SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM TỔNG VÀ HÀM HỢP Người thực : Lê Thị Sáng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn : Tốn THANH HÓA NĂM 2019 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài:………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu:……………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu:…………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu:……………………………………………………1 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm:………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:… ………… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số tổng hai hay nhiều hàm số :……2 a.Tìm khoảng đơn điệu hàm số tổng g(x) = f1(x) + f2(x) biết biểu thức hàm sô y = f1(x) hay y = f1’(x):…………………………………… …… b.Tìm khoảng đơn điệu hàm số tổng g(x) = f1(x) + f2(x) biết đồ thị hàm số y = f1’(x): .………………………… 2.3.2.Xét tính đơn điệu hàm hợp g(x) = f(u(x)): ………………………….5 a.Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)= f(u(x)) biết biểu thức hàm số y = f(x) hay y = f’(x):……… ……………………………… b.Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)= f(u(x)) biết bảng biến thiên hàm sô y = f(x):……………………………… c Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)= f(u(x)) biết đồ thị hàm số y=f(x):………………………………………………… d.Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)= f(u(x)) dựa vào đồ thị hàm số y= f’(x): …………………………………………………………… 11 2.3.3.Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số kết hợp hàm hợp tổng…………………………………………………………………………… 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường:… ………………………………………… 14 Kết luận, kiến nghị……………………………………………………… …15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong trường trung học phổ thơng, mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác Đồng thời mơn Tốn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả tư độc lập sáng tạo Trong dạy học Tốn, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lý việc dạy học giải tập tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Toán Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để vận dụng vào làm tập, việc bồi dưỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng Do đó, việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sáng tạo q trình giải tốn cần thiết thiếu Như biết toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm dạng tốn khơng thể thiếu chiếm số lượng câu hỏi nhiều kì thi THPT quốc gia Đặc biệt năm gần số lượng toán liên quan đến hàm tổng hàm hợp đề thi tương đối nhiều Mặt khác SGK giải tích 12 hành khơng trình bày cụ thể dạng toán này, học sinh muốn làm toán liên quan đến hàm tổng hàm hợp đề thi phải kết hợp kiến thức: định nghĩa hàm hợp, đạo hàm hàm hợp, xét tính đơn điệu hàm số Vì nên học sinh thường khó khăn tiếp cận tập dạng Bản thân giáo viên tơi thấy phải có giảng cụ thể phương pháp dạy học phù hợp để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, tự tin làm tốn kỳ thi Chính lí mà tơi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 xét tính đơn điệu hàm tổng hàm hợp” 1.2 Mục đích nghiên cứu: +Đề xuất số phương pháp, số dạng toán xét tính đơn điệu hàm số tổng hàm số hợp để giúp học sinh hình thành tư giải toán liên quan đến phần Giúp nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, giúp học sinh trường THPT n Định u thích mơn Toán + Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn Từ cung cấp cho học sinh dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi, đặc biệt kỳ thi THPTQG 1.3 Đối tượng nghiên cứu: +Các tốn xét tính đơn điệu hàm số tổng hàm số hơp 1.4 Phương pháp nghiên cứu: +Trong đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, phương pháp phân tích, đánh giá, tổng hợp dạng tốn liên quan đến hàm số tổng hàm số hợp Thông qua kiến thức sách giáo khoa, tập kỳ thi THPT quốc gia gần từ chia dạng tốn khác NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm a, Hàm hợp: Giả sử u = g(x) hàm số x, xác định (a;b) lấy giá trị khoảng (c;d); y = f(u) hàm số u, xác định (c;d) lấy giá trị R Khi ta lập hàm số xác định (a;b) lấy giá trị R theo quy tắc sau: x � f ( g ( x)) Ta gọi hàm y =f(g(x)) hàm hợp y = f(u) với u = g(x) b, Đạo hàm hàm hợp : Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u 'x hàm số y = f(u) có đạo hàm u y 'u hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x : y 'x  y 'u u ' x c, Tính đơn điệu hàm số : Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm khoảng K - Nếu f’(x)>0 với x �K hàm số f(x) đồng biến khoảng K - Nếu f’(x) Tức tìm giá trị x tương ứng với phần đồ thị f’(x) nằm đường thẳng y = Lời giải: g '( x)  f '( x)  Nên g '( x)  � f '( x)  Dựa vào đồ thị hàm số f’(x) phần đồ thị nằm đường thẳng y = Ta chọn đáp án D Ví dụ : Hàm số y = f’(x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Hàm số g ( x)  f ( x )  x  x  đồng biến khoảng (các khoảng) đây? A.( � ;-1) (1 ;2) B (-1;1) (2; �) C (-1; 2) D ( �; 1) (2; �) ( Phân tích: Hàm số g(x) tổng hàm 2f(x) f ( x)   x  x  Trước hết ta tính đạo hàm hàm số g(x) Đề yêu cầu tìm khoảng đồng biến tức giải bất phương trình g’(x) > Tức tìm giá trị x tương ứng với phần đồ thị f’(x) > x – Lời giải: g '( x)  f '( x )  x  g '( x)  � f '( x)  x  Kẻ đường thẳng y = x- Đường thẳng y = x-2 qua điểm (-2 ;-3) (1 ;-1) giải f '( x)  x  tương ứng phần đồ thị nằm đường thẳng y = x- Dựa vào đồ thị chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f’(x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên cạnh hàm số (C) 1 g ( x)  f ( x )  x  x  x  Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số (C ) đồng biến khoảng (-3;0) B Hàm số (C ) đồng biến khoảng (1; �) C Hàm số (C) nghịch biến khoảng ( �; 3) D.Hàm số (C ) đồng biến khoảng hết ta tính đạo hàm hàm số g(x) Giải bất phương trình g '( x)  tìm tập Phân tích: Hàm số g(x) tổng hàm f(x) f ( x)  x3  x  x  Trước nghiệm lập bảng xét dấu g’(x) Lời giải: g '( x )  f '( x )  x  x  Giải bất phương trình g’(x) > Hay f '( x)   x  x  Vẽ parabol y   x  x  Có tọa độ đỉnh 1 ; ) qua điểm (-2 ;0), (1;0), (0;2) x0 � Nghiệm bpt � x 1 � ( Bảng xét dấu g’(x) x � 0 � g’(x) + + Chọn đáp án C 2.3.2.Xét tính đơn điệu hàm hợp g(x) = f(u(x)): a.Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)= f(u(x)) biết biểu thức hàm số y = f(x) hay y = f’(x) Phương pháp: - Tính đạo hàm g’(x) = f’(u(x)).u’(x) - Để tìm khoảng đồng biến ta giải bất phương trình g’(x) >0 hay f’(u(x)).u’(x) >0 - Để tìm khoảng nghịch biến ta giải bất phương trình g’(x) < hay f’(u(x)).u’(x) < Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x( x  1)( x  4), x �R Hỏi hàm số g ( x )  f (3  x) đồng biến khoảng đây? A (2;3) B (-1;3) C (4; �) D (3;4) Phân tích: Đặt u=3 – x u’ = -1 Nên g '( x)   f '(3  x) Để tìm khoảng đồng biến hàm số g(x) ta giải bất phương trình g’(x)>0 Lời giải: g '( x)   f '(3  x) Giải bpt g '( x)  �  f '(3  x)  Hay: (3  x)[(3  x)  1](3  x  4)  � (3  x)(2  x)(4  x)( x  1)  1  x  � �� 3 x  � Đối chiếu đáp án ta chọn D Ví dụ 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm f '( x)  x ( x  1), x �R Hỏi hàm số g ( x )  f ( x ) nghịch biến khoảng đây? A (-1;1) B (-2;0) C (3; �) D (2;3) 2 Phân tích: Đặt u  x u '  x Nên g '( x)  xf '( x ) Để tìm khoảng nghịch biến hàm số g(x) ta giải bất phương trình g’(x) Từ lập bảng xét dấu g’(x) Lời giải: Đặt u   x  3x u’ = -2x+3 nên g’(x) = (-2x+3)f’(u) Giải bất phương trình g’(x) > hay (-2x+3)f’(u)>0 � �x  � 2 x   � �  17 �� 2 x   x � � �� � � ��  x  3x  2 � �� TH1: � � �f '(u )  �� �� �  17  x  3x  �� �� x � � �� �� 0 x3 �� � 0 x � �� �  17 x � � � �x  �  x   2 x   �3  17 � �  17 �� �� x TH2: � 2 2   x  x  �f '(u )  � � �� x0 �� x3 �� � 3 x   17 Lập bảng xét dấu g’(x) x  17 � 3  17 � g’(x) + 0 + 0 + Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án A Chú ý: Đối với ví dụ hỏi dạng câu hỏi trắc nghiệm sau làm xong TH1 ta suy đáp án A c Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)= f(u(x)) biết đồ thị hàm số y=f(x) Phương pháp: -Tính đạo hàm hàm hợp -Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến Chú ý: Khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị có hướng lên, khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị có hướng xuống tính từ bên trái sang phải Ví dụ 1: Hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số g(x) = f(x+1) nghịch biến khoảng đây? A.(0;2) B (2;4) ( � ;0) C D (2; �) Phân tích: Đặt u = x+1 Tính u’ = nên g’(x) = f’(u) Tìm khoảng nghịch biến hàm số g(x) tức giải bất phương trình g’(x) < hay f’(u) Từ lập bảng xét dấu g’(x) Lời giải: Đặt u  x  x u’ = 2x+2 nên g’(x) = (2x+2)f’(u) Giải bất phương trình g’(x) > hay (2x+2)f’(u)>0 �x  1 2x   � � x  3 � 2x   � � �� � �� x  x  � �� � TH1: � x 1 � �f '(u )  ��2 �� x  x  � � �� 1   x    �� � 1  x    �� x 1 � � � �x  1 2x   2x   � � � �� � �3  x  TH2: � � 3  x  1   x  2x  � �f '(u )  � x  1  �� �� x  1  �� Lập bảng xét dấu g’(x) � x -3 g’(x + ) 1  - -1 1  + - � + Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án A Chú ý: Đối với ví dụ hỏi dạng câu hỏi trắc nghiệm sau làm xong TH1 ta suy đáp án A 10 d.Tìm khoảng đơn điệu hàm số g(x)= f(u(x)) dựa vào đồ thị hàm số y= f’(x) Phương pháp: - Tính đạo hàm g’(x) = f’(u(x)).u’(x) - Phần đồ thị hàm f’(x) nằm Ox hàm đồng biến Phần đồ thị f’(x) nằm Ox hàm nghịch biến Chú ý: -Cho đường cong đồ thị f’(x) Chọn hàm hợp f(u(x)) có đạo hàm xét tính biến thiên dựa vào đồ thị f’(x) Chú ý điểm đồ thị f’(x) giao với trục Ox -Cho hàm số y = f1(x) y = f2(x) Giải phương trình f1(x)=f2(x) có nghiệm x1 , x2 , , xn Khi : +Nếu khoảng ( x1 ; x2 ) đồ thị hàm số f1(x) nằm đồ thị hàm số f2(x) f1 ( x)  f ( x), x �( x1; x2 ) +Nếu khoảng ( x1 ; x2 ) đồ thị hàm số f1(x) nằm đồ thị hàm số f2(x) f1 ( x)  f ( x ), x �( x1 ; x2 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) Hàm số y=f’(x) có đồ thị hình bên Hàm số g ( x )  f (2  x ) đồng biến khoảng A (1;3) B (2; �) C (2;1) D (�; 2) Phân tích: Đặt u = - x Tính u’ = -1 nên g’(x) = - f’(u) Tìm khoảng đồng biến hàm số g(x) tức giải bất phương trình g’(x) > Từ dựa vào đồ thị hàm số f’(x) để tìm khoảng đồng biến hàm số g(x) Lời giải : Ta có g '( x)   f '(2  x)  � f '(2  x)   x  1 x3 � � �� �� Chọn đáp án C 1 2 x  2  x  � � Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) Hàm số y=f’(x) có đồ thị hình bên Đặt g ( x )  f ( x  2) Mệnh đề sai ? A.Hàm số g(x) đồng biến khoảng (2; �) B.Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (0; 2) C.Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (1; 0) D.Hàm số g(x) nghịch biến khoảng ( �; 2) 11 Phân tích: Đặt u  x  Tính u’ = 2x nên g’(x) = 2xf’(u) Tìm khoảng đồng biến hàm số g(x) tức giải bất phương trình g’(x) > Lời giải: g’(x) = 2xf’( x  ) Giải bất phương trình g’(x) > hay 2xf’( x  )>0 �x  �x  �x  � � �2 � �� x2 � x2 TH1: � �f '( x  2)  �x   �� x  2 �� �x  �x  �x  � �2 �� � 2  x  TH2: �   x  f '( x  2)  x   � � � Lập bảng xét dấu g’(x) � x -2 g’(x + ) Đối chiếu với đáp án ta chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đồ thị f’(x) hình vẽ bên Hàm số g ( x)  f (10  x ) đồng biến khoảng đây? A (�; 2) B (2;4) C (log 6; 4) D (log 11; �) - � + Phân tích: Đặt u  10  x Tính u’ = 2 x.ln nên g’(x) = 2 x.ln f '(10  x ) Tìm khoảng đồng biến hàm số g(x) tức giải bất phương trình g’(x) > Lời giải : Ta có g’(x) = 2 x.ln f '(10  x )  � f '(10  x )  (Vì x.ln  0, x �R ) � �  x  log 11 1  10  x   x  11 � �� � � � � x  log 10  x  2x  � � � Chọn đáp án A Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đồ thị f’(x) hình vẽ bên Hàm số g(x) = f(lnx+1) nghịch biến khoảng đây? A (e; �) 1 e e C ( ; ) e B ( ; e) D (0; e) 12 Phân tích: Đặt u  ln x  Tính u’ = 1 nên g’(x) = f '(ln x  1) Tìm khoảng x x nghịch biến hàm số g(x) tức giải bất phương trình g’(x) < Lời giải : TXĐ : (0; �) Ta có g '( x)  f '(ln x  1)  � f '(ln x  1)  (Vì x >0 ) x � x � ln x   2 ln x  3 � � e �� �� �� Chọn đáp án B  ln x   1  ln x  � � � xe � e � 2.3.3.Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số kết hợp hàm hợp tổng Tương tự hai phần để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số kết hợp hàm hợp tổng ta cần tính đạo hàm, sử dụng giả thiết đề để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến Sau tơi xin trình bày số ví dụ liên quan đến xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số kết hợp hàm hợp tổng Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x  x, x �R Hỏi hàm số g ( x)  f ( x  1)  3x  đồng biến khoảng đây? A (�;1) B (-2;4) C (2; �) D (-1;0) Lời giải: g '( x)  f '( x  1)   � f '( x  1)  x2 � � ( x  1)  2( x  1)  � x  � � Đối chiếu với đáp án chọn đáp án C x  2 � Ví dụ : Hàm số y = f’(x) có đồ thị hình vẽ bên cạnh Trong khoảng (-1000 ;1000) có số nguyên thuộc khoảng đồng biến hàm số g ( x)  f ( x  2)  x  3x  ? A 997 C 996 B 994 D 995 13 Lời giải : g '( x)  f '( x  2)  x   � f '( x  2)   x  Đặt t = x+2 Bất phương trình trở thành f’(t)> - t -1 Vẽ đường thẳng y = -x – Đường thẳng qua điểm (-3 ; 2), (1 ; -2), (3 ; -4) Từ đồ thị ta thấy t  3 � 1 t  � x   3 x  5 � � �� � 1 x   1  x  � � f’(t)> - t -1 � � Hay Hàm số g(x) đồng biến khoảng (�; 5) (1;1) Đối chiếu đáp án ta lựa chọn đáp án D Tơi chia tốn xét tính đơn điệu hàm số tổng hàm số hợp thành dạng Dựa vào dạng tơi vận dụng vào q trình giảng dạy biện pháp cụ thể sau: Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải tốn học sinh Trong u cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn cụ thể Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện Để tăng cường tính chủ động cho học sinh buổi học, cung cấp cho học sinh hệ thống tập dạng học sinh tự suy luận tìm cơng thức cho tốn gốc, Sau dạng hệ thống tập nhằm củng cố kiến thức cho dạng tốn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Qua năm thực đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 xét tính đơn điệu hàm tổng hàm hợp” nhận thấy: - Việc tiếp cận tốn xét tính đơn điệu hàm tổng hàm hợp học sinh khơng cảm thấy khó , khơng áp lực mà em tự tin làm dạng tốn - Khơng khí lớp học sơi nổi, em thấy hứng thú với việc tiếp cận vấn đề Trong năm học dạy lớp 12B2 12B6 Ở hai lớp áp dụng sáng kiến trình giảng dạy Đầu năm tỉ lệ học sinh giỏi, khá, trung bình hai lớp là: Lớp Tổng Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 14 SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ % % % % % 12B6 43 14 16 37.2 16 37.2 11.6 0 12B2 43 4.7 14 32.6 20 46.6 11.6 4.7 Kết sau nhiều lần cho kiểm tra đánh giá sáng kiến thực sau: Lớp Tổng Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ % % % % % 12B6 43 16.3 17 39.5 18 41.9 2.3 0 12B2 43 9.3 17 39.5 21 48.9 2.3 0 Nhận xét: Đối với hai lớp hầu hết em làm tập thành thạo Điểm khá, giỏi tăng lên nhiều, điểm yếu giảm đáng kể Học sinh nắm kiến thức cách chắn hơn, sâu rộng Học sinh biết hiểu thêm, hiểu số phương pháp giải tốn Học sinh có hứng thú học tập mơn nhiều hơn, say mê Việc phân loại tập đề tài nhằm mục đích bồi dưỡng phát triển kiến thức kỹ cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa tham gia tích cực người học Từ ta nhận thấy tính hiệu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị * Kết luận: + Mơn tốn nhiều mơn học khác đòi hỏi chăm nổ lực trình học tập Sự đầu tư thời gian công sức để học nhân tố quan trọng làm nên thành công +Khi dạy học thầy cô không nên cứng nhắc phương pháp, mà phải có linh hoạt giảng Nên dạy cho học sinh cách phân tích, đánh giá, tự chủ động tìm cách giải cho tốn * Kiến nghị: Sau đây, xin nêu số kiến nghị để việc dạy học Toán trường THPT ngày có hiệu cao hơn, đáp ứng mục tiêu giáo dục nay: - Tổ chức bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên phương pháp dạy học tích cực việc đổi kiểm tra đánh giá cách sâu rộng hiệu - Nhà trường cần đại hóa sở vật chất bổ sung đầy đủ trang thiết bị để tạo điều kiện cho việc áp dụng phương pháp dạy học - Đối với giáo viên: Khi giao cho học sinh tốn suy nghĩ phải tự hỏi để làm ? mục đích nó? Nếu ta dạy bài, học sinh biết khơng nên Ta nên chọn giảng cho học sinh hiểu sau nâng lên dần đến tổng quát hóa cố gắng chọn cho có nhiều mối liên hệ với nhiều khác để em xây dựng Trong khuôn khổ đề tài SKKN, nêu việc áp dụng số dạng toán Từ tạo điều kiện cho việc mở rộng nghiên 15 cứu áp dụng sang phần khác chương trình góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THPT XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Sáng TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 2.Sách giáo khoa Giải tích 12 Phân dạng tính đơn điệu hàm số - Trần Duy Thúc 16 ... trường: Qua năm thực đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 12 xét tính đơn điệu hàm tổng hàm hợp tơi nhận thấy: - Việc tiếp cận tốn xét tính đơn điệu hàm tổng hàm hợp học sinh khơng cảm thấy khó , khơng... thể dạng toán này, học sinh muốn làm toán liên quan đến hàm tổng hàm hợp đề thi phải kết hợp kiến thức: định nghĩa hàm hợp, đạo hàm hàm hợp, xét tính đơn điệu hàm số Vì nên học sinh thường khó khăn... thể phương pháp dạy học phù hợp để học sinh dễ tiếp thu kiến thức, tự tin làm toán kỳ thi Chính lí mà chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 12 xét tính đơn điệu hàm tổng hàm hợp 1.2 Mục đích nghiên