) (*) Giải hệ phương trình:  x  y  xy (2 x  1)  1(2)  ( x  y )  xy ( x  y )  xy  (*)   2  x  y   xy  a  x2  y a  ab  b  Đặt  Hệ trở thành:  (*) b  xy a  b  2  a  a  2a  a(a  a  2)  Hệ (*)    2 b   a b   a Từ tìm (a; b)  (0; 1); (1; 0); (2;  3) 1  x2  y  Với ta có hệ ( a ; b )  (0; 1)  x  y   4(2đ) xy    x2  y  Với (a; b)  (1; 0) ta có hệ   ( x; y )  (0; 1);(1;0);(1;0)  xy  Với (a; b)  (2; 3) ta có hệ 3    x  y  2 y   y      x  1; y  x x   xy  3  x3  x   ( x  1)( x  x  3)    Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 1);(0;  1);(1; 0);(1; 0);(1; 3) x    Ta có: đk        MC  2MB  AC  AM  2( AB  AM )  AM  AB  AC     2CA  CB Tương tự ta có:3CN      Vậy: AM  CN  AM  CN   (2 AB  AC )(2CA  CB)         (2 AB  AC )( AB  AC )   AB  AC  AB.AC  5(3đ)   x   x  5x    x  x  4    GA2  GB  AB GAGB  GAGB cos AGB  GAGB 2GAGB 2 Ta có 6(2đ) 4ma 4mb   AB 2 2 GA  GB  AB   2 Tương tự ta có đẳng thức Sau cộng lại ta       GAGB  GB.GC  GC GA  4ma2  4mb2  AB 4mb2   4mc2  BC 4mc2  (ma  mb2  mc2 )  (AB  BC  CA2 )  Sử dụng công thức đường trung tuyến ta đpcm  4ma2 2  CA2 Ta chứng minh: x , y, z  [a;b ], (a >0) ta ln có | ab  xy | b  a  x y 2  4(ab  xy )  (x  y )2 (b  a )2  [2ab  2xy  (x  y )(b  a )][2ab  2xy  (x  y )(b  a )]   [b(2a  x  y )  x (a  y )  y(a  x )]x [a(2b  x  y )  x (b  y )  y(b  x )]  0(dúng) | ab  xy | b  a b  a Vậy ta có   7(2đ) (x  y )z 2z 2a Dấu ‘‘=’’ x  y  a, z  a hay x  y  z  a Áp dụng ta có: b a b a b a 3(b  a ) f (x , y, z )     2a 2a 2a 2a Dấu ‘‘=’’ x  y  z  a Thay a  2018, b  2019 , ta x  y  z  2018 maxf (x , y, z )  4036 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 1 ...SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ Câu HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học : 20 18 – 20 19 Mơn: Tốn Lớp: 10 Ngày thi: 26 /01 /20 19 Nội dung 1)Xét biến thi n vẽ đồ thị hàm... (  2x  1)  (x  2) (x  x  12)   3(x  2) 3x    (x  2) (  2( x  2)  2x    (x  2) (x  x  12)   x  x  12)  3x    2x    x 2        x  x  12  0(*)    2x ... tuyến ta đpcm  4ma2 2  CA2 Ta chứng minh: x , y, z  [a;b ], (a >0) ta ln có | ab  xy | b  a  x y 2  4(ab  xy )  (x  y )2 (b  a )2  [2ab  2xy  (x  y )(b  a )][2ab  2xy  (x  y )(b