Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết) Bộ chuyên đề bài tập Vận Dụng Cao môn Toán năm 2019 (Có lời giải chi tiết)
LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO Mục lục Ôn tập vấn đề bản………………………….…………….…………………… Tìm nghiệm phương trình………………………………………………………… Nghiệm dương nhỏ – nghiệm âm lớn nhất……………………… … Số nghiệm phương trình…………………………………………………………… Tổng nghiệm phương trình đoạn [a; b ] ……… ………… Tìm m để phương trình có nghiệm………………….……………………………… Tìm m để phương trình n có nghiệm thuộc (a; b ) …….… … Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….… Tìm GTLN-GTNN hàm số…………………………………… ……… ……… 10 Bài tốn GTLN-GTNN có chứa tham số m ………………………………… Vấn đề Ôn tập vấn đề Câu Khẳng định sau đúng? 2018 có tập xác định D = + tan x sin x B Hàm số y = có tập xác định D = \ {3} - cos x A Hàm số y = C Hàm số y = cos x + có tập xác định D = 2x có tập xác định D = x -2 x sin x ỉ 5p ; y2 = - sin x cos ỗỗ - x ữữữ ; y3 = sin x cos x + tan x Câu Cho hàm số y1 = ç è2 ø cos x D Hàm số y = sin y4 = x cos x Hỏi có hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng? A B C D Câu Trong hàm số y1 = sin x ; y2 = sin x ; y3 = tan x ; y4 = cot x có hàm số thỏa mãn tính chất f ( x + k p ) = f ( x ), "x Ỵ , k Ỵ A B C Câu Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? D Câu Đường cong hình bên mơ tả đồ thị hàm số y = A sin ( x + a ) + B (với A, B, a số 12a p A S = C S = é pù a Ỵ ê 0; ú ) ëê ûú Tính S = A+B + B S = D S = Câu Một guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ gầu gắn điểm A guồng đến mặt nước tính theo cơng h= y thức đó: é ỉ ửự y = 2,5sin 2p ỗỗ x - ữữữỳ + với x thời gian quay guồng vi ờở ỗố ứỳỷ x tớnh bng phút Ta quy ước y > gầu mặt nước y < gầu nước Vậy gầu vị trí cao nào? B x = A x = C x = D x = Câu Gọi n số nguyên thỏa mãn (1 + tan10 ).(1 + tan )(1 + tan 450 ) = n Khẳng định sau đúng? A n Ỵ [1;7 ] B n Ỵ [8;19 ] C n Ỵ [20;26 ] D n Ỵ [27;33] Câu Tìm số ngun dương n nhỏ thỏa mãn 1 + ++ = 0 0 sin 45 sin 46 sin 46 sin 47 sin134 sin135 sin n B n = 45 C n = 46 D n = 91 A n = p sin a + cos a = Tính P = sin a - cos a 3 1 A P = B P = × C P = - × D P = 2 2 æ 3p ù a a Câu 10 Cho góc a thỏa mãn tan a = - v a ẻ ỗỗ ;2p ỳ Tớnh P = sin + cos ỗ ỳ ố2 2 û Câu Cho góc a thỏa < a < A P = B P = - C P = - D P = Vấn đề Tìm nghiệm phương trình ỉ ỉp ỉp pư Câu 11 Cho phng trỡnh cos ỗỗ x + ữữữ + cos ỗỗ - x ữữữ = Nu t t = cos ỗỗ - x ữữữ thỡ ỗố ỗ ç è6 ø è6 ø 3ø phương trình cho trở thành phương trình đây? A t - 8t + = B t - 8t - = C t + 8t - = D t - 8t + = ỉ pư Câu 12 Cho x thỏa mãn (sin x - cos x ) + sin x cos x + = Giỏ tr cos ỗỗ x + ữữữ bng ỗố 4ứ A -1 C - B 1 D Câu 13 Phương trình sin x - sin x cos x + cos x = tương đương với phương trình phương trình sau? A cos x - sin x = C cos x - sin x = -2 B sin x - cos x = D sin x - cos x = -2 Câu 14 Cho hai phương trình cos x -1 = (1) cos x = (2) Tập nghiệm phương trình (1) đồng thời nghiệm phương trình (2) p B x = k 2p (k Ỵ ) + k 2p (k Ỵ ) p 2p C x = ± + k 2p (k Ỵ ) D x = ± + k 2p (k Ỵ ) 3 ìp p p p ï ü ï Câu 15 Tìm góc a Ỵ í ; ; ; ý để phương trình cos x + sin x - cos x = tương ï ï6 2ù ù ợ ỵ A x = ng với phương trình cos (2 x - a ) = cos x A a = p B a = p C a = p D a = p é 5p ù Câu 16 Trên đoạn ê-2p; ú , đồ thị hai hàm số y = sin x y = cos x cắt bao êë úû nhiêu điểm? A B C D Câu 17 Biểu diễn tập nghiệm phương trình cos x + cos x + cos x = đường tròn lượng giác ta số điểm cuối A B Câu 18 Có giá trị C a D [0;2p ] để ba phần tử thuộc S = {sin a,sin 2a,sin 3a} trùng với ba phần tử T = {cos a,cos 2a,cos 3a} A B Câu 19 Phương trình n +1 C D cos x cos x cos x cos x cos x = với n Ỵ * có tập nghiệm n trùng với tập nghiệm phương trình sau đây? A sin x = B sin x = sin n x C sin x = sin n +1 x D sin x = sin n +2 x Câu 20 Tính diện tích đa giác tạo điểm đường tròn lượng giác biểu ỉ pư diễn nghiệm ca phng trỡnh tan x + tan ỗỗ x + ữữữ = ỗố 4ứ A 10 10 B 10 C D Vấn đề Nghiệm dương nhỏ Nghiệm âm lớn Câu 21 Nghiệm dương nhỏ phương trình sin x + cos x = có dạng a, b số nguyên nguyên tố Tính S = a + b A S = B S = C S = 15 D S = 17 pa với b Câu 22 Nghiệm âm lớn phương trình sin x pa + + cot x = có dạng + cos x - cos x b với a, b số nguyên, a < a, b nguyên tố Tính S = a + b A S = B S = C S = D S = ỉp ỉp ö Câu 23 Cho phương trình sin x + sin x = cos ỗỗ - x ữữữ - cos ỗỗ + x ữữữ S v trớ biu din ốỗ ứ ốỗ ứ nghiệm phương trình đường tròn lượng giác là? A B C D Câu 24 Cho phương trình sin x + cos x sin x + cos x = (cos x + sin x ) Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình p A - p pa Câu 25 Nghiệm dương nhỏ phương trình cos x (2 cos x + 1) = có dạng với b B - p 18 C - p 20 D a, b số nguyên nguyên tố Tính S = a + b A S = B S = C S = 15 Câu 26 Cho phương trình sin 2018 x + cos 2018 x = (sin 2020 x + cos nghiệm phương trình đường tròn lượng giác là? A B C 2020 D S = 17 x ) Số vị trí biểu diễn D 2020 ỉ pư Câu 27 Nghiệm âm lớn phương trình tan 2018 x + cot 2018 x = sin 2017 ỗỗ x + ữữữ cú ỗố 4ứ pa vi a, b l cỏc số nguyên, a < a, b nguyên tố Tính S = a + b b A S = -3 B S = -1 C S = D S = dạng Câu 28 Cho phương trình 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x ) cos x = cos x Nghiệm - tan x pa với a, b số nguyên nguyên tố b dương nhỏ phương trình có dạng Tính S = a + b A S = B S = C S = D S = 1 1 Câu 29 Biết phương trình + + ++ = có nghiệm dạng sin x sin x sin x sin 2018 x k 2p với k Ỵ a, b Ỵ + , b < 2018 Tính S = a + b x= a -b A S = 2017 B S = 2018 C S = 2019 D S = 2020 sin x p Câu 30 Phương trình có nghiệm? = x 18 A B C D Vô số Vấn đề Số nghiệm phương trình Câu 31 Phương trình cos x + cos 2 x + cos x - = cos x (2 sin x + 1) có nghiệm thuộc khoảng (0;2018) ? A 2565 B 2566 C 2567 D 2568 Câu 32 Phương trình (0;2018p ) ? (1 - cos x )(1 + cos x ) = có nghiệm thuộc khoảng (1 + cos x ) sin x A 3025 B 3026 C 3027 D 3028 ép ù Câu 33 Phương trình sin ê x - x -16 x - 80 ú = có nghiệm nguyên êë úû ( dương? A ) B C D ỉ p Câu 34 Phng trỡnh sin x + cos ỗỗ x + ÷÷÷ = có nghiệm thuộc khoảng çè 4ø (0;2017p ) ? A 4032 B 4033 C 4034 D 4035 Câu 35 Tìm số nghiệm phương trình tan x - tan x - tan x = tan x tan x tan x đoạn [-p; p ] A B C D Vấn đề Tổng nghiệm phương trình đoạn [a; b ] Câu 36 Tổng tất nghiệm phương trình tan x - tan x = [0;p ) A p B 3p C 2p D 5p Câu 37 Tổng tất nghiệm phương trình cos (sin x ) = đoạn [0;2p ] C 2p D 3p Câu 38 Cho phương trình x - (2 cos a - 3) x + cos a - 3cos a - = Gọi S tập giá B p A trị tham số a thuộc đoạn [0;4p ] để phương trình có nghiệm kép Tổng phần tử tập S A Câu 20p 39 B 15p Tính C 16p S tổng tất (2 cos x + 5)(sin x - cos x ) + = khoảng (0;2p ) A S = 7p D 17p nghiệm phương trình B S = 11p C S = p Câu 40 Tổng nghiệm phương trình D S = 5p ỉ pư -1 +1 + = trờn khong ỗỗ0; ữữữ ốỗ ứ sin x cos x A 11p 36 B p C 7p 18 D p Câu 41 Tổng nghiệm phương trình sin x cos x + sin x + cos x = (0;2p ) D p é pù Câu 42 Tổng tất nghiệm phương trình sin x (1 - sin x ) = đoạn ê 0; ú êë úû A p B 2p C 3p A 3p B 3p C 37p 70 Câu 43 Tổng tất nghiệm phương trình đoạn [0;100p ] A 7375p B 7475p C 4036p C 36p 35 sin x + sin x - 5sin x - cos x + D cos x + 14701p D 412485p D =0 14850p ỉ pư Câu 44 Tổng tất nghim ca phng trỡnh sin ỗỗ x - ữữữ = sin x trờn on ỗố 4ứ [0;2018] bng A 2018p Câu 45 B Tổng tất nghiệm cos x (tan x - cos x ) = cos x - cos x + đoạn [0;43p ] A 4220 p 3 B 824967p phương trình 4225 p C 4230 p D 4235 p Vấn đề Tìm m để phương trình có nghiệm Câu 46 Có giá trị tham số m thuộc tập E = {-3; -2; -1;0;1;2} để phương trình 2m sin x cos x + cos x = m + có nghiệm? A B C D Câu 47 Cho phương trình m sin x + sin x cos x + 3m cos x = Tìm tất giá trị 2 tham số thực m để phương trình có nghiệm ì 4ü ì 4ü é 4ù A m Ỵ ïí0; ïý B m Ỵ \ ïí0; ùý C m ẻ 0; ỳ ù 3ỵ ù ù ù ợùù ỵùù ợ ởờ ỷỳ ổ 4ử D m ẻ ỗỗ0; ữữữ ỗố ứ ổ 3p + sin ỗỗ - x ữữữ ỗố ứ tan a Cõu 48 Cho phương trình = Gọi S tập hợp tất giá sin x + tan a trị thực a thuộc đoạn [0;2p ] để phương trình có nghiệm Tổng phần tử tập S A p B 2p C p D 6p ỉ ư÷ ỉ ư÷ p p Câu 49 Cho phương trỡnh sin ỗỗ x + ữữ.cos ỗỗ x - ÷÷ = m + sin x - cos x Gọi S = [a; b ] l ỗố ỗố 3ứ 6ứ tt c cỏc giỏ trị tham số m để phương trình có nghiệm Tính a + b A a + b = -2 B a + b = - C a + b = Câu 50 Cho phương trình sin x + cos x + 3sin x cos x - D a + b = m + = Có giá trị ngun tham số m để phương trình có nghiệm? A B C 13 D 15 Câu 51 Cho phương trình tan + tan x + cot x + = m Có giá trị nguyên sin x m nhỏ 2018 để phương trình có nghiệm? A 2004 B 2008 C 2011 D 2012 Câu 52 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x = m.tan x có nghiệm x ¹ kp ộ A m ẻ ờ- ;4ữữữ ờở ø é ù B m Ỵ ê- ;4 ú êë úû ỉ C m Ỵ ỗỗ- ;4ữữữ ỗố ứ D m ẻ (-1;4 ) Câu 53 Cho phương trình cos x - (2m + 1) cos x + m + = Tìm tất giá trị thực ỉ p 3p tham số m để phương trình có nghiệm thuc khong ỗỗ ; ữữữ ỗố 2 ứ A -1 £ m £ B -1 £ m £ C -1 £ m < D -1 < m < Câu 54 Cho phương trình cos x + (1 - m ) cos x + 2m -1 = Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương trình có nghiệm? A B C 10 D 11 Câu 55 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x = cos x + m sin x ỉ pư có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷÷÷ çè 12 ø ỉ 1ư ỉ1 ỉ 1ử A m ẻ ỗỗ0; ữữữ B m ẻ ỗỗ ;2ữữữ C m ẻ (0;1) D m ẻ ỗỗ-1; ữữữ çè ø çè ø çè 4ø Câu 56 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x + m cos x = - m có é p pù nghiệm x thuộc đoạn ê- ; ú êë 2 úû A m ³ - B m > - D -1 < m < C -1 £ m £ Câu 57 Cho phương trình mx + p = p cos x Tổng tất giá trị ngun tham ỉ pư số m để phương trình cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữữữ bng ỗố ứ A -54 B -35 C 35 D 51 Câu 58 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x f '(x ) -2 -¥ -1 + - 0 +¥ + +¥ f (x ) -1 -¥ m để phương trình f é3cos ( x + 1) + 1ù = - m có nghiệm? Có số nguyên ë û A B C D 13 Câu 59 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ x f '(x ) -¥ -1 + - 0 + -2 +¥ +¥ f (x ) -¥ Có số nguyên dương m để phương trình f (2 sin x + 1) = f (m ) có nghiệm? A B Câu 60 Cho hàm số f ( x ) liên tục , C D thỏa f ( x ) > với x > f ( x ) < -3 với x < -2 , có đồ thị hình bên Có giá trị nguyên tham số m để phương f (3sin x + 2) = f (m ) trình nghiệm? A C có B D Vấn đề Tìm m để phương trình có n nghiệm thuộc khoảng (a; b ) Câu 61 Cho phương trình cos x + (3 - 2m ) cos x + m - = Tìm tất giá trị thực ỉ p pư tham số m để phương trình cú ỳng nghim thuc khong ỗỗ- ; ữữữ ỗố ø A -1 £ m £ B < m £ C £ m £ D £ m < Câu 62 Tìm tất giá trị tham số ỉ pư sin x + sin ỗỗ x + ữữữ - = m có nghiệm thuộc khoảng çè 4ø m để ỉ 3p ư÷ çç0; ÷ çè ÷ø A -3 < m < -1 + B -3 < m £ -1 + C -1 < m £ -1 + phương trình D -1 < m < -1 + Câu 63 Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m -1 = Gọi S tập tất giá trị ỉ 3p ngun m thuộc đoạn [-5;5] phng trỡnh cú ỳng nghim thuc ỗỗ0; ữữữ Tng ỗố ứ cỏc phn t S A -15 B -14 C D 15 Câu 64 Cho phương trình (cos x + 1)(4 cos x - m cos x ) = m sin x Số giá trị nguyên é 2p ù tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú êë úû A Câu B 65 Có bao C nhiêu số thực D m để phương trình (sin x -1)(2 cos x - (2m + 1) cos x + m ) = có nghiệm thuộc đoạn [0;2p ] ? A B C D Câu 66 Cho phương trình sin x + cos x + cos x = m Có giá trị nguyên é p pù tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú ëê 4 ûú A B C D Câu 67 Cho phương trình (sin x -1)(cos x - cos x + m ) = Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [0;2p ] A £ m < B - < m £ C < m < D - < m < Câu 68 Biết m = m0 phương trình sin x - (5m + 1) sin x + 2m + 2m = có ỉ p nghiệm phân bit thuc khong ỗỗ- ;3pữữữ Mnh no sau õy l ỳng? ỗố ứ ổ3 ự ổ 2ö A m0 = -3 B m0 = C m0 ẻ ỗỗ ; ỳ D m0 ẻ ỗỗ- ; - ữữữ ỗố 5 ứ ốỗ 10 úû Câu 69 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để số vị trí ỉ pư biểu diễn nghiệm phương trình + cos 2 x - sin x - m = m sin çç2 x - ÷÷÷ çè 3ø đường tròn lượng giác ? A B C 10 D 12 Câu 70 Cho phương trình (m + 1) cos x + (m -1) sin x = 2m + Có giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x1 - x = A B C 2p D Vô số Vấn đề Kỹ thuật hàm đặc trưng Câu 71 Có số nguyên m để phương trình m + sin (m + sin x ) = sin (3sin x ) + sin x có nghiệm thực? A B C D Câu 72 Cho phương trình (8 sin x - m ) = 162 sin x + 27m Có giá trị ngun 3 ỉ pư tham số m để phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữữữ ? ỗố ø A B Câu 73 Cho phương trình C 3 m + 3 m + 3sin x = sin x Có giá trị ngun tham số m để phương trình có nghiệm? A B Câu 74 Tập tất D Vô số giá C trị tham D số m để phương m + m + + + sin x = sin x có nghiệm [a; b ] Giá trị a + b A B - 2 C D - - Câu 75 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x (2 - cos x ) - (2 cos3 x + m + 1) cos3 x + m + = cos3 x + m + é 2p có nghiệm thuộc ê 0; ÷÷÷ ? êë ø A B C 10 D trình miền gạch sọc quay quanh trục Ox Thể tích vật thể quay miền • Gạch sọc quanh Ox V1 = p ò ( x + 2) dx = 9p -2 • Tơ đậm quanh Ox -1 V2 = p ò -2 ( ) x + -( x + ) d x = 2 Vậy thể tích cần tính V = V1 +V2 = 9p + p p 55p = Chọn D 6 Câu Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x = quanh trục Ox Đường thẳng x = a (0 < a < ) cắt đồ thị hàm số y = x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Khi A a = B a = C a = 2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: D a = x = Û x = Thể tích V = p ò xdx = 8p ( ) Tính V1 : Gọi M a; a Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: ð Hình nón ( N ) có đỉnh O , chiều cao OK = a, bán kính đáy R = MK = a nên tích 1 p R OK = p 3 ( a ) a = p3a 2 ð Hình nón ( N ) có đỉnh H , chiều cao HK = - a, bán kính đáy R = MK = a nên tích Suy V1 = D 1 p R HK = p 3 ( a ) (4 - a ) = 4pa -3 pa 2 pa pa - pa pa + = Theo giả thiết V = 2V1 nên suy a = Chọn 3 Câu Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = sin x , hai trục tọa độ x = p quanh trục hoành Đường thẳng x = k (0 < k < p ) cắt đồ thị hàm số y = sin x điểm M trục hoành điểm N (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMN quanh trục Ox Biết V = A k = p 12 V1 Khi k p B k = C k = p Lời giải Ta có V = p ò sin xdx = -p cos x p D k = = 2p Khi quay tam giác OMN quanh trục Ox tạo thành hình nón có đỉnh O , chiều ON = k, cao bán kính đáy R = MN = sin k nên tích p k.sin k p R ON = 3 12 p Theo giả thiết V = V1 nên suy sin k = ¾¾ (vì < k < p ) Chọn A ®k = k Câu Có vật thể hình tròn xoay có dạng giống ly hình vẽ bên Người ta đo đường kính miệng ly cm chiều cao cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng Parabol Thể tích vật thể cho A 12p (cm ) B 12 (cm ) C D 72 p (cm ) 72 (cm ) Lời giải Xét phần mặt cắt chọn hệ trục Ixy hình vẽ (trong I gốc tọa độ) Khi Parabol ( P ) qua điểm A (-2;6), B (2;6) I (0;0) y= nên Parabol (P ) cú phng 2y x ắắ đ x2 = Khi thể tích vật thể cho là: ỉ2 V = p ũ x dy = p ũ ỗỗ y ữữữ dy = 12p (cm ) Chn A ỗố ứ 0 6 trình: Câu Trong mặt phẳng cho đường Elip ( E ) có độ dài trục lớn AA ¢ = độ dài trục nhỏ BB ¢ = 6; đường tròn tâm O đường kính BB ¢ hình vẽ Tính thể tích V khối tròn xoay có cách cho miền hình phẳng giới hạn đường Elip đường tròn (được tơ đậm hình vẽ) quay xung quanh trục AA ¢ A V = 12p B V = 16p C V = 28p x y2 + = Lời giải Elip ( E ) có a = 4, b = Suy ( E ) : 16 D V = 36p ỉ x2 Thể tích khối elip ( E ) quay quanh trục AA Â l: V1 = p.ũ 9.ỗỗ1 - ữữữdx = 48p ỗố 16 ữứ -4 Th tớch cu l: V2 = 4 p R = p.33 = 36p 3 Vậy thể tích cần tính V = V1 -V2 = 12p Chọn A Câu 10 Một thùng chứa rượu làm gỗ hình tròn xoay hình bên có hai đáy hai hình tròn nhau, khoảng cách hai đáy dm Đường cong mặt bên thùng phần đường Elip có độ dài trục lớn 10 dm , độ dài trục bé dm Hỏi thùng gỗ đựng lít rượu? 1516p (lít) 25 x y2 + = Lời giải Elip có a = 5, b = Suy ( E ) : 25 A 1316p (lít) 25 B 1416p (lít) 25 C Chọn hệ trục tọa độ qua hai trục thùng rượu hình vẽ Vì thùng rượu có tính đối xứng nên thể tích thùng rượu gấp hai lần thể tích khối tròn xoay quay hình S1 quanh trục Ox Thể tích cần tính: V = ´ p ò 225 - x 1416p dx = Chọn B 25 25 D 1616p (lít) 25 Câu 11 Bên hình vng cạnh a, dựng hình bốn cánh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình quanh trục Ox 5p p a A V = a B V = 24 5p 5p C V = D V = a a 48 96 Lời giải Xét hình nằm góc phần tư thứ Gọi V thể tích khối tròn xoay cần tính Gọi V1 thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng tơ màu hình bên (chỉ xét góc phần tư thứ nhất) quanh trục hồnh Khi V = 2V1 a a ỉx ỉ 5pa Ta cú V1 = p ũ ỗỗ + ữữữ dx - p ũ ỗỗ2 x - ữữữ dx = ốỗ ứ ốỗ 2ứ 96 2 a Suy thể tích cần tính V = 2V1 = 5pa Chọn C 48 Câu 12 Cho hình phẳng H gồm nửa hình tròn đường kính AB tam giác ABC (như hình vẽ) Gọi D đường thẳng qua C song song với AB Biết AB = cm Thể tích khối tròn xoay tạo hình H quay quanh trục D 9p ( cm ) D 16 3p + 9p (cm ) A 3p + 9p (cm ) C 32 3p + 18p B 3p + (cm ) Lời giải Chọn C º O , D º Ox hình vẽ ( ) Khi A - 3;3 , B Phương trình ( ) 3;3 Suy AC : y = - x , BC : y = x đường tròn đường kính AB x + ( y - 3) = Suy phần phía nửa đường tròn có phương trình y = + - x Thể tích quay phần tơ đậm quanh trục hồnh ( pò + 3- x ) -( 3x ) 2 dx = 3p + p æ Suy thể tích cần tính V = ỗỗ8 3p + p ữữữ Chn D ỗố ø Câu 13 Cho hình vẽ bên, biết cung tròn BC nằm đường tròn bán kính R = Cạnh AB = BC = CD = DA = Thể tích vật tròn xoay tạo thành quay hình bên quanh trục AD nằm khoản sau đây? A (165;170) B (160;165) C (155;160) D (150;155) Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ bên Gọi O tâm đường tròn (C ) chứa cung BC Khi O nằm đường thẳng x = Gọi H trung điểm BC Ta có D OBC tam giác đều, nên OH = Do O ( Ox cách ) = 4+2 khoảng ¾¾ ® O 2;4 + Phương trình đường tròn ® y = + ± 16 - ( x - 2) (C ) : ( x - 2) + ( y - - ) = 16 ¾¾ 2 Dựa vào đồ thị ta thấy cung BC nằm bên đường thẳng y = + , nên đường cong chứa cung BC có phương trình y = + - 16 - ( x - 2) ( Khi thể tích vật tròn xoay: V = p ò + - 16 - ( x - 2) ) dx » 166,6 Chọn A Câu 14 Cho hình tròn tâm O có bán kính R = hình vng OABC có cạnh (như hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể tròn xoay quay mơ hình bên xung quanh trục đường thẳng OB A V = C V = ( ) B V = ) D V = 3+4 p ( 3+5 p ( ) ) 2+5 p ( 32 + p Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc tọa độ trùng O , tia Ox có giá OB tia Oy song song AC (như hình vẽ) Khi đường tròn (O ) có phương trình x + y = đường thẳng OA có phương trình y = x Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng OA đường tròn (C ) là: - x = x Û x = Thể tích vật thể tròn xoay quay phần tơ đen quanh Ox là: 2 V1 = p ò x dx + p.ò (4 - x ) = ( ) ( ) 16 - p 2p 16 -10 p + = 3 Thể tích khối tròn xoay quay (O ) quanh Ox khối cầu có V2 = 32 p.23 = p 3 Thể tích khối tròn xoay quay OABC quanh Ox (tổng hai khối nón) é1 ù 32 2p V3 = ´ ê p 2 2 ú = êë úû ( ) Vậy thể tích cần tính V = V2 +V3 -V1 = ( ) 8p + 16 + 40 p= Chọn B 3 Câu 15 Cho hình vng có độ dài cạnh 8cm hình tròn có bán kính 5cm xếp chồng lên cho tâm hình tròn trùng với tâm hình vng hình vẽ bên Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY A V = 260p 290p cm B V = cm 3 C V = 520p cm Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ● Thể tích khối cầu V1 = 4 500p p R = p53 = 3 ● Gọi V2 thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng H (phần tơ màu) giới hạn đường thẳng y = , đường tròn y = 25 - x x = quanh trc honh ắắ đV2 = p ũ - (25 - x ) dx = Vậy thể tích cần tính V = V1 + 2V2 = 10p 520p cm Chọn C D V = 580p cm Câu 16 Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY = 40cm cạnh đáy 40cm 60cm , xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trung điểm cạnh đáy tam giác hình vẽ bên Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY 40480p cm 46240p C V = cm A V = B V = 52000p cm D V = 1920pcm Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, đó: Y º O (0;0), X (40;0), A (0;20), M (40;30) 3x 40 - x Phương trình AX : x + y - 40 = ® y = Phương trình đường YM : x - y = ® y = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường YM AX là: x 40 - x = « x = 16 Thể tích vật thể tạo cách quay hình phẳng (phần tơ đậm hình) 2 16 40 ỉ 40 - x ư÷ ổ x ửữ 46240p ỗ ỗ cm Chọn C Thể tích vật thể cần tính V = p ũ ỗ ữ dx + p ũ ỗỗ ữữ dx = ốỗ ứữ ố4ứ 16 Cõu 17 Cho khối cầu có bán kính R Một mặt phẳng cắt khối cầu thành hai nửa Nửa bé có khoảng cách từ đỉnh đến đáy h (tham khảo hình vẽ bên) Tính thể tích nửa bé ỉ A V = ph ỗỗ R - ữữữ çè 2ø ỉ hư C V = ph çç R - ữữữ ỗố 4ứ ổ h V = ph ỗỗ R + ữữữ ỗố 3ứ ổ B V = ph ỗỗ R - ữữữ ỗố 3ø D Lời giải Xét phần mặt cắt gắn tọa độ hình vẽ Khi O (0;0), A ( R;0) I ( R - h;0) tâm đường tròn thiết diện Thể tích chỏm cầu bị cắt vật thể tròn xoay tạo phần đường tròn y = R - x quay xung quanh trục Ox từ R - h đến R Do R ỉ hư V = p ò ( R - x ) dx = ph ỗỗ R - ữữữ Chn B ỗố 3ứ R -h Câu 18 Cho hai mặt cầu (S1 ), (S2 ) có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm (S1 ) thuộc (S2 ) ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo (S1 ) (S2 ) A V = p R B V = p R3 C V = 2p R D V = 5p R 12 Lời giải Thể tích cần tính tổng hai chỏm cầu ỉ hư Áp dụng cơng thức trước, thể tớch mi chm cu bng ph ỗỗ R - ữữữ çè 3ø Vậy thể tích phần chung V hai khối cầu V = ´ Câu 19 Cho hai đường tròn (O1 ;5) (O2 ;3) cắt h= R = 5p R 24 5p R 5p R = Chọn D 24 12 hai điểm A B cho AB đường kính đường tròn (O2 ) Gọi H diện tích hình phẳng giới hạn hai đường tròn (ở ngồi đường tròn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay hình H quanh trục O1O2 , ta khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay tạo thành A 14 p × B 40p × C 68p D 36p Lời giải Xét phần mặt cắt hình vẽ Ta thấy thể tích cần tính thể tích V1 trừ thể tích V2 , ỉ4 • V1 thể tích nửa khối cầu (O2 ) nờn V1 = ỗỗ p.33 ữữữ = 18p ç ø è3 • V2 thể tích chỏm cầu (khi quay miền gạch sọc quanh O1O2 ) Áp dụng cơng ỉ h 14 p R =5 V2 = ph ỗỗ R - ữữữ ắắắắ đV2 = ỗố ứ h=O2 M =1 trc thức trước, ta Vậy thể tích vật thể cần tính: V = V1 -V2 = 40 p Chọn B Câu 20 Ta vẽ hai nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính nửa đường tròn lớn gấp đơi đường kính nửa đường tròn nhỏ Biết nửa hình tròn đường kính AB có diện tích = 30° Thể tích vật thể tròn xoay 8p BAC tạo thành quay hình H (phần tơ đậm) xung quanh đường thẳng AB A p B 98 p 220 p C D 224 p Lời giải Ta có: 2.8p = p R suy R = r = = 60° nên ta có Vì DIHC vng H , CIH ìï ïïCH = IC sin 60 o = = ïï ïï ïíIH = IC - CH = 16 -12 = ïï ïï ïï AL = AH = ïïỵ Cách (Dùng cơng thức túy) • Thể tích khối nón đỉnh A, bán kính đáy HC là: V1 = p HC AH = 24 p ổ HB ửữ 40p Th tớch chm cầu (hình cầu lớn) có h = HB = l: V2 = p HB ỗỗ R ữ= ỗố ữứ Th tớch nún nh A, bán kính đáy LD là: V3 = p LD AL = 3p ỉ LI 5p • Thể tích chỏm cầu (hình cầu nhỏ) có h = LI = là: V4 = p LI ỗỗr - ữữữ = ỗố 3ứ 98 Suy thể tích cần tìm V = (V1 +V2 ) - (V3 +V4 ) = p Chọn B x Cách (Dùng tích phân) Dễ dàng viết phương trình AC : y = hai phương trình đường tròn y = 16 - ( x - ) y = - ( x - 2) é x2 dx - ò Thể tích cần tìm V = p êê ò ëê 3 é - ( x - 2)2 ù dx + êë úû ò Phần Bài toán vận tốc ù é16 - ( x - )2 ù dx ú = 98p êë úû ú ûú Giả sử v (t ) vận tốc vật M thời điểm t s (t ) quãng đường vật sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ s (t ) v (t ) sau: ● Đạo hàm quãng đường vận tốc: s ¢ (t ) = v (t ) ● Nguyên hàm vận tốc quãng đường s (t ) = ò v (t ) dt ắắ đ t õy ta cng cú quóng đường vật khoảng thời gian t = [a; b ] b ò v (t ) dt = s (b )- s (a ) a Nếu gọi a (t ) gia tốc vật M ta có mối liên hệ v (t ) a (t ) sau: ● Đạo hàm vận tốc gia tốc: v ¢ (t ) = a (t ) ● Nguyên hàm gia tốc vận tốc: v (t ) = ò a (t ) dt Câu (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tô chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -5t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển mét? A 0,2m B 2m C 10m D 20m ®-5t + 10 = Û t = Lời giải Lúc dừng hẳn v (t ) = ¾¾ Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ qng đường ỉ ư2 s = ũ (-5t + 10) dt = ỗỗ- t + 10t ữữữ = 10m Chn C ỗố ứ0 Câu Một ô tô với vận tốc lớn 72km/h, phía trước đoạn đường cho phép chạy với tốc độ tối đa 72km/h, người lái xe đạp phanh để tô chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = 30 - 2t ( m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô di chuyển quãng đường mét? A 100m B 125m C 150m D 175m Lời giải Ta có 72km/h = 20m/s Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình 30 - 2t = 20 Û t = Vậy từ lúc đạp phanh đến ô tô đạt tốc độ 72km/h, ô tô quãng đường s = ò (30 - 2t ) dt = 125m Chọn B Câu Hai viên đạn rời khỏi nòng súng thời điểm t = với vận tốc khác nhau: viên đạn thứ có vận tốc v1 (t ) = 3t + (m/s), viên đạn thứ hai có vận tốc v2 (t ) = 2t + (m/s) Hỏi từ giây thứ viên đạn thứ xa điểm xuất phát viên đạn thứ hai? A Giây thứ B Giây thứ hai C Giây thứ ba D Giây thứ tư Lời giải Quảng đường 1( ) s1 (t ) = ò (3t + 1) dt = t + t + C1 ắắắđ C1 = Do ú s1 (t ) = t + t s =0 2( ) s2 (t ) = ò (2t + ) dt = t + t + C ắắắđ C = Do ú s2 (t ) = t + t s =0 t >0 t= Xét s1 (t ) = s2 (t ) Û t + t = t + t Û t - t - 3t = ắắđ + 13 ằ 2,3 Ta có s1 (3) = 30 > s2 (3) = 21 ắắ đ t giõy th ba tr i viên đạn thứ xa điểm xuất phát viên đạn thứ hai Chọn C Câu Một ô tơ chạy với vận tốc 10 (m/s) người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -2t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Tính quảng đường tơ di chuyển giây cuối A 16m B 25m C 50m D 55m Lời giải Ta có phương trình: -2t + 10 = Û t = Suy thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến dừng giây Vậy giây cuối có giây tơ chuyển động với vận tốc 10m/s giây chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -2t + 10 (m/s) Suy quảng đường ô tơ di chuyển s = 3.10 + ò (-2t + 10) dt = 30 + 25 = 55 m Chọn D Câu Một vật chuyển động với vận tốc 6m/s tăng tốc với gia tốc a (t ) = m/s , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu t +1 tăng tốc Hỏi vận tốc vật sau 10 giây gần với kết sau đây? A 11m/s B 12 m/s C 13m/s D 14 m/s Lời giải Ta có v (t ) = ò dt = ln t + + C t +1 Tại thời điểm lúc ln1 + C = Û C = bắt đầu tăng tốc t =0 v = 6m/s nên ta có Suy v (t ) = ln t + + (m/s) ® v (10) = ln11 + » 13m/s Chọn C Tại thời điểm t = 10 s ¾¾ Câu Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a (t ) = 3t + t (m/s ), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc mét? A 1900 m B 2200 m Lời giải Ta có v (t ) = ò (3t + t ) dt = C 4000 m D 4300 m 3t t + +C Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = v = 10m/s nên suy C = 10 Suy v (t ) = 3t t + + 10 (m/s) Vậy quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu 10 ỉ 3t t ỉt3 t 10 4300 + + 10÷÷÷ dt = ççç + + 10t ÷÷÷ = m Chọn D tăng tc bng s = ũ ỗỗỗ 3 ố ø÷ è 12 ø÷ 0 Câu Một ô tô chạy thẳng với vận tốc v0 (m/s) người đạp phanh, từ thời điểm đó, tô chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -5t + v0 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn tơ di chuyển 40m vận tốc ban đầu v0 bao nhiêu? A v0 = 20m/s B v0 = 25m/s C v0 = 40m/s D v0 = 80m/s Lời giải Lúc dừng hẳn v (t ) = ắắ đ-5t + v0 = Û t = v0 ỉ Theo giả thiết, ta có: 40m=ò (-5t + v0 ) dt = ỗỗ- t + v0 t ữữữ ỗố ứ ắắ đ 40m = v0 v0 =- v02 v02 v02 + = 10 10 v ắắ đ v0 = 20m/s Chn A 10 Câu Tại nơi khơng có gió, khí cầu đứng yên độ cao 162m so với mặt đất phi công cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v (t ) = 10t - t (m/s) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v khí cầu bao nhiêu? A v = 3m/s B v = 5m/s C v = 7m/s D v = 9m/s ® < t < 10 Lời giải Do v (t ) = 10t - t ¾¾ Giả sử khí cầu chạm đất kể từ lúc bắt đầu chuyển động t1 giây (0 < t1 < 10) ỉ t3 Theo đề ta có phương trình 162 = ò (10t - t ) dt = ỗỗ5t - ữữữ çè ÷ø t1 Û- t1 = 5t12 - t13 3 t 0