www.thuvienhoclieu.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số lim x → x0 y = f ( x) f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 Kí hiệu: f ′ ( x0 ) ( a; b ) xác định x0 ∈ ( a; b ) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) giới hạn gọi đạo hàm hàm số y′ ( x0 ) f ′ ( x0 ) = lim x → x0 Vậy f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 y = f ( x) điểm x0 STUDY TIP Nếu ∆x = x − x0  ∆x ∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) gọi số gia đối số điểm x0 ∆y ∆x → ∆x f ′ ( x0 ) = lim ∆y  gọi số gia hàm số tương ứng Đạo hàm bên trái, bên phải a) Đạo hàm bên trái f ′ ( x0− ) = lim− x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) ∆y = lim− ∆ x → x − x0 ∆x x → x0− hiểu x → x0 x < x0 b) Đạo hàm bên phải f ′ ( x0+ ) = lim+ x → x0 f ( x ) − f ( x0 ) ∆y = lim+ ∆x → ∆x x − x0 Nhận xét: Hàm số Khi f ( x) x → x0+ có đạo hàm điểm f ′ ( x0+ ) = f ′ ( x0− ) = f ′ ( x0 ) hiểu + x0 ⇔ f ′ ( x0 ) x → x0 f ′ ( x0− ) x > x0 tồn Đạo hàm khoảng, đoạn y = f ( x) a) Hàm số gọi có đạo hàm khoảng điểm khoảng www.thuvienhoclieu.com ( a; b ) có đạo hàm Trang b) Hàm số khoảng y = f ( x) ( a; b ) www.thuvienhoclieu.com gọi có đạo hàm đoạn có đạo hàm phải a [ a; b] đạo hàm trái có đạo hàm b Quan hệ tồn đạo hàm tính liện tục hàm số - Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm STUDY TIP  Hàm số liên tục điểm x0 khơng có đạo hàm điểm x0  Hàm số khơng liên tục khơng có đạo hàm điểm B CÁC DẠNG TỐN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Tính đạo hàm hàm số y = f ( x) điểm x0 định nghĩa Cách 1: lim x → x0 - Tính f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 (1) Nếu tồn giới hạn (1) hàm số có đạo hàm x0 số khơng có đạo hàm Cách 2: Tính theo số gia - ∆x - Hàm số - Hàm số - y = f ( x) y = f ( x) ngược lại hàm ∆x = x − x0 ⇒ ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) số gia : ∆y ∆x Lập tỉ số ∆y lim ∆x →0 ∆x Tính giới hạn Mối quan hệ tính liên tục vào đạo hàm - Cho x0 x0 liên tục điểm f ( x ) = f ( x0 ) ⇔ lim = x0 ⇔ xlim → x0 ∆x →0 x0 ⇒ y = f ( x ) x0 có đạo hàm điểm liên tục điểm y = f ( x) x0 x0 Hàm số liên tục điểm chưa có đạo hàm điểm www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Ví dụ Cho hàm số A f ( x) = x +1 x0 = Tính đạo hàm hàm số điểm 2 2 B C D Lời giải Đáp án A lim Cách 1: Xét x →1 = lim x →1 f ( x ) − f ( 1) x +1 − = lim x →1 x −1 x −1 ( x − 1) ( x −1 ) x + + = lim x →1 1 = = x +1 + 2 Cách 2: ∆y = f ( ∆x + 1) − f ( 1) = ∆x + − ∆y = ∆x lim ∆x → ∆x + − ∆x ∆y ∆x + − = lim = lim ∆ x → ∆x → ∆x ∆x ∆x ( ∆x + ∆x + ) = lim ∆x → = + ∆x + STUDY TIP a− b= Nhân lượng liên hợp: a −b a+ b a −b = a − b2 a +b Giải theo cách tỏ đơn giản nhanh cách f ( x ) = x2 + 5x − x0 = Ví dụ Khi tính đạo hàm hàm số điểm , học sinh tính theo bước sau: f ( x ) − f ( ) = f ( x ) − 11 Bước 1: f ( x ) − f ( ) x + x − − 11 ( x − ) ( x + ) = = = x+7 x−2 x−2 x−2 Bước 2: f ( x ) − f ( 2) lim = lim ( x + ) = f ′ ( 2) = x →2 x →2 x−2 Bước 3: Vậy Tính tốn sai sai bước A Bước B Bước C Bước D Tính tốn Lời giải Học sinh tính đạo hàm định nghĩa theo cách bước STUDY TIP www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Phương trình bậc hai Ví dụ Số gia hàm số A ( ∆x ) ax + bx + c = f ( x ) = x2 − ∆x − B ( ∆x ) có hai nghiệm ∆x ứng với số gia + 2∆x + C ( ∆x ) x1 , x2 ⇔ a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = x đối số + 2∆x x0 = −1 D ( ∆x ) là: − 2∆ x Lời giải Đáp án D Với số gia ∆x đối số f ( x ) = x2 − x Ví dụ Cho hàm số x x0 lim A ∆x → là: ( ( ∆x ) x − x0 ∆x − ∆x ) điểm x0 = −1 C , ta có: , đạo hàm hàm số ứng với số gia ∆x đối số lim ( ∆x + x0 − 1) B lim ( ∆x + x0 + 1) ∆x → ∆y = ( −1 + ∆x ) − = ( ∆x ) − 2∆x ∆x → ( lim ( ∆x ) + x0 ∆x + ∆x D ∆x → ) Lời giải Đáp án B ∆y = ( x0 + ∆x ) − ( x0 + ∆x ) − ( x02 − x0 ) = ( ∆x ) + x0 ∆x − ∆x Ta có: ∆y = lim ( ∆x + x0 − 1) ∆x → ∆x ∆x → ⇒ f ′ ( x0 ) = lim Ví dụ Cho hàm số sai y = f ( x) f ′ ( x0 ) = lim x → x0 A f ′ ( x0 ) = lim C h→0 có đao hàm điểm f ( x ) − f ( x0 ) x − x0 f ′ ( x0 ) f ′ ( x0 ) = lim B f ( x + h ) − f ( x0 ) h x0 D ∆x →0 Khẳng định sau f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆x f ( x + x0 ) − f ( x0 ) f ′ ( x0 ) = lim x → x0 x − x0 Lời giải Đáp án D - A theo định nghĩa ∆x = x − x0 x → x0 ⇒ ∆x → - B nên www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com h = ∆x = x − x0 ⇒ x = h + x0 h → x → x0 - C Đặt , f ( x ) − f ( x0 ) f ( x + h ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) f ′ ( x0 ) = lim = lim = lim x → x0 h → x − x0 h + x0 − x0 h →0 h - Vậy D sai Ví dụ Xét ba mệnh đề sau: f ( x) f ( x) x = x0 (1) Nếu hàm số có đạo hàm điểm liên tục điểm f ( x) f ( x) x = x0 (2) Nếu hàm số liên tục điểm có đạo hàm điểm f ( x) f ( x) x = x0 (3) Nếu hàm số gián đoạn điểm chắn khơng có đạo hàm điểm Trong ba mệnh trên: A (1) (3) B (2) C (1) (2) D (2) (3) Lời giải Đáp án A Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số liên tục ¡ f ( x) = x lim+ , ta có: x →0 f ( x ) − f ( 0) =1 x−0 x=0 hàm số khơng có đạo hàm có tập xác định lim− x →0 D=¡ nên hàm số f ( x ) − f ( 0) = −1 x−0 nên STUDY TIP - Khi x → 0+ ⇒ x > x =x nên − - Khi x→0 ⇒ x x ≤ f ′ ( 1) Khi B C kết sau f ′ ( 1) D không tồn Lời giải Đáp án D Ta có: f ( 1) = 12 = f ′ ( 1+ ) = lim+ x →1 Vì x −1 = lim x − x →1+ f ' ( 1+ ) ≠ f ' ( 1− ) 1 = x +1 nên hàm số f ′ ( 1− ) = lim− f ( x) x →1 x2 −1 = lim ( x + 1) = x − x →1+ không tồn đạo hàm www.thuvienhoclieu.com x0 = Trang www.thuvienhoclieu.com Ví dụ 10 Cho đồ thị hàm số y = f ( x) A Hàm số có đạo hàm C Hàm số có đạo hàm hình vẽ Mệnh đề sau sai x=0 x=2 B Hàm số có đạo hàm x =1 x=3 D Hàm số có đạo hàm Lời giải Đáp án B x =1 Tại đồ thị hàm số bị ngắt nên hàm số không liên tục Vậy hàm số x =1 khơng có đạo hàm STUDY TIP - Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng x0 x0 - Hàm số khơng liên tục điểm khơng có đạo hàm  x −1 x ≠  f ( x) =  x −1 a x = a  x =1 Ví dụ 11 Tìm để hàm số có đạo hàm điểm a= a = −2 a=2 a =1 A B C D Lời giải Đáp án B Để hàm số có đạo hàm lim x →1 x2 −1 = = f ( 1) = a x −1 Vậy a=2 x =1 Khi trước hết f ( x) phải liên tục x2 −1 −2 f ( x ) − f ( 1) x − f ′ ( 1) = lim = lim =1 x →1 x →1 x −1 x −1 x =1 STUDY TIP www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Hàm số f ( x) x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 liên tục  x2 − x ≥  f ( x ) =  x −1 ax + b x <  a, b Ví dụ 12 Tìm để hàm số a = −11  b = 11 A B a = −10  b = 10 x=0 có đạo hàm điểm a = −12  a = −1   b = 12 b = C D Lời giải Đáp án D Trước tiên hàm số phải liên tục x=0 lim f ( x ) = = f (0), lim− f ( x) = b ⇒ b = x → 0+ x →0 lim+ Xét lim− x →0 x →0 f ( x) − f (0) x −1 = lim+ = −1 x →0 x + x f ( x) − f (0) = lim− a = a x →0 x Hàm số có đạo hàm x = ⇔ a = −1 STUDY TIP x0 ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x) = f ( x0 ) f ( x) Hàm số x → x0 liên tục x → x0 ax + bx + x ≥ f ( x) =  a s in x + b cos x x < a, b Ví dụ 13 Tìm để hàm số a = 1; b = a = −1; b = A B có đạo hàm điểm a = −1; b = −1 a = 0; b = C D Lời giải Đáp án A f (0) = Ta có: lim+ f ( x ) = lim+ (ax + bx + 1) = x →0 x →0 lim f ( x) = lim− (a s in x + b cos x) = b x → 0− x →0 Để hàm số liên tục b =1 www.thuvienhoclieu.com Trang x0 = www.thuvienhoclieu.com f ′(0+ ) = lim+ x →0 ax + x + − =1 x x x x 2a sin cos − 2sin a s inx + b cos x − 2 f ′(0− ) = lim− = lim− x →0 x →0 x x x x sin sin x lim  a cos x  − lim = lim− sin = a ÷ x →0− x xlim − x →0 x x →0−  → 2 2 Để tồn f ′(0) ⇒ f ′(0+ ) = f ′(0− ) ⇔ a = STUDY TIP s inx s inf(x) lim = ⇒ lim =1 x →0 f ( x ) →0 f ( x ) x Giới hạn lượng giác f ( x ) = x( x − 1)( x − 2) ( x − 1000) f ′(0) Ví dụ 14 Cho hàm số Tính 10000! 1000! 1100! 1110! A B C D Lời giải Đáp án B f ( x ) − f (0) x ( x − 1)( x − 2) ( x − 1000) − f ′( x ) = lim = lim = lim( x − 1)( x − 2) ( x − 1000) x →0 x →0 x →0 x−0 x = (−1)(−2) (−1000) = 1000! Hoán vị n phần tử: STUDY TIP Pn = n ! = 1.2 ( n − 1)n C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Câu Câu Câu f ( x) = x3 x0 = ∆x = Số gia hàm số ứng với bao nhiêu? −19 19 −7 A B C D ∆y f ( x ) = x ( x − 1) ∆x x ∆x Tỉ số hàm số theo là: x + 2(∆x) − x + 2∆x + A B x.∆x + 2( ∆x) + 2∆x x + ∆x − C D f ( x) = x − x + ∆x x Số gia hàm số ứng với là: ∆x(∆x + x − 4) ∆x(2 x − 4∆x) 2x + ∆x x − 4∆x A B C D  x2 + − x ≠  f ( x) =  x 0 f ( x) f ′(0) x =  Cho hàm số xác định: Giá trị bằng: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com A − B C −2 D Không tồn  x − x + 3x x ≠  f ( x) =  x − 3x + 0 ¡ \ { 2} f ( x) x =  Cho hàm số xác định Giá trị f ′(1) bằng: A B C D Không tồn Xét hai mệnh đề: x0 x0 ( I ) f ( x) f ( x) có đạo hàm liên tục x0 x0 ( II ) f ( x) f ( x) có liên tục đạo hàm Mệnh đề đúng? (I ) ( II ) A Chỉ B Chỉ C Cả hai sai D Cả hai y = f ( x) Cho đồ thị hàm số hình vẽ: Câu Câu Câu Câu Hàm số khơng có đạo hàm điểm sau đây? x=0 x=2 x =1 x=3 A B C D  x3 − x + x + − x ≠  f ( x) =  x −1 0 f ′(1) x =  Cho hàm số Giá trị bằng: 1 1 A B C D www.thuvienhoclieu.com Trang 10 1000 S = 1.2999 C1000 + 2.2998 C1000 + + 1000.20 C1000 Câu 32 Tính tổng: 1000.2999 A Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 1000.3999 1000 B 999.3 999.3999 C D n 1.Cn + 2.Cn + 3.Cn + + n.Cn = 11264 n Tìm số nguyên dương thỏa mãn: n=9 n = 10 n = 11 n = 12 A B C D 2 2 2000 S = C2000 + C2000 + C2000 + + 2000 C2000 1998 1999 2000.2001.2 1999.2000.2 2000.2001.21999 2000.2001.22000 A B C D 198 200 S = 2.1.3 C200 − 3.2.3 C200 + 4.3.3 C200 − + 200.199.3 C200 Tính tổng: 199 200 198 200.199.2 199.198.2 200.199.2 199.198.2199 A B C D n −1 n 1.Cn + 2.Cn + 3.Cn + + n.Cn + ( n + 1) Cn ≤ 1024 ( n + ) n Tìm số tự nhiên thỏa mãn: n ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10;11} n ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10} A B n ∈ { 0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9} n ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8} C D 99 100 S = 2.2 C100 + 4.2 C100 + 6.2 C100 + + 100.2 C100 Tính tổng: 99 98 99 50 ( + 1) 100 ( + 1) 200 ( + 1) 25 ( 3200 + 1) A B C D Đẳng thức sau đúng? n 1 2 3 n n 3 C + C + C + + C = n − ( ) n n n n  ÷ 20 21 22 2n −1 2 A n n −1 n−2 n −1 n.3 Cn + ( n − 1) Cn + ( n − ) Cn + + 1.3 Cn = ( n + 1) 4n −1 B 2n n −1 2.C2 n +1 + 4.C2 n +1 + 6.C2 n +1 + + n.C2 n +1 = ( 2n + 1) C n −1 n +1 1.C2 n + 3.C2 n + 5.C2 n + + ( 2n − 1) C2 n = 2n.2 D D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT DẠNG 1: VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Câu Đáp án D dy = 3.12,.0,01 = 0, 03 Câu Đáp án A y′ = Câu Ta có: Đáp án C ( − 2x ) ⇒ y′ ( 3) = 1 ⇒ dy = dx 7 π dx  x = sin y  < y < ÷⇒ dx = cos ydy ⇒ = cos y 2 dy  Câu Ta có: Đáp án C dy 1 = = dx cos y − x2 y′ = cos 3x ( −3sin 3x ) = −3sin 6x ⇒ dy = −3sin xdx Câu Đáp án C x y + y = ⇒ d ( x y ) + d ( y ) = ⇔ xydx + x dy + y dy = dy 2dx + dy + 3dy = ⇒ 4dy = −2dx ⇒ = − = y ′ ( 1) dx Câu Câu Đáp án C y′ = cosx cos ( sin x ) ⇒ dy = cos x.cos ( sin x ) dx Đáp án B y′ = Câu Câu ( x cos x ) ( x cos x − sin x ) − ( x sin x + cos x ) ( − x sin x ) = x2 2 ( x cos x − sin x ) ( x cos x − sin x ) Đáp án C ∆x = dx = 0, 01; x0 = ⇒ y0 = Chọn dy = 2.0, 01 = 0, 02 ⇒ ∆y − dy = 0, 0001 Câu 10 Đáp án C cos y = sin x ⇒ − sin ydy = sin xdx (vì Câu 11 Đáp án A ( −4 x − ) ( x + x + 1) ( sin y > ) ( − sin ) + x +1 ) ) Lưu ý: sử dụng MTCT tính đạo hàm điểm ta kết A Câu 12 Đáp án A dx y′ = , dy = ⇒ − xdy − dx = 1− x 1− x Ta có: π − sin − −2 x − x x + x + ( x + 1) (x dy ⇒ = y′ = dx dy sin x sin x = = dx − sin y − − cos y y′ = ta có: Ta có : Đáp án A u = x2 ⇒ y = f ( u ) Đặt f ′ ( x ) = x2 −1 ⇒ f ′ ( u ) = u − Từ dy dy du du ⇒ = = f ′( u) = ( u − 1) x = x ( x − 1) dx du dx dx ⇒ điểm ( 1;1) x=0 = =− π ( ( 2x + 1) x + x − (x ) + x +1 thử lại x=0 ) vào Đáp án DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Câu 13 Đáp án C y = x , y ′ = 3x , y ′′ = x Câu 14 Đáp án B π  y′ = − sin x, y′′ = −2 cos x ⇒ y ( 3) = 4sin x ⇒ y ( 3)  ÷ = 3 Câu 15 Đáp án C y′ = x x +1 x.x x2 + − , y′′ = x +1 x2 + = Ta có: ⇒ y y′ = x y y ′′ = x2 + nên Câu 16 Đáp án B y′ = Ta có −7 x + 10 x − 31 (x − 2x − ) ⇒ y′′ = ( I) ( (x ( II ) ) +1 sai 7x − 15 x + 93 x − 77 (x − 2x − ) ) x=0 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 y′ Kết luận: Ta sử dụng MTCT tính đạo hàm điểm thử với Đáp án ta kết Đáp án D y′ = sin x, y′′ = cos x, y′′′ = −4sin x ⇒ y ( 4) ( x ) = −8cos x Ta có: Đáp án D nπ   ( 2016 ) cos( n ) ( x ) = cos  x + ( x ) = cos ( x + 1008π ) = cos x ÷⇒ y   Áp dụng Đáp án C n n n n −1) n ! (   ( −1) a n ! ( n) y =  ÷ = n +1 n +1  ax + b  ( ax + b ) ( x − 1) Áp dụng ta được: Đáp án D tan x cot x y′ = tan x − cot x + cos x − sin x ⇒ y ′′ = + − sin x − cos x cos x sin x Đáp án B y′ = cos x, y′′ = −4 sin x ⇒ y + y′′ = Câu 22 Đáp án A y′ = −2sin x, y′′ = −8cos x, y′′′ = 32sin x ⇒ y′′′ + y′′ + 16 y′ + 16 y − = Câu 23 Đáp án B Áp dụng n nπ    cos ( ax + b )  = a n cos  ax + b + ÷   π   ⇒ f ( 4) ( x ) = 16.cos  x − + 2π ÷ ⇒ f ( ) ( x ) = −8   x=0 vào π  x = + kπ  π  ⇔ cos  2x − ÷ = − ⇔  ( k ∈¢) 3   x = −π + kπ  π 5π x ∈ [ 0; π ] ⇒ x = , x = Với Câu 24 Đáp án D f ′ ( x ) = 15 ( x + 1) + 4, f ′′ ( x ) = 30 ( x + 1) ⇒ f ′′ ( x ) = ⇔ x = −1 Câu 25 Đáp án C y = 2x − − 1 −2 2.3 −2.3.4 −24 ⇒ y′ = + , y′′ = , y′′′ = , y ( 4) = = 5 x −1 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) Câu 26 Đáp án D y ′ = sin x + x cos x, y ′′ = cos x − x sin x ⇒ y ′′ + y = cos x Ta có: Câu 27 Đáp án A γ ( t ) = s′′ ( t ) = 40 − 48t Ta có : γ ( t ) = ⇔ t = ⇒ v ( t ) = s′ ( t ) = 40 − 24t Gia tốc: 5   50 v  ÷ = 40 − 24  ÷ = ( m / s ) 6 6 Câu 28 Đáp án D v ( t ) = s′ ( t ) = −3t + 18t + = −3 ( t − 6t + ) + 28 = 28 − ( t − 3) ≥ 28 t = 3s Vậy vận tốc đạt giá trị lớn Câu 29 Đáp án B s′ ( t ) = 3t − 4t + 4, s′′ ( t ) = 6t − γ ( ) = s′′ ( ) = ( m / s ) Vậy gia tốc Câu 30 Đáp án A s′ ( t ) = 3t − 6t , s ′′ ( t ) = 6t − ⇒ s ′′ ( ) = 18 ( m / s ) Cnk DẠNG 3: DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN TỔ HỢP Câu 28 Đáp án A n ( + x ) = Cn0 + Cn1 x1 + Cn2 x + + Cnn x n ( *) Từ nhị thức lấy đạo hàm hai vế: n −1 2 n −1 n n ( + x ) = Cn + xCn + 3x Cn + + nx Cn ( **) n −1 S = Cn − 2Cn + 3Cn − − ( −1) Cnn = x = −1 Thay ta Câu 29 Đáp án C ( 1+ x) n Xét khai triển nhị thức Lấy n −1 2 n −1 n n ( + x ) = Cn + xCn + 3x Cn + + nx Cn Cho x=2 ta đạo hàm bậc hai vế ta đạo hàm bậc hai vế ta S = n3n −1 S = 1000.3999 n = 1000 Với ta Câu 30 Đáp án C ( 1+ x) n Xét khai triển nhị thức Lấy n −1 2 n −1 n n ( + x ) = Cn + xCn + 3x Cn + + nx Cn 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn = n.2 n −1 = 11264 ⇒ n = 11 x =1 Cho ta Câu 31 Đáp án A n S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + + n 2Cnn = 1( − 1) Cn + ( − 1) Cn + + n ( n + − 1) Cn Xét = 1.2.Cn1 + 2.3Cn2 + 3.4Cn3 + + n ( n + 1) Cnn  − 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn  = A− B Từ câu B = n 2n −1 x ( + x ) = x.Cn0 + x Cn1 + x Cn2 + + x n +1.Cnn n Xét khai triển ( 1+ x) n + nx ( + x ) n −1 = Cn0 + x.Cn1 + 3x Cn2 + + ( n + 1) x n Cnn Lấy đạo hàm hai vế: Tiếp tục lấy đạo hàm ta có: n −1 n −1 n −2 n ( + x ) + n ( + x ) + n ( n − 1) x ( + x ) = 1.2.Cn1 + 2.3x1.Cn2 + + n ( n + 1) x n −1.Cnn Cho x = ⇒ A = 2n.2n −1 + n ( n − 1) 2n − ⇒ S = n ( n + 1) 2n − n = 2000 ⇒ S = 2000.2001.21998 Với Câu 32 Đáp án C Từ khai triển S = 200.199.2198 ( 1− x) 200 lấy đạo hàm đến cấp hai vế, sau thay x=3 ta Câu 33 Đáp án A 1.Cn0 + 2.Cn1 + 3.Cn2 + + ( n + 1) Cnn = ( n + ) 2n −1 Từ ví dụ - Dạng Phần lý thuyết ta có: n −1 n −1 10 ⇒ ( n + ) ≤ 1024 ( n + ) ⇔ ≤ 1024 = ⇔ n ≤ 11, n ∈ ¥ Theo u cầu tốn Vậy chọn A Câu 34 Đáp án A 100 ( 1+ x) Khai triển lấy đạo hàm cấp 100 ( 1− x) Khai triển lấy đạo hàm cấp x=2 S = 50 ( 399 + 1) Cộng vế với vế thay ta Câu 35 Đáp án C n +1 ( 1+ x) Cách 1: Khai triển lấy đạo hàm cấp n +1 ( 1− x) Khai triển lấy đạo hàm cấp x =1 Cộng vế với vế thay ta kết đáp án C n = 1, Cách 2: Thử với đáp án ta kết đáp án C ϕ ∆ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ x0 A LÝ THUYẾT x Tiếp tuyến đường cong phẳng y Định nghĩa: M 0M M 0T Nếu cát tuyến có vị(C) trí giới hạn Khi điểm M (C ) ∆ M x M di chuyển dần đến đường thẳng M 0T M0 (C ) gọi tiếp tuyến đường cong điểm M0 M ( x0 ; f ( x0 )) f(x0) Điểm gọi tiếp điểm Định lý: ( a; b ) y = f ( x) ( C) Cho hàm số xác định có đạo hàm f ( x) x đồ thị hàm số Đạo hàm hàm số điểm hệ số góc M 0T ( C ) M ( x0 ; f ( x0 )) tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến a Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ( C ) : y = f ( x) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm : y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 T x STUDY TIP k = f ′ ( x0 ) - Hệ số góc y = f ( x) x0 y0 - Nếu cho vào tìm y = f ( x) y0 x0 - Nếu cho vào giải phương trình tìm b Tiếp tuyến biết hệ số góc k = f ′ ( x0 ) ( *) k - Hệ số góc tiếp tuyến: y = f ( x) x0 ( *) Giải phương trình ta tìm hồnh độ tiếp điểm phương trình tìm tung độ y0 y = k ( x − x0 ) + y0 ( d ) - Khi phương trình tiếp tuyến: STUDY TIP d //∆: y = ax + b ⇒ k = a * Tiếp tuyến d ⊥ ∆: y = ax + b ⇒ k a = −1 * Tiếp tuyến k = tan α α d Ox * , với góc tia c Tiếp tuyến qua điểm M ( xM ; y M ) ( C) d d Lập phương trình tiếp tuyến với biết qua điểm Phương pháp: M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) - Gọi tiếp điểm M : y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ( d ) - Phương trình tiếp tuyến yM − y0 = f ′ ( x0 ) ( xM − x0 ) x0 d M - Vì đường thẳng qua nên Giải phương trình ta tìm suy y0 STUDY TIP M ( x0 ; y0 ) ( C) Điểm thuộc không thuộc đường cong B CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ( C) ( C) y = x + 3x + Ví dụ Cho hàm số có đồ thị Phương trình tiếp tuyến điểm M ( −1;3) là: y = −3x y = − x + y = −9 x + y = −9 x − A B C D Đáp án A Lời giải: D=¡ Tập xác định: y′ = x + x M ( −1;3) y = y′ ( −1) ( x + 1) + ⇔ y = −3 x Phương trình tiếp tuyến là: y= ( C) ( C) x −1 Ví dụ Cho hàm số có đồ thị Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 = −1 là: y = − x + y = x + y = x − y = − x − A B C D Đáp án D Lời giải: D = ¡ \ { 1} Tập xác định: y′ = − ; y ′ ( −1) = −1; y ( −1) = −2 ( x − 1) M ( −1; − ) - y = y′ ( −1) ( x + 1) − y ( −1) = − x − Phương trình tiếp tuyến là: STUDY TIP Học sinh nhận biết tốn viết phương trình tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) Cho x0 y0 Cho tìm y0 x0 Cho tìm - y = x + x2 − ( C ) Ví dụ Cho hàm số y = x − 6; y = −8 x − A y = x − 8; y = −8 x + C Đáp án A Tập xác định: y′ = x + x Phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ y = x − 6; y = −8 x + B y = 41x − 17 D y0 = là: Lời giải: D=¡ y0 = ⇔ x + x − = ⇒ x = −1; x = Phương trình tiếp tuyến M ( 1; ) : y = x − M ( −1; ) : y = −8 x − Phương trình tiếp tuyến STUDY TIP ax + bx + c = 0, ( a ≠ ) t = x2 , t ≥ Giải phương trình Đặt suy giải phương trình bậc hai a.t + bt + c = y= Ví dụ Tiếp tuyến đồ thị hàm số −7 A B Đáp án C 4x + x−2 điểm x0 = C −10 có hệ số góc bằng: D −3 Lời giải: D = ¡ \ { 2} Tập xác định: 10 y′ = − ; k = y′ ( −3 ) = −10 ( x − 2) y= x3 + 3x2 − Ví dụ Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −9 x − 11 y = −9 x − 27 A B Đáp án A k = −9 có hệ số góc có phương trình là: y = −9 x + 43 y = −9 x + 11 C D Lời giải: D=¡ Tập xác định: y′ = x + x k = −9 ⇔ y′ ( x0 ) = −9 ⇔ x0 = −3 ⇒ y0 = 16 M ( −3; 16 ) : y = −9 x − 11 Phương trình tiếp tuyến STUDY TIP Học sinh nhận biết loại tốn viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k : k = f ′ ( x0 ) y= Ví dụ Cho hàm số d : y = −4 x + A 2x + ( C) x −1 Phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng là: y = −4 x − 2; y = −4 x + 14 B y = −4 x + 2; y = −4 x + C Đáp án A Tập xác định: Gọi M ( x0 ; y0 ) D = ¡ \ { 1} D y′ = ⇒ y′ ( x0 ) = −4 ⇔ −4 = tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến y = −4 x + 12; y = −4 x + 14 Lời giải: −4 ( x − 1) y = −4 x + 21; y = −4 x + 14 M ( 0; − ) : y = −4 x − M ( 2;6 ) : y = −4 x + 14  x0 = ⇒ ( x − 1)  x0 = −4 Phương trình tiếp tuyến STUDY TIP Hai đường thẳng song song hệ số góc −1 Hai đường thẳng vng góc tích hai hệ số góc hai đường thẳng y = x3 − x + x ( C ) x1 , x2 ( C) M,N Ví dụ Cho hàm số Gọi hoành độ điểm mà x1 + x2 y = − x + 2017 tiếptuyến vng góc với đường thẳng Khi bằng: 3 3 A B C D Đáp án C Lời giải: D = ¡ y′ = x − x + Tập xác định: x1 + x2 Từ giả thiết suy nghiệm phương trình = x − x + ⇔ x − x + = ⇒ x1 + x2 = y= 2x +1 x −1 ( C) ( C) Ví dụ Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến quađiểm M ( −7;5) 3 29 3 y = − x+ ;y = − x+ y =− x− ;y =− x+ 4 16 16 16 16 A B 3 3 29 y =− x− ;y =− x+ y =− x− ;y =− x+ 4 16 16 4 16 16 C D Đáp án D D = ¡ \ { 1} y′ = Lời giải: −3 ( x − 1) Tập xác định: M ( x0 ; y0 ) M ( −7;5 ) Gọi tiếp điểm Do tiếp tuyến qua nên: x0 + −3 5= −7 − x0 ) + ⇒ x0 − x0 − = ⇒ x0 = −1; x0 = ( x − ( x0 − 1) Ta tìm hai phương trình tiếp tuyến là: STUDY TIP y =− x− 4 y=− 29 x+ 16 16 M ( x0 ; y0 ) Học sinh cần phân biệt loại tốn viết phương trình tiếp tuyến điểm M ( xM ; yM ) M ( xM ; y M ) viết phương trình tiếp tuyến qua điểm Dấu hiệu ban đầu điểm ( C) ( C) thuộc đường cong hay khơng thuộc đường cong y = x − − m ( x + 1) ( Cm ) ( Cm ) m Ví dụ Cho hàm số Có giá trị để tiếp tuyến tạo 8? với hai trục tọa độ tam giác có diện tích A B C D Đáp án D Lời giải: Oy : M ( 0;1 − m ) ( Cm ) giao với y′ = x − m, y ( ) = − m ( Cm ) M : y = −mx + − m Phương trình tiếp tuyến m=0 Ox Nếu tiếp tuyến song song với (loại) m ≠ A B Xét Gọi , giao điểm tiếp tuyến hai trục tọa độ 1− m  ⇒ A ;0 ÷; B ( 0;1 − m )  m  SOAB Ta có m = ± 1− m) ( 1 1− m ⇔ = 16 ⇔  = ⇔ OA.OB = ⇔ 1− m = m  m = −7 ± 2 m m Vậy có bốn giá trị thỏa mãn y = x − x + ( m − 1) x + 2m ( Cm ) m Ví dụ 10 Cho hàm số Tìm để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ ( Cm ) ∆ : y = 2x +1 đồ thị vng góc với đường thẳng 11 m= m= m = m = 11 A B C D Đáp án C Lời giải: y′ = x − x + m − 2 Ta có 2 7  y′ =  x − ÷ + m − ≥ m − 3 3  x= Tiếp tuyến điểm có hồnh độ có hệ số góc nhỏ hệ số góc có giá trị k =m− 7 11  2.k = −1 ⇔  m − ÷ = −1 ⇒ m = 3  Theo ra: C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG y= Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40 Câu 41 Câu 42 x −1 x +1 x0 = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ y = 2x + y = 2x − y = x−2 y = x+2 A B C D y0 = y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ 3 3 y = x+ y = x− y = x− y = x+ 4 2 2 A B C D f ( x) = sin x x ∈ [0; 2π ] Số tiếp tuyến đồ thị hàm số , song song với đường thẳng y = x+3 : A B C D 3 x0 = −1 y = x − x +1 Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hệ số góc : A B C D −1 2x − y= ( C) ( C) x −3 Cho hàm số có đồ thị Phương trình tiếp tuyến giao điểm với trục hoành là: y = 2x − y = 3x + y = −2 x + y = 2x A B C D y = x − 2x + Tiếp tuyến đồ thị hàm số vng góc với đường phân giác góc phần tư Oxy thứ hệ trục là: y = −x − y = −x + A 5 y = −x + + y = −x + − 9 3 B 18 − 18 + y = −x + + y = −x − + 9 3 C 18 − 18 + y = −x − − y = −x + − 9 3 D x −1 y= ( C) ( C) x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm với trục tọa độ : y = x −1 y = x −1 y = x +1 A B y = −x + y = x +1 C D y = x − 6x + Cho hàm số có tiếp tuyến song song trục hồnh Phương trình tiếp tuyến : y = −4 y=4 y =3 x = −3 A B C D y = 2− Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50 Câu 51 x Cho hàm số có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến với (C) vng góc với đường y = −x + thẳng là: y= x+4 y = x−2 y = x+4 A B y = x−2 y = x+6 y = x+3 y = x −1 C D x +1 y= ( C) ( C) x −1 Cho hàm số có đồ thị Có nhiêu cặp điểm thuộc mà tiếp tuyến song song với nhau? A B C D Vô số y= M ( x0 ; y0 ) x −1 Trên đồ thị hàm số có điểm cho tiếp tuyến vói trục tọa x0 + y0 độ tạo thành tam giác có diện tích Khi : 13 13 − − 3 A B C D ( C ) : y = x + x2 − ( C) Cho hàm số Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ y ′′ = nghiệm phương trình 7 7 y = −x − y = −x + y = x− y= x 3 3 A B C D y = x + 3x + x + A, B Số cặp điểm A, B đồ thị hàm số mà tiếp tuyến vng góc với là: A B C D Vô số y = x − x + (C ) A(0;2) Qua điểm ké tiếp tuyến với đồ thị hàm số ? A B C D 3 C ( ) ( C) y = x − 3x + Cho hàm số có đồ thị Đường thẳng sau tiếp tuyến với có hệ số góc nhỏ nhất? y = −3 x + y =1 y = −5 x + y = −3 x − A B C D x g ( x) = f ( x) = x Cho hai hàm số Góc hai tiếp tuyến đồ thị hàm số đă cho giao điểm chúng là: 600 900 450 300 A B C D ( Cm ) : y = mx3 + ( m − 1) x + ( − 3m ) x + Tìm m để đồ thị: tồn điểm có hồnh độ x + 2y − = dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  1 1 2 m ∈  0; ÷∪  ; ÷  4  3 Câu 52 Câu 53 Câu 54  1 1 7 m ∈  0; ÷∪  ; ÷  4 2 3 A B 1 1         m ∈  0; ÷∪  ; ÷ m ∈  0; ÷∪  ; ÷    3  2 2 3 C D 2x − y= ( C) ( C) x −1 Cho hàm số có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến Ox, Oy OA = 4OB cắt A, B cho 13 13 y=− x+ y =− x+ y = − x− y =− x− 4 4 4 4 A B 1 5 y=− x+ y = − x+ y = − x+ y = x− 4 4 4 C D x0 = y = x − 3x + m Ox, Oy Cho hàm số Tiếp tuyến điểm có hồnh độ cắt trục lần A, B ∆AOB m luợt cho diện tích Hỏi giá trị nguyên nằm khoảng sau đây? (−∞; −1) ∪ (0; +∞) ( −∞; −5) ∪ (1; +∞) (−4;0) ( −2;2) A B C D Tìm y = x − mx + m − l m x0 = để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cắt đường tròn ( x − ) + ( y − 3) = theo cung có độ dài nhỏ m=− m =1 m=2 m =1 A B m = −3 m = −1 m = −1 m=3 C D y = x + ax + bx + c, c < Oy A Cho hàm số có đồ thị (C) cắt có hai điểm chung với S AMN = M,N Ox T = a +b+c M A Tiếp tuyến với đồ thị qua Tìm biết T =5 T = −3 T = −1 T =2 A B C D Câu 55 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 19 Đáp án B y′ = ; x0 = ⇒ y0 = −1 x +1 M (0; −1) y = y′(0)( x − 0) − Phương trình tiếp tuyến là: Câu 20 Đáp án A y′ = ; y0 = ⇒ x0 + = ⇔ x0 = 2 x+2 ⇔ y = 2x − ... dụ: liên tục x = khơng có đạo hàm x = (I) Đúng theo đáp án trình bày Đáp án B Tại x = 1, đồ thị hàm số bị gián đoạn nên hàm số không liên tục ⇒ hàm số khơng có đạo hàm Đáp án C lim x →1 Câu f (... đổi lượng giác ta số nên đạo hàm y = cos x + sin x Ví dụ 28 Cho hàm số (0; π ) khoảng A nghiệm Đáp án C Phương trình B nghiệm y'' = hàm số khác có nghiệm thuộc C nghiệm D nghiệm Lời giải y '' = −2... www.thuvienhoclieu.com gọi có đạo hàm đoạn có đạo hàm phải a [ a; b] đạo hàm trái có đạo hàm b Quan hệ tồn đạo hàm tính liện tục hàm số - Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm