Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Chuyên đề 3 : TÍNH SỐ HẠNG CỦA DÃY FIBONACCI SUY RỘNG I. DÃY FIBONACCI : 1). Dạng tổng quát : u 1 = 1 , u 2 = 1 , u n+1 = u n + u n - 1 Số hạng u n gọi là số Fibonacci . 2). Quy trình bấm phím : a). Máy Fx- 570 MS : Cách 1 : Quy trình 1 : Bấm phím 1 1 Và lặp lại dãy phím Giải thích : Phím 1 đưa u 2 = 1 vào ô nhớ Phím 1 cộng u 2 = 1 với u 1 = 1 được u 3 = 2 và ghi vào ô nhớ Phím cộng u 3 = 2 với u 2 = 1 được u 4 = u 3 + u 2 = 3 ghi vào ô nhớ Phím cộng u 4 = 3 với u 3 = 2 trong , được u 5 = u 4 + u 3 = 5 và ghi vào ô nhớ Tiếp tục quy trình trên , ta sử dụng hai ô nhớ và để lần lượt tính các giá trò u n . Quy trình 2 : Bấm phím 1 1 lặp lại phím Giải thích : Phím lấy lại quy trình tính và tính tiếp nhờ phím Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trò A = 1 1 B = 1 1 D = 2 2 Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 1 A + SHIFT STO BSHIFT STO + BSHIFT STO + ASHIFT STO ALPHA A ALPHA B m ASHIFT STO BSHIFT STO DSHIFT STO ASHIFT STO A + BSHIFT STO B + ASHIFT STO ALPHA A A + BSHIFT STO ALPHA B m B B A B A + SHIFT STO BSHIFT STO + BSHIFT STO + ASHIFT STO ALPHA A ALPHA B m ∆ SHIFT COPY = ∆ SHIFT COPY = Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A b). Máy Calculator trong Windows : Bấm phím 1 Và lặp lại dãy phím 3). Nghiệm tổng quát : n n n 1 1 5 1 5 u 2 2 5       + −  ÷ = −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷       Quy trình bấm phím máy Fx-570 MS : 1 5 2 1 5 2 5 Bấm máy hiện X ? Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các số . Máy Casio fx - 570MS ta chỉ cần khai báo công thức một lần , sau đó mỗi lần bấm phím chỉ cần thay X bằng một trong các số tự nhiên từ 1 đến 49 , ta sẽ được các u n tương ứng . Tính theo công thức nghiệm tổng quát ta chỉ được số gần đúng , nếu không chú ý có thể dẫn đến đáp số sai . Không nhất thiết phải bắt đầu từ hai số hạng đầu là u 1 =1 và u 2 =1. Có thể bắt đầu từ hai số hạng liên tiếp bất kỳ của dãy Fibonacci . * Tìm số hạng thứ n và tính tổng thứ n A = 1 1 B = 1 1 C = 2 2 ( Tổng 2 số hạng đầu ) D = 2 2 ( Biến đếm ) Công thức : D = D + 1 : A = A + B : C = C + A D = D + 1 : B = B + A : C = C + B II/- DÃY LUCAS : 1- Dạng tổng quát : Dãy Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonacci ; các số hạng của nó tuân theo quy luật : u 1 = a , u 2 = b ; u n+1 = u n + u n-1 với mọi n ≥ 2, trong đó a và b là hai số nào đó . Với a=b=1 thì trở thành dãy Fibonacci . Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 2 M + + MR M + = ( ( ( + √ ) ÷ ) ^ ALPHA X - ( ( - √ ) ÷ ) ^ ALPHA X ) ÷ √ CALC CALC ASHIFT STO BSHIFT STO DSHIFT STO CSHIFT STO Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà 2- Quy trình bấm phím : Máy Fx - 570 MS : Cách 1 : Quy trình 1 : Bấm phím b a Và lặp lại dãy phím Quy trình 2 : b a lặp lại phím Cách 2 : Xử dụng công thức gán giá trò A = a a B = b b D = 2 2 Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A Áp dụng : Tính u 35 = ( 20633239) Biết u 1 = 1 và u 2 = 3 , u n+1 = u n + u n-1 ( n ≥ 2 ) Gán A = 1 1 SHIFT STO A B = 3 3 SHIFT STO B D = 2 2 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = A + B : D = D + 1 : B = B + A III/- DÃY FIBONACCI SUY RỘNG : 1- Dãy Fibonacci suy rộng dạng : u 1 = a , u 2 = b ; u n+1 = Mu n + Nu n-1 với mọi n ≥ 2 . * Quy trình sử dụng máy Casio Fx-570 MS : Cách 1 : Quy trình 1 : Bấm phím b M N a Và lặp lại dãy phím M N M N Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 3 SHIFT STO A + SHIFT STO B + A + SHIFT STO BSHIFT STO ALPHA A ALPHA B m SHIFT STO A x SHIFT STO B + x x SHIFT STO ALPHA A + x A x + BSHIFT STO ALPHA B x ASHIFT STO BSHIFT STO DSHIFT STO SHIFT STO A + SHIFT STO B + A + SHIFT STO BSHIFT STO ALPHA A ALPHA B m ∆ SHIFT COPY = Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Giải thích : b M N a Đưa b = u 2 vào ô nhớ , tính u 3 = Mu 2 + Nu 1 và đẩy u 3 vào ô nhớ M N Tính u 4 = Mu 3 + Nu 2 và đưa vào ô nhớ . Như vậy , ta có u 4 trên màn hình và trong ô nhớ , còn trong ô nhớ là u 3 . M N Ta có u 5 trên màn hình và trong ô nhớ Tiếp tục vòng lặp ta được các số hạng của u n+1 = Mu n + Nu n-1 Quy trình 2 : Bấm phím b M N a M N M N lặp lại phím Cách 2 : A = a a B = b b D = 2 2 Công thức : D = D + 1 : A = MB + NA : D = D + 1 : B = MA + NB * Bài tập áp dụng : Tính u 17 = ( 8346193634 ) Với u 1 = 2 và u 2 = 3 , u n+1 = 4 u n + u n -1 ∀n ≥ 2 Gán giá trò : A = 2 2 SHIFT STO A B = 3 3 SHIFT STO B D = 2 2 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = 4B + A : D = D + 1 : B = 4A + B Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 4 ASHIFT STO BSHIFT STO DSHIFT STO SHIFT STO A x SHIFT STO B + x A B x SHIFT STO A + x A ALPHA A A B x + BSHIFT STO ALPHA B x B SHIFT STO A x SHIFT STO B + x x SHIFT STO ALPHA A + x A x + BSHIFT STO ALPHA B x ∆ SHIFT COPY = Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà 2- Dãy Fibonacci suy rộng dạng : u 1 = a , u 2 = b ; u n+1 = u n 2 + u n-1 2 với mọi n ≥ 2 . * Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS : Cách 1 : Bấm phím b a Và lặp lại dãy phím Cách 2 : A = a a B = b b D = 2 2 Công thức : D = D + 1 : A = A 2 + B 2 : D = D + 1 : B = B 2 + A 2 3- Dãy Fibonacci suy rộng dạng : u 1 = a , u 2 = b ; u n+1 = F 1 ( u n ) +F 2 ( u n-1 ) với mọi n ≥ 2 . * Quy trình sử dụng máy Casio fx-500 A : Khai báo b Tính F 1 (b) F2(a) ta được u 2 = b trong ô nhớ và u 3 = F 1 ( u 2 ) +F 2 ( u 1 ) = F 1 ( b ) +F 2 ( a ) trên màn hình . Và lặp lại dãy phím : * Quy trình sử dụng máy Casio fx-570 MS : Bấm phím b Và lặp lại dãy phím 4- Dãy truy hồi tổng quát : u 1 = a , u 2 = b ; u n+1 = ∑ = k i ii uF 1 )( với mọi n ≥ k , trong đó u 1 ,u 2 , u k cho trước . F i (x) , i = 1 n là các biểu thức toán học của biến số x . Khi k ≥ 3 ta khó có thể sử dụng Casio Fx- 500 A được . Tuy nhiên ta có thể sử dụng Casio Fx- 570 MS để tính dãy truy hồi tổng quát trên ( với k≤ 10 ) Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 5 SHIFT STO A x 2 SHIFT STO B x 2 + F 2 F 2 + SHIFT STO BSHIFT STO ALPHA A ALPHA B + F 1 A F 1 SHIFT STO A F 1 SHIFT STO B F 1 (a) + Min + = X ↔MSHIFT F 1 MR F 2 + = x 2 x 2 + SHIFT STO BSHIFT STO ALPHA A ALPHA B + x 2 A x 2 ASHIFT STO BSHIFT STO DSHIFT STO Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Tính dãy Fibonacci bậc 3 : u 1 = u 2 =1 , u 3 = 2 , u n+1 = u n + u n - 1 +u n-2 với n ≥ 3. Bấm phím : Đưa u 2 vào : 1 Đưa u 3 vào : 1 Tính u 4 : 1 Và lặp lại dãy phím : Ta được dãy : 1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,193,355,653, Cách khác : Tính dãy Fibonacci bậc 3 : u 1 = a ; u 2 =b , u 3 = c , u n+1 = Xu n + Yu n - 1 + Zu n-2 với n ≥ 3. Gán giá trò : A = a a SHIFT STO A B = b b SHIFT STO B C = c c SHIFT STO C D = 2 2 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = XC + YB + ZA : D = D + 1 : B = XA + YC + ZB : D = D + 1 : C = XB + YA + ZC : Bài tập áp dụng : a). Biết : u 1 = 4 , u 2 =7 , u 3 = 5 , u n+1 = 2u n - u n - 1 + u n-2 với n ≥ 3. Gán giá trò : A = 4 4 SHIFT STO A B = 7 7 SHIFT STO B C = 5 5 SHIFT STO C D = 3 3 SHIFT STO D Công thức : D = D + 1 : A = 2C - B + A : D = D + 1 : B = 2A - C + B : D = D + 1 : C = 2B - A + C : Tính u 30 ? u 30 = 20929015 b). Biết : u 1 = 1 , u 2 =2 , u 3 = 3 , u n = u n-1 +2u n - 2 + 3u n-3 với n ≥ 3. Tính u 28 ? u 28 = 9524317645 IV/- CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY FIBONACCI : Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất hay , dưới đây là một số tính chất quen thuộc . Nhiều tính chất có thể mở rộng cho dãy Lucas . 1).Tính chất 1 : u m = u k . u m+1 - k + u k - 1 . u m - k hay u n+m = u n - 1 .u m + u n . u m + 1 Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 6 SHIFT STO A A SHIFT STO B B + ALPHA B ALPHA A + CSHIFT STO + ALPHA B ALPHA A + ASHIFT STO + ALPHA C ALPHA B + BSHIFT STO + ALPHA A ALPHA C + CSHIFT STO (u 5 ) (u 6 ) (u 7 ) + + + Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà 2).Tính chất 2 : u 2n+1 = 2 n 2 1n uu + + 3). Tính chất 3 : 1n n1n 2 n )1(uuu − + −=− 4). Tính chất 4 : u 1 + u 3 + u 5 + + u 2n-1 = u 2n 5). Tính chất 5 : Với mọi n ta có : V n := | u n+4 u n-2 - u n+2 u n | = 3 6). Tính chất 6 : Với mọi n : 4u n-2 u 2 - u n+2 u n u n+4 u n-2 | = 3 IV/- BÀI TẬP ÁP DỤNG : * Áp dụng tính số Fibonacci : Với u 1 =1 và u 2 = 1 u n+1 = u n + u n - 1 (∀n ≥ 2) Tính u 49 ? *. Áp dụng tính số Lucas : 1). Với u 1 = 1 và u 2 = 3 ; u n+1 = u n + u n - 1 (∀n ≥ 2) Tính u 35 ? 2) Với u 1 = - 3 và u 2 = 4 ; u n+1 = u n + u n - 1 (∀n ≥ 2) Tính u 22 ? 3). Với u 1 = - 1 và u 2 = - 5 ; u n+1 = u n + u n - 1 (∀n ≥ 2) Tính u 6 ? 4). Với u 1 = 1 và u 2 = - 5 ; u n+1 = u n + u n - 1 (∀n ≥ 2) Tính u 10 ? 5). Với u 1 = 8 và u 2 = 13 ; u n+1 = u n + u n - 1 (∀n ≥ 2) Tính u 17 ? 6). Với u 1 = 144 và u 2 = 233 ; u n+1 = u n + u n - 1 (∀n ≥ 2) Tính u 39 ? * Áp dụng tính số Fibonacci suy rộng : 1). Với u 1 =2 và u 2 =3 , u n+1 =4u n + u n -1 Tính u 17 ? 2). Với u 1 = 3 và u 2 = 2 , u n+1 = 2 u n + 3 u n -1 Tính u 21 ? 3). Với u 1 = 1 và u 2 = 2 , u n+1 = 3 u n + u n -1 Tính u 19 ? 4). Với u 1 = 2 và u 2 = 20 , u n+1 = 2 u n + u n -1 Tính u 24 ? 5). Với u 1 =2 và u 2 =3 , u n+1 =4u n + 5u n -1 Tính u 15 ? 6). Với u 1 = 3 và u 2 = 5 , u n+1 = 3u n - 2u n -1 - 2 Tính u 33 ? 7). Với u 1 = 2 và u 2 = 10 , u n+1 = 10 u n - u n -1 Tính u 22 ? 8). Với u 1 = 1 và u 2 = 1 , u n+1 = 2u n - u n -1 + 2 Tính u 15 ? 9). Với u 1 = u 2 =1 , u n+1 = u n 2 + u n-1 2 Tính u 8 ? BÀI TẬP Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 7 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà 1). Cho dãy u 1 =2 và u 2 = 20 , u n+1 = 2u n + u n - 1 ( n ≥ 2 ) a). Tính u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 . b). Viết quy trình bấm phím để tính u n . c). Tính giá trò của u 22 , u 23 , u 24 , u 25 . 2). Cho dãy số u n = ( ) ( ) 32 3232 nn −−+ a). Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy . b). Lập một công thức truy hồi để tính u n+2 theo u n+1 và u n . c). Lập một quy trình tính u n . d). Tìm các số n để u n chia hết cho 3 3). Cho dãy u 0 =2 , u 1 = 10 , 10u n - u n - 1 , n = 1, 2, a). Lập một quy trình tính u n+1 b). Tính u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 . c). Tìm công thức tổng quát của u n . 4). Cho dãy u 1 = 1 , u 2 = 3 ; u n+1 = 2 1n 2 n uu − + . Tìm số dư của u n chia cho 7 . 5). Cho ( ) ( ) 52 5151 u nn n −−−+− = a). Tính u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 . b). Tìm công thức truy hồi tính u n+2 theo u n+1 và u n c). Viết quy trình bấm phím liên tục tính u n . 6). Cho dãy số ( ) ( ) .,3,2,1,0nvới 72 7575 Un nn = −−+ = a). Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 . b). Chứng minh rằng U n+2 = 10 U n+1 - 18U n c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính U n+2 trên máy tính CASIO fx 570 MS . 7). Cho dãy số .,3,2,1,0nvới,2 2 53 2 53 U nn n =−         − +         + = a). Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U 0 , U 1 , U 2 , U 3 , U 4 b). Lập công thức truy hồi tính U n+1 theo U n và U n - 1 . c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính U n+1 trên máy tính CASIO fx 570 MS . 8). Cho dãy số ( ) ( ) .,3,2,1nvới 22 2323 U nn n = −−+ = a). Tính 5 số hạng đầu của dãy số : U 1 , U 2 , U 3 , U 4 , U 5 . b). Chứng minh rằng U n+2 = 6 U n+1 - 7U n c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính U n+2 trên máy tính CASIO fx 570 MS . 9). Cho dãy số ( ) ( ) .,3,2,1nvới 32 310310 U nn n = −−+ = Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 8 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà a). Tính 4 số hạng đầu của dãy số : U 1 , U 2 , U 3 , U 4 . b). Lập công thức truy hồi tính U n+2 theo U n+1 và U n c). Lập qui trình ấn phím liên tục tính U n+2 theo U n+1 và U n rồi tính U 5 , U 6 , U 7 , . . . . . U 16 . Biên soạn : Huỳnh Bá Tân Tổ Toán Tin -Trường THCS Nguyễn Du Trang 9 . Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đề Chuyên đề 3 : TÍNH SỐ HẠNG CỦA DÃY FIBONACCI SUY RỘNG I. DÃY FIBONACCI : 1). Dạng tổng quát : u 1. 1 : B = B + A : C = C + B II/- DÃY LUCAS : 1- Dạng tổng quát : Dãy Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonacci ; các số hạng của nó tuân theo quy luật :