Đề thi học sinh giỏi Môn toán lớp - Năm học: 2009 - phòng GD-đt bố trạch Đề giới thiệu 2010 số báo danh Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngời đề: Mai Văn Phú Đề ra: Bài 1( 1,0 điểm): Cho bốn số nguyên dơng a, b, c d thỏa m¶n a2 + b2 = c2 + d2 Chøng minh a + b + c + d hợp số Bài 2(1,0 điểm): Chứng minh với số nguyên n số: A = n n    36.n chia hÕt cho 420 Bài 3(2,0 điểm): Tìm giá trị lớn nhá nhÊt cña a + b + c + d biÕt r»ng : a, b, c, d tháa m¶n : 13  2ac  2bd  3b  3c 2  ad  a  d Bài 4(2,0 điểm): Tìm tất tam giác vuông có độ dài cạnh số nguyên dơng hai lần số đo diện tích ba lần số đo chu vi Bài (4 điểm): Cho M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vuông AMCD, BMEF a/ Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC b/ Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c/ Chứng minh đờng thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định *Các tài liệu tham khảo: Tuyển tập toán chọn lọc THCS Tuyển tập đề thi toán THCS Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán Các toán hay đại số 8, hình học Tuyển đề chuyên, chọn, HSG phòng GD-đt bố trạch Đề giới thiệu Hớng dẫn chấm thi hsg Môn toán lớp - Năm học: 2009 - 2010 Bài/ Tổng điểm Bài1 (1 điểm) : Bài (1 điểm) : Tóm tắt néi dung §iĨm Chi tiÕt 0,25 0,25 Víi mäi sè nguyên n n2 - n = n(n - 1) số chẵn Do a2 + b2 + c2 + d2 - (a + b + c + d) số chẵn Vì a2 + b2 = c2 + d2 suy a2 + b2 + c2 + d2 = (a2 + b2) số chẵn 0,25 Vậy a + b + c + d số chẵn 0,25 + Vì a, b, c, d Z nên a + b + c + d hợp số Biến đổi A dạng: A= (n - 3).(n - 2).(n - 1).n.(n + 1) 0,50 (n + 2).(n + 3) Ta biÕt r»ng tÝch cđa n sè nguyªn liªn tiếp tìm đ- 0,25 ợc số chia hết cho n Vì A chia hết cho 5, cho 6, cho 0,25 Các số đôi nguyªn tè cïng nªn A chia hÕt cho (5.6.7) = 420 0,25 d 13  2ac  2bd  3b  3c 2 2 V×  ad  a  d (a  )  d  > 2  ad  a  d Bµi (2 điểm) : với a d 2 Tõ 13  2ac  2bd 2 3b 2 3c 2 , ta cã:  ad  a  d  a  b  c  d    a  b    b  c    c  d  9 V×  a  b   0;  b  c   ;  c  d   Do ®ã:  a  b  c  d  9 nªn a  b  c  d 3 VËy max(a + b + c + d) = a = b = c = d = 0,75 0,25 0,25 0,25 min(a + b + c + d) = -3 a = b = c = d = - 0,25 Gäi x, y, z lần lợt số đo cạnh góc vuông 0,25 cạnh huyền tam giác Theo ta có hệ phơng trình 0,75 x  y z 1   xy x y z Bài (2điể m)  2 Rót z tõ (2) ta cã: 3z = xy - 3x - 3y, Khi ®ã: 9z2 = (xy - 3x - 3y)2 vµ tõ (1) ta cã: 9z2 = 9x2 + 9y2 Suy ra: (xy - 3x - 3y)2 = 9x2 + 9y2 Biến đổi phơng trình này, cuối đợc: 0,5 (x - 6)(y - 6) = 18 Do x, y nguyên dơng nên (x - 6)  -5; (y - 6)  -5 XÐt c¸c trờng hợp xảy ta có cạnh 0,5 tam giác vuông thoả mãn đề (7; 24; 25), (18; 15; 17) vµ (9; 12; 15) D Bµi (4 H điểm) : F C Vẻ hình, rá: 0,5 I E O O’ OO A 0,25 0,5 M 0,25 I B a/( 1điểm) Xét tam giác CAB cã: CM  AB, BE AC (v× BE MF, MF//AC) suy AE BC 0,25 0,25 0,25 b/(1®iĨm) Gäi O giao điểm AC DM Vì AHC AC DM  OH   GãcMHD = 90 = 90 (Câua), nên OH= 2 (1) Chứng minh t¬ng tù gãc MHF = 0,25 90 0,5 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: H, D, F thẳng hàng 0,5 c/ (1,5 điểm) Gọi I giao điểm DF AC Tam 0,5 giác DMF có DO= MO, OI// MF nên I trung điểm DF Kẻ I I AB I trung điểm cđa AB vµ I I’ = AD  BF AM  MB AB   2 Do ®ã I điểm cố định: I nằm đờng trung trực AB cách AB khoảng Lu ý : ®iĨm tèi ®a - - - AB Nếu học sinh giải theo cách khác cho Nếu học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không chấm điểm hình Học sinh làm sai đề so với đề không chấm điểm  ... Lu ý : điểm tối ®a - - - AB NÕu häc sinh giải theo cách khác cho Nếu học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không chấm điểm hình Học sinh làm sai đề so với đề không chấm điểm ...phòng GD-đt bố trạch Đề giới thi u Hớng dẫn chấm thi hsg Môn toán lớp - Năm học: 2009 - 2010 Bài/ Tổng điểm Bài1 (1 điểm) : Bài (1 điểm) : Tóm tắt... cuối đợc: 0,5 (x - 6)(y - 6) = 18 Do x, y nguyên dơng nên (x - 6) -5; (y - 6) -5 Xét trờng hợp xảy ta có cạnh 0,5 tam giác vuông thoả mãn đề (7; 24; 25), ( 18; 15; 17) (9; 12; 15) D Bài (4 H