PHÒNG GD – ĐT TP THỦ DẦU MỘT KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS GIẢI THƯỞNG LƯƠNG THẾ VINH NĂM HỌC: 2012-2013 MƠN TỐN: LỚP Thời gian làm : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 30/3/2013 Bài 1: (3d) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24  a + b + c = 2  a + b + c = 2009 b) Cho a,b,c thoả mãn:  Tính A = a4 + b4 + c4 Bài 2: (3đ) a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + xz 2x − m x − + = Tìm m để phương trình có nghiệm dương x− x+ 1 c) Cho a,b,c có tổng (a,b,c > 0) Chứng minh : + + ≥ a b c b) Cho Phương trình: Bài 3(2đ) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn DB, DC lần BE.BF AB2 · · = lượt lấy điểm E F cho EAD Chứng minh = FAD CE.CF AC Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC, điểm D M di động AB cho AD = BM Qua M vẽ đường thẳng song song BC cắt AC E N Chứng minh : tổng DE + MN không đổi Hết Giải Bài 1: (3d)  a + b + c = 2  a + b + c = 2009 a) Cho a,b,c thoả mãn:  Tính A = a4 + b4 + c4 Cách 1: Ta có: a+b+c=0 ⇒ a+b = -c ⇒ (a+b)2 – 2ab = c2 ⇒ (a+b)2 – c2 = 2ab ⇒ (a+b+c)(a+b-c) = 2ab ⇒ = 2ab ⇒ a=0 b=0 • Nếu a=0 ⇒ b = -c b2 + c2 = 2009 ⇒ b2 + b2 = 2009 ⇒ 2b2 = 2009 ⇒ b= 2009 c = - 2009 2 Do đó: A = a4 + b4 + c4 = 04 + 4 4 2009 2009 + = 20092 (1) 2 • Nếu b=0 ⇒ a = -c a2 + c2 = 2009 ⇒ a2 + a2 = 2009 ⇒ 2a2 = 2009 ⇒ a= 2009 c = - 2009 2 Do đó: A = a + b + c = 04 + 2009 + 2009 = 20092 (2) 2 Từ (1) (2) ⇒A = a4 + b4 + c4 = 20092 4 Cách 2: Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009 ⇔ (a2 + b2 + c2 )2 = 20092 ⇔ a4 +b4 +c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 20092 ⇔ a4 +b4 +c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 20092 ⇔ a4 +b4 +c4 = 20092 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) (1) Ta có: a2 + b2 + c2 = 2009 ⇔ (a+b+c)2 - 2ab - 2ac - 2bc = 2009 2009 ⇔ ab+ac+bc = − ( a+b+c = 0) 20092 ⇔ (ab+ac+bc )2 = 20092 ⇔ a b + b c + c a + 2a bc + 2b ac + 2c ab = 2009 ⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a+b+c) = 2009 ⇔ a2b2 + b2c2 + c2a2 = ( a+b+c = 0) 20092 4 (1) ⇒ a +b +c = 2009 -2 2009 ⇔ a4 +b4 +c4 = 2 2 2 2 2 Bài 2: (3đ) a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + xz Cách 1: Ta có: (x-y)2 ≥ với x,y ∈ R Tương tự : (y-z)2 ≥ , (z-x)2 ≥ với x,y,z ∈ R Cộng vế bất đẳng thức ta được: x2 – 2xy + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 ≥ ⇔ 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy+yz+xy) ≥ ⇔ (x2 + y2 + z2 ) - (xy+yz+xy) ≥ ⇔ (xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) ⇔ 3(xy+yz+xy) ≤ (x2 + y2 + z2 ) + 2(xy+yz+xy) ⇔ 3(xy+yz+xy) ≤ (x + y + z)2 = ⇔ (xy+yz+xy) ≤ Vậy B = đạt giá trị lớn Dấu “=” xảy x=y=x =1 Cách 2: Ta có: B = xy + yz + xz x + y + z = B = xy + z(x+y) = xy + [3-(x+y)](x+y) =xy + 3(x+y) – (x+y)2 = -x2 – y2 – xy + 3x + 3y 2  y − 3 3y2 + 6y + −3 = −  x+ + ( y − 1) + ≤ ÷ +  4   y − 1=  y−  = 0⇔ x = y= z= Dấu “=” xảy  x +   x + y + z = Vậy giá trị lớn B x=y=z=1 b) Cho Phương trình: 2x − m x − + = Tìm m để phương trình có nghiệm dương x− x+ Đk: x ≠ ± Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2) ⇔ 2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + = 3x2 – 12 ⇔ (1-m)x = 2m – 14 ⇔ x= 2( m− 7) 1− m  m − >  m > (loai )   − m > m <   ⇔ ⇔1< m < Đề phương trình có nghiệm dương x >   m < m − <     1 − m <   m > (1) +Với Đk x ≠ ⇔ 2( m− 7) 1− m ≠ ⇔ m ≠ (2) Từ (1), (2) Vậy 1< m < m ≠ phương trình có nghiệm dương PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN VŨ THƯ ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN – LỚP NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm)  a+ b + c = 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn  , tính A = a4 + b4 + c4 2 a + b + c = 2009 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f ( x) = x + px + q với p∈ Z,q∈ Z Chứng minh tồn số nguyên k để f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy + x + 15y − 44 = 2, Cho số tự nhiên a = ( 29 ) d 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình 2x − m x − + = 3, tìm m để phương trình có nghiệm dương x− x+ Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh ∆AEC đồng dạng ∆CAF , tính ·EOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB2 = lượt lấy điểm E F cho ·EAD = ·FAD Chứng minh rằng: CE CF AC2 Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số khơng? Giải thích Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD-ĐT VŨ THƯ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Bài 1.1 Nội dung Điểm 2,00  a+ b + c = Cho ba số a, b, c thoả mãn  , tính A = a4 + b4 + c4 2 a + b + c = 2009  2 2 Ta có a + b + c = ( a + b + c) − 2( ab + bc + ca) = −2( ab + bc + ca) 0,50  a2 + b2 + c2  20092 a b + b c + c a = ( ab + bc + ca) − 2abc( a + b + c) =  ÷ =   2 2009 A = a4 + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 ) − 2( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx B = xy + z( x + y) = xy + 3− ( x + y)  ( x + y) 2 2 0,50 2 1,00 2,00 = xy + 3( x + y) − ( x + y) = − x2 − y2 − xy + 3x + 3y 2 y − 3 −3y2 + 6y + y − 3 −3   = − x+ + = − x+ + ( y − 1) + ≤ ÷ ÷      y − 1=  y−  = 0⇔ x = y = z = Dấu = xảy x +   x + y + z = 1,25 0,50 0,25 Vậy giá trị lớn B x = y = z = Cho đa thức f ( x) = x + px + q với p∈ Z,q∈ Z Chứng minh tồn số nguyên k để 2,00 f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) ff ( x) + x =  f ( x) + x + p( f ( x) + x) + q = f ( x) + 2.x.f ( x) + x2 + p.f ( x) + p.x + q = f ( x)  f ( x) + 2x + p + ( x2 + px + q) = f ( x)  x2 + px + q + 2x + p + 1 = f ( x) ( x + 1) + p( x + 1) + q = f ( x) f ( x + 1)   Với x = 2008 chọn k = f ( 2008) + 2008∈ ¢ 1,25 0,50 Suy f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) 0,25 3.1 Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy + x + 15y − 44 = ♦3xy + x + 15y − 44 = ⇔ ( x + 5) ( 3y + 1) = 49 ♦ x, y nghuyêndương x + 5, 3y + nguyên dương lớn 2,00 0,75 0,50 ♦Thoả mãn yêu cầu toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nên có:  x+ 5= x = ⇔  3y + = y = Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = 0,75 3.2 Cho số tự nhiên a = ( 29 ) 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d 2,00 tổng chữ số c Tính d a = ( 29 ) 2009 = ( 23 ) 3.2009 = ( 23 ) 6027 < 106027 ⇒ b ≤ 9.6027 = 54243 ⇒ c ≤ + 4.9 = 41⇒ d ≤ + 1.9 = 13 ( 1) 1,00 23 ≡ −1mod9 ⇒ a ≡ −1mod9 mà a ≡ b ≡ c ≡ dmod9 ⇒ d ≡ −1mod9 ( 2) Từ (1) (2) suy d = 2x − m x − + = 3, tìm m để phương trình có nghiệm dương Cho phương trình x− x+ Điều kiện: x ≠ 2;x ≠ −2 2x − m x − + = ⇔ ⇔ x( 1− m) = 2m− 14 x− x+ m = 1phương trình có dạng = -12 vơ nghiệm 2m− 14 m ≠ phương trình trở thành x = 1− m  2m− 14  1− m ≠   m≠  2m− 14 ≠ −2 ⇔  Phương trình có nghiệm dương ⇔  1< m <  1− m  2m− 14  1− m >   m≠ Vậy thoả mãn yêu cầu toán  1< m < 0,75 0,25 3,00 0,25 0,75 0,25 0,50 1,00 0,25 Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm 3,00 E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC F Chứng minh ∆AEC đồng dạng ∆CAF , tính ·EOF ♦∆AEB đồng dạng ∆CBF (g-g) ⇒ AB2 = AE.CF ⇒ AC2 = AE.CF AE AC ⇒ = AC CF ♦∆AEC đồng dạng ∆CAF (c-g-c) ♦∆AEC đồng dạng ∆CAF · · mà ⇒ AEC = CAF · · · · · EOF = AEC + EAO = ACF + EAO E A O B D C 1,00 1,00 · = 1800 − DAC = 1200 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, 3,00 DC lấy điểm E F cho ·EAD = ·FAD Chứng minh rằng: BE BF AB2 = CE CF AC2 A AE EH = AF FK K S∆ABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB = = = ⇒ = S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC D C ∆ ACF E F B BF AF.AB = ♦Tương tự CE AE.AC BE BF AB2 ♦⇒ (đpcm) = CE CF AC2 Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số bất H ♦Kẻ EH ⊥ AB H, FK ⊥ AC K · · · · ⇒ BAE = CAF; BAF = CAE ⇒ ∆HAE đồng dạng ∆KAF (g-g) ⇒ 1,00 1,25 0,50 0,25 2,00 kỳ thay hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số khơng? Giải thích Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số tính chất chẵn lẻ tổng số có bảng khơng đổi 2008.( 2008+ 1) Mà S = 1+ + 3+ + 2008 = = 1004.2009 ≡ 0mod2 ; ≡ 1mod2 bảng cũn li s Phòng Giáo dục- Đào tạo 1,00 1,00 ®Ị thi chän häc sinh giái cÊp hun năm học 2008 - 2009 môn: Toán TRựC NINH ***** đề thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bài (4 điểm): Cho biểu thức  4xy  1  A= : + 2  2  y −x y −x y + xy + x  a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bài (3 điểm): Chứng minh với n ∈ N n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E · · a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD = ECB · b) Cho BMC = 1200 S AED = 36cm Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ ⊥ PD Bài (2 điểm): x y + ≥ (với x y dấu) a) Chứng minh bất đẳng thức sau: y x b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x y x2 y2 + −  + ÷+ y x  y x (với x ≠ 0, y ≠ ) Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán Bi 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x ≠ ± y; y ≠ (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = ⇒ 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = ⇒ 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = ⇒ A + (x – y + 1)2 = ⇒ A = – (x – y + 1)2 ≤ (do (x – y + 1) ≥ (với x ; y) ⇒ A ≤ (0,5đ)  x − y + 1= x =   + A = 2x( x + y) = ⇔   y = x ≠ ± y;y ≠   (x − y + 1)2 =  + A = 2x( x + y) = Từ đó, cần cặp giá trị x y, chẳng  x ≠ ± y;y ≠  2−1 x =  hạn:  y = +  + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điểm) a) ⇔ x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + − − =0 115 104 93 82 (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) ⇔ ⇔ x + 126 = ⇔ x = −126 b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx ⇔ 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = ⇔ (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,5 điểm) (0,75 điểm) 10 x − y =  ⇔ y − z = z − x =  ⇔ x= y= z ⇔ x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 ⇔ z2009 = 32009 ⇔ z =3 Vậy x = y = z = (0,5 điểm) Bài (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n M10 - Chứng minh : n5 - n M2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n – n M5 n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia hết cho (1,25 điểm) - Vì ( ; ) = nên n5 – n M2.5 tức n5 – n M10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 điểm) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H C Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm) - Chøng minh ∆ EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm - Tõ ®ã suy 0,5 ®iĨm EB ED = ⇒ EA.EB = ED.EC EC EA · · * Chøng minh EAD (1 ®iĨm) = ECB - Chøng minh - Suy EAD đồng dạng với ECB (cgc) ã ã EAD = ECB 0,75 điểm 0,25 điểm 11 Câu b: 1,5 ®iĨm - Tõ · = 120o ⇒ ·AMB = 60o ⇒ ·ABM = 30o BMC - XÐt 0,5 điểm EDB vuông D có Bà = 30o ⇒ ED = ED EB ⇒ = EB 2 0,5 ®iĨm - Lý ln cho S EAD  ED  = ÷ S ECB  EB  tõ ®ã ⇒ SECB = 144 cm2 0,5 ®iĨm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm - Chøng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 ®iĨm ⇒ 0,5 ®iĨm BH BD BP BD BP BD = ⇒ = ⇒ = DH DC DQ DC DQ DC - Chøng minh ∆ DPB ®ång d¹ng víi ∆ CQD (cgc) · ·  ⇒ BDP = DCQ  ⇒ CQ ⊥ PD o · · ma`BDP + PDC = 90  ®iĨm Bài 5: (2 điểm) a) x, y dấu nên xy > 0, x y + ≥2 y x (*) ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ (x − y)2 ≥ 0(**) Bất đẳng thức (**) đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) x y + =t y x x2 y2 ⇒ + =t −2 y x b) Đặt (0,25đ) Biểu thức cho trở thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + (0,25đ) - Nếu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t ≥ ⇒ t – ≥ ; t – > ⇒ ( t − 2) ( t − 1) ≥ ⇒ P ≥ Đẳng thức xảy t = ⇔ x = y (1) (0,25đ) x y - Nếu x; y trái dấu < < ⇒ t < ⇒ t – < t – < y x ⇒ ( t − 2) ( t − 1) > ⇒ P > (2) (0,25đ) - Từ (1) (2) suy ra: Với x ≠ ; y ≠ ln có P ≥ Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y 12 ... 20 08. ( 20 08+ 1) Mà S = 1+ + 3+ + 20 08 = = 1004.2009 ≡ 0mod2 ; ≡ 1mod2 bảng khơng thể lại số Phßng Giáo dục- Đào tạo 1,00 1,00 đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán. .. x) ( x + 1) + p( x + 1) + q = f ( x) f ( x + 1)   Với x = 20 08 chọn k = f ( 20 08) + 20 08 ¢ 1,25 0,50 Suy f ( k) = f ( 20 08) f ( 2009) 0,25 3.1 Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn 3xy + x +... 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ⇔( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 ⇔ + − − =0 115 104 93 82 (0,5