Bài tập chuỗi số và chuỗi đan dấu có lời giải

1 phân kì 0

Chuỗi cho hội tự theo tiêu chuẩn tích phân Bài 03.04.7.020.T006  ln(n  1) n 1  n Lời giải: tương tự , ta xét tích phân   ln( x  1) x5 dx Đặt u  ln( x  1) dv  dx x5 dx x 1   4 v x Xét tích phân A2  du    dx  x ( x  1)     ln( x  1) x dx , mà x4 x dx =  4 ln( x  1) x    4  1 dx x ( x  1) dx tích phân hội tụnên tích phân x x lại hội tụ Từ đó, chuỗi ban đầu hội tụ  Bài 03.04.7.021.T006 n 1 Lời giải: Do n      n ln 1  arctan  n3     n3   hay arctan  n3 ~ 2  2  2  ln  ~   4n3  4n  4n 2 Mà chuỗi  chuỗi hội tụ.Vậy chuỗi ban đầu hội tụ n 1 n   Bài 03.04.7.022.T006  n   ln n n 1 Lời giải: ta thấy n   ln n  n  n   1 Mà chuỗi   n   ln n n    n 1 chuỗi phân kì ( có mẫu lớn chuỗi điều n 1 hòa đơn vị ) Vậy chuỗi ban đầu phân kì  1 n 1 arcsin  ln n n Bài 03.04.7.023.T006  Lời giải: Xét hàm U n  VCB 1 ~ (do n    nên ta áp dụng VCB n  1 n arcsin  ln n  ln n n n Ta có: n   ì 1 Mà chuỗi  ln n   n   n  n  ln n n   n 1 chuỗi phân kì Nên n 1 chuỗi ban đầu phân kì    Sin  n n n 1  Bài 03.04.7.084.T006   Xét hàm U n  Lời giải: Xét giới hạn 1  Sin Chọn hàm Vn  n n n n 1  Sin Un t  Sin t t3 n n lim  lim  lim  lim   n  V n  t 0 t 0 6t t3 n n n  chuỗi có tính chất hội tụ phân kì  Mà chuỗi n n 1 n chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh II chuỗi ban đầu hội tụ  n !2n Bài 03.04.4.024.T008  n n 1 n an1 (n  1)!2n1 n n (n  1)n !2n.2.n 2  lim n  lim  lim  1 Lời giải: Xét giới hạn: lim n n n n  a n  ( n  1) n 1 n  n  n !2 (n  1) (n  1).n !.2  1 e n 1    n n Theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi hội tụ 32 n 1 Bài 03.04.4.025.T008  n n 1 ln( n  1)  Lời giải: Xét giới hạn lim n  an 1 32 n 3.4n.ln( n  1) 32 ln( n 1)  lim n 1 n 1  lim  1 an n ln( n  2) n 4ln( n  2) Theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi phân kì  n (n !) Bài 03.04.4.026.T008  n n n 1 Lời giải: Xét giới hạn: lim n  an 1 n 1 ((n  1)!)2 n2 n 7  lim  lim   n  n n  e an n (n  1) (n !) e Theo tiêu chuẩn D’Alembert chi hội tụ 22 n 1 Bài 03.04.4.027.T008  n n 1 ln( n  1)  Lời giải: Xét giới hạn lim n  an 1 22 n 5.5n ln( n  1) 22  lim n 1  1 an n ln( n  2).2 n 1 Theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi hội tụ  n !3n Bài 03.04.4.028.T008  n n 1 n an 1 (n  1)!3n 1.n n  lim  1 Lời giải: Xét giới hạn lim n  a n  ( n  1) n 1 n !.3n e n Theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi hội tụ 3n  2n  Bài 03.04.4.029.T008  n n 1 (3n  2)  Lời giải:Đặt U n  3n  2n  3n , Chọn hàm Vn  n n (3n  2) 3n  2n  n VCL U Xét giới hạn: lim n  lim (3n  2)   n  V n  3n n 2n Mặt khác: lim n   chuỗi có tính chất bn 1 3(n  1).2n  lim n 1    chuỗi bn n 3n  3n 2 n 1 n chuỗi hội tự theo tiêu chuẩn D’Alembert , nên theo tính chất bắc cầu chuỗi ban đầu hội tụ Lời giải: Đặt U n  Sin n n3 Do hàm Sinu hàm biến thiên tuần hồn trong(-1,1) nên ta khơng thể xác định chuỗi dương hay âm Vậy ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối: Un  Sin n n  n n   Mà chuỗi   n 1 n3 mội chuỗi hội tụ nên chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối Tiêu chuẩn Leibnitz:  Tiêu chuẩn Leibnitz sử dụng cho chuỗi có dạng  (1) a n n 0 n - chuỗi đan dấu Nếu ta có đủ hai tính chất sau hàm an chuỗi lúc hội tụ an hàm giảm – để chứng minh an hàm giảm chứng minh an'  0n   an   Giới hạn an n   tiến dần tới ‘’ 0’’ hay: lim n  ( 1) n 1 Bài 03.04.02.092.T011  n 1 n   Lời giải: Nhận xét: chuỗi đan dấu có: 2  an'   0n   Đây hàm giảm 2n  (2n  1) - an  - lim an  lim n  0 n  2n   Từ đó, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Mặt khác, chuỗi n 1 dạng giống chuỗi điều hòa, chuỗi phân kì Chuỗi vừa phân kì, vừa hội tụ chuỗi bán hội tụ  2n    Sin  (2  Bài 03.04.01.093.T011 n 1 3) n  Lời giải: Đặt U n  Sin  (2  3)n  Ta xét khai triển nhị thức Niu Ton sau: n (2  3)  (2  3)   C n n k n k 0 nk n ( 3)   C k k 0 k n n k n (  3)   Cnk 2n k ( 3) k  (  3) k  k 0 k =0 k lẻ = m  N k chẵn  U n  Sin  m   (2  3) n   Sin m Cos  (2  3) n   Cos m Sin  (2  3) n          (1) m Sin   (1) m 1 Sin  n  n   (2  3)   (2  3)  Ta có: U n  (1) p  m 1   n   Sin  ~  Vn n  VCB (2  3) n  (2  3)   ( ta coi 2  Mà chuỗi V n 1 n có  số nên khơng ảnh hưởng đến tính hội tụ  hay phân kì chuỗi ), chuỗi V n 1 n hội tụ chuỗi ban đầu hội tụ theo hội tụ tuyệt đối Tuy ví dụ nêu phần trước, ví dụ điển hình cho chuỗi khơng xác định dấu ( 1) n 1 Bài 03.04.02.094.T012  n n 1  Lời giải: Đây chuỗi đan dấu có - an  1  an'   0n   Đây hàm giảm n n an  lim - lim n  n   - 0 n chuỗi phân kì n  n 1 Theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi chuỗi bán hội tụ Bài 03.04.02.095.T011  (1)n1 n 1  2n  1  Lời giải: Đây chuỗi đan dấu có - an   2n  1  an'  2  2n  1  0n   Đây hàm giảm lim a  lim 0 - n  n n  (2n  1)3  -  n 1  2n  1 chuỗi hội tụ Theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối (1) n 1 n  n 1 6n   Bài 03.04.02.096.T011 Lời giải:  n Ta xét giới hạn sau đây: n 1 6n  Đây chuỗi đan dấu có an   n n  lim   Giới hạn hàm không tiến đến n  6n  VCL n  n lim an  lim n  ( 1) n 1 n Do đó: khơng nlim ( n-1 số chẵn giới hạn tiến tới 1/6,  6n  n-1 số lẻ giới hạn tiến tới -1/6  Giới hạn tiến theo hướng khác nên khơng tòn giới hạn) Vậy chuỗi ban đầu phân kì  Bài 03.04.02.097.T013   1 n 1 n 1 3.5.7 (2n  1) 2.5.8 (3n  1) Lời giải: Đây chuỗi đam dấu có: U n   1 n 1 3.5.7 (2n  1) 2.5.8 (3n  1) Xét giới hạn sau : lim n  U n1 Un 3.5.7 (2n  3) 2.5.8 (3n  1) (2n  2)(2n  3)   lim  1 n  2.5.8 (3n  2) 3.5.7 (2n  1) n 3n(3n  1)(3n  2)  lim Như theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi hội tụ Mà chuỗi ban đầu chuỗi đan dấu nên chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối  Bài 03.04.02.098.T013   1 n 1 n 1 1.4.7 (3n  2) 7.9.11 (2n  5) Lời giải: Đây chuỗi đam dấu có: U n   1 n 1 1.4.7 (3n  2) 7.9.11 (2n  5) Xét giới hạn sau : lim U n1 n  1.4.7 (3n  1) 7.9.11 (2n  5) 3n(3n  1)(3n  1)(3n  2)(2n  5)   lim n  7.9.11 (2n  7) 1.4.7 (3n  2) n (2n  6)(2n  5)(2n  7)(3n  2)  lim Un    Do theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi chuỗi phân kì    1 Bài 03.04.02.098.T013 n 1 Tan n 1 n n Lời giải: Đây chuỗi đan dấu có: U n  (1) n 1 Tan n n Xét chuỗi Vn  (1) n 1 n n Xét giới hạn sau: lim n  Un Vn (1) n 1 Tan  lim n  n n  1 VCB n 1 (1) n n Hai chuỗi có tính chất hội tụ phân kì , mà chuỗi Vn chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nên chuỗi cho hội tụ hội tụ tuyệt đối  Bài 03.04.02.099.T013   1 n 1 n 1 2n n! 2n Lời giải: Đây chuỗi đan dấu có an  n! an 1 2 n 1 n! 22 n 1 L 22 n 1 ln  lim  n2  lim  lim    Xét giới hạn sau đây: lim n  a n  (n  1)! n  n  n  n Do chuỗi ban đầu phân kì  Bài 03.04.02.100.T013   1 n n 2n  n 1 n Lời giải: Đây chuỗi đan dấu có an  n Ta xét giới hạn hàm trên: lim n  Do khơng nlim  giới hạn tiến tới (1) n n 2n  2n  2n   lim n  2 n2  0 với n chẵn giới hạn tiến tới với n lẻ 1 Mà không tồn giới hạn điểm mà tiến tới kết khác nhau, chuỗi ban đầu phân kì  n 1  Bài 03.04.02.101.T013   1   n2 n 1  n n  n 1  Lời giải: Đây chuỗi đan dấu, đặt an     n2 n  n 1    Do giới hạn nên ta không n2 n a  lim Xét giới hạn sau: lim n  n  n  có kết luận  n 1    n lim n ln  lim n ln 1 lim    n 1  n n  n2   n2  lim  e  e  en n  e1  Ta xét trực tiếp giới hạn n   VCB n2 n  n 1  1 1)  e Như khơng  lim( với n chẵn giới hạn tiến dần tới  n  n2 n n 1 với n lẻ giới hạn tiến dần tới e Không tồn giơi hạn tiến đến điểm khác trục số nên giới hạn chuỗi khong tồn Do chuỗi phân kì  Bài 03.04.02.101.T013   1 n 1 n 1 ln n 1 n Lời giải: Đây chuỗi đan dấu , đặt an  ln Xét hàm  lim n  n 1 n Ta có giới hạn sau: n2 an  lim n  ln 1  n 1 ln    n  n  lim  lim n  VCB n  1 n2 n2 n2   n2 Hai chuỗi có tính chất hội tụ hay phân kì Mà chuỗi ứng với hàm hội tụ nên chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối  Bài 03.04.02.102.T013   1 n 1 n 1 ln n n Lời giải: Đây chuỗi đan dấu có ln n  ln n  an'   0n   Đây hàm giảm n n2 - an  - lim an  lim n  ln n 0 n  n  ln n -  chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân n 1 n Như chuỗi bán hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz  Bài 03.04.02.103.T013  n 1 (n  1)Sin(2n ) n  2n  , R Lời giải: Đặt U n  (n  1)Sin(2n ) n  2n  Nhận xét: n   hàm Sin(2n ) biến thiên tuần hồn (-1,1) khơng xác định dấu nên ta xét hàm theo dấu giá trị tuyệt đối: Un  (n  1)Sin(2n ) n  2n   n 1 n  2n   n 1 n7  Mà chuỗi  n 1 n 1 n7  chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân, chuỗi U n 1 n hội tụ Vậy chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối (1) n Bài 03.04.02.104.T013  n 1 n  ln n  Lời giải: Đây chuỗi đan dấu có: - n ' n an   an   0n   Đây hàm giảm n  ln n  n  ln n  lim a  lim 0 - n  n n n  ln n   1    chuỗi phân kì nên chuỗi xét phân kì n 1 n  ln n n 1 n Như chuỗi ban đầu bán hội tụ  Bài 03.04.02.105.T013  (1) n 1 n 1  ln n  ln 1   n   Lời giải: Do n    ln n  ln 1   n   ln n  Từ ta sử dụng hệ thsch VCB ta n ln n Ta xét chuỗi n   (1)n1 n 1 ln n ln n có phận an  n n ln n  ln n  an'   0n   Đây hàm giảm n n2 - an  - lim an  lim n  ln n 0 n  n  ln n -  chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân n 1 n Vậy chuỗi ban đầu bán hội tụ  ln n  n 1 (  1) ln 1   Bài 03.04.02.106.T013  n n 1    Lời giải: Do n    ln n  ln    n   ln n  Từ ta sử dụng hệ thsch VCB ta n ln n Ta xét chuỗi n   (1) n 1 n 1 ln n ln n có phận an  n n - Đây hàm giảm an  lim - lim n  n  ln n 0 n  - ln n n chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân n 1  Vậy chuỗi ban đầu bán hội tụ  Bài 03.04.02.107.T013  (1) n 1 n 1 n           n   n   (1  n ) n  n n  Lời giải: Xét phận an   1    1  , chuỗi đan dấu 2n n n     có - an hàm giảm (1  n ) n  n n n2n  n2n an  lim  lim 0 - lim n  n  VCL n  n2n n2n Theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi ban đầu hội tụ Bài 03.04.02.108.T013 n   1      1  n       (1) n 1 n 1 n   (1  n4 ) n2  n4 n2  Lời giải: Xét phận an   1    1  , chuỗi đan n2 n   n   dấu có - an hàm giảm (1  n ) n  n n - lim an  lim n  n  n n2 n4n  n4n  lim VCL n  Theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi ban đầu hội tụ nn2 (  1)   Bài 03.04.02.108.T013   n  n 1  n2 n n2 0 n2 n2  2 Lời giải: Xét phận an     1    n   n n2  n2 Ta có giới hạn sau: 2 lim n ln 1  lim n lim n  2 n  n lim an  lim 1    e  e n n  e n    n  n  VCB  n  2 1) n 1   Như không  lim( n   n n2 n số chẵn ới hạn tiến dần đến  , mà n số lẻ giới hạn tiến dần đến   Khơng thể tồn giới hạn điểm mà tiến tới điểm khác Do chuỗi phân kì  Bài 03.04.02.109.T013  (1) n 1 n Lời giải: Xét U n  ( 1) lim n  U n1 Un n 1.3.5 (2n  1) 3.5.8 (3n  1) 1.3.5 (2n  1) , có giới hạn sau đây: 3.5.8 (3n  1) 1.3.5 (2n  1) 3.5.8 (3n  1) 2n(2n  1)   lim  1 n  3.5.8 (3n  2) 1.3.5 (2n  1) n  3n(3n  1)(3n  2)  lim Chuỗi mang dấu trị tuyệt đối hội tụ nên chuỗi ban đầu mang tính chất hội tụ tuyệt đối ( 1) n  Bài 03.04.04.110.CĐ002  n 1 n  ln n  (1) n  (1) n    Vn Lời giải: Xét U n  n  ln n n Xét chuỗi sau:  (1) n   1 1 1 1 1    Vn                          n n  2 3 4 5    n 1 n 1    (Tổng số n chẵn , tổng tiến dần vô hạn ) Như chuỗi có tổng tiến vơ hạn nên theo định nghĩa chuỗi chuỗi phân kì Do chuỗi ban đầu chuỗi phân kì  Sin   Bài 03.04.04.111.CĐ002 n 1  n2  a , a  R  Ta xét khai triển sau đây: U  Sin  n  a   Sin  n  a  n  n   Sin  n  a     Sin  n  a  n  Cos n  Sin n Cos  n  a  n    1 Sin   n  a  n    Cos  n  a  n     Lời giải: Đặt U n  Sin  n  a 2 2 2 n 2 n 2 2 2    a2  (1) Sin   2  n a n     a2  a2 n n  (1) Khi n   U n  (1) Sin  2 VCB n2  a  n2  n a n  n  a2  chuỗi  (1) Xét an  n n a n n 1 n2  a  n2 2 a   n 1 (1) n n2  a  n2 có phận - an hàm giảm an  lim - lim n  n   -  n 1 n a n 2 0 n2  a  n chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II  Do theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi  n 1 (1)n n2  a  n2 chuỗi đan dấu hội tụ tuyệt đối Mà chuỗi chuỗi tương đương chuỗi ban đầu nên chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối  Bài 03.04.04.112.CĐ002  n 3 (1)n  2Cos na n(ln n) ,aR   n   a   Lời giải: Đặt U n  (1)n  Cos na n(ln n) Qua trực quan, ta thấychuỗi có tử gồm tổng hai thành phần, thành phần phận xen dấu , phận làm chuỗi biến thiên dương âm Do hàm không xác định dấu ( dạng chuỗi giống Leibnitz ) Ta tách thành chuỗi riêng biệt: Un  (1)n  2Cos na n(ln n)  n 3 n(ln n) n(ln n) - an  n(ln n) -  n 3 3  2Cos na n(ln n)  U1n  U n chuỗi đan dấu có : hàm giảm an  lim - lim n  n    (1)n   Xét chuỗi (1)n n(ln n) 0 n(ln n) chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân  Vậy chuỗi U n 3 1n chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi hội tụ tuyệt đối    Xét chuỗi a2 n  Cos na n 3 n(ln n ) 2Cos na n(ln n) 3 có a2 n  2  n(ln n)  tương ứng với chuỗi là:   2  x(ln x) 3 dx   d (ln x) (ln x) n(ln n) Ta có:  Vn n   Xét tiếp chuỗi  x(ln x) 2Cos na   n 3 n(ln n) - tích phân dx  ln x     Tích phân hội tụ ln  Chuỗi ứng với tích phân hội tụ theo   Chuỗi U n 3 2n chuỗi hội tụ tuyệt đối Tổng hai chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi hội tụ tuyệt đối nên chuỗi ban đầu chuỗi hội tụ tuyệt đối ... p  1n   có trường hợp chuỗi hội tụ Mà tập p    Do chuỗi ban đầu phân kì theo tính chất chuỗi số  Bài 03.04.38.079.A711 Xét hội tụ tính tổng chuỗi số:   Cos1 n n 1 Lời giải:  Xét... thấy n     ln  Do chắn n n 0 chuỗi âm Ta có tính chất: ta nhân số số vào chuỗi tính chất chuỗi khơng đổi.- Dựa vào tính chất đó, ta nhân chuỗi với (-1) .Chuỗi trở thành: 1 ln     ln... Ta có hai trường hợp cần xét sau: Th1: a   b   chuỗi phân kì Th2: a   b   chuỗi hội tụ  Bài 03.04.5.066.A711 n Lời giải: Ta xét: U n  có a  >1 nên chuỗi hội tụ theo định nghĩa chuỗi