HSG TOÁN 8 yên DŨNG 2013 2014

11 720 2
HSG TOÁN 8 yên DŨNG 2013 2014

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x  2014 x  2013 2) x( x  2)( x  x  2)  Câu (4 điểm) 1) Tìm a, b biết  2a 3b  3a   15 23  a 20 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  xy  x  y  2013 Câu (4 điểm) 1) Cho a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 3 Chứng minh rằng: B  a1  a2   a2013 chia hết cho 2) Cho a b số tự nhiên thoả mãn 2a  a  3b  b Chứng minh rằng: a  b 3a  3b  số phương Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC Gọi I điểm di chuyển cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC N 1) Gọi O trung điểm AI Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng 2) Kẻ MH, NK, AD vng góc với BC H, K, D Chứng minh MH + NK = AD 3) Tìm vị trí điểm I để MN song song với BC Câu (2 điểm) Cho a  b  c  d x  (a  b)(c  d ), y  (a  c )(b  d ), z  (a  d )(b  c ) Sắp xếp theo thứ tự giảm dần x, y, z Hết Họ tên thí sinh: , Số báo danh: UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN LỚP (Đáp án - thang điểm gồm trang) Chú ý: Dưới hướng dẫn bản, làm học sinh phải trình bày chi tiết HS giải nhiều cách khác cho điểm phần tương ứng Câu Ý Nội Dung Điểm 2 x  2014 x  2013 = x  2013 x  x  2013 0.5 1 = x( x  2013)  ( x  2013) = ( x  1)( x  2013) 0.5 2 x( x  2)( x  x  2)   ( x  x)( x  x  2)  0.5 2  ( x  x )  2( x  x)  = ( x  x  1) 2  ( x  1)  a  3a  Từ có 20(1  2a)  15(7  3a) 15 20 => a  1  2a 3b  2.1 3b   Thay a  vào tỉ lệ thức ta Suy 15 23  a 15 23  7.1 b2 Vậy a  , b  Ta có A  x  y  xy  x  y  2013  x  x( y  1)  y  y   y  y   2003  ( x  y  1)  ( y  3)  2003 Nhận thấy với x,y ta có ( x  y  1) �0;( y  3) �0 Suy A �2003 Dấu “=” xảy x  4, y  Vậy Giá trị nhỏ A 2003 đạt x  4, y  Dễ thấy a  a  a (a  1)(a  1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 )  ( a1  a2   a2013 ) Xét hiệu B  (a1  a2   a2013 )  (a13  a23   a2013  (a13  a1 )  (a23  a2 )   (a2013  a2013 ) chia hết cho Mà a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 M3 Do B chia hết cho Từ 2a  a  3b2  b có (a  b)(3a  3b  1)  a Cũng có (a  b)(2a  2b  1)  b Suy (a  b)2 (2a  2b  1)(3a  3b  1)  (ab) 2 Gọi (2a  2b  1,3a  3b  1)  d Chứng minh d=1 => 3a  3b  số phương => a  b số phương (đpcm) 2 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 A M O N B H D E I K C Ta có IM//AC, IN//AB => AMIN hình bình hành => MN cắt AI trung điểm đường Mà O trung điểm AI => M, O, N thẳng hàng (đpcm) Kẻ OE vng góc với BC Chứng minh MHKN hình thang vng Ta có O trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy OE đường trung bình hình thang vng MNKH nên MH + NK = 2OE (1) Xét ΔADI có O trung điểm AI OE//AD Suy OE đường trung bình ΔADI nên AD = 2OE (2) Từ (1) (2) ta có MH + NK = AD (đpcm) Ta có MN // BC MN đường trung bình ABC (Do O trung điểm AI) � I trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB) Vậy để MN song song với BC I trung điểm BC Xét hiệu x  y  (a  b)(c  d )  (a  c)(b  d )  (d  a)(b  c) Vì d  a, b  c nên (d  a)(b  c)  Suy x  y (1) Xét hiệu y  z  (a  c)(b  d )  (a  d )(b  c)  (a  b)(d  c) Vì b  a, c  d nên (a  a)(d  c)  Suy y  z (2) Từ (1) (2) ta xếp theo thứ tự giảm dần z  y  x UBND HUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………………… ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) A MA TRẬN ĐỀ Cấp độ Chủ đề Nhậ n biết Thông hiểu Số học Số câu Số điểm-Tỉ lệ % Vận dụng đẳng thức để chứng minh đẳng thức, so sánh hai số, phân tích đa thức thành nhân tử tìm cực trị tam thức bậc hai 4(C2ab, C3ab) 8,0 Đại số Số câu Số điểm-Tỉ lệ % Hình học Vận dụng Cấp độ Cấp độ thấp cao - Vận dụng tính chất chia hết để chứng minh tổng chia hết cho số - Áp dụng tính chất lũy thừa để chứng minh giá trị biểu thức nhỏ 2(C1ab) 4,0 Hiểu dấu Cộng 4,0đ – 20% Vận dụng đẳng thức để chứng minh biểu thức 1(C6) -Vận chât 1,0 9,0đ – 45% dụng tính quan Số câu Số điểm-Tỉ lệ % Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ % hiệu nhận biết tứ giác để chứng minh tứ giác hình chữ nhật, tứ giác hình thoi 2(C5ab) 3,0 hệ ba cạnh tam giác để chứng minh - Vận dụng đường kẻ phụ để chứng minh đẳng thức 3,0 15% 12,0 60% 2(C4,C5c) 4,0 7,0đ 35% 11 5,0 20,0 25% 100% B ĐỀ Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40 b) B = 1 1      22 32 42 1002 Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, chứng minh a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) D = 232 Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 b) Tìm giá trị nhỏ E = 2x2 – 8x + Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I vẽ IM vng góc với AB M IN vng góc với AC N a) Chứng minh tứ giác AMIN hình chữ nhật b) Gọi D điểm đối xứng I qua N Chứng minh tứ giác ADCI hình thoi c) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh DK  DC Câu 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: a  b  c  d  e2 �a (b  c  d  e) “HẾT” C ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40 b) B = 1 1      22 32 42 1002 CÂU a ĐÁP ÁN A = + + 32 + 33 + + 311 = ( + + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 10 + 311) = ( + + 32+ 33) + 34 (1 + + 32+ 33) + 38(1 + + 32+ 33) = 40 + 34 40 + 38 40 = 40 (1 + 34 + 38) M40 Vậy A M40 b 1 1     2 1002 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1             1.2 2.3 3.4 99.100 2 99 100 1 1 100 ĐIỂM 0,5 0,5 0,5 0,5 B Vậy B < Câu 2: (4,0 điểm ) 0,5 0,5 0,5 0,5 a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) D = 232 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM a Ta có: a + b + c = suy a + b = - c 0,5 3 Mặt khác: ( a + b ) = a + b + 3ab(a + b) 0,5 3 Suy (- c) = a + b + 3ab(-c) 0,5 3 a + b + c = 3abc(đpcm) 0,5 16 b C = (2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1) (2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) 0,25 16 (2 +1) 0,25 2 16 0,25 C = (2 -1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1) 4 16 C = (2 -1)(2 +1)(2 +1)(2 +1) 0,25 8 16 C = (2 -1) (2 +1)(2 +1) 0,25 16 16 C = (2 -1)(2 +1) 0,25 32 C = -1 0,5 32 32 Vì - < nên C < D Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 b) Tìm giá trị nhỏ E = 2x2 – 8x + CÂU ĐÁP ÁN a x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 = x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3 = (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1) b = x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x2– x + 2019) E = 2x2 – 8x + = 2x2 – 8x + - = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – � - Vậy giá trị nhỏ E = - x = ĐIỂ M 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác ĐÁP ÁN ĐIỂ M Gọi O giao điểm hai đường chéo AC, BD tứ giác ABCD Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Xét  AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ ba cạnh tam giác) Xét  COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ ba cạnh tam giác) Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD � AC + BD > AB + CD � AC + BD > a + c (1) Chứng minh tương tự: AC + BD > AD + BC � AC + BD > d + b (2) Từ (1) (2) suy 2(AC + BD) > a + c + d + b a c  d b � AC +BD > (*) Xét  ABC, ta có: AC < a + b Xét  ADC, ta có: AC < d + c Suy ra: 2AC < a +b + c + d a c d b � AC < (3) a c d b (**) Chứng minh tương tự: BD < (4) Từ (3) (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d a c d b

Ngày đăng: 04/06/2019, 10:12

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan