Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Giải tích 2- Phần : đạo hàm và vi phân
Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0) f (x0 x, y0) f (x0, y0) f fx (x0, y0) (x0, y0) lim x0 x x (Cố định y0, biểu thức hàm biến theo x, tính đạo hàm hàm x0) Đạo hàm riêng cấp f theo biến y (x0, y0) f (x0, y0 y) f (x0, y0) f fy (x0, y0) (x0, y0) lim y 0 y y Ý nghĩa đhr cấp Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 qua P (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b) f’x(a, b) = g’(a) hệ số góc tiếp tuyến T1 C1 x = a f’y(a, b) hệ số góc tiếp tuyến T2 C2 ( phần giao Svới mp x = a) y = b Các ví dụ cách tính 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx (1,2) : fx (1,2), fy (1,2) cố định y0 = 2, ta có hàm biến f ( x , 2) x x 2 f (1,2) (6 x x x ) |x 1 12 x |x 1 16 f(x,y) = 3x2y + xy2 fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm biến f (1, y ) 3y y fy (1,2) (3y y ) |y (3 y ) |y 2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx ( x , y ), fy ( x , y ) với (x, y) R2 fx ( x , y ) Xem y hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x fx ( x , y ) xy y , ( x , y ) Áp dụng tính: f (1,2) (6 xy y ) | x x 1, y 16 (Đây cách thường dùng để tính đạo hàm điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2 fy ( x , y ) Xem x hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y fy ( x , y ) 3x x y , ( x , y ) Áp dụng tính: fx (1,2) (3x xy ) |x 1, y 2 2/ Tính fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy y 1 fx ( x , y ) yx , x 11 fx (1,1) 1; y fy ( x , y ) x ln x , x fy (1,1) ln1 Ví dụ 3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z ) z xz y (1) Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) z(1, -2) = Lấy vi phân pt (1): dF 3z dz 4zdx xdz ydy (2) Thay x = 1, y = - 2, z = vào (2): 12dz (1, 2) 8dx 4dz (1, 2) 4dy dz (1, 2) dx dy Lấy vi phân pt (2): d F d 3z dz 4zdx xdz ydy d F 2zdz z d z 2 2 4dzdx 4 dxdz xd z 2dy 2 0 (3) (Vì x, y biến độc lập nên dx = dy = hằng) Thay x = 1, y =-2, z = 2, dz = dz(1, -2) = dx + 1/2dy vào (3) d z (1, 2) dx dxdy dy Ví dụ 4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F f ( x z, y ) (1) với f hàm khả vi cấp Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy Đặt u = x+ z, v = y F(x, y, z) = f(u, v) = Fx fu ux fv v x fu , Fy fu uy fv v y fv Fz fu uz fv v z fu fu zx 1, fu fv zy fu zxx fv zy fu fv zyy fu y u = x+ z, v = y f f u f v f f u f v vu y vv y u uu y uv y v y y fu zy fvv fu fuu zy fuv fv fvu fu zyy zy fvv fu fuu zy fuv fv fvu fu fv zy fu fv fv fvv fu fuu fuv fv fvu fu fu zyy fu ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần (khai triển Taylor) KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) lân cận (x0, y0), lân cận ta có: n k d f ( x0 , y ) Rn f ( x , y ) f ( x0 , y ) k! k 1 Cụ thể: k 1 f (x, y ) f (x0 , y0 ) x y f (x0 , y0 ) Rn y k 1 k ! x n n1 Rn d (x0 x, y0 y ) Phần dư Lagrange (n 1)! Có thể thay Rn o(n) (Peano) (là VCB bậc cao n 0), x y , o ( ) 2 n Khai triển lân cận (0, 0) gọi kt Maclaurin Thông thường sử dụng pd Peano Sử dụng khai triển Maclaurin hàm biến kt Taylor hàm nhiều biến Viết kt lân cận (x0, y0) viết kt theo lũy thừa x = (x – x0), y = (y – y0) Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy fx yx y 1, fy x y ln x df (1,1) x 0.y y ( y 1) x fxx y 2 , y 1 y 1 fxy x yx ln x , x ln x fyy y d f (1,1) 0.x 2.x y 0.y 2 df (1,1) x 0.y d f (1,1) 0.x 2.x y 0.y 2 2 df (1,1) d f (1,1) z f ( x , y ) f (1,1) o( ) 2! 1! x 2x y z 1 o( ) 1! 2! ( x 1) ( x 1)( y 1) o ( ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp cho z f (x, y ) x y xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 2 z u u o (u ) 1 u ( x y xy ) ( x y xy ) o (u ) x y x 3xy y o ( ) Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (0,1) cho z f (x, y ) e x xy Đặt X = x, Y = y – 1, ze X X XY X X XY ( X X XY ) ( X X XY ) o( ) 2 z X X XY ( X X XY ) ( X X XY ) o( ) 2 3 3 X X XY X X Y o ( ) 3 z x x x ( y 1) x x ( y 1) o ( ) Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (1,2) cho z f ( x , y ) x sin( y 2) Suy f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành Y o (Y ) z ( X 1)sin Y ( X 1) Y Y Y XY o( ) (y 2) (y 2) (x 1)(y 2) o( ) (y 2) f (x, y ) (y 2) (x 1)(y 2) o( ) d f (1,2) ( x 1)( y 2) x y dxdy 2! (1,2)x 2fxy (1,2)xy fyy (1,2)y fxx f”xy(1, 2) = xy ...Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0)... với hàm sơ cấp thường gặp, đònh lý Schwartz điểm đạo hàm tồn •Đònh lý Schwartz cho đạo hàm cấp trở lên f xyx fyxx f xxy Cách viết đạo hàm cấp cao cách tính: (mn ) f m n x y mn... phân hàm n biến: z f x1, x , , xn dz fx1 dx1 fx2 dx2 fxn dxn VI PHÂN CẤP CAO Vi phân cấp f vi phân df(x,y) xem dx, dy số (ta xét trường hợp đhr hỗn hợp nhau) Cách viết: d2f(x,