UBND HUYỆNKINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề gồm câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a - b)2 + 8abc b) Cho abc = 2017 Tính giá trị biểu thức: a b 2017c + + P= ab + a + 2017 bc + b + ac + 2017c + 2017 Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình, bất phương trình sau: 3x − 40 3x − 10 x + 30 x − 90 + + + = a) 50 40 20 10 x −1 ≥ −1 b) x−3 Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho a, b, c, d số nguyên dương đôi khác thỏa mãn: a b c d + + + = Chứng minh rằng: abcd số phương a+b b+c c+d d+a b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + = Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M điểm đối xứng H qua D Gọi I K hình chiếu M AB AC · · a) Chứng minh rằng: AEF = CED b) Gọi giao điểm EF với AM N Chứng minh rằng: HN.AD=AN.HD c) Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng Câu 5: (1,0 điểm) Cho a,b,c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= b+c c+a a+b a b c + + + + + a b c b+c c+a a +b Họ tên thí sinh: .SBD: Chữ ký giám thị Chữ ký giám thị UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017 MƠN: TỐN LỚP (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Câu Ý Nội dung a (2,0đ) = ab2 + ac2 - 2abc + bc2 + ba2 - 2abc + ca2 + cb2 - 2abc + 8abc = (ab2 + ac2 + 2abc) + (bc2 + b2c) + (ca2 + ba2) =a(b + c)2 + bc(c + b) + a2(c + b) =(b + c)(ab + ac + bc + a2) = (b + c)(a + b)(c + a) Cho abc = 2017 Tính giá trị biểu thức : a b 2017c b + + P= ab + a + 2017 bc + b + ac + 2017c + 2017 a b 2017c P= + + ab + a + 2017 bc + b + ac + 2017c + 2017 a b abcc = + + ab + a + abc bc + b + ac + abcc + abc b bc = + + =1 b + + bc bc + b + 1 + bc + b a Phân tích đa thức thành nhân tử: a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2+8abc 3x − 40 3x − 10 x + 30 x − 90 + + + = 50 40 20 10  3x − 40   3x − 10   x + 30   x − 90  ⇔ − 1÷+  − ÷+  − ÷+  + ÷=  50   40   20   10  3x − 90 3x − 90 x − 30 x − 30 ⇔ + + + =0 50 40 20 10 3 1 ⇔ ( x − 30 ) ( + + + )=0 50 40 20 10 ⇔ x = 30 Vậy phương trình có nghiệm x = 30 x −1 ≥ −1 x −3 b x −1 2x − ⇔ +1≥ ⇔ ≥0 x −3 x −3 Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,50 0,50 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25   2x − ≥  x − > ⇔   2x − ≤    x − < 0,25 x > ⇔ x ≤ 0,25 Vậy bất phương trình có nghiệm là: x > x ≤ 0,25 Cho a, b, c, d số nguyên dương đôi khác thỏa mãn : a b c d + + + = a a+b b+c c+d d+a Chứng minh rằng: abcd số phương a b c d + + + =2 a+b b+c c+d d+a a b c d ⇔ 1− − +1− − =0 a +b b+c c+d d+a b b d d ⇔ − + − =0 a+b b+c c+d d+a b(c − a) d(a − c) ⇔ + =0 (a + b)(b + c) (c + d)(d + a) ⇔ b.(c + d)(d + a) − d.(a + b)(b + c) = 0(do a ≠ c) ⇔ abc-acd+bd − b 2d = ⇔ (b − d)(ac − bd) = ⇔ ac − bd = 0(do b ≠ d) ⇔ ac=bd Nên abcd=(ac)(bd)=(ac)2 số phương (với a, c nguyên dương) Vậy abcd số phương b Tìm số ngun x, y thỏa mãn: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + = Ta có: x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + = ⇔ (x - y - 1)2 + (y + 2)2 = Từ suy ra: x - y - = y + = Vậy x = - 1, y = - Vẽ hình : 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,5 0,5 · · Xét VAEB VAFC có : EAB ( góc chung), = FAC · · AEB = AFC( = 900 ) VAFC( g.g) ⇒ AE = AB Do VAEB AF AC · · Xét VAEF VABC có : EAF ( góc chung), = BAC a AE AF AE AB = = ( ) AB AC AF AC · · VABC (c.g.c) ⇒ AEF Do VAEF = ABC · · Chứng minh tương tự : CED = CBA · · Do : AEF = CED · · · · b Vì BEF · · + AEF = BED + CED( = 900 ,BE ⊥ AC E) nên BEF = BED ⇒ EB tia phân giác góc DEF Tam giác NED có EB tia phân giác góc DEF hay EH tia phân · giác DEN nên theo tính chất đường phân giác ta có : HN EN = (1) HD ED · Vì EA ⊥ EB, EB tia phân giác DEN nên EA tia phân giác đỉnh E VDEN AN EN ⇒ = (2) ( Tính chất đường phân giác ngoài) AD ED HN AN = Từ ( 1) (2) suy : HD AD Nên HN.AD = AN.HD 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Do HN.AD = AN.HD Mà HD = DM nên HN.AD = AN.DM HN AN AN + HN AH AN AH ⇒ = = = ⇒ = DM AD AD + DM AM AD AM AF AH = (định lí Talet) VAMI có HF//MI (cùng ⊥ AB ) ⇒ AI AM c AN AH AF AN = = ⇒ FN / /ID (định lí Talet đảo) Mà nên AD AM AI AD Hay ID//FE ( N thuộc FE) AE AH = (định lí Talet), VAMK có HE//MK( ⊥ AC ) ⇒ AK AM AF AH AE = = ⇒ IK / /FE ( Định lí Talet đảo) (2) VAIK có AI AM AK Từ (1) (2) suy I, K, D thẳng hàng Cho a,b,c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: b+c c+a a+b a b c + + + + + a b c b+c c+a a+b b+c c+a a+b a b c P= + + + + + a b c b+c c+a a+b 3b+c c+ a a +b   a b+c  P=  + + + ÷+  ÷+ 4 a b c  b+c a  c+a  c a+b   b + +  ÷+  ÷ c+a b   a+b c  P= 0,25 0,25 1,00 0,25  b a   c a   c b   P =  + ÷+  + ÷+  + ÷ +  a b   a c   b c   b+c   b c+a  c a+b   a + + +  ÷+  ÷+  ÷ b+c a  c+a b   a+b c  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: b a b c c a + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ a b c b a c 0,25 Dấu xảy a=b=c a b+c + ≥2 = ; Dấu xảy b+c=2a b+c a b c+a + ≥ = ; Dấu xảy a+c=2b c+a b c a+b + ≥2 = ;Dấu xảy a+b=2c a+b c 0,25 15 P ≥ + ≥ Dấu xảy a=b=c 15 Vậy giá trị nhỏ P a=b=c UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 0,25 ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN- LỚP Thời gian làm bài:150 phút ( Đề gồm có: câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2(x4 - 1)(x2 + 2) + 2) Biết 4a2 + b2 = 5ab với 2a > b > Tính giá trị biểu thức: C = Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 1) x − 3x + + x − = ; 2) 9x x − =8 2x + x + 2x − x + ab 4a − b 2 Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thoả mãn: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 2) Cho đa thức f(x) = x - 3x + 3x - Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f(x) chia hết cho giá trị đa thức x + Câu 4: (3,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D 1) Chứng minh AB2 = AC.BD; 2) Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM; 3) Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Câu 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 16 x + y + z Hết UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MƠN: TỐN- LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm: câu, trang) Câu Đáp án Điểm (1điểm) x2 (x4 - 1)(x2 + 2) + = x2 (x2 - 1)(x2 + 1)(x2 + 2) + = (x4 + x2)(x4 + x2 – 2) + 0,25 0,25 = (x4 + x2)2 – 2(x4 + x2) + 1 = (x4 + x2 – 1)2 (2 (1điểm) điểm) 4a2 + b2 = 5ab ⇔ (a – b)(4a – b) = 0,25 0,25 a − b = a = b ⇔ ⇔  4a − b =  4a = b 0,5 Do 2a > b > nên 4a = b loại Với a = b C = (2 điểm) 0,25 ab a = = 2 4a − b 4a − a (1điểm) * Víi x≥ (*) ta có phơng trình: x2 -3x + + x-1 = ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = ( Thoả mãn điều kiện *) 0,25 0,25 0,25 * Víi x < (**) ta cã phơng trình: x2 -3x + + - x = ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − 3) = + x - = ⇔ x = ( Không thỏa mãn điều kiện **) + x - = ⇔ x = ( Không thoả mãn điều kiện **) Vậy nghiệm phơng trình (1) là: x = (1im) - Xét x = nghiệm 0,25 0,25 - Xét x khác 0,25 9x x − =8 2x + x + 2x − x + ⇔ − =8 3 2x +1+ 2x −1 + x x Đặt : = t , ta có phương trình: x − =8 t +1 t −1 2x + 0,25 ĐKXĐ x khác 1;-1 0,25 PT ⇒ 8t − 8t + = ⇔ ( 2t − 1) = ⇔ t = ⇒ 2x + = x 2 ⇔ 4x − x + = 95 ⇔ (2 x − ) + =0 16 2 0,25 => PT vô nghiệm (1điểm) (2 Ta có: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = điểm)  4x2 + 8xy + 28x + 28y + 8y2 + 40 = ⇔ (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = (*) Ta thấy (2x + 2y + 7)2 ≥ nên 4y2 ≤ ⇔ y ≤ y ∈ { 0;1} ⇒ y ∈ { 0;1; −1} 0,25 y nguyên nên 0,25 Với y = thay vào (*) ta được: ( x + ) = tìm x ∈ { −2; −5} Với y = thay vào (*) ta có : (2x + 9)2 = - khơng tìm x ngun Với y = -1 thay vào (*) ta có (2x + 5)2 = - khơng tìm x ngun Vậy (x;y) ngun tìm (-2 ; 0) ; (-5 ; 0) 2 (1điểm) Chia f ( x) cho x + thương x - dư x + để f ( x) chia hết cho x + x + chia hết cho x + 2 => (x + 2)(x - 2) chia hết cho x + 2 => x - chia hết cho x + 0,25 0,25 0,25 (3 điểm) => x + - chia hết cho x + 2 => chia hết cho x + 2 => x + ước mà x + ≥ 2 => x + ∈ { 3;6} => x ∈ { ±1; ±2} Thử lại ta thấy x = 1; x = -2 thỏa mãn Vậy với x = ; x = -2 f ( x) chia hết cho x + Vẽ hình ghi GT, KL 0,25 0,25 0,25 0,25 (1điểm) Chứng minh: ΔOAC : ΔDBO (g - g ) OA AC = ⇒ OA.OB = AC.BD DB OB AB AB ⇒ = AC.BD ⇒ AB2 = 4AC.BD (đpcm) 2 ⇒ 0,25 0,25 0,25 (1điểm) Theo câu a ta có: ΔOAC : ΔDBO (g - g) ⇒ Mà OA = OB ⇒ OC AC = OD OB OC AC OC OD = ⇒ = OD OA AC OA 0,25 · · = ACO +) Chứng minh: ΔOCD : ΔACO (c - g - c) ⇒ OCD +) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) ⇒ AC = MC (đpcm) 0,25 0,5 (1điểm) Ta có ΔOAC = ΔOMC ⇒ OA = OM; CA = CM ⇒ OC trung trực AM ⇒OC ⊥ AM Mặt khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vuông M ⇒OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI Chứng minh C trung điểm AI 0,25 0,25 Do MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: ⇒ MK BK KH = = IC BC AC Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC qua trung điểm MH (đpcm)  1 1 1  y x   z x   z y  21 + + = ( x + y + z)  + + ÷=  + + ÷+  + ÷+ ÷+  16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y z  16 y x Theo BĐT Cơ Si ta có: 16 x + y ≥ dấu “=” y = 2x; (1điểm Tương tự: z + x ≥ dấu “=” z = 4x; z + y ≥ dấu “=” z = 2y; 4y z 16 x z ) 49 ⇒P ≥ Dấu “=” xảy x = ; y = ; z = 16 7 49 Vậy Min P = với x = ; y = ; z = 16 7 P= *Chú ý: Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... Tính giá trị biểu thức : a b 2017c b + + P= ab + a + 2017 bc + b + ac + 2017c + 2017 a b 2017c P= + + ab + a + 2017 bc + b + ac + 2017c + 2017 a b abcc = + + ab + a + abc bc + b + ac + abcc +...UBND HUYỆN KINH MƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN: TOÁN LỚP (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Nếu học sinh làm... - Xét x khác 0,25 9x x − =8 2x + x + 2x − x + ⇔ − =8 3 2x +1+ 2x −1 + x x Đặt : = t , ta có phương trình: x − =8 t +1 t −1 2x + 0,25 ĐKXĐ x khác 1;-1 0,25 PT ⇒ 8t − 8t + = ⇔ ( 2t − 1) = ⇔ t =