ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 1) Câu 1: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 a b c d    2 a bc bcd cd a d a b Câu 2: Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư ? 2 Câu 3: Cho a  b  c  p Chứng minh : 2bc  b  c  a  p  p  a  3 3 Câu 4: Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an Đặt S  a1  a2  a3   an P  a1  a2  a3   an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho Câu 5: a) Cho x, y > Chứng minh 1  � xy � x y x y  x  y b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh 1  �16 ac bc Câu 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A  x2  2x  x2  Câu 7: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’ Câu 8: Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vng góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’ Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác HA ' HB ' HC '   1; AA' BB ' CC ' AA ' BB ' CC '   �9 ; b) Chứng minh: HA' HB ' HC ' a) Chứng minh: Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MÔN TOÁN ( ĐỀ 2) Câu 1: a) Chứng minh rằng: 2130  39 21 chia hết cho 45 b) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: 5n   26.5n  82 n 1 M59 Câu 2: Cho biểu thức M  x5  x  x3  x  3x  x2  2x  a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị số nguyên x3  x  x  2x 1 Câu 4: Cho biểu thức M   x  a   x  b    x  b   x  c    x  c   x  a   x A 2 Tính M theo a, b, c biết x  a  b  c Câu 5: Giải phương trình:  2x  x  2016    x  3x  1000    x  x  2016   x  3x  1000  2 Câu 6: Tìm giá trị biến x để: a) P  x2  2x  b) Q  đạt giá trị lớn nhất x2  x  x2  2x  đạt giá trị nhỏ nhất Câu 7: Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh DE = CF; DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH  AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD, N trung điểm BH a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; b) Tính góc BMK Câu 9: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm E F.Chứng minh S DEF � S ABC Với vị trí hai điểm E F S DEF đạt giá trị lớn nhất? Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân; b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm ……………HẾT ………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 3) �  x  1  2x2  x � x2  x R    � �: Câu 1: Cho biểu thức x  x  x  x    � � � �x  x a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức R xác định; b) Tìm giá trị x để giá trị R 0; c) Tìm giá trị x để R  Câu 2: Chứng minh: a) A  210  211  212 chia hết cho b) B   6n  1  n     3n    2n  1 chia hết cho 2, với n �Z c) C  5n3  15n  10n chia hết cho 30, với n �Z d) Nếu a  x  yz; b  y  xz; c  z  xy D  ax  by  cz chia hết cho  a  b  c  e) E  x  x3  x  12 x  bình phương số nguyên, với x �Z f) F   x  x  1 2018   x  x  1 2018  chia hết cho  x  1 g) G  x8 n  x n  chia hết cho x n  x n  , với n �N Câu 3: a) Tìm GTLN A  x    x   b) Tìm GTNN biểu thức B  9x  , với  x  2 x x Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE // BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC, � A  900 Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD cắt CA E Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE  CA.CE  BC c) � ADE  450 Câu 6: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F.Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi; b) AKF : CAF , AF  FK FC ; c) Khi E thay đổi BC, chứng minh: EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE � � �  BAC  BDC DBE cắt K Chứng minh rằng: BKC ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) a bc a c b bc a   c b a � b� � c� � a� 1 � 1 � 1 � Tính giá trị biểu thức: P  � � � � a� � b� � c� Câu 1: Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn đẳng thức: Câu 2: Cho a1 , a2 , a3 , , a2018 2018 số thực thoả mãn ak  2k  k k , với k  1, 2,3, , 2018 Tính S2018  a1  a2  a3   a2017  a2018 7 Câu 3: a) Biết a � , b � 2a  b  Tính giá trị biểu thức P  5a  b 3b  2a  3a  2b  b) Biết b ��3a 6a  15ab  5b  Tính giá trị biểu thức Q  2a  b 5b  a  3a  b 3a  b Câu 4: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau: x  y  z  t �x  y  z  t  Dấu đẳng thức xảy nào? b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: x  y �xy  x y Câu 5: Rút gọn: a) M  90.10k  10k   10k 1 , k �N ; 2 2 2 b) N   20  18      19  17    Câu 6: Tính giá trị biểu thức P  x15  2018 x14  2018 x13  2018 x12   2018 x  2018 x  2018 , với x  2017 Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Cmr: MA MB  ; ND NC c) MA  MB, NC  ND a) b) MA MB  NC ND Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự E F Tính độ dài EF, biết DE = 10 Câu 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I điểm bất kỳ cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K Đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D, E Chứng minh DE =BK Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm CD,CB Gọi O giao điểm AE DF ; OA = 4OE; OD  OF Chứng minh ABCD hình bình hành ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 5) Câu 1: Tìm x, y biết : a) x  x  y  y   2 2 b)  x  y   x  xy  y    x  y   x  xy  y   16 c) x  1  y2   x y Câu 2: Giải biện luận nghiệm phương trình m x   x  m theo m Câu 3: Giải phương trình: a)  x    x    x  10   72 2 �x  � �x  � �x  �  25  20 b) Giải phương trình: � �2 � � � � �x  � �x  � �x  � Câu 4: Giải phương trình: x  99 x  x  99 x  x  99 x  x  99 x  x  99 x  x  99 x       99 98 97 96 95 94 2 x 1 x x 1   b) 2017 2018 2019 16 Câu 5: a) So sánh hai số A  332  B    1   1   1   1   1 a) 2019  2018 20192  20182 D  2019  2018 20192  20182 Câu 6: Cho x, y hai số khác nhau, biết x  y  y  x Tính giá trị biểu thức A  x  xy  y  3x  y b) C  Câu 7: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Cmr: IA KB  ID KC Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với hai cạnh Chúng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự H, K Cmr: a)Tổng AH AK  không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC AB AC b)Xét trường hợp tương tự M chạy đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a, M điểm bất kỳ tam giác ABC Chứng minh rằng: MA  MB  MC  a Câu 10: Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Cmr: a) Tứ giác ANFM hình vng; � b) Điểm F nằm tia phân giác MCN � ACF  900 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) …………… HẾT.………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) Câu 1: Cho a  b  c  Chứng minh rằng: a  b3  a 2c  b 2c  abc  Câu 2: Cho x  y  z  10 Tính giá trị biểu thức: P   xy  yz  zx    x  yz    y  xz    z  xy  2 2 Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x5  x  ; b) x5  x  c) x8  x  ; d) x8  x  Câu 4: Chứng minh ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c  2018 1 1    a b c 2018 ba số a, b, c phải có số 2018 Câu 5: Giải phương trình sau: b2 x2  a  ( Phương trình ẩn x ) b2  x x  b2 1 10 b) x  2000 x  2001  x  2001 x  2002  L  x  2009 x  2010  11          a) x  a x   2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  c) 2  2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  2  19 49 Câu 6: a) Cmr :  x  1  x    x  3  x   �1 1 � � � � 1 �  ��9 b) Cho số dương a b thỏa mãn điều kiện a  b  Cmr : � � � a� � b� Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D cạnh BC cho BD = 2DC Cmr: BM vng góc với AD Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh : AE = AB ; b) Gọi M trung điểm BE Tính � AHM Câu 9:Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh: BD.CE.BC  AH ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, cạnh BH lấy điểm M đoạn CH lấy điểm N cho � AMC  � ANB  900 Chứng minh rằng: AM = AN …………… HẾT ………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 7) Câu 1: Chứng minh rằng: a) Đa thức M  x95  x 94  x 93   x  x  chia hết cho đa thức N  x31  x30  x 29   x  x  b) Đa thức P  x   1985 x3 x2 x  1979  có giá trị nguyên với x số nguyên Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A  x  y  z  kxyz chia hết cho đa thức x  y  z  x  3 b) Tìm đa thức bậc ba P  x  , biết chia P  x  cho  x  1 , cho  x   , cho dư P  1  18 Câu 3: Cho biểu P  �x  x2  x  x2 � :   � � x2  2x  � x x  x2  x � a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P  1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất P x  Câu 4: Rút gọn phân thức: a) A  x  y  z  xyz  x  y   y  z    z  x 2 ; b) x B  y2    y2  z    z  x2   x  y 3   y  z   z  x 3 3 3 Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:  a  x  y   a  y  x   x  y  a Câu 6: Chứng minh rằng: a b2 c c b a   �   b2 c a b a c b) x8  x  x  x   a) Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD ACF vuông cân B C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Cmr: a) AH =AK ; b) AH  BH CK Câu 8: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh BC, AC theo thứ tự D E cắt cạnh BA F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F song song với BC cắt AH I Cmr: FI = DC Câu 9: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD đường trung tuyến AM Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vng góc với AC Gọi N giao điểm HK AM Cmr : NI vng góc với BC Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt cạnh AB, AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Cmr: HM vuông góc với PQ …………… HẾT…………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 8) Câu 1: Chứng tỏ đa thức: A   x  1   x  1  21 x  1  x  31 không âm với giá trị biến x Câu 2: a) Rút gọn phân thức: A  x 40  x30  x 20  x10  x 45  x 40  x 35  � � �  x5  b) Rút gọn phân thức: B  x24  x20  x16   x4  x26  x24  x22   x2  �1 1 � Câu 3: Cho số a, b, c khác 0, thoả mãn  a  b  c  �   � �a b c � 23 23 5 2019 2019 Tính giá trị biểu thức  a  b   a  b   a  b  Câu 4: Giải phương trình sau: 1 2017 � 2017 2016 �1 � �   � �  x   � � �   a) �   � ; b)   10  � � x  x  1 2019 2018 � 2016 2017 �2 59  x 57  x 55  x 53  x 51  x      5 ; c) d) 41 43 45 47 49 � �  98.99  x  1.2  2.3  3.4  �  2018 323400 1 1     e) x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 Câu 5: Cho x, y, z số dương thỏa mãn  x  y   y  z   z  x   xyz Chứng minh rằng: x  y  z Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a 2b  4ab2  a c  ac  4b2c  2bc  4abc Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi E điểm bất kỳ thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Cmr: MN tia phân giác góc KNE Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC M cắt cạnh đáy AB K Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD I cắt cạnh AB F Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC P Cmr: a) MP / / AB b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng c) DC  AB.MI Câu 9: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt đường thẳng BC, DC theo thứ tự K, G CMR: a) AE  EK EG ; b) 1   AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi Câu 10: Cho tam giác ABC đều, điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho AD = BE Gọi M điểm bất kì thuộc cạnh BC Vẽ MH // CD, MK //BE (H �AB; K � AC) Cmr: Khi M chuyển động cạnh BC tổng MH + MK có giá trị không đổi …………… HẾT .…………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 9) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: 2 a)  a  b  c    a  b  c   4b ; 2 2 2 b) a  b  c   b  c  a   c  a  b  c)  a  b    c  a    b  c  Câu 2: Thực phép tính: a) A  3  2.36  36 53   23.36  23.53  93  125  183  103 x3 y  xy  xy x3  y  x y  xy  x  y a b c a2 b2 c2    Chứng minh rằng:   0 Câu 3: Cho bc c a a b bc ca ab b) B  Câu 4: Chứng minh 1 1 1    a  b  c  abc    a b c a b c Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 4 b) a  b  �4ab 2 Câu 6: Cmr: a) a  b  c  �a  b  c Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a) Chứng minh: tam giác ADI cân b) Chứng minh: AD.BD  BI DC c) Từ D kẻ DK vng góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều ấy Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số Cmr: AE = DF; AE  DF Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, AB  CD Gọi E,F theo thứ tự trung điểm AB,CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Tính diện tích tứ giác EMFN theo S Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Điểm N cạnh CD cho CN =2 ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Cmr: S APQ  S AMN ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 10) Câu 1: Tìm GTNN của: a) A  x  16  2007, x  ; x 3 b) B  x  x  2018 , x �0 ; 2018 x c) C  5n  11 số tự nhiên; 4n  13 b) Chứng minh rằng: B  n3  6n  19n  24 chia hết cho 1 c) Tính tổng S  n   2.5  5.8    3n  1  3n   x  2000 ,x 0 x Câu 2: a) Xác định n �N để A  Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a)  x  x    x  x   15 ; b)  x  x   x  18 x  20 ; 2 c)  x  3x  1  x  3x    ; d)  x  x    x  3  x    15 Câu 4: Tìm tất số tự nhiên k để đa thức f  k   k  2k  15 chia hết cho g  k   k  Câu 5: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: x  y  a) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M  3x  y ; b) Tìm giá trị lớn nhất biểu thức N  xy Câu 6: Cho x, y, z thỏa điều kiện x  y  z  xy  yz  zx  2017 2019 Hãy tính giá trị biểu thức: S   x  1  y 2018   z  1 Câu 7: Hai đội bóng bàn hai trường A B thi đấu giao hữu Biết đấu thủ đội A phải gặp đối thủ đội B lần số trận đấu gấp đôi tổng số đấu thủ hai đội Tính số đấu thủ đội Câu 8: Cho góc xOy điểm M cố định thuộc miền góc Một đường thẳng quay quanh M cắt tia Ox, Oy theo thứ tự A,B Gọi S1 , S theo thứ tự diện tích tam giác MOA, MOB Cmr: 1  không đổi S1 S2 Câu 9: Cho tam giác ABC Các điểm D,E,F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số 1:2 Các điểm I, K theo thứ tự chia cạnh ED, FE theo tỉ số 1:2 Chứng minh: IK //BC Câu 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK// AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự E, F Cmr: EI =IK = KF Vậy, x  19 x  30   x  3  x    x   b) Chứng minh: 9n  12n   n �N  hai số nguyên tố Gọi d  UCLN  9n  2,12n  3 , d �N * � �  9n   Md �  36n   Md � �� �  36n     36n   Md � 1Md � d   12n  3 Md � 36n   Md � Vậy, 9n  12n   n �N  hai số nguyên tố Khi đó, � c) Chứng minh: số có dạng n  n  2n3  2n với n �N n  khơng phải số phương 2 2 n  n  1  n  1   n  1 � Ta có n  n  2n  2n  n  n  n  2n    n � � � �  n2 �  n  1  n3  n   �  n3  1   n2  1 � � � n  n  1 � �  n  n  1 n  2n   2 2 Với n �N n  n  2n    n  1    n  1 n  2n   n   n  1  n Suy  n  1  n  2n   n với n �N n  n  2n  khơng phải số phương Vậy, số có dạng n  n  2n3  2n với n �N n  số phương n n Câu a) Chứng minh rằng: A    1   1 chia hết cho với số tự nhiên n Theo giả thiết n số tự nhiên nên 2n  1, 2n , 2n  ba số tự nhiên liên tiếp n n n Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết   1   1 M3 n n n Mặt khác,  ,3  nên   1   1 M3 n n Vậy, A    1   1 chia hết cho với số tự nhiên n b) Tìm số nguyên n để B  n  n  13 số phương? Ta có B số phương 4B số phương Đặt B  k , k �N 2 Khi đó, B  4n  4n  52  k �  2n   k   2n   k   51 Vì  2n   k    2n   k  nên ta có trường hợp: 2n   k  2n   k  � � , � , � 2n   k  51 � 2n   k  17 � 2n   k  51 � , � n   k  1 � 2n   k  17 � � 2n   k  3 � Giải ta được: n  12, n  3, n  13, n  Vậy, n  12 n  3 n  13 n  B  n2  n  13 số phương Câu Giải phương trình sau: a) x  x   3x   � 1� Ta có x  x   �x  �  với x � 2� Do đó, x  x   3x   � x  x   3x   �  x2  x  4   �  x    x  1  x5 � �� x  1 � Vậy, S   1;5 x3  x  x 1 b) x x2 ĐKXĐ: x �0, x �2 x3  x2  x  � x3  x  x  x x   Ta có x x2 x  (loai) � � x 1 + Với x  , ta có pt x  x  x  � x  x  1  x  3  � � � x  3 � 3 + Với x  , ta có pt x  x  � x  x  1  � x   loai  Vậy, S   3;1 c) Ta có: x   x   x  � x   x   x  (*) 3 ; x0 Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối : x 3 x 1   x  1 Các giá trị đặc biệt : x  1; x    x  1   x  1 x 1 2x  2x  2x  x   x  3 -x -x x x VT 2 x  2x  4 2x  2x  3 , pt cho trở thành 2 x   � x  3 ( nhận ) + Xét x � 3 �x �0 , pt cho trở thành x   � x  ( nhận ) 4 � x ( nhận ) + Xét �x �1 , pt cho trở thành = + Xét x �1 , pt cho trở thành x   � x  ( nhận ) KL : Pt cho có nghiệm : x  3; �x �1 Câu Với a, b, c  Hãy chứng minh BĐT: ab bc  �2b a) c a + Xét Với a  0, b  0, c  nên ab bc  0,  c a Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ab bc ab bc ab bc  �2  b  2b ta c a c a c a Dấu “=” � a  c  ab bc  �2b với a, b, c  Dấu “=” � a  c  c a ab bc ca   �a  b  c b) c a b �ab bc �c  a �2b � ab bc ca �ab ac   �a  b  c Áp dụng kết câu a, ta có: �  �2a � b c a b �c �bc ca �a  b �2c � Dấu “=” � a  b  c  ab bc ca   �a  b  c Dấu “=” � a  b  c  Vậy, c a b a  b3 b  c c  a   �a  b  c c) 2ab 2bc 2ca a  b3 b  c c  a a b b c c a         Ta có 2ab 2bc 2ca 2b 2a 2c 2b 2a 2c �a c a c ac  �  � 2 b b b b � 2 � c bc �b Áp dụng kết câu a, ta có: �  � �2a 2a c �a b ab � �  �2c 2c c a  b3 b3  c c  a ab bc ca �   �   �a  b  c c a b 2ab 2bc 2ca Dấu “=” � a  b  c  a  b b3  c c  a   �a  b  c Dấu “=” � a  b  c  Vậy, 2ab 2bc 2ca x4  x2  Câu a) Cho x  x   Tính E  x2 x2  x   3, x �0 *Cách 1: Ta có x  x   � x  x   x � x �x  x  x � x4  x2  x2  x  x2  x  x2  x  E    �  �     15 x2 x x x x � � x Vậy, Vậy, E  x4  x2   15 x  x   x2 2 x   x 15x  x  x   x  1  x *Cách 2: E      15, x �0 x2 x2 x2 x x x  a Tính F  b) Cho theo a x  x 1 x  x2  + Xét x  a  � F  + Xét x �0 a �0 x2 x x x �2  a �2 Ta có F    1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x2  x  x2  x  2x 1  2a x2 a      �  Mặt khác,  2 2 x x x a a x  x  1  2a a a2      Từ suy F  a �  2a  2a x a2  a Vậy, F  x  x 1  2a Câu Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P   xy , x, y số thực thoả mãn điều kiện: x 2013  y 2013  x1006 y1006 Ta có: x 2013  y 2013  x1006 y1006 �  x 2013  y 2013   x 2012 y 2012 (2) Mặt khác:  x 2013  y 2013  �4 x 2013 y 2013 (3) Từ (2) (3) suy ra: x 2012 y 2012 �4 x 2013 y 2013 Hay : x 2012 y 2012 (1  xy ) �0 Do P   xy �0 Đẳng thức xảy khi: xy  � x 2013 y 2013  (4) 2013 2013 � 1 �x  �x y �� Từ (1) (4) ta có: �2013 2013 2 �y  �x  y Vậy Min (P) = x = y =1 Câu Vì AB  AC  BC nên BC  AB  AC � 3BC  AB  AC  BC  18 � BC   1 Theo BĐT tam giác ta có: BC  AB  AC � BC  AB  AC  BC  18 � BC    Từ  1   suy  BC  mà BC có độ dài số chẵn Do BC  8cm Tương tự, c/m  AB  AC  AB  AC  10 Suy AB  3cm, AC  7cm AB  4cm, AC  6cm Vậy, AB  3cm, AC  7cm, BC  8cm AB  4cm, AC  6cm, BC  8cm A Câu Chứng minh AE//BC Gọi K giao điểm AC DE Vì: � ADB = 300 ; � ADK = 900 � = 600 Suy KDC Và  DEC DK AB = = Nên ABCDKC (g.g) � DC AC 1 KD = (1) Do DK = DC = DE � 3 KE KH = ; Kẻ CHDE (HDE) DH = DE � KD E H K B D C Mặt khác AD//CH (cùng vng góc với DH) ; KC KH = = (2) Nên theo Talet ta có: KA KD � Từ (1), (2) � nên theo Talet AE//CD AKE = CKD Câu Tính diện tích tam giác ABC + Gọi h khoảng cách từ K đến AB, ta có: S AKE AE �h / AE AE   �  S BKE BE �h / BE BE A S ACE  � S BCE  2S ACE + Suy ra: S BCE SAKM MA 10 E   � SAKM  S CKM + Tương tự: S CKM MB Đặt x  S AKM  S CKM , ta có: 20 S ABM  SCBM � 20  10  x  x  S BCK � SBCK  30 Do đó, S BCK  S BEK  20  30  50 Mà BE = 2AE � S AEC  25 � S ABC  75 (đvdt) B AM AN PQ    Câu 10.a) Chứng minh rằng: AB AC AQ Gọi E, F giao điểm NP, MP với BC Do NE//AB, MF//AC nên theo Thales ta có: AM FC AN BE  ;  AB BC AC BC PQ EQ FQ EQ  FQ EF     AQ BQ QC BQ  QC BC AM AN PQ FC BE EF       (đpcm) Từ đó: AB AC AQ BC BC BC B AM AN PQ  b) Xác định vị trí điểm Q để AB AC AQ 27 AM AN PQ , , Áp dụng câu a) BĐT Cauchy cho số dương: : AB AC AQ AM AN PQ AM AN PQ AM AN PQ ۣ   �3 1= AB AC AQ 27 AB AC AQ AB AC AQ AM AN PQ    Dấu “=” xảy � AB AC AQ Khi MN//BC Vì AQ qua trung điểm MN nên Q trung điểm BC AM AN PQ  Vậy, Q trung điểm BC AB AC AQ 27 -HẾT -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 19 Câu a) Cho a  b �2 Chứng minh rằng: a  b �2 Ta có a  b �2 mà 2ab �a  b2 �2 Do a  b  2ab �2  �  a  b  �4 � a  b �2 � 2 �a  b �2 M K C D A N M P E Q F C Vậy, a  b �2 a  b �2 b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh: 4a  a  b   a  1  a  b  1  b �0 2 2 Đặt B  4a  a  b   a  1  a  b  1  b   a  ab  a   a  ab  a  b   b Đặt m  a  ab  a , ta có: B  4m  m  b   b  4m  4mb  b   2m  b  �0 2 Vậy, 4a  a  b   a  1  a  b  1  b �0 Dấu “=” � 2m  b  �  a  ab  a   b  c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: abc � b  c  a   a  c  b   a  b  c  Đặt b  c  a  x  0, a  c  b  y  0, a  b  c  z  xyz  x  y  2a, y  z  2b, z  x  2c C/m BĐT phụ:  x  y   y  z   z  x  �8xyz với x, y, z �0 Thật vậy, ta có  x  y  �4 xy ,  y  z  �4 yz ,  z  x  �4 zx Suy  x  y  2  y  z   z  x  �64 x y z � �  x  y  y  z  z  x � � �� xyz  �  x  y   y  z   z  x  �8 xyz ( hai vế không âm) Do đó,  x  y   y  z   z  x  �8xyz với x, y, z �0 Dấu “=” x  y  z �0 Áp dụng BĐT trên, ta có  2a   2b   2c  �8  b  c  a   a  c  b   a  b  c  ۳ abc  b  c  a   a  c  b   a  b  c  Vậy, abc � b  c  a   a  c  b   a  b  c  Dấu “=” � a  b  c � tam giác cho 2 2 Câu a) Ta có: A  x  a1  x  a2   x  a2 m 1  x  a2 m  x  a1  x  a2   x  am  am 1  x  am   x   a2 m  x � x  a1    x  a2     x  am    am 1  x    am   x     a2 m  x    am 1  am    a2 m    a1  a2   am  � am x am 1 Dấu “=” ۣ � am Vậy, GTNN  A   am 1  am    a2 m    a1  a2   am  Dấu “=” ۣ x am 1 b) Ta có: B  x  a1  x  a2   x  a2 m  x  a2 m1  x  a1  x  a2   x  am  am 1  x  am 2  x   a2 m1  x � x  a1    x  a2     x  am 1     am 1  x    am 2  x     a2 m 1  x    am 1  am    a2 m 1    a1  a2   am 1  Dấu “=” � x  am Vậy, GTNN  B    am 1  am    a2 m 1    a1  a2   am 1  Dấu “=” � x  am 1 Câu Rút gọn biểu thức: P  3    54    94    214         114    234   2 �  n  1  1�  n  1  1� Xét n    n     2n    n  2n    n  2n    � � �� � 2 2 1 Do đó, P     54    94    214     4    1     1  4 2 2    114    234    1 4  1  2  1  62  1  20  1   1  22 2x 2  1  222  1  1  24  1  24   577 3x Câu Giải phương trình: x  x   x  x     2x 3x 4x 3x Ta có: x  x   x  x   � x  x  14  x  10 x  14    + Với x  khơng nghiệm phương trình  1 +Với x �0 phương trình cho viết lại: x  14  x  14  10 x x 14  1 Đặt y  x   , phương trình viết lại theo ẩn y y  y 1 x �  y  1   y  1   y  1  y  1 y0 � � y2  y  � � y7 � + Với y  x  x  14  ( vô nghiệm ) x 1 � + Với y �0 x  x   � �  nhân  x7 � Vậy, S   1;7 Câu Cho m, n số thực thay đổi cho m  n �5 (1) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: Q  m  n  mn  (2) Từ (2) ta có: 2Q   m  n   2mn  Do đó: 2Q  m  n  m  n  2m  2n  2mn    m  n  1  �1 2  (1))  Q Suy ra: 2Q �1   m  n  �4 (do � m  2 � � � n 1 � m2  n2  � �� Dấu “=” xảy � � � m  n 1  m 1 � � � � n  2 � � Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2 Câu 6.Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên m Giả sử p   m  m �� , mà p � Khi p  m    m  1  m  m  1 (*) Vì 7, p số nguyên tố, m   1, m  m   nên từ (*) suy m   m  m   a ) m   � m  � p  73; m3  512  7.73  , b) m  m   � m  m   Giải ta m = m = -3 không thỏa mãn điều kiện m �3 Vậy có số nguyên tố p = 73 số cần tìm Câu So sánh GA GB Gọi I trung điểm AB Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆ABC � IE // BC Mà GF  BC � GF IE (1) A I B Chứng minh tương tự GE  IF (2) Từ (1) (2) � G trực tâm ∆EIF � IG  EF (3) Dễ chứng minh EF // AB G E F (4) Từ (3) (4) � IG  AB C D Vậy ∆AGB cân G � GA = GB BH 1 CD Kẻ DK vng góc với AC D, K �AB , kẻ DL vng góc với BC L, A Câu Chứng minh rằng: Gọi O giao điểm DL BH �  DBH �  HBC � 1� � AKD  900  C Ta có DBC   D  K  �1� � � 900  C �  450 900  � A  900  C 900  1800  2C � � 2 Suy tam giác BDL vuông cân L � BL  DL C/m: BLO  DLC  cgv  gnk   O Suy BO = DC Mà BH = BO + OH > BO Do đó, BH > DC Suy B L BH  (đpcm) CD Câu 9.a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: ( Xem câu 3b đề 14) b) Tìm giá trị bé nhất biểu thức Đặt BC  a, AC  b, AC  b Ta có S ABC a b c   � bc ca ab k a kb k c   hb hc A F'  a.ha  1 Mặt khác, S ABC  S ABD  S ADC kc   b  c  ka   E F D' kb ka B A' D E' C C ka a  b  c kb k b c  , c  Tương tự, hb c  a hc a  b ka kb kc a b c   � ( theo câu a) Suy    hb hc b  c c  a a  b Từ (1) (2) suy �k �ha Suy GTNN � a  kb k c  hb hc � � � a  b  c Lúc tam giác ABC � Câu 10 ABCD hình bình hành nên �  CDA �  1800 DAB Từ giả thiết ta lại có �  DAB �  MAB �  DAN �  1800 MAN �  CDA � Suy MAN Từ MAN  CDA (c.g c ) �  BAC � Do � AMN  DCA Lại có AB  AM Suy MN  AC N B C A D M -HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 20 HƯỚNG DẪN CHẤM (Bảng hướng dẫn chấm gồm trang) - I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2- Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống nhất thực Hội đồng chấm thi 3- Điểm tồn thi khơng làm tròn số II- Đáp án thang điểm: CÂU Câu ĐÁP ÁN �� 10  x � � x   : �x   a) Rút gọn M  � � � x2 � �x   x x  �� ĐKXĐ: x ��2 x   x  2   x  2 6 x2 :  �  Ta có: M  x   x  2  x  2 2x  x  2  x  2 , x ��2 Vậy, M  2 x b) Tính giá trị M , biết x  1 1 Ta có: x  � x  x  2 2 M  + Với x  ( thỏa ĐKXĐ) 2 2 1 M  + Với x  ( thỏa ĐKXĐ) 2 2 2 Vậy, x  M  M  x c) Tìm giá trị để M   �  x  � x  (thỏa ĐKXĐ) Ta có: M  � 2 x Vậy, M  � x  d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên Để M  có giá trị nguyên x nguyên x ��2  x �U  1   1;1 2 x Giải x  x  ( thỏa ĐKXĐ) Suy x � 1;3 M có giá trị ngun Câu a) Phân tích đa thức A  a  b  c  3abc thành nhân tử Từ suy điều kiện a, b, c để a  b3  c  3abc 3 ĐIỂM 4,00 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,50đ 0,50 đ 1,00 đ 0,50đ 0,25 đ 0,25 đ 4,00 đ 1,00 đ 3 Ta có: A  a  b  c  3abc  2  a  b  c � �a  b    b  c    c  a  � � Để a  b3  c3  3abc � a  b3  c3  3abc  2 �  a  b  c � 0  a  b   b  c   c  a � � � abc  � �� abc � 1 yz zx xy b) Cho    Tính giá trị biểu thức sau: B    x y z x y z 1 1 1    nên    ( ĐKXĐ: x, y , z �0 ) x y z x y z xyz yz zx xy xyz xyz xyz Ta có: B       x y z x y z �1 1 �  xyz �   � xyz.3 3 y z � xyz �x 1 Vậy, B     x y z c) Cho x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x  y  z �0 x  y  z  xyz Áp dụng câu a), Tính C  x 2019  y 2019  z 2019  x  y  z 2019 x 2019  y 2019  z 2019  x  y  z 2019  3.x 2019  3x  2019  0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 2018 0,50 đ với x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x  y  z �0 x  y  z  3xyz Vậy, C  0,25 đ Áp dụng câu a), x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x  y  z �0 x  y  z  3xyz nên x  y  z �0 Do đó, C  0,50 đ 2018 3 d) Giải phương trình: ( x - 2018) +( x - 2019) - ( x - 4037 ) = 0,25 đ 1,00 đ 3 Ta có: ( x - 2018) +( x - 2019) - ( x - 4037 ) = 0,25 đ �  x  2018    x  2019    4037  x   3 Vì  x  2018    x  2019    4037  x   nên theo câu a) ta có:  x  2018   x  2019    4037  x  �  x  2018   x  2019   4037  x   3 0 � � x  2018  x  2018 � � � �� x  2019  � � x  2019 � 4037 � 4037  x  � x � � 0,25 đ 0,25 đ 4037 � � Vậy phương trình cho có tập nghiệm : S  �2018; 2019; � � Câu a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K   4x x2  2  x x  x   x   x     x  1  x   1     � Ta có: K  2 2 2x  2  x  1  x  1  x  1 2 0,25 đ 4,00 đ 2,00 đ Dấu “=” � x   � x  1 � x2 Suy GTNN  K   2  x x   x  x   x     x  x  1   Ta có: K  2x  2  x  1  x  1   x  1   x  1  x  1  x  1  2 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ 2  x  1 �2 1 1 Suy GTLN  K   � x  b) Xác định hệ số hữu tỉ a b cho f  x   x  ax  b chia hết cho 0,25 đ Dấu “=” � x   � x  g  x   x2  x  0,25 đ 2,00 đ 2 Phép chia hết f  x   x  ax  b cho g  x   x  x  có đa thức thương dạng h  x   x  cx  b 2 Ta viết x  ax  b   x  x  1  x  cx  b  với x 2 Ta có:  x  x  1  x  cx  b   x  c x  bx  x  cx  bx  x  cx  b  x   c  1 x   b  c  1 x   b  c  x  b 4 Suy x  ax  b  x   c  1 x   b  c  1 x   b  c  x  b với x Đồng nhất thức hai vế, ta được: c   0, b  c   a,  b  c  Suy a  b  c  Vậy, a  b  Câu A B I 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3,00 đ E D H M C a) Chứng minh: AB  AD Ta có: AB = 2AI (Vì I trung điểm AB ) (1) � ( Vì DI phân giác � Ta lại có: � ADI  IDC ADC ), � ( Vì AB // DC, slt) mà � AID  IDC Do đó, � ADI  � AID suy ADI cân A nên AD  AI   1,00 đ 0,25 đ b) Kẻ AH  DC ( H �DC ) Chứng minh: DI  AH Gọi M trung điểm DC, E giao điểm AM DI �1 �  AB �và � Ta có DA  DM � ADM  600 nên tam giác ADM �2 � Suy DI đường phân giác nên đường cao Do đó, DI  AM E Vì ADM có AH, DE hai đường cao nên AH  DE  3 1,50 đ 0,50 đ 0,25 đ Từ (1) (2) suy AB  AD Vì ADI cân A, có AE  DI E nên DI  DE   Từ (3) (4) suy DI  AH c) Chứng minh: AC  AD 0,50 đ 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ �  900 Xét tam giác ADC có AM đường trung tuyến AM  DM  DC nên DAC 0,50 đ Vậy, AC  AD Câu 3,00 đ A E D B C F a) Chứng minh hệ thức: AB  AE.AF Ta có : BD / / FC ( vng góc với AC ) AD AB  Suy (1) AC AF Ta lại có: AB  AC AE  AD (?) (2) AE AB  Từ (1) (2) suy , AB  AE.AF AB AF CE BE  b) Chứng minh: CF BF + C/m : BCE  CBD  ch  gn  �  DBC � Suy BCE �  BCF � + Mặt khác, DBC ( Vì BD // FC, slt ) �  BCF � Suy BCE Khi CB đường phân giác ECF CE BE  Suy ( đpcm ) CF BF Câu 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 1,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 2,00 đ B A 1,50 đ H K M D Chứng minh: BM  MD C Gọi K trung điểm DH C/m: MK đường trung bình DHC Suy KM / / DC KM  DC  1 Ta lại có: AB  DC AB // DC (gt) (2) Từ (1) (2) suy AB  KM AB / / KM Do đó, ABMK hình bình hành, cho ta BM / / AK (3) Vì MK / / AB AB  AD( gt ) nên MK  AD Trong tam giác ADM có MK  AD DH  AM nên K trực tâm tam giác ADM, AK  DM (4) Từ (3) (4) suy BM  MD (đpcm) 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ ... 2 x 1 x x 1   b) 201 7 201 8 201 9 16 Câu 5: a) So sánh hai số A  332  B    1   1   1   1   1 a) 201 9  201 8 201 92  201 82 D  201 9  201 8 201 92  201 82 Câu 6: Cho x, y hai... , k �N ; 2 2 2 b) N   20  18      19  17    Câu 6: Tính giá trị biểu thức P  x15  201 8 x14  201 8 x13  201 8 x12   201 8 x  201 8 x  201 8 , với x  201 7 Câu 7: Cho hình thang... 201 8 201 8   x  x  1   x  x  1 Xét x  r   12   1 Vậy, F   x  x  1 201 8 201 8 201 8 201 8  chia hết cho  x  1    x  1 Q  x   r   12   1   x  x  1 201 8 201 8