CHỦ ĐỀ DẠY HỌC: HÀM SỐ BẬC HAI Tác giả chuyên đề: Trần Quyết Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Liễn Sơn Đối tượng: Học sinh lớp 10 – Chương trình Dự kiến số tiết dạy: 03 tiết Xác định vấn đề cần giải học Tốn học ln gắn liền với thực tiễn, xuất phát từ thực tiễn phục vụ đời sống thực tiễn Trong đời sống, việc thiết kế số cơng trình sản xuất có lúc phải sử dụng đến kiến thức hàm số bậc hai có khả giải vấn đề Việc khảo sát hàm số bậc hai tìm tập xác định, vẽ đồ thị, lập bảng biến thiên xét tính đồng biến nghịch biến hàm số bậc hai, để từ vận dụng kiến thức hàm số bậc hai vào giải tập tình cụ thể Trong sách giáo khoa Đại số 10 chủ đề hàm số bậc hai trình bày tương đối khoa học, chặt chẽ logic, nhiên chưa nêu bật xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cần phải có kiến thức tốn đưa thiếu tính tự nhiên, túy tính khoa học tốn học Các ví dụ đưa chưa có nội dung thực tế làm cho học sinh chưa thấy gần gũi toán học đời sống Xác định chuẩn kiến thức, kĩ năng, lực Về kiến thức: - Biết công thức hàm số bậc hai tập xác định - Hiểu biến thiên đồ thị hàm số bậc hai tập xác định Về kỹ năng: - Lập bảng biến thiên hàm số bậc hai; xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng, vẽ đồ thị hàm số bậc hai - Tìm phương trình parabol y  ax  bx  c biết số điều kiện xác định - Đọc đồ thị hàm số bậc hai; từ đồ thị xác định trục đối xứng, đỉnh parabol, giá trị x để y  0; y  giải tốn phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn số điều kiện cho trước - Dùng bảng biến thiên hàm số bậc hai  , khoảng, đoạn cho trước để giải tốn có chứa tham số tìm giá trị lớn - Giải số tốn có nội dung thực tế hàm số bậc hai - Giải nhanh số tập trắc nghiệm hàm số bậc hai Lựa chọn nội dung xây dựng học - Đồ thị hàm số y  ax - Đồ thị hàm số y  ax  bx  c - Sự biến thiên hàm số bậc hai TIẾT HÀM SỐ BẬC HAI TÌNH HUỐNG XUẤT PHÁT Parabol đường cong đơn giản đẹp Bởi vậy, ta thấy xuất nhiều cơng trình kiến trúc Việt Nam giới, dụng cụ sinh hoạt Ngồi parabol có nhiều tính chất đặc điểm lý thú xuất đại số hình học I ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI Định nghĩa - Hàm số bậc hai hàm số có dạng: y  ax  bx  c ( a  ) - Tập xác định: D   - Khi b  c  ta có y  ax hàm số bậc hai học lớp Đồ thị hàm số y  ax (a  0) a Dạng đồ thị a0 a0 y y O x x O b Đặc điểm - Đồ thị có dạng parabol  P  - Đỉnh I (0;0) - Đồ thị nhận Oy trục đối xứng - Khi a  0, đồ thị có bề lõm hướng lên trên; a  , đồ thị có bề lõm hướng xuống Đồ thị hàm số y  ax  bx  c (a  0) a Biến đổi hàm số y  ax  bx  c (a  0) : Thực biến đổi biết lớp 9, ta có: y  ( x  b   b )   y  ( x  )2 2a 4a 4a 2a b  X  x   2a Đặt  Suy ta có: Y  aX (*) Y  y    4a b Đặc điểm đồ thị hàm số y  ax  bx  c(a  0) : * Nhận xét đồ thị hàm số Y  aX (*) ta có đặc điểm sau: - Đồ thị hàm số (*) có dạng Parabol - Đỉnh I ( b  ; ) 2a 4a - Đồ thị nhận đường thẳng x   b làm trục đối xứng 2a - Khi a  đồ thị có bề lõm hướng lên trên; a  đồ thị có bề lõm hướng xuống c Dạng đồ thị hàm số y  ax  bx  c (a  0) a0 a0 y y   O b 2a O x   4a   4a b 2a x Cách vẽ đồ thị hàm số y  ax  bx  c a Các bước: Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I ( Bước 2: Vẽ trục đối xứng x   b  ; ) 2a 4a b 2a Bước 3: Xác định tọa độ giao điểm parabol với trục tung (điểm (0;c)) trục hoành (nếu có) Xác định thêm số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục đối xứng parabol, để vẽ đồ thị xác Bước 4: Vẽ parabol Khi vẽ parabol ý đến dấu hệ số a ( a  bề lõm quay lên trên, a  bề lõm quay xuống dưới) b Ví dụ : Ví dụ : Vẽ parabol y  x  x  Đỉnh I 1; 4  Trục đối xứng đường thẳng x  Giao điểm với Oy A  0; 3 Điểm đối xứng với (0;-3) qua đường thẳng x  (2;-3) Giao với trục Ox B  1;0  C  3;0  Đồ thị hình vẽ Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y   x  x  Đỉnh I (2;1) Trục đối xứng x  Giao điểm với Oy: A(0; 3) , điểm đối xứng A qua đường thẳng x  (4; 3) Giao điểm với Ox: (1;0);(3;0) Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y  x  x  Đỉnh I (1;1) Trục đối xứng x  1 Giao điểm với Oy : A  0;  , điểm đối xứng A qua trục đối xứng điểm A '(2;2) Đồ thị không cắt Ox Đồ thị qua điểm 1; 5 ;  3; 5 TIẾT HÀM SỐ BẬC HAI * TÌNH HUỐNG XUẤT PHÁT (Hoạt động chung) Bài tốn: Một doanh nghiệp bán xe gắn máy, có loại xe A bán nhất, giá mua vào xe loại A 26 triệu đồng bán 30 triệu đồng với giá bán số lượng bán năm 600 Doanh nghiệp cần đẩy mạnh việc bán xe nên đưa chiến lược kinh doanh giảm giá bán theo tính tốn CEO giảm triệu đồng xe số lượng xe bán năm tăng 200 Hỏi doanh nghiệp cần bán loại xe với giá để doanh thu loại xe cửa hàng lớn ? Gợi ý Bài tốn dẫn đến tốn tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) = ax + bx + c, ( a ≠ ) [α ; β ] II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI * KIẾN THỨC HUY ĐỘNG (Hoạt động cá nhân) Dạng đồ thị hàm số y = ax + bx + c, ( a ≠ ) a>0 a : Trên khoảng  −∞; −  đồ thị xuống ⇒ hàm số nghịch biến 2a    b  Trên khoảng  − ; +∞  đồ thị lên ⇒ hàm số đồng biến  2a  b   Với a < : Trên khoảng  −∞; −  đồ thị lên ⇒ hàm số đồng biến 2a    b  Trên khoảng  − ; +∞  đồ thị xuống ⇒ hàm số nghịch biến  2a  Chiều biến thiên Định lí : Hàm số bậc hai y = ax + bx + c b   Với a > hàm số nghịch biến khoảng  −∞; −  đồng biến khoảng 2a    b   − ; +∞   2a  b   Với a < hàm số đồng biến khoảng  −∞; −  nghịch biến khoảng 2a    b   − ; +∞   2a  Bảng biến thiên Trường hợp : a > x y −∞ − +∞ − Trường hợp : a < x b 2a +∞ +∞ ∆ 4a b 2a ∆ − 4a −∞ − y +∞ −∞ −∞ Câu hỏi : Hãy xây dựng bước để lập bảng biến thiên hàm số bậc hai ? Trả lời : - Kẻ bảng ghi thông tin ban đầu - Xác định hoành độ đỉnh Parabol (− b ) 2a - Xác định bề lõm quay lên hay xuống (dựa vào dấu a) để kẻ mũi tên - Tính tung độ đỉnh Parabol ( − ∆ , hay thay hồnh độ đỉnh vào cơng thức 4a hàm số) hồn thiện thơng tin lại III CÁC VÍ DỤ Ví dụ : (Hoạt động nhóm) Lập bảng biến thiên hàm số a = y x2 + x − x2 + x − b y = c y = x − x + d y = −3 x + x − Phân cơng nhiệm vụ nhóm : Nhóm thực hành phần , nhóm thực hành phần b, nhóm thực hành phần c, nhóm thực hành phần d Lời giải a Bảng biến thiên hàm số = y x + x : x −∞ −1 +∞ y +∞ +∞ −1 b Bảng biến thiên hàm số y = − x + x − : x −∞ y −∞ +∞ −∞ c Bảng biến thiên hàm số y = x − x + : x −∞ +∞ y +∞ +∞ 23 d Bảng biến thiên hàm số y = −3 x + x − : x −∞ y 12 −∞ +∞ −∞ Ví dụ : (Hoạt động cá nhân) Cho bảng biến thiên x −∞ y 3 −∞ +∞ −∞ 10 Hàm số sau có bảng biến thiên nêu ? A y = x + x + B y = −3 x − x + C y = −3 x + x D y = x − x + Phân công nhiệm vụ theo hoạt động cá nhân Trả lời : Đáp án C Ví dụ (Hoạt động nhóm) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số a y = − x + x + với x ∈ [ −1;6] b y = x + x + với x ∈ [ −7; −3] Phân công nhiệm vụ nhóm : Nhóm thực hành phần a Nhóm thực hành phần b Lời giải a Ta có bảng biến thiên hàm số y = − x + x + [ −1;6] x −1 y −3 −10 Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = − x + x + [ −1;6] -10 b Ta có bảng biến thiên hàm số y = x + x + [ −7; −3] x y −7 38 −3 Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = x + x + [ −7; −3] 38 11 Ví dụ (Hoạt động chung kết hợp hoạt động cá nhân) Một doanh nghiệp bán xe gắn máy, có loại xe A bán nhất, giá mua vào xe loại A 26 triệu đồng bán 30 triệu đồng, với giá bán số lượng bán năm 600 Doanh nghiệp cần đẩy mạnh việc bán xe nên đưa chiến lược kinh doanh giảm giá bán theo tính tốn CEO giảm triệu đồng xe số lượng xe bán năm tăng 200 Hỏi doanh nghiệp cần bán loại xe giá để doanh thu loại xe cửa hàng lớn ? Phân công nhiệm vụ hoạt động chung hoạt động cá nhân theo câu hỏi phù hợp với dạng hoạt động Lời giải Gọi x (triệu đồng) số tiền cần giảm cho chiếc xe loại A ( ≤ x ≤ ) Số lượng xe bán năm sau giảm : 200 x + 600 (chiếc) Số lợi nhuận thu từ việc bán xe năm sau giảm giá : ( 200 x + 600 )( − x=) 200(− x + x + 12) Xét hàm số f ( x= ) 200(− x + x + 12) với x ∈ [0;4] Bảng biến thiên x f ( x) 2450 2400 Vậy doanh nghiệp phải bán xe loại A với giá 30 − 0,5 = 29,5 (triệu đồng) Suy giá trị lớn hàm số f ( x ) [ 0;4] 2450 đạt x = Ví dụ (Hoạt động cá nhân kết hợp hoạt động chung) Tìm giá trị m để phương trình (1 + x )( − x ) = x − x − m có nghiệm ? Phân công nhiệm vụ hoạt động cá nhân hoạt động chung theo câu hỏi phù hợp với dạng hoạt động Lời giải : 12 Điều kiện xác định: −1 ≤ x ≤ Ta có : (1 + x )( − x ) = x − x − m ⇔ ( − x + x + ) − − x2 + x + = + m Đặt t = − x + x + Xét hàm số g ( x ) =− x + x + 2, x ∈ [ −1;2] Bảng biến thiên x −1 g ( x) Suy ≤ g ( x ) ≤  3 hay t ∈ 0;   2  3 Phương trình cho trở thành 2t − t = + m (*) với t ∈ 0;   2  3 Xét hàm số f ( t ) = 2t − t , t ∈ 0;   2 Bảng biến thiên t f (t ) −  3 Phương trình cho có nghiệm x ∈ [ −1;2] ⇔ phương trình (*) có nghiệm t ∈ 0;   2 33 Dựa vào bảng biến thiên ta : − ≤ + m ≤ ⇔ − ≤ m ≤ −1 8 Vậy giá trị m cần tìm − 33 ≤ m ≤ −1 13 * KẾT QUẢ QUA BÀI HỌC + Nhớ chiều biến thiên hàm số bậc hai + Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai + Biết sử dụng biến thiên hàm số bậc hai vào tốn max, min; phương trình, bất phương trình; tốn thực tế… 14 TIẾT HÀM SỐ BẬC HAI IV LUYỆN TẬP Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  x có đồ thị  P  a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số b) Tìm m để phương trình x  x  2m   có hai nghiệm phân biệt lớn 1 Lời giải Hàm số y  x  x có đồ thị parabol có đỉnh I  2; 4  có trục đối xứng đường thẳng x  Bảng biến thiên hàm số x y     4 Hàm số đồng biến khoảng  2;  , nghịch biến khoảng  ;2  Đồ thị hàm số cắt Ox điểm (0;0),(4;0) , cắt Oy (0;0) Vẽ đồ thị b) Xét phương trình x  x  2m   (1) Cách 1: Sử dụng định lí viet 15  x  1  x1   Giả sử phương trình (1) cho có hai nghiệm phân biệt  Từ  x   x      x1  x2    x1  x2   suy   (*) x  x   x  x  x x       2  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  '  2m    m   (2) x  x  Khi theo viet ta có   x1 x2   m 4   Điều kiện (*) tương đương với   m  (3)    2m   Từ (2) (3) ta kết   m  Cách 2: Sử dụng tương giao hai đồ thị Phương trình x  x  2m   (1) tương đương với x  x  m  (4) Số nghiệm (4) số giao điểm đồ thị hàm số y  x  x , x   1;   với đường thẳng y  2m  Lập bảng biến thiên hàm số y  x  x , x   1;   x 1   y 4 Từ bảng biến thiên suy phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt lớn 1 4  2m      m  Nhận xét: Ở cách ta chuyển toán phương trình tốn tương giao hai đồ thị, việc giải đơn giản 16 Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  mx  có đồ thị ( Pm ) đường thẳng d : y  x  a) Chứng minh với m đường thẳng d cắt đồ thị ( Pm ) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ( Pm ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x12  x2  15 Lời giải a) Hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị hàm số ( Pm ) nghiệm phương trình x  mx   x   x   m   x   (1) Phương trình (1) có:    m    12  0, m   (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m   , tức đường thẳng d cắt đồ thị ( Pm ) hai điểm phân biệt với m   b) Với m   đường thẳng d ln cắt đồ thị ( Pm ) hai điểm phân biệt có hồnh độ x  x  m  x1 , x2 Khi theo viet, ta có   x1 x2  3 2 Giả thiết: x12  x2  15   x1  x2   x1 x2  15   m     15   m     m  1, m  5 Vậy m  1, m  5 Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  x  m  với m tham số Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số xác định K   5;   Lời giải Hàm số xác định K   5;    x  x  m   0, x  K (1) Xét hàm số f ( x )  x  x  m  K, ta thấy hàm số có đồ thị parabol có đỉnh I  2; m   Lập bảng biến thiên f ( x) K   5;   Dựa vào bảng biến thiên hàm số, suy (1) tương đương với m    m  Vậy m  17 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  x  4, x   2;6  Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm việc đánh giá trội y   x  1   5, x vội vàng đến kết luận y  5 mà quên dấu "  '' không xảy 2;6 đoạn x   2;6 Để không mắc sai lầm dạng toán học sinh cần lập bảng biến thiên hàm số dựa vào bảng biến thiên hàm số đưa kết luận xác Lời giải Hàm số y  x  x  4, x   2;6  có đồ thị phần parabol có đỉnh I  1; 3 Lập bảng biến thiên hàm số đoạn x   2;6 dựa vào bảng biến thiên hàm số ta suy y  đạt x  2;6 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số a) y  x  x  2, x   1;4  b) y   x  x  3, x   4;3 Lời giải a) Hàm số y  x  x  2, x   1;4  có đồ thị phần parabol có đỉnh I  2; 2  Lập bảng biến thiên hàm số đoạn x   1;4 dựa vào bảng biến thiên ta có kết luận y  2 đạt x  1 ; max y  đạt x   1;4  1;4 b) Hàm số y   x  x  3, x   4;3 có đồ thị phần parabol có đỉnh I 1;4  Lập bảng biến thiên hàm số đoạn x   4;3 dựa vào bảng biến thiên ta có kết luận y  21 đạt x  4 ; max y  đạt x   4;3 4;3 V VẬN DỤNG, TÌM TỊI, MỞ RỘNG Bài tập tự luận 18 Bài 1: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  P  a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thi  P  hàm số b) Từ đồ thị  P  suy cách vẽ đồ thị hàm số y  x  x  c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x  x   m Bài 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x  x    x  x  m  nghiệm với x   2;0 Bài 3: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  x  x  m  xác định K   1;   Kiểm tra đánh giá Bài 4: Tìm hàm số bậc hai có đồ thị qua A 1;1 có đỉnh I  2;4  A y   x  x  3 B y   x  x  3 C y  x  x  3 D y   x  x  3 Bài 5: Phương trình x  x   m  có bốn nghiệm A m  B m  C m 2 D m  Bài 6: Giá trị lớn hàm số y  x  x  đoạn  3;5 A 35 B 27 C D 81 Bài 7: Hàm số y  x  x  m xác định  1;   A m   ;0  B m  1 1  C m   ;   4  19 D m  5 ... tế hàm số bậc hai - Giải nhanh số tập trắc nghiệm hàm số bậc hai Lựa chọn nội dung xây dựng học - Đồ thị hàm số y  ax - Đồ thị hàm số y  ax  bx  c - Sự biến thiên hàm số bậc hai TIẾT HÀM SỐ... đại số hình học I ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI Định nghĩa - Hàm số bậc hai hàm số có dạng: y  ax  bx  c ( a  ) - Tập xác định: D   - Khi b  c  ta có y  ax hàm số bậc hai học lớp Đồ thị hàm số. .. thiên hàm số bậc hai + Biết lập bảng biến thiên hàm số bậc hai + Biết sử dụng biến thiên hàm số bậc hai vào toán max, min; phương trình, bất phương trình; tốn thực tế… 14 TIẾT HÀM SỐ BẬC HAI IV