Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên THPT Năm học `2008 -2009 Môn Toán Ngày thi 19/6/2008 Thời gian 150 phút Bài 1 : (2 điểm)Cho hệ phơng trình ( ) ( ) +=++ +=++ 12008619 12008619 xmxy ymyx 1) Giải hệ phơng trình khi m = 2008. 2) Chứmh minh hệ phơng trình đã cho có không quá một nghiệm khi m 2008. Bài 2 : (2 điểm) Với mỗi số tự nhiên n đặt a n = 3n 2 + 6n + 13. 1) Chứng minh : Nếu hai số a i , a k không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số d khác nhau thì a i + a k chia hết cho 5. 2) Tìm số tự nhiên n lẻ để a n là số chính phơng. Bài 3 : (2 điểm) Cho a là số thay đổi thoả mãn -1 a 1, tìm giá trị lớn nhất của b sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng: ( ) ( ) 0411112 224 +++ baaba Bài 4 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hai đ ờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) lần lợt có đờng kính AB và AC, gọi H là giao điểm thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ). Đờng thẳng d thay đổi đi qua A cắt đờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) lần lợt tại D, E sao cho A nằm giữa D và E. 1) Chứng minh đờng trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi đờng thẳng d thay đổi. 2) Xác định vị trí của đờng thẳng d để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất,tính giá trị lớn nhất đó theo b và c, với b = AC, c = AB. 3) Đờng thẳng đi qua trung điểm của đoạn DE và vuông góc với BC cắt BC tại K. Chứng minh KB 2 = BD 2 + KH 2 Bài 5 : (1 điểm) Su tầm: Nguyễn Đức Trờng- THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kì của tập hợp {0; 1; 2; ; 14}. Chứng minh tồn tại hai tập hợp con B 1 và B 2 của tập hợp A ( B 1 , B 2 khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng tất cả các phần tử của tập hợp B 1 bằng tổng tất cả các phần tử của tập hợp B 2 . Sở giáo dục và đào tạo hà nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên THPT Năm học `2008 -2009 Môn Toán Ngày thi 25/6/2009 Thời gian 150 phút Bài 1 : (3 điểm) 1. Tìm các số nguyên dơng n để có giá trị là số nguyên d- ơng. 2. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn đẳng thức : x 2 + y(y 2 + y 3x) = 0. Bài 2 : (2 điểm) Giải hệ phơng trình (x, y, z là ẩn): Bài 3 : (3 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đ ờng tròn (O). Gọi BD và CE là hai đờng cao của ABC. 1. Chứng minh AD.AC = AE.AB. 2. Tia AO cắt BC tại A 1 và cắt cung nhỏ BC tại A 2 . Tia BO cắt AC tại B 1 và cắt cung nhỏ AC tại B 2 . Tia CO cắt AB tại C 1 và cắt cung nhỏ AB tại C 2 . Chứng minh . 3. Từ A vẽ tia Ax vuông góc với DE. Cho cạnh BC cố định, đỉnh A di động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn. Chứng minh tia Ax luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 : (1 điểm) Cho đa thức P(x) = x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d ( a, b, c, d là các hằng số). Biết rằng : P(1) = 10, P(2) = 20, P(3) = 30. Tính giá trị của biểu thức : Su tầm: Nguyễn Đức Trờng- THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội ( ) 5 488 2 + = n n A ( ) ( ) ( ) =+ =+ =+ 22 22 22 21 21 21 zxz yzy xyx 1 1 21 1 21 1 21 =++ CC CC BB BB AA AA 25 10 )8()12( + + PP Bài 5 : (1 điểm) Chứng minh rằng : Nếu ba điểm A, B, C không có điểm nào nằm bên ngoài đ ờng tròn (O) sao cho ABC có ba góc nhọn thì chu vi của đ ờng tròn ngoại tiếp ABC không lớn hơn chu vi của đ ờng tròn (O). Su tầm: Nguyễn Đức Trờng- THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội . vuông tại A. Vẽ hai đ ờng tròn (O 1 ) và (O 2 ) lần lợt có đờng kính AB và AC, gọi H là giao điểm thứ hai của (O 1 ) và (O 2 ). Đờng thẳng d thay đổi đi qua. a n = 3n 2 + 6n + 13. 1) Chứng minh : Nếu hai số a i , a k không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số d khác nhau thì a i + a k chia hết cho 5. 2) Tìm số