SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Mục lục Phần I Phần II Phần III Lời nói đầu Nội dung A Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác chứng minh phương pháp diện tích I/ Các tính chất diện tích đa giác II/ Các cơng thức tính diện tích đa giác đặc biệt III/ Cách giải tốn tính diện tích phương pháp diện tích B Một số dạng tập áp dụng hướng dẫn giải I/ Các tốn tính diện tích đa giác II/ Các tốn giải phương pháp diện tích 14 1/ Các tốn chứng minh quan hệ diện tích sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng 2/ Các toán bất đẳng thức cực trị 14 Kết luận 37 29 Phần I : Lời nói đầu Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - -1 SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Như biết, với phát triển tư người, toán học đời Tốn học mơn khoa học đặc biệt, mơn khởi đầu cho đời môn khoa học khác cung cần thiết cho ngành khoa học kỹ thuật Toán học rèn luyện cho người nhiều đức tính q: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo, kiên trì Trong tốn học khơng thể khơng kể đến mơn hình học Hình học rèn luyện cho người khả tư trừu tượng, sáng tạo khả phân tích tổng hợp Trong đó, dạng tốn tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả tư cao, vận dụng linh hoạt kiến thức học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm tốn, " Diện tích đa giác phưong pháp diện tích " Trong q trình giảng dạy BD HSG cho học sinh toán lớp trường nhận thấy tập diện tích đa giác chứng minh phương pháp diện tích hay lí thú Chúng có mặt nhiều đề thi học sinh giỏi Huyện đề thi vào lớp 10 trường chun Chính tơi viết SKKN chun đề để dạy BD HSG cho học sinh toán lớp trường để giúp học sinh bớt lúng túng gặp tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố kiến thức học nâng cao khả tư duy, sáng tạo Chun đề gồm I/ Các tốn tính diện tích đa giác II/ Các tốn chứng minh phương pháp diện tích 1/ Các tốn chứng minh quan hệ diện tích sử dụng diện tích để tìm quan hệ độ dài đoạn thẳng 2/ Các toán bất đẳng thức cực trị Phần II Nội dung Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - -2 SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích A.Phương pháp giải tốn tính diện tích đa giác phương pháp diện tích: Để giải tốn tính diện tích học sinh cần phải nắm kiến thức sau: I/ Các tính chất diện tích đa giác: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng) Các đa giác có diện tích nhau( tính bất biến) Hình vng có cạnh đơn vị dài diện tích đơn vị vng ( tính chuẩn hóa) Hai tam giác có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao Hai tam giác có chung cạnh tỉ số diện tích tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh Tam giác cạnh a có diện tích a II/ Các cơng thức tính diện tích đa giác đặc biệt: Cơng thức tính diện tích hình chữ nhật: Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước S= a.b b a Cơng thức tính diện tích hình vng: Diện tích hình vng bình phương cạnh S = a2 a Cơng thức tính diện tích tam giác: a) Diện tích tam giác: a Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S= a.h h b) Diện tích tam giác vng: Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng S= a.b c.h = Cơng thức tính diện tích hình thang: Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - a a b h c -3 SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao a S= (a+b).h h b Cơng thức tính diện tích hình bình hành: Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S = a.h h a Cơng thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc: Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc với nửa tích hai đường chéo S= d2 d1 d1.d2 Cơng thức tính diện tích hình thoi Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo S= d2 d1 d1.d2 III/ Cách giảI toán tính diện tích phương pháp diện tích: 1/ Để tính diện tích đa giác: +/ Đa giác có cơng thức tính chưa đủ kiện để tính đòi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác +/ Đa giác có cơng thức tính sủ dụng cơng thức khơng thể tính phải thơng qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu +/ Tính diện tích đa giác khơng có cơng thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích 2/ Chứng minh hình phương pháp diện tích: +/ Ta biết số cơng thức tính diện tích đa giác dã nêu Do biết độ dài số yếu tố, ta tính diện tích hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình từ kết hợp với yếu tố biết khác, tổng hợp kiến thức liên quan để suy điều cần chứng minh Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ -4 - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích +/ Để so sánh hai độ dài phương pháp diện tích, ta làm theo bước sau: - Xác định quan hệ diện tích hình - Sử dụng cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài - Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh 3/ Để giải toán bất đẳng thức cực trị ta cần nắm được: Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các tốn cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựợng đạt cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ đường vng góc đường xiên +/ Quan hệ đường xiên hình chiếu +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số B Một số tập hướng dẫn giải I/ Các tốn tính diện tích đa giác Để tính diện tích đa giác: +/ Đa giác có cơng thức tính chưa đủ kiện để tính đòi hỏi ta phải tính kiện thiếu tính diện tích đa giác +/ Đa giác có cơng thức tính sủ dụng cơng thức khơng thể tính phải thơng qua diện tích đa giác khác sử dụng tính chất nêu +/ Tính diện tích đa giác khơng có cơng thức ta cần biến đổi diện tích diện tích hình khác có biết cách tính diện tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O trung điểm đường cao AH Các tia BO CO cắt cạnh AC AB D E Tính SADOE ? Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - -5 SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích A Hướng giải : E Để tính diện tích tập học sinh phải nhận thấy S ABC biết nên ta cần tìm mối quan hệ SADOE với SABC Lại có H O điểm đặc biệt đoạn AC, AH nên ta dễ dàng tìm mối quan hệ cách lấy thêm điểm N trung điểm DC D N O B C H Bài giải: Gọi N trung điểm CD => AD = DN = NC = S AD AC AOD   (Chung chiều cao hạ từ O xuống AC) => S AC AOC S AOC AO   (Chung chiều cao hạ từ C xuống AH) S AHC AH Mà SAHC = => SAOD = SAHC (1) SABC ( Chung chiều caoAH) (2) Từ (1) (2) => SAOD = SABC 12 Mà SAOE = SAOD => SADOE = SAOD = SABC áp dụng đlí Pitago vào AHC vng H => AH = 4cm => SABC = AH.BC 4.6  12cm2 2 Vậy SADOE = 12 = cm2 Bài 2: Cho hbh ABCD có diện tích Gọi M trung điểm BC, AM cắt BD Q Tính diện tích MQDC ? C D E M N Q B A Phân tích đề hướng giải: Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - -6 SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Hs cần nhận thấy SABCD = nên dễ dàng suy SBCD = Để tính SMQDC phải thơng qua SBCD SBMQ Do ta cần phải tìm mối quan hệ SBMQ với SBCD Để tìm mối liên hệ ta phải xét xem Q nằm BD có vị trí đặc biệt khơng cách lấy thêm điểm N trung điểm AD Bài giải: Lấy N trung điểm AD Ddcm AMCN hình bình hành => AM // CN => QB = QE ; ED = QE ( Định lí đường trung bình) => BQ = QE = ED 1 SBCQ ; SQBC = SBCD => SBMQ = SBCD 5 => SMQDC = SBCD = SABCD = 12 12 => SBMQ = Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh BC lấy M: BM = N cho CN = BC Trên cạnh CD lấy CD a) Tính SAMN theo SABCD b) BD cắt AM P, BD cắt AN Q Tính SMNQP theo SABCD A P B M Q K D H N C Phân tích đề hướng giải: Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận phải sử dung tính chất 1: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác ( tính cộng) Nên để tính diện tích AMN ta phải làm SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN (b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN đỉnh tứ giác nằm cạnh  AMN Muốn tìm mối liên hệ rõ ràng phải thông qua  APQ Ta nhận thấy  APQ  AMN có hai đáy thuộc đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vng góc PK MH Từ suy lời giải toán Bài giải: a) SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN SABM = SABCD ; SCMN = SABCD; SADN = SABCD 10 15 Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - -7 SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Do ta tính : SAMN = Vậy SMNPQ = 13 SABCD 60 13 SABCD 60 SAPQ 2PK.AQ PK AQ   b) Kẻ MH  AN ; PK  AN => SAMN MH AN MH.AN PK AP  Vì PK// MH ( vng góc với AN) => (Theo định lí Ta let) MH AM AP AD AP   => Ddcm = PM BM AM AQ AB AQ   =>  Vì DN // AB => QN DN AN SAPQ AP AQ 1 13    => SAPQ = SMNPQ = SAMN = Do S SABCD AM AN 2 60 AMN Bài 4: Cho  ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân giác AD, BE, CF Tính diện tích tam giác DEF ( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999) Phân tích đề hướng giải: - Để tính diện tích  DEF ta phải tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC Học sinh dễ dàng tính SABC, SAEF hai tam giác vng - Để tính SBFD, SDFC cần phải kẻ C thêm đường cao Căn thêm vào giả thiết : có phân giác góc nên từ suy kẻ đường cao FH EK => FH = FA; EK = EA A E F B H D K Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = Nên ddcm  ABC vng A Ta có CF phân giác ACB => 3 Cmtt => AE = => FA = 3 FA CA FA   =>  FB CB AB => (*) SAEF = AE.AF = 1 2 Hạ FH  BC ; EK  BC => FH = FA ; EK = AE ( Tính chất tia pg góc) Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - -8 SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Cmtt ta tính DB = DC = 15 ( Dựa vào định lí đường phân giác tam giác) => 20 FH.BD 15 10   2 7 EK.DC 20 15   (*) SDFC = 2 7 AB.AC 3.4  6 (*) SABC = 2 (*) SBFD = => SDEF = SABC - ( SAEF + SBFD + SDFC) Vậy SDEF = 10 Bài 5: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt O Đường trung trực AB cắt BD, AC M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a b B H N A O C D M Bài giải: Gọi H trung điểm AB Dễ dàng nhận thấy: AN HN b   *) AHN ∽ MHN ( g.g) => MB HB a b b => HN = HB = HA a a AH HN  *) AHN ∽ AOB (g.g) => AO OB OB HN HN b b    => OB = OA => a OA AH HB a *) AHN vuông H => HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago) b2 => HA (1 + ) = b2 a a2b2 4a2b2 2 Do HA = => AB = 4HA = a  b2 a  b2 *) AOB vuông => OA2 + OB2 = AB2 Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ - -9 SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích b2 4a2b2 => OA + OA = a  b2 a 4a4b2 2a2b 2a b2 Do OA = => OA = OB = (a  b2 ) a  b2 a  b2 Mà SABCD = 2.OA.OB Vậy SABCD 8a3b3 = (a  b2 ) Bài 6: Cho hình vng ABCD có cạnh 30cm Trên cạnh AB, BC, CD, DA thứ tự lấy điểm E, F, G, H: AE = 10cm; BF =12cm, CG = 14 cm, DH = 16cm a) Tính SEFGH 2MF , FN= EN 3 Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ = MF Tính SMNPQ b) Trên EF lấy hai điểm M, N : cho EM = A 10cm E B M N F H 16cm 12cm Q P D G 14cm C Phân tích đề hướng giải: a) Ta nhận thấy để tính SEFGH phải thơng qua SABCD, SAEH, SEBF, SFCG, SHGD hình tính diện tích qua cơng thức học b) Vì tứ giác MNPQ có đỉnh nằm cạnh tứ giác EFGH vị trí đặc biệt theo gt nêu Do ta cần tìm mối liên hệ tứ giác MNPQ với EFGH Từ tính diện tích tứ giác MNPQ Bài giải: a)Từ gt => EB = 20cm, CF = 18cm, DG = 16cm, AH = 14cm *) SABCD = 900 cm2 *) SAEH = AE.AH EB.BF = 70 cm2; SEBF = = 120cm2 2 Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 10 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Sử dụng cơng thức tính diện tích để thiết lập quan hệ đoạn thẳng: Bài 11: Cho  ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh rằng: AB.AC = BC AH A B Bài giải: SABC = C H => AB.CD BC.AH ; SABC = 2 AB.AC BC.AH   AB.AC 2 = BC AH Bài 12: a) Chứng minh rằng: Tổng khoảng cách từ điểm M nằm  ABC đến cạnh tam giác khơng phụ thuộc vị trí điểm M A K I M B H O C Bài giải: Gọi cạnh ABC a, chiều cao tam giác h *) SABC = SMAB + SMBC + SMAC *) SABC = a.h (1) *) SMAB + SMBC + SMAC = MI.a MH.a MK.a (MI  MH  MK)a    (2) 2 2 Từ (1) (2) => MH + MI + MK = h Mà h: không đổi Vậy MH + MI + MK không đổi M vị trí nằm ABC b) Quan hệ thay đổi M thuộc miền ABC Chứng minh được: MH + MI - MK = h Bài 13: Các điểm E, F nằm cạnh AB, BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I giao điểm AF , CE Chứng minh rằng: ID tia phân giác AIC Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 20 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích E A B H I K F C D Phân tích đề hướng giải: +/ Để chứng minh ID phân giác AIC ta nghĩ đến cần chứng minh khoảng cách từ D đến IA IC phải +/ Tiếp tục cần cm: SADF = SDCE hai tam giác có: AF = CE (gt) +/ Tìm mối liên hệ SADF SDCE với SABCD Bài giải: +/ Hạ DH  IA ; DK  IC +/ Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ B xuống AD h1 Gọi chiều cao hình bình hành hạ từ A xuống CD h2 => SADF = AD.h1 S ABCD  2 S DCE = CD.h2 S ABCD  2 => SADF = S DCE (1) SADF = DH.AF DK.CE (2) ; S DCE = (3) 2 Mà AF = CE (gt) (4) Từ (1)(2)(3)(4) => DH = DK Vậy ID phân giác AIK Bài 14: Cho  ABC A', B', C' thứ tự hình chiếu M ( M nằm  ABC AB, BC, CA) Các đường vng góc với AB B , vng góc với BC C, vng góc với CA A cắt D, E, F Chứng minh: a)  DEF b) AB' + BC' +CA' không phụ thuộc vị trí điểm M Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 21 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích D A H C' B' M E K B C A' I F Bài giải: a) ddcm :  DEF b) Goị cạnh  ABC a => cạnh DEF a h: chiều cao DEF => h không đổi Từ M hạ MH  DE, MI  EF, MK  DF Mà MH + MI + MK = h _ Dựa 11 ( cm) Ta ddcm : MH = AB'; MI = BC' ; MK = CA' => MH + MI + MK = AB' + BC' + CA' Do AB' + BC' + CA' = h - không đổi Vậy AB' + BC' + CA' khơng phụ thuộc vị trí điểm M Bài 15: Cho  ABC vuông C, tam giác lấy điểm O cho SOAB = SOBC = SOCA Chứng minh rằng: OA2 + OB2 = OC2 C N M O A B I Bài giải: Ddcm tốn: Gọi G trọng tâm tam giác SGAB =SGAC = SGBC Do ta cm: O trọng tâm ABC Từ O kẻ OM  AC, ON  BC; cho CO  AB= {I} Theo giả thiết SOAC = Nên ddcm : OM = Cmtt : ON = SABC BC; AC Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 22 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Đặt BC = a, AC = b, ta có: OM = 1 a, ON = b 3 Do OA2 = AM2 + OM2 ; OB2 = NB2 + ON2 (Theo định lí Pitago) 2 2 2  1  OA =  b   a  b2  a2 9 3  3  2  1  OB =  a   b  a2  b2 9 3  3   b2 a2  => OA2 + OB2 =    (1) 9  2 AB AB  Vì O trọng tâm ABC => OC = CI = 3  AB2  a2  b2  = => OC =  (2)   Từ (1) (2) => OA2 + OB2 = 5OC2 Bài 16: Từ điểm M tùy ý  ABC, đường thẳng MA, MB, MC cắt BC, CA, AB A1, B1 , C1 MA MB MC 1 Chứng minh: AA  BB  CC 1 1 A B1 C1 M A1 K B H C Phân tích đề hướng giải: MA MB MC 1 +/ Để chứng minh AA  BB  CC 1 ta thấy cần phải xét tỉ số hai đoạn thẳng 1 hệ thức +/ Nếu biểu thị tỉ số với tỉ số diện tích CMA1 CAA1 khơng thể chứng minh Vì ta cần phải vẽ thêm đường phụ: Đó hai đường vng góc hạ từ M, A xuống BC MA1 MK => AA  AH Mà MK AH hai đường vng góc hạ xuống BC nên => MK SMBC = AH S ABC Từ => đpcm Bài giải: MA MK Kẻ MK, AH vng góc với BC => MK //AH=> AA  AH Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 23 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích MK.BC MA1 MK S   MBC (1) Ta có: AA AH = S ABC AH.BC MB1 S MAC Cmtt ta có : BB  S (2) ABC MC1 S AMB  (3) CC S ABC Từ (1)(2) (3) ta : MA1 MB1 MC1 SMBC S MAC S AMB S ABC + + CC = S + S + S = S = ( Đpcm) AA1 BB1 ABC ABC ABC ABC Bài 17: Cho  ABC ba điểm A', B', C' nằm cạnh BC, CA, AB cho AA', BB', CC' đồng quy ( A', B', C' không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh rằng: A' B B' C C' A 1(Định lí Xêva) A' C B' A C' B A B' C' O H B C A' K Phân tích đề hướng giải: Ta thấy vế trái điều phải chứng minh tích tỉ số Để rút gọn tích ta thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số diện tích hai tam giác thích hợp, sau khử liên tiếp để đpcm Bài giải: Vẽ BH  AA' CK  AA' A'B S AA'B => A'C  S ( hai tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A)(1) AA'C S BH AA'B  Mà S ( hai tam giác có chung cạnh AA') (2) CK AA'C S BH AOB  Ta lại có : S ( hai tam giác có chung cạnh OA)(3) CK AOC A'B S AOB Từ (1)(2)(3) => A'C  S (4) AOC B'C S BOC C' A S COA Cmtt => B' A  S (5) ; C'B  S (6) BOA COB => Nhân vế (4)(5)(6) ta được: Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 24 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích A'B B'C C' A S AOB S BOC S COA = = (đpcm) A'C B' A C'B S AOC S BOA S COB Bài 18: Chứng minh định lí Pitago: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng N G M A F B E H K lớp học định lí ( cơng nhận , khơng chứng minh) Có nhiều cách để chứng minh cách ta sử dụng phương pháp diện tích C D Bài giải: Dựng hình vng ABFG, ACMN, BCDE Muốn chứng minh BC2 = AB2 + AC2 ta cần chứng minh: SBCDE =SABFG + SACMN Vẽ đường cao AH kéo dài cắt DE K Nối AE, CF Dd cm : FBC = ABE (c.g.c) => SFBC = SABE (1) SFBC = Cmtt SABE = AB.BF ( AC //BF ) => SFBC = SABFG (2) 2 SBHKE (3) Từ (1)(2)(3) => SBHKE = SABFG Cmtt : SCHKD = SACMN Do đó: SABFG +SACMN = SBHKE + SCHKD => SBCDE = SABFG +SACMN Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 25 - - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Vậy BC2 = AB2 + AC2 Bài 19: Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F, G, H thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho EG không song song với AD Cho biết diện tích EFGH nửa diện tích hình bình hành Chứng minh: HF // CD E A B H F D K G C Phân tích đề hướng giải: +/ Bài ta thấy cần phải tìm tạo tứ giác SABCD +/ Tìm mối liên hệ tứ giác với tứ giác EFGH +/ Căn vào gt ta thấy cần vẽ đường phụ cách: kẻ EK// AD Ta có SABCD = SBEKC + SEADK Nối HK, FK ta có tứ giác EFGH EFKH có chung diện tích HEF Vì SGHF = SKHF => đpcm Bài giải: Kẻ EK // AD Ta có SEFGH = 1 SABCD = ( SBEKC + SEADK ) 2 SEFKH = S EFK + SHEK = ( SBEKC + SEADK ) => SEFGH = SEFKH Mà S EFGH = SHEF + SHGF SEFKH = SHEF + SKHF => SHGF = SKHF => Chiều cao từ G K xuống HF => HF // KG Vậy HF // BC Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 26 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài 20: Cho  ABC có AB = 3; AC = 4, BC = Vẽ đường phân giác AD, BE, CF a) Tính diện tích tam giác DEF b) CMR: DF qua trung điểm BE ( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999) A E F B H Bài giải: D K C a) Đã làm ( tr 8) 10 ) h1, h2 chiều cao BFD , DEF hạ từ B E xuống FD b) Theo cmt ta có : S BFD = SDEF (cùng S BFD = => h1 = h2 1 FD h1 ; SDEF = FD.h2 2 Cho DF  BE = {I} => IB = IE Vậy DF qua trung điểm BE 2/ Các toán bất đẳng thức cực trị Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức biết, vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Các toán cực trị thường trình bày theo hai cách; Cách 1: Đưa hình chứng minh hình khác có yếu tố( đoạn thẳng, góc, diện tích…) lớn nhỏ yếu tố tương ứng hình đưa Cách 2: Thay điều kiện đại lựong đạt cực trị điều kiện tương đương, cuối dẫn đến điều kiện xác định vị trí điểm để đạt cực trị Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: +/ Quan hệ đường vng góc đường xiên +/ Quan hệ đường xiên hình chiếu +/ Bất đẳng thức tam giác + / Các bất đẳng thức đại số Bài 1: Cho  ABC cân A có Â = 300 BD đường phân giác Chứng minh rằng: SBCD < SABC Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 27 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Bài giải: Hạ DH  AB; DK  BC A => DH = DK (1) ABC cân A Â = 300 => B = C = 750 Â< B => BC < AB.(2) H 1 SDBC = DK.BC ; SDAB = DH.AB (3) D Từ (1)(2)(3) => SDBC < SDAB => 2SBCD < SABC B K Vậy SBCD < SABC (đpcm) C Bài 2: Cho  ABC vng cân có AB = AC = 10cm  DEF vuông cân D nội tiếp  ABC ( D  AB, E  BC, F  AC ) Xác định vị trí D để diện tích DEF nhỏ Bài giải: Gọi AD = x Kẻ EH  AB B H Thì AD = EH = BH = x DH = 10 - 2x E 1 DE.DF  DE2  (EH2  DH2 ) 2 SDEF = = [x2 + ( 10 - 2x)2 ] = (5x2 - 40x + 100) D C F A 5 ( x2 - 8x + 20) = (x - 4)2 + 10  10 2 (SDEF )min = 10  x = D  AB : AD = cm S DEF nhỏ Bài 3: Cho hình vng ABCD có cạnh a Lấy điểm M tùy ý đường chéo AC, kẻ ME  AB, MF  BC Xác định vị trí M đuờng chéo AC để diện tích DEF nhỏ Bài giải: A E M B F Dễ thấy SDEM = SAME ( chung cạnh ME, chiều cao từ D A xuống ME nhất) SDMF = SCMF SDEF = SDEM + SDMF + SEMF = SABC - SBEF = D C ( a - BE BF) SDEF đạt giá trị nhỏ  BE.BF lớn (1) Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 28 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Do BE + BF = a không đổi nên BE.BF lớn  BE = BF = a/2  M trung điểm AC SDEF = a2 (a - ) = a2 Bài 4: Cho tứ giác ABCD có cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh rằng: SABCD  (a+c)(b+d) H Bài giải: A Vẽ BH  AD; BK DC a B d Ta có: BH  AB => BH  a b D c (H  AD, K  CD) C BK  BC => BK  b K SABCD = SABD + SCBD Cmtt ta có : SABCD  (ab +cd) 2 => 2SABCD  (ab +ad +bc + cd) => SABCD  2 = BH.AD + BK.CD  (ad+bc) (ab +ad +bc + cd) (1) Mà ab + ad +bc + cd = (ab +ad) + (bc +cd) = a(b+d) + c(b+d) = (a+c)(b+d)(2) Từ (1)và (2) => SABCD  (a+c)(b+d) (đpcm) Bài 5: Cho  ABC Gọi D trung điểm BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F Chứng minh rằng: SDEF SABC A E B F C D I Phân tích đề hướng giải: Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 29 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Để cm SDEF  SABC hay 2SDEF  SABC hay cần cm: SDEF  SDFC + SBED Ta cần tạo tam giác với tam giác BED kết hợp với tam giác DFC thành hình so sánh diện tích tam giác DEF với hình Đã có D trung điểm BC nên ta cần lấy thêm điểm I cho D trung điểm EI => đpcm Bài giải: Dựng I đối xứng E qua D, ta có :  BED =  CID (c.g.c) => SBED = SCID Có SDEF = SFDI (chung đường cao, hai đáy nhau) Mà SFDI  SDICF => SDEF  SDICF => SDEF  SDFC + SDIC => SDEF  SDFC + SBED (1) Ta lại có: SDEF  SAEDF (2) Từ (1) (2) ta có : 2SDEF  SDFC + SBED + SAEDF => 2SDEF  SABC Vậy SDEF  SABC Dấu xảy EF  AC AB, (SDEF)max = SABC Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh rằng: SOAB + SOCD  SABC O K O F H E D B A B A L Hình vẽ cách D C C Hình vẽ cách Bài giải: Cách 1: Vẽ AH  BD ; CK  BD (H, K  BD) Ta có : SOAD SOBC = ( AH.OD)( CK.OB) = ( AH OB) ( CK OD) = SOAB SOCD Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 30 - - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Ta có ( SOAB + SOCD)2  4SOAB.SOCD (bất đẳng thức đại số) => ( SOAB + SOCD)2  SOAD SOBC Theo (tr15) ta cm: SOAD = SOBC Do ( SOAB + SOCD)2( SOAD + SOBC)2 => SOAB + SOCD  SOAD + SOBC => 2(SOAB + SOCD )  SOAD + SOBC + SOAB + SOCD => 2(SOAB + SOCD )  SABCD Vậy SOAB + SOCD  SABCD (đpcm) Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD kéo dài E Từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AE F Ta chứng minh được: SAODF  SAEC ( SAOB  SCOD ) => S EFD + SOCD  SAEC (1) Bài tr13 ta cm được: SAOD = SBOC Do SAOD = SBOC = SAFD (2) Chứng minh : EFD = OAD => SEFD = SAOD (3) Từ (1)(2)(3) => SOAB +SOCD = SEFD + SOCD  => SOAB +SOCD  SOAB +SOCD  SAEC (SEFD + SADF SAOD + SOCD ) (SAOB + SBOC + SAOD + SOCD ) Vậy SOAB +SOCD  SABCD (đpcm) Bài 7: Cho tứ giác ABCD P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh BC CD Chứng minh rằng: AP +AQ =a SABCD < a2 Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 31 - - SKKN: Phương pháp giải toán tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích A M D I N Q B K P C Bài giải: Gọi M, N trung điểm AD, AB I giao điểm AP MN Từ I kẻ IK // NP 1  IP  IQ  a2 Ta có: SIPQ  IP.IQ => SIPQ    => SIPQ < 2  => SMNPQ = SIKPN + SIKQM a2 = 2SIPQ < (1) Mặt khác SAMN + SBNP + SCPQ + SDMQ = SABCD (2) a2 Từ (1) (2) => SABCD  ( đpcm) 2 Bài 8: Cho hình bình hành ABCD điểm M cố định cạnh BC Lấy điểm N cạnh AD Gọi P giao điểm AM BN Q giao điểm MD NC Tìm vị trí N để diện tích tứ giác MPNQ lớn A N D P Q B M C Bài giải: áp dụng kết (tr 32) Ta có SAPM + SBPM  => SAPB + SNPM  SABMN SABMN Mà SAPB = SNPM (đã cm) => SNPM  SABMN (1) đẳng thức xảy AB // MN Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 32 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Chứng minh tương tự ta có SNQM  SDCMN (2) đẳng thức xảy MN // AB Từ (1) (2) => SNPM + SNQM  => SMPNQ  1 SABMN + SDCMN 4 SABCD Vậy (SMPNQ) max = SABCD  MN// AB Bài 9: Cho tứ giác có diện tích khơng đổi S O nằm tứ giác ABCD Xác định hình dạng tứ giác ABCD vị trí điểm O để tổng OA2 + OB2 +OC2 + OD2 đạt giá trị nhỏ B C O H A D Bài giải: Gọi BH đường cao AOB Ta có OA2 +OB2 = (OA2 - 2OA.OB + OB2) + 2OA.OB = (OA -OB)2 + 2OA.OB  2OA.OB SOAB = OA.BH có BHH  OA => OB  BH Do OA2 + OB2  4SOAB Cmtt => OB2 + OC2  4SOBC OC2 + OD2  4SOCD OD2 + OA2  4SODA => 2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2)  4(SOAB + SOBC + SOCD + SODA) Vậy OA2 + OB2 + OC2 + OD2  2S (không đổi) Dấu "= "xảy  OA = OB =OC = OD AOB = BOC = COD = DOA Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 33 - - SKKN: Phương pháp giải tốn tính diện tích chứng minh phương pháp diện tích Phần III - Kết luận Tơi thấy tốn tính diện tích giải tốn phương pháp diện tích đóng vai trò khơng nhỏ chương trình hình học học sinh, dạng tốn khó học sinh khai thác chương trình nội dung đưa dành cho học sinh đại trà Bởi để học sinh hiểu rõ có hứng thú, say mê dạng toán toán học điều mà giáo viên mong muốn Được phân cơng dạy BD HSG tốn lớp (tuyến 2) trường có nhiều học sinh có khả tư tốt nên tơi có dạy chun đề cho em Tuy nhiên học sinh nắm bắt với dạng tốn nên dạy tơi dẫn dắt em theo kinh nghiệm mà tơi trình bày: Từ lý thuyết đến tập Khi cho tập phân theo dạng, dạng cho từ dễ đến khó dần hướng dẫn cho học sinh phân tích đề hướng giải để em biết tư chuyên đề Trong trình biên soạn để giảng dạy, cố gắng song viết tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong góp ý chân thành từ q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp Hồng Thuỷ , ngày 15/ 04/ 2014 Người viết SKKN Nguyễn Văn Lợi Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 34 - - ... 3 *) STEPD = (DP  ET).TD   CD  CD  AD  AD.CD  S ABCD 2 7 7 98 7 QD QD 5  ( cmt) =>  AD Có => QD = QA 28 DA 33 33 64 AD TD = SC = AD => TQ = TD - QD = 231 1 64 320 160 AD  S ABCD... chứng minh phương pháp diện tích SFCG = FC.CG DH.DG = 126cm2; SHGD = = 1 28 cm2 2 => SEFGH = 900 - ( 70 + 120 + 126 + 1 28) = 456 cm2 b) Vì EM = GP = 2MF(gt) => EM = 2EF => S = S => SHMF = HEM 5... pháp diện tích FB AB AB 3   => KP = AB  CD => FK KP KP 4 CD Mà DP = CD => KD = 28 QD KD   Vậy QA AB 28 AB// KP => b) SPQE = STEPD - STQE - SDPQ ES EC  ES MB MC  ; có MB = CD => EC EC