BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY MODUN SỐ PHỨC – BÀI TOÁN MAX – MIN – 2019 TÀI LIỆU NỘI BỘ CÓ CẬP NHẬT A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ Kỹ – phương pháp:  Phương pháp đại số  Phương pháp hình học  Phương pháp bđt modun  Phương pháp casio Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức:   Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi môđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất   z  a  b  zz  OM  z  0, z   , z   z  z z  z.z '  z z '   ,  z '  0  z  z '  z  z '  z  z ' z' z'  kz  k z , k   2  Chú ý: z  a  b  2abi  (a  b )  4a 2b  a  b  z  z  z.z  Điểm M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z z1  z2  MN 2   mz1  nz2   mz1  nz2  mz1  nz2   m z1  n z2  mn z1 z2  z1.z2  Suy hệ 2  z1  z2  z1  z2  z1.z2  z1.z2 2  z1  z2  z1  z2  z1 z2  z1.z2  z1  z2  z1  z2  z1  z2 2  z  z1  z  z2 2  z1  z2 z z  2 z   2  2    Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2  z1  z2  z  z z  z  2 z  a  bi  z  c  di (2) Tài liệu nội 2  z    2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  (1)  x  a   y  b  R Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax  by  c  (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a, b  , B  c, d   Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R BÀI TỐN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY z  a  bi  R  x  a   y  b Hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R  R z  a  bi  R Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I  a; b  , bán kính r , R r   x  a    y  b   R r  z  a  bi  R Parabol  y  ax  bx  c  c  0   x  ay  by  c  x  a  y  c  1  11 b2 d2 z  a1  b1i  z  a2  b2i  a  x  a b2  y  c  d2 Elip  2 Elip 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB 2a  AB Hypebol 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng, đoạn thẳng, tia TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A  a; b  1 2   z Min  z0  a  b   z  a  b i  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a  b2  c  d 2  a  c   b  d  Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi a  bi c  di  z  z  b   z  d  ci i i TQ3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di  r , iz  a  bi  iz  c  di  z   Suy biến  MA  MB  AB  , quỹ tích đoạn thẳng AB  Suy biến MA  MB  AB , quỹ tích tia Bx Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R   z  z0  R  Tìm z Max , z Min Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  a; b  bán kính R Tài liệu nội BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY 2 z  Max  OI  R  a  b  R  z0  R   2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b   R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a  bi R R    c  di  z  a  bi  R  z  c  di c  di c  d2 z1 R (Chia hai vế cho z0 )  z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi ta có Hay viết gọn z0 z  z1  R  z   Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z Elip: x2 y2  1 a2 a2  c2  z Max  a   2  z Min  a  c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  z1 , z2   c,  ci ) Tìm Max, Min P  z  z0  z1  z  2c Đặt  2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z    z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z   Nếu z0  z1  z0  z2 Tài liệu nội  PMax  a (dạng tắc)   PMin  b  z1  z2  PMax  z0   a    P  z  z1  z2  a  Min PMax  z0  z1  z2 a PMin  z0  z1  z2 b B Câu 1: BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY BÀI TẬP MẪU (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z   i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? 2 B z    i C z   i 5 5 Hướng dẫn giải A z   2i D z  1  i Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi  x , y    2 2 z  3i  z   i  x   y   i   x     y  1 i  x   y     x     y  1  y   4x   y   4x  y    x  y    x  2y   2 z  x  y   y  1  y  y  y    y     5 5  2 Suy z  2 y    x  5  i 5 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z  x  yi  x , y    Vậy z  z  3i  z   i  x   y   i   x     y  1 i  x   y     x     y  1  y   4x   y   4x  y    x  2y   Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z   i đường thẳng d : x  2y   Phương án A: z   2i có điểm biểu diễn  1;    d nên loại A  2 Phương án B: z    i có điểm biểu diễn   ;   d nên loại B 5  5 Phương án D: z  1  i có điểm biểu diễn  1;   d nên loại B 1 2  i có điểm biểu diễn  ;    d 5 5 5 (Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào kiện ban đầu không nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình  : x  y   Phương án C: z  Vậy z  d  O ,    1  5 12  2 Cách 4: Cơng thức tính nhanh BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z Tìm z ?  1 2  z Min  z0  a  b  z  a  b i  2 Tài liệu nội BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z ? z Min  Câu 2: a2  b2  c  d 2  a  c  b  d (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M  m A  B  D  C Hướng dẫn giải Chọn B Cách : Đại số Gọi z  x  yi với x; y   Ta có  z   z   z   z   z  z  Do M  max z  Mà z   z    x   yi  x   yi    x  3  y2   x  3  y2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có   x  3  y    x  3   y2  1 2  12  x    y   x    y         2 x  y  18  2 x  y  18  64  x2  y   x  y   z  Do M  z  Vậy M  m   Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)   F1  3;  , F2  0,     y x   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip    a    16    b  a  c        z a4 Max Do   Mm4  z Min  b  Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn z  c  z  c  a ,  a  c  ta ln có  Tập hợp điểm biểu diễn z Elip y2 x2  1 a2 a  c z  Max  a   2  z Min  a  c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn z   i A 13  Tài liệu nội B C Hướng dẫn giải D 13  BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY Chọn D Cách 1: Gọi z  x  yi ta có z   3i  x  yi   3i  x    y   i 2 Theo giả thiết  x     y    nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I  2;  bán kính R  M2 Ta có z   i  x  yi   i  x     y  i  Gọi M  x; y  H  1;1 HM   x  1   y  1  x  1   y  1 M1 I H Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn  x   3t Phương trình HI :  , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:  y   2t 9t  4t   t       nên M   ;3 ;3 ,M2  13 13 13  13 13    Tính độ dài MH ta lấy kết HM  13  Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn w  z   i   Ta có z   3i   z   3i   z   i   2i   w   2i  (Đường tròn tâm I  3, 2  , R  ) Vậy w Max  OI  R  32  2    13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R  , ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn I  a , b  , bk  R ) z  OI  R  a2  b2  R  Max  2  z Min  OI  R  a  b  R  Ngồi ta ln có cơng thức biến đổi z  a  bi  z  a  bi (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z  Đặt A  Câu 4: 2z  i Mệnh đề sau  iz đúng? A A  B A  C A  D A  Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Đặt Có a  a  bi ,  a , b     a  b2  (do z  ) a   2b  1 i a   2b  1 2z  i A   2  iz  b    b   a2 Ta chứng minh Tài liệu nội a   2b  1   b  a2 2 1 BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY a   b  1 Thật ta có   b 2 2   a   2b  1    b   a  a  b   a2 Dấu “=” xảy a2  b2  Vậy A  Cách : Trắc nghiệm z 1 2z  i Chọn  34  A 1 1 A   iz z 1 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức A   A B C Hướng dẫn giải 5i 5i Cách 1: Ta có: A   1    Khi z  i  A  z z z 5i z D  Chọn đáp án C Cách 2: A   z  5i 5i   z  5i z z Theo z   z  5i  5i   z  5i Max  52   Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M  z  z   z  A Mmax  5; M  B Mmax  5; M  C Mmax  4; M  D Mmax  4; M  Hướng dẫn giải Ta có: M  z  z   z   , z   M   M max  Mặt khác: M   z3 1 z  1 z   z3   z3   z3   z3  1, z  1  M   M   Chọn đáp án A Câu 7: Cho số phức z thỏa z   2 Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P  A B C zi z D Hướng dẫn giải i i 1 Ta có P      Mặt khác:     z | z| z |z| Vậy, giá trị nhỏ P  là Câu 8: , xảy z  2i ;  giá trị lớn P xảy 2 z  i  Chọn đáp án A Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z  2i Tài liệu nội BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY 26  17 C 26  17 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z  x  yi;  x  ; y     z  2i  x   y   i Ta có: A 26  17 B 26  17 D z   i    x  1   y    Đặt x   sin t; y  2  cos t; t   0;  2  z  i    sin t    4  cos t   26   sin t  cos t   26  17 sin  t    ;       26  17  z  2i  26  17  z  2i max  26  17   17  Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z  2i Ta có z   2i    z  i    i   z Max  12     17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức P   z   z A 15 B C 20 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    Ta có: D 20 z   x  y   y   x  x    1;1 Ta có: P   z   z  1  x   y2  1  x   y  1  x     x  Xét hàm số f  x     x     x  ; x    1;1 Hàm số liên tục   1;1 với x   1;1 ta có: f   x      x     1;1 1  x  1  x   4 Ta có: f  1  2; f  1  6; f     20  Pmax  20  5  Chọn đáp án D Cách 2: (Casio)  x  sin t Từ z  , đặt z  x  yi   Thay vào P dùng mode đáp án D  y  cos t Cách 3: Hình học (Xem video live thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  z  Tính giá trị M.m A 13 B 39 C 3 D 13 Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi;  x  ; y    Ta có: z   z.z  Đặt t  z  , ta có  z   z   z    t  0;  Ta có t    z   z    z.z  z  z   x  x  Suy z  z   z  z  z.z  z z   z  t2   x  1  2x   t  Xét hàm số f  t   t  t  , t   0;  Bằng cách dùng đạo hàm, suy Tài liệu nội BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY 13 13 ; f  t    M n  4  Chọn đáp án A max f  t   Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   z Khẳng định sau đúng? 1 1  z 6 A B   z   1 1  z 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta C   z   D  2 z  4  z   4  z  z  z    z    2 z  z  z    z   z  z    z   Vậy, z nhỏ  1, khi z  i  i z lớn  1, khi z  i  i  Chọn đáp án B Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z  A B 11  C  Hướng dẫn giải D 56 Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    Ta có: z   2i    x  1   y    Đặt x   sin t ; y  2  cos t ; t  0;  Lúc đó: 2 z    sin t    2  cos t     sin t  cos t     sin  t    ;       z   sin  t     z     ;      zmax   đạt z   10   i 5  Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Tìm mơđun lớn số phức z Ta có z   i   z Max  12  2      Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn   i  z   i  10 Tìm mơđun lớn số phức z A B C Hướng dẫn giải D  Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    Ta có:   i  z   2i  10    i  z  2 6  i  10  z   i    x     y    1 i Đặt x   sin t ; y   cos t; t   0;  Lúc đó: Tài liệu nội BÀI TOÁN MAX – MIN MODUN SỐ PHỨC – LỚP TOÁN THẦY HUY  z   sin t     cos t     25  sin t  cos t  25       sin  t    ;       z  25  20 sin  t     z   5;     zmax  đạt z   6i  Chọn đáp án B Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn   i  z   2i  10 Tìm mơđun lớn số phức z Ta có   i  z   2i  10  z  6  i 10   z   4i  1 i 1 i  z Max  2    Câu 14: Gọi z  x  yi   x, y    số phức thỏa mãn hai điều kiện z  2 z   z   26 i đạt giá trị lớn Tính tích xy A xy  B xy  13 C xy  16 9 D xy  Hướng dẫn giải Cách 1: Đặt z  x  iy   x , y    Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x  y  Đặt x  cos t , y  sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có  P   z     i  18  18 sin  t     4   3 3 Dấu xảy sin  t    1  t   z  i 2  4  Chọn đáp án D Câu 15: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm mơđun nhỏ số phức z  2i A B C Hướng dẫn giải D  Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x   ; y    2 Ta có: z  i  x 2  x     y    x   y    x  y    y   x   y    x    x   x  12 x  36   x    18  18 Ta có: z   4i  z  2i  2 2 2  z  2i  18  z   i  Chọn đáp án C Cách 2: z   4i  z  2i   z  2i    6i   z  2i   4i  w   6i  w  4i Trong w  z  2i (quay dạng toán 1) Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun nhỏ số phức z   i B 2 C D Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z  x  yi;  x  ; y     z   i   x  1   y  1 i Ta có: A 2 z   i    x  1   y    Tài liệu nội 10 ... biến đổi để đưa dạng a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b   R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R ... z thỏa mãn điều kiện a  bi R R    c  di  z  a  bi  R  z  c  di c  di c  d2 z1 R (Chia hai vế cho z0 )  z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số... điều kiện z  3i  z   i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? 2 B z    i C z   i 5 5 Hướng dẫn giải A z   2i D z  1  i Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi  x , y  