HSG TOÁN 8 THỦY NGUYÊN 2010 2011

10 96 0
HSG TOÁN 8 THỦY NGUYÊN 2010 2011

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề) Câu (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x4  b, Cho  x  2  x  3  x  4  x  5  24 a b c a2 b2 c2    Chứng minh rằng:   0 b c c  a a b b  c c  a a b Câu 2: (2 điểm) Tìm a,b cho f  x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức g  x   x2  x  2 Tìm số nguyên a cho a  số ngun tố Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 4.(1,5 điểm) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN Câu Đáp án 1a 4 2 x + = x + 4x + - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) 1b ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) Nhân vế của: a b c   1 b  c c  a a b với a + b + c rút gọn � đpcm Ta có : g  x   x  x  2=  x  1  x   Vì f  x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x) 2 Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 � ax  bx  10x  4=  x+2   x-1 q  x  0,25 Với x=-2 � 2a-b+6=0   Thay (1) vào (2) Ta có : a=2 b=4 2 Ta có : a  4=  a -2a+2   a +2a+2  0,25 Với x=1 � a+b+6=0 � b=-a-6  1 0,25 0,25 Z a -2a+2 Z ;a +2a+2 Z Vì a ή�� Có a +2a+2=  a+1  �1 a Và a -2a+2=  a-1  �1 a Vậy a  số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 Nếu a -2a+2=1 � a  thử lại thấy thoả mãn Nếu a +2a+2=1 � a  1 thử lại thấy thoả mãn 0,25 0,25 0,25 0,25 AE  FM  DF � AED  DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm 0,5 0,5 c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi � ME  MF  a không đổi 0,5 a Chứng minh: � SAEMF  ME.MF lớn � ME  MF (AEMF h.v) � M trung điểm BD 0,25 0,25 0,25 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 � (a+ b) – ab = � (a – 1).(b – 1) = � a = b = Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 0,25 0,25 0,25 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) 0,25 0,25 Câu 1:(3 điểm) a) Cho biểu thức A  2a b2  2b c2  2a c2  a  b  c4 Chứng minh a, b, c cạnh tam giác A >0 b) Chứng minh a  a M 30 ( a �Z ) Câu 2:(2 điểm) 2 Giải phương trình x  2xy  y  3x  2y    2x  x  3x  Câu 3(1,5 điểm) Cho a  b3  Chứng minh a  b �2 Câu 4:(1,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo AC BD cắt O Một đường thẳng d qua O song song với đáy cắt cạnh bên AD, BC E F Chứng minh 1   AB CD EF Câu (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN=CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh KD tia phân giác AKC -Hết -Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh………………………………………… SBD:…………… HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2007-2008 MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút) Câu Nội dung Điểm a) A  2a b  2b 2c  2a 2c  a  b  c = a b2 - ( 2a b  2b 2c  2a 2c  a  b  c ) 0,25 = (2ab) - ( a  b  c2 )2 = (2ab  a  b  c )( 2ab - a  b2  c2 ) 0,5 (a  b)  c � c  (a  b)2 � =� � �� � �= (a  b  c)(a  b  c)(c  a  b)(c  a  b) 0,5 Do a, b, c cạnh tam giác nên 0,25 a  b  c  0; a  b  c  0; c  a  b  0; c  a  b  � A  (a  4)  � b) a  a  a(a  1)  a(a  1)(a  1) = a(a  1)(a  1) � � � 0,5 = a(a  1)(a  1)(a  2)(a  2) 5a(a  1)(a  1) Do tích năm số ngun liên tiếp chia hết cho năm số nguyên liên tiếp ln có ba số ngun liên tiếp mà tích chúng chia hết cho (6;5)=1 Suy a(a  1)(a  1)(a  2)(a  2) M30 5a(a  1)(a  1) M30 Vậy a  aM 30 0,25 0,5 0,25 x  2xy  y  3x  2y    2x  x  3x  � (x  y  1)  x   (x  1)(x  2)  2x  (1) 0,5 ��4�۳ 2(x 2) Do (x  y  1)  x   (x  1)(x  2) �0 x, y �2x x 2 Với x �2 (x  y  1)  x   (x  y  1)  x  ; (x  1)(x  2)  x  3x  0,25 0,25 Khi từ phương trình (1) � (x  y  1)  x  + (x  1)(x  2) = 2(x  2) � (x  y  1)2 = 0,25 (x  2)(2  x   1) = (x  2) � (x  y  1) + (x  2) =0 � x   x  y   � x  2; y  ( thoả mãn) Vậy tập hợp nghiệm phương trình 0,5 S=   2;3  Giả sử a  b  � (a  b)  � a  b  3ab(a  b)  �  3ab(a  b)  (do a  b  3 3 3 0,25 0,5 ) � 3ab(a  b)  � ab(a  b)  � ab(a  b) > a  b3 (do � ab(a  b) > (a  b)(a  ab  b ) � ab  a  ab  b � a  2ab  b  � (a  b)  (vô lý ) Vậy a  b �2 a  b3  ) 0,5 0,5 0,25 Xét VABD có OE//AB � OE OD  (Hệ định lý Ta lét) (1) AB DB Xét VABC có OF//DC � OF OB  (Hệ định lý Ta lét) (2) CD BD Xét VABC có OF//AB � OF OC  (Hệ định lý Ta lét) (3) AB AC 0,25 Xét VABD có OE//DC � OE AO  (Hệ định lý Ta lét) (4) DC AC 0,25 Từ (1), (2), (3) (4) suy : � 0,25 OE OF OF OE OD OB OC AO + + + = + + + AB CD AB DC DB BD AC AC 0,25 � OE OF OF OE OD OB OC AO + + + = + + + AB AB CD DC DB BD AC AC � EF EF BD AC EF EF + = + + =2 � + = � AB DC BD AC AB DC AB DC EF 0,25 B A F E O D C Kẻ DI, DJ vng góc với AK, CK 0,25 Ta có SAND  AN.DI = SABCD ( chung đáy AD, chiều cao hạ từ N) (1) SCDM 1  CM.DJ = SABCD ( chung đáy CD, chiều cao hạ từ M) 2 Từ (1) (2) suy ra: 1 AN.DI = CM.DJ � DI=DJ (do AN=CM) 2 0,5 0,5 (2) 0,25 � DIK  DJK (cạnh huyền-cạnh góc vng) � �IKD  �JKD � KD tia phân giác AKC 0,5 A M l B K J D N C UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO -MƠN TỐN Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) A ĐỀ BÀI Bài ( điểm ): a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3(x2 - )2 - 36x b) Dựa vào kết chứng minh: A= n3(n2 - )2 - 36n chia hết cho 210 với số tự nhiên n Bài ( điểm ):   x3   x2  x  : Cho biểu thức A =  với x khác -1  1 x  1 x  x  x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x   c, Tìm giá trị x để A < Bài ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = 2004 Tính : M = 2004a b c   ab  2004a  2004 bc  b  2004 ac  c  Bài (4 điểm ) : Cho hình vng ABCD có cạnh cm Gọi M, N trung điểm AB , BC Gọi P giao điểm AN với DM a) Chứng minh : tam giác APM tam giác vng b) Tính diện tích tam giác APM c) Chứng minh tam giác CPD tam giác cân Bài ( điểm ): Tìm giá trị x, y nguyên dương cho : x2 = y2 + 2y + 13 - HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Đáp án a) x3(x2 - )2 - 36x = x[( x3 - 7x)2 - 36] = x(x3 - 7x - 6)( x3 - 7x + ) = x(x3 - x - 6x - 6)( x3 - x - 6x + ) = x[x(x - )( x + 1) - 6( x+ 1)][ x(x - )( x + 1) - 6( x- 1)] = x(x + )(x2 - x - 6)(x - )( x2 + x - ) = x(x + )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - )( x2 +3x - 2x - ) = x(x + )(x2 - 3x + 2x - 6)(x - )( x2 + 3x - 2x - ) = x(x + )( x - )[(x(x - ) + 2( x - )][(x(x + ) - 2( x + )] = x(x + )( x - ) (x - )(x + ) ( x - )( x + ) b) Theo phần a ta có : A = n3(n2 - )2 - 36n = n(n + )( n - ) (n - )(n + ) ( n - )( n + ) Đây tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có : - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên tố nên: A M( 2.3.5.7 ) Hay A M210 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a) Với x khác -1 :  x3  x  x2 (1  x)(1  x) : A= 1 x (1  x)(1  x  x )  x(1  x) = (1  x)(1  x  x  x) (1  x)(1  x) : 1 x (1  x)(1  x  x ) = (1  x ) : = (1  x )(1  x) (1  x) 2    b) Tại x =  =  Acó giá trị 1  ( )   1  (  )    3  25 34 272 10 = (1  )(1  )   9 27 27 c) Với x khác -1 A< (1  x )(1  x)  (1) Vì  x  với x nên (1) xảy  x   x  KL Thay 2004 = abc vào M ta có : a 2bc b c M   ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  a 2bc b c    ab(1  ac  c) b(c   ac) ac  c  ac c     ac  c c   ac ac  c  ac  c   1  ac  c 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vẽ hình cho phần a A 1 M 0,25 B P I N H D C a) Chứng minh ∆ADM =∆BAN ( cgc ) 0,75 => 0,25 � � A1  D � M �  900 ( ∆ADM vuông A ) Mà D 1 �  900 => � A1  M Do đó: � APM  900 Hay ∆APM vng P 0,5 (cm) 5 AM = (cm) SAPM = (cm ) b) Tính : AP = 0, 0,25 c) Gọi I trung điểm AD Nối C với I; CI cắt DM H Chứng minh tứ giác AICN hình bình hành => AN // CI mà AN  DM nên CI  DM Hay CH đường cao ∆CPD (1) Vận dụng định lý đường trung bình ∆ADP chứng minh H trung điểm DP => CH trung tuyến ∆CPD (2) Từ (1) (2) suy ∆CPD cân C Biến đổi đẳng thức cho dạng ( x + y + 1)( x - y - 1) = 12 Lập luận để có x + y + 1> x - y - x + y + 1; x - y - ước dương 12 từ có trường hợp : x+y+1 x-y-1 12 x 13 y 0,25 4 1 Mà x; y nguyên dương nên ( x; y) = ( 4; 1) KL *Chú ý: Ở phần, học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... trị x, y nguyên dương cho : x2 = y2 + 2y + 13 - HẾT UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Đáp... tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có : - Một bội nên A chia hết cho - Một bội 3nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho - Một bội nên A chia hết cho Mà 2; 3; 5; đôi nguyên. .. b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 0,25 0,25 0,25 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT

Ngày đăng: 04/06/2019, 10:12

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan