Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh *********************** Kinh nghiệm GiảI hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá Hà tĩnh, ngày 25 tháng 03 năm 2008 1 I. Đặt vấn đề: Trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc trong các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thờng có những bài tập giải hệ phơng trình mà việc giải những hệ phơng trình đó ta phải sử dụng phơng pháp đánh giá, việc đánh giá các hệ phơng trình đó cũng không có một trình tự nào rỏ ràng và cụ thể mà chúng ta phải biết vận dụng linh hoạt trong từng trờng hợp cụ thể . Sau đây tôi xin nêu một số phơng pháp thờng gặp khi giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá và một số ví dụ minh họa. II. GiảI quyết vấn đề: Phơng pháp1: Phơng pháp đánh giá bằng tập xác định Ví dụ: Giải hệ phơng trình: =++ =++ 11 11 xy yx (Đề thi vào trờng chuyên tĩnh) Lời giải Điều kiện 0 0 y x Suy ra ++ ++ 11 11 xy yx Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = 0 Do vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 0 Phơng pháp2: Đánh giá bằng bất đẳng thức Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I) =++ =+ 043147 02 32 222 yxx yxyx Lời giải 2 Viết lại (I) =++ =+ )2(0)1(3)1(7 )1(2)1( 32 22 yx xyx Từ (1) suy ra y 2 = 1 2 2 + x x 1 1 y 1 + y 3 0 Lại có (x - 1) 2 0 , x nên (2) =+ = 01 0)1( 3 2 y x )3( 1 1 = = y x Kết quả (3) thỏa mản (1) = = 1 1 y x là nghiệm duy nhất của hệ phơng trình (I) Vídụ2: Giải hệ phơng trình =++ ++=++ )2(3 )1( 2008200720072007 222 zyx xzyzxyzyx Lời giải Ta có (1) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2xz = 0 (x - y) 2 + (y - z) 2 + (x - z) 2 = 0 (3) Vì (x - y) 2 0; (y - z) 2 0; (x - z) 2 0 với mọi x;y;z (x - y) 2 + (y - z) 2 + (x - z) 2 0 với mọi x; y; z (3) x y = y z = z x = 0 x = y = z Thay vào (2) ta có: 3x 2007 = 3y 2007 = 3z 2007 = 3 2008 x 2007 = y 2007 = z 2007 = 3 2007 Vậy hệ phơng trình ban đầu có nghiệm là x = y = z = 3 Phơng pháp3: Đánh giá bằng tính chẵn lẻ Ví dụ1: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất 3 (I) = ++ ++ =+ 2 2 2 1 1 113 a yy yx yax (Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tĩnh Hà Tĩnh năm học 2000 - 2001) Lời giải Để ý yy yy += ++ 1 1 1 2 2 nên hệ (I) (II) =++ =+ 22 2 1 113 ayx yax Điều kiện cần Thấy rằng nếu có nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì hệ cũng có nghiệm (x 0 ,-y 0 ) Bởi vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là y 0 = 0 Thay y 0 = 0 vào (II) ta có =+ = 2 1 13 ax ax = = 3 4 1 a a Điều kiện đủ a = -1, hệ (II) trở thành =++ =++ 11 113 2 2 yx yx x = y = 0 a = 3 4 , hệ (II) trở thành =++ =+ 9 16 1 11 3 4 3 2 2 yx yx = = 0 9 7 y x Hệ có nghiệm duy nhất = = 0 9 7 y x Vậy tập hợp các giá trị của a tơng thích với yêu cầu bài toán là == 3 4 ;1 aa 4 Ví dụ2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất ++=++ =++ axxy ayx 355 3 22 2 Lời giải *Điều kiện cần Thấy rằng, nếu hệ có nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì nó cũng có nghiệm (-x 0 ,-y 0 ), (-x 0 ,y 0 ),(x 0 ,-y 0 ).Bởi vậy, nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là x 0 = y 0 = 0 Thay vào hệ ta có a = 3 *Điều kiện đủ Với a = 3 , hệ trở thành +=++ =++ )2(55 )1(33 22 2 xxy yx Để ý: 33 2 ++ yx Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y = 0. Suy ra (1) x = y = 0. Thấy rằng x = y = 0 cũng là nghiệm của (2) Suy ra x = y = 0 là nghiệm duy nhất của hệ Tóm lại: Tập hợp các giá trị phải tìm của a là a = 3 Phơng pháp 4: Đặc biệt hóa một ẩn Ví dụ1: Giải hệ phơng trình (I) =++ =+++ 12 32 22 222 xyxzyzyx yzxzxyzyx (Đề thi giáo viên giỏi huyện Cẩm Xuyên năm 2004) Lời giải Viết lại (I) (II) =+ =+++ 01)()( 03)()( 2 22 yxzyx zyxzyx 5 Đặt = += yxv yxu = + = 2 2 vu y vu x Hệ (II) trở thành (III) =+ =+ 01 03 2 22 zvv zzuu Hệ (III) có nghiệm 0 0 v u 4 4 2 2 z z z = 2 *Với z = 2 ta có (III) u = v = 1 = = 0 1 y x Hệ đã cho có nghiệm (1;0;2) *Với z = -2 ta có (III) u = v = -1 = = 0 1 y x Hệ đã cho có nghiệm (-1; 0; -2) *Tóm lại: Hệ đã cho có hai nghiệm là (1; 0; 2) và (-1; 0; -2) Nhận xét: - Số ẩn nhiều hơn số phơng trình suy ra đặc biệt hóa một ẩn xem là tham số - Sự vắng mặt hạng tử z 2 trong phơng trình (2) cho ta thấy thiếu bình đẳng của nó đối với x và y - Sự phân tích trên dẩn chúng ta đặc biệt hóa ẩn z, xem nó là tham số Ví dụ2: Giải hệ phơng trình (I) +=+ =+ =+ )4(0 )3(165)3)(2( )2(84 )1(23)3( 22 3 z xxxz yyz yx Lời giải 6 Xem z là tham số,khi đó phơng trình (2) trở thành 4(y - 1) 2 = 4 - z 2 (i) Phơng trình (i) có nghiệm khi và chỉ khi z 2 4 -2 2 z (5) Phơng trình (3) trở thành : x 2 + 2(4 - z)x + 16 - 6z = 0 (ii) Phơng trình (ii) có nghiệm 0 x z(z - 2) 0 )6( 2 0 z z Từ (4), (5), (6) suy ra = = 2 0 z z *Thay z = 0 vào các phơng trình (i) và (ii) sẻ lần lợt có x = - 4, = = 2 0 y y Cặp giá trị (x = - 4; y = 0; z = 0) không thỏa mản hệ phơng trình (I) (7) Cặp giá trị (x = -4; y = 2; z = 0) thỏa mản hệ phơng trình (I) (8) *Thay z = 2 vào các phơng trình (i) và (ii) ta sẻ lần lợt có x = -4 ; y = 1 (9) Cặp giá trị (x = -4; y = 1; z = 2) thỏa mản hệ phơng trình (I) (10) *Từ (7),(8),(10) kết luận hệ đã cho có hai nghiệm là (- 4; 2; 0) và (- 4; 1; 2) Nhận xét: Sự có mặt của bất đẳng thức (4) cho thấy tính đặc biệt của ẩn z đối với hệ đã cho Khi z đợc đặc biệt hóa, thì (2),(3) theo thứ tự trở thành phơng trình một ẩn đối với x,y. Nhờ đó ta thu đợc các đánh giá độc lập đối với biến z Phơng pháp5: Đánh giá giữa các ẩn Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ += += += )3(2 )2(2 )1(2 200720072008 200720072008 200720072008 yxz zxy zyx Lời giải Ta sẻ chứng minh x = y = z. Thật vậy: Do vai trò của x , y , z nh nhau nên không mất tính tổng quát,giả sử x y và x z (4) Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên: 7 Từ (1),(2),(4) 2x 2008 = y 20072007 z + x 20072007 z + = 2y 2008 2x 2008 2y 2008 x y (5) Từ (1),(3),(4) 2x 2008 = y 20072007 z + y 20072007 z + = 2z 2008 2x 2008 2z 2008 x z (6) Từ (4),(5),(6) suy ra x = y = z Thay vào (1) ta có 2x 2008 = x 20072007 x + = 2007 2x suy ra x = 1 (do x > 0) Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x = y = z = 1 Phơng pháp 6: Đánh giá bằng tính chia hết Ví dụ: Chứng tỏ rằng hệ phơng trình += += += )3(671 )2(670 )1(667 20052008 20052008 20052008 xz zy yx không có nghiệm nguyên Lời giải Cộng vế theo vế của (1),(2),(3) ta đợc: x 2008 + y 2008 + z 2008 = x 2005 + y 2005 + z 2005 + 2008 (x 2008 - x 2005 )+ (y 2008 - y 2005 ) + (z 2008 - z 2005 ) = 2008 x 2005 (x 3 - 1) + y 2005 (y 3 - 1) + z 2005 (z 3 - 1) = 2008 x 2005 (x- 1)x(x + 1) + y 2005 (y- 1)y(y + 1) + z 2005 (z- 1)z(z + 1) = 2008 (4) Dể thấy vế trái của phơng trình (4) chia hết cho 6 (do tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6) Mặt khác 2008 chia cho 6 có số d là 4 Do đó phơng trình (4) không có nghiệm nguyên. Vì vậy hệ (I) không có nghiệm nguyên x,y,z III.Kết luận - kiến nghị: Trên đây là một vài phơng pháp giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá mà trong quá trình giảng dạy tôi đã tổng hợp, sử dụng trong quá trình dạy bồi dỡng học sinh khá, giỏi.Đây chỉ là kinh nghiệm nhỏ về cách giải hệ 8 phơng trình trong rất nhiều phơng pháp giải hệ phơng trình chúng ta đã gặp. Mong nhận đợc sự góp ý chân thành từ các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! 9 . thờng có những bài tập giải hệ phơng trình mà việc giải những hệ phơng trình đó ta phải sử dụng phơng pháp đánh giá, việc đánh giá các hệ phơng trình đó cũng. thờng gặp khi giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đánh giá và một số ví dụ minh họa. II. GiảI quyết vấn đề: Phơng pháp1: Phơng pháp đánh giá bằng tập xác