SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ----------------------------------------- Bài 1. (2 điểm) Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình: 2x 2 + 2mx + m 2 – 2 = 0. 1. Với giá trị nào của m thì: 1 2 1 2 1 1 + + x + x = 1 x x . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 2 1 2 2x x + x + x - 4 . Bài 2. (1,5 điểm) Giải phương trình: (x 2 + 3x + 2)(x 2 + 7x + 12) = 120. Bài 3. (2 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 x y + y x = 6 x y + y x = 20      . Bài 4. (3,5 điểm) Cho M là điểm thay đổi trên đường tròn (O), đường kính AB. Đường tròn (E) tâm E tiếp xúc trong với đường tròn (O) tại M và AB tại N. Đường thẳng MA, MB cắt đường tròn (E) tại các điểm thứ hai C và D khác M. 1. Chứng minh CD song song với AB. 2. Gọi giao điểm của MN với đường tròn (O) là K (K khác M). Chứng minh rằng khi M thay đổi thì điểm K cố định và tích KM.KN không đổi. 3. Gọi giao điểm của CN với KB là C và giao điểm của DN với KA là D. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NCD nhỏ nhất. Bài 5. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = 2 2 2x + 2x + 1+ 2x - 4x + 4 . ---------------------------------------------- Hết ------------------------------------------------ Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai phương trình: x 2 + ax + 1 = 0 và x 2 + bx + 17 = 0. Biết hai phương trình có nghiệm chung và a + b nhỏ nhấ. Tìm a và b. Bài 2. (2 điểm) Giải phương trình: 2 x + x - 5 + x + x - 5x = 20 . Bài 3. (2,5 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 3 3 7 7 4 4 x + y = 1 x + y = x + y      . 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 3 + y 3 + 6xy = 21. Bài 4. (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O. M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M là điểm đối xứng với M qua O. Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM lần lượt tại E và F. 1. Chứng minh tứ giác BCÈ nội tiếp được trong đường tròn. 2. Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r. Chứng minh: IB.IC = 2r.IM. Bài 5. (2 điểm) 1. Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện : 0 a 3≤ ≤ , 8 b 11≤ ≤ và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 2. Trong mặt phẳng (P) cho ba tia chung gốc và phân biệt Ox, Oy, Oz. Tio Ot không thuộc (P) và · · · xOt = yOt = xOt . Chứng minh Ot vuông góc với mặt phẳng (P). --------------------------------------------- Hết ------------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005 MÔN: TOÁN CHUNG Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2 điểm) 1. Giải phương trình: 7 - x = x - 1 2. Chứng minh phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt. Biết rằng 5a – b + 2c = 0. Bài 2. (2,5 điểm) Cho hệ phương trình: x + y-2 = 2 2x - y = m      (m là tham số) 1. Giải hệ phương trình với m = -1. 2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. (3 điểm) Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộccạnh AB (M khác A và B). Tia CM cắt tia DA tại N. BVẽ tia Cx vuông góc với CM và cắt tia AB tại E. Gọi H là trung điểm của đoạn NE. 1. Chứng minh tứ giác BCEH nội tiếp được trong đường tròn. 2. Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác NACE gấp ba diện tích hình vuông ABCD. 3. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AB thì tỉ số bán kính các đường tròn nội tiếp tam giác NAC và tam giác HBC không đổi. Bài 4. (1,5 điểm) Cho hình chóp A.BCD có cạnh AB = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. 1. Chứng minh MN vuông góc với AB và CD. 2. Với giá trị nào của x thì thể tích hình chóp A.BCD lớn nhất. Bài 5. (1 điểm) Cho các số dương a, b, c thay đổi và thoả mãn: a + b + c = 4. Chứng minh: 4a b b c c a+ + + + + > . ------------------------------------------------- Hết -------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga, Pháp) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Cho phương trình: x 2 – (m + 1)x + m – 6 = 0. 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. 2. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để: 3x 1 + 2x 2 = 5. Bài 2: (1,5 điểm) Cho hai số thực dương x, y thoả mãn điều kiện: 2x 2 – 6y 2 = xy. Tính giá trị của biểu thức: A = x - y 3x + 2y . Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 1 9 x + + y + = x y 2 1 1 25 x + + y + = x y 4        . Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB và P là điểm di động trên đường tròn (P ≠ A) sao cho PA ≤ PB. Trên tia đối PB lấy điểm Q sao cho PQ = PA, dựng hình vuông APQR. Tia PR cắt đường tròn đã cho ở điểm C (C ≠ P). 1. Chứng minh C là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ AQB. 2. Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp ∆ APB, chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ AQB. 3. Kẻ đường cao PH của ∆ APB, gọi R 1 , R 2 , R 3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp ∆ APB, ∆ APH và ∆ BPH. Tìm vị trí điểm P để tổng R 1 + R 2 + R 3 đạt giá trị lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 3. Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b 3 + c 3 . ------------------------------------------------- Hết -------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức: M = 2 4 4 4 2 2 2 x - 1 1 1 - x - x + x - x + 1 x + 1 1 + x     ÷ ÷    . 1. Rút gọn M. 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Bài 2: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 4 2 2 xy - 4y + x = 0 x y - 8y + x = 0      . Bài 3: (2,0 điểm) 1. Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: x 2 + 5y 2 – 4xy – x + 2y – 6 = 0. Chứng minh: 1 4x - 2y + 1− ≤ ≤ . 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 3 – x 3 = 2x + 1. Bài 4: (3,5 điểm) 1. Cho ∆ ABC có diện tích là 32 cm 2 , tổng độ dài hai cạnh AB và BC bằng 16 cm. Tính độ dài cạnh AC. 2. Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC) có đường cao AM và trung tuyến BO. Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia BO tại điểm D. Gọi các điểm N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng BD, CD. a. Chứng minh: NA 2 = NP.NM b. Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn. Bài 5: (1 điểm) Tìm các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2 2 2 x + y + z = 4 xyz x + y + z = 2 xyz      ----------------------------------------------Hết------------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,5 điểm) 1. Cho biểu thức P (x) = 2 x +12x + 12 - 3x. Gọi x 1 , x 2 là các nghiểm của phương trình x 2 – x – 1 = 0. Chứng minh: ( ) ( ) 1 2 x x P = P . 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2 + 14 y 2 + 13xy = 330. Bài 2: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 x + y + 2xy = 8 2 x + y = 4      Bài 3: (2,0 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 y = x + x + 1 + x - x + 1 . 2. Cho ba số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thoả mãn điều kiện: 1 1 1 + + = 1 x y z . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) x-2 y-2 z-2 1≤ . Dấu " = " xảy ra khi nào? Bài 4: (2,0 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, BC. CA lần lượt tại các điểm M, N, P. 1. Xét trường hợp AB < AC, gọi D là giao điểm của các tia AO và MN. Chứng minh AD ⊥ DC. 2. Gọi (T) là tam giác có các đỉnh là M, N, P, Giả sử (T) đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k. Tính k? Bài 5: (1,5 điểm) Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Tiếp tuyến (d 1 ) với đường tròn cắt các cạnh AB, AD lần lượt tại các điểm M, P. Tiếp tuyến (d 2 ) với đường tròn cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại các diểm N, Q. Chứng minh MN // PQ. -----------------------------------------------Hết------------------------------------------------ Đề chính thức . DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2004-2005 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Nga - Pháp). -------------------------------------------- Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC: 2005-2006 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào