Bài giảng 12 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG 1.Định nghĩa: Cho hai hàm P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung phẳng AB . Thực hiện các bước sau: + Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A=A 0 , A 1 , .,A n =B. Không dẫm lên nhau. + Gọi hình chiếu của véctơ 1i i A B − uuuuur xuống hai trục x và y là i x∆ , i y∆ , trên mỗi cung 1i i A A − lấy tuỳ ý một điểm M i (x i , y i ). + Lập tổng [ ] 1 ( , ) ( , ) n n i i i i i i i S P x y x Q x y y = = ∆ + ∆ ∑ + Tìm giới hạn i ax s 0 lim n n M S →∞ ∆ → Với i S ∆ là độ dài cung 1i i A A − 1 Nếu với mọi cách chia cung AB, mọi cách chọn M i luôn tồn tại giới hạn xác định duy nhất. i ax s 0 lim n M S S ∆ → = Thì S gọi là tích phân đường của các hàm P(x, y) và Q(x, y) dọc theo cung AB. Kí hiệu: ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy+ ∫ 2. Tính chất: Tích phân đường có các tính chất của tích phân xác định kể cả tính chất đổi chiều đường lấy tích phân nghĩa là: AB BA Pdx Qdy Pdx Qdy+ = − + ∫ ∫ (Vì khi đổi chiều đường lấy tích phân thì i x∆ và i y∆ đổi dấu) 3. Chú ý: Nếu C = AB là đường cong kín phẳng. Ta quy ước chọn chiều dương trên C là chiều sao cho một người đi dọc theo C theo chiều ấy sẽ thấy miền giới hạn bởi C gần mình nhất ở về phía 2 bên trái - chiều ngược lại là chiều âm. Ta ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín C là. C Pdx Qdy+ ∫ Ñ 4. Ý nghĩa cơ học: Xem P(x, y) và Q(x, y) là hình chiếu của lực F ur . Tác động lên chất điểm M chuyển động trên cung AB. Ta có: ( , ) ( , )F P x y i Q x y j= + ur Coi cung 1i i A A − như cung 1i i A A − khi đó i i i s x i y j∆ = ∆ + ∆ r và trên cung đó xem ( ) ( ) ( ) i i i F F M P M i Q M j = = + ur ur 1 ( , ) ( , ) ; ( , ) i i i i i i i i i P x y i Q x y j M x y A A − = + ∈ Khi đó công sinh ra trên cung 1i i A A − xấp xỉ i i i i F(M ) s ( , ) ( , ) i i i i P x y x Q x y y∆ = ∆ + ∆ uuur và công sinh ra trên cả đường cong là: 3 1 ( , ) ( , ) n n i i i i i i i T P x y x Q x y y = = ∆ + ∆ ∑ i ax s 0 lim ( , ) ( , ) n M AB A T P x y dx Q x y dy ∆ → = = + ∫ 5. Cách tính tích phân đường: a. Nếu cung AB cho bởi phương trình ( )y y x a x b= ≤ ≤ Thì công thức tính tích phân đường là: [ ] ( , ( )) ( , ( )) ( ) b AB a Pdx Qdy P x y x Q x y x y x dx ′ + = + ∫ ∫ Ví dụ 1:Tính 1 ( ) C I xydx y x dy= + − ∫ , với C là đường nối 0(0, 0) đến A(1, 1) có phương trình: a. y x= b. 2 y x= c. 2 y x= 4 . 0; 1(0 1)d y x x= = ≤ ≤ Giải: a.Trên đường 1y x y ′ = → = vậy: 1 2 0 1 ( ) 3 C xydx y x dy x dx+ − = = ∫ ∫ . b.Trên đường 2 2y x y x ′ = → = Vậy: 1 3 2 0 1 ( ) ( )2 12 C xydx y x dy x x x x dx   + − = + − =   ∫ ∫ . c.Trên đường 2 2y x dx ydy= → = Vậy: 1 2 2 0 17 ( ) . .2 ( ) 30 C xydx y x dy y y y y y dy   + − = + − =   ∫ ∫ . d.Trên đường 1 2 0, 1 ( ) C C C y x xydx y x dy= = → + − = + ∫ ∫ ∫ Trên 1 1 : 0, 0 0 C c y dy= = → = ∫ 5 Trên 2 1 2 0 1 : 1, 0 ( 1) 2 C c x dx y dy= = → = − = − ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính 2 C dx dy I x y + = + ∫Ñ C chu vi hình vuông A(1, 0); B(0, 1); C(-1, 0); D(0, -1) ngược chiều kim đồng hồ. Giải: 1 2 3 4 C C C C C = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ñ Trên C 1 = AB có phương trình 1 1 0 0 C x y dx dy+ = → + = → = ∫ Trên C 2 = BC có phương trình 2 1 0 2 1 1 2 1 C dx y x y x dx dy x x − − = → = + → = → = = − − + + ∫ ∫ 6 Trên C 3 = CD có phương trình 3 1 0 0 0 C x y dx dy+ + = → + = → = ∫ Trên C 4 = DA có phương trình 1x y dx dy − − = → = 4 1 0 2 2 1 C dx dy dx x y x x + = = + − + ∫ ∫ d.Nếu cung AB cho bởi phương trình tham số: x=x(t); y=y(t) t α β ≤ ≤ Khi đó [ ] [ ] ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( ) AB Pdx Qdy P x t y t x t Q x t y t y t dt β α ′ ′ + = + ∫ ∫ Ví dụ 1: Tính 1 ( ) C I xdx x y dy= + + ∫ Ñ ; C là đường tròn ost; sint; 0 t 2x Rc y R π = = ≤ ≤ lấy th eo chiều ngược kim đồng hồ . Giải: sin ; cosx R t y R t ′ ′ = − = 7 [ ] 2 1 0 cos ( sin ) cos ( cos sin )I R t R t R t R t R t dt π = − + + ∫ = 2 2 2 2 0 cosR tdt R π π = ∫ Ví dụ 2: Tính 2 2 2 ( ) C xy ydx xdy I x y − = + ∫Ñ ; C là phần bên phải của Lemnixcat: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 0)x y a x y a+ = − > lấy theo chiều ngược kim đồng hồ. Giải: Đặt ost; y=rsintx rc= Phương trình Lemnixcat là: 2 2 r os2a c ϕ = Phần bên phải ta có: 4 4 π π ϕ − ≤ ≤ 8 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ( ) os sin ( sin os ) C xy ydx xdy r c I r r c d x y r π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − = = − − + ∫ ∫Ñ 4 4 4 2 2 2 4 4 4 1 1 os sin os2 sin2 sin4 0 2 4 r c d r c d a d π π π π π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − − = = − = − = ∫ ∫ ∫ (Hàm dưới dấu tích phân lẻ). 9 . của tích phân xác định kể cả tính chất đổi chiều đường lấy tích phân nghĩa là: AB BA Pdx Qdy Pdx Qdy+ = − + ∫ ∫ (Vì khi đổi chiều đường lấy tích phân thì. gọi là tích phân đường của các hàm P(x, y) và Q(x, y) dọc theo cung AB. Kí hiệu: ( , ) ( , ) AB P x y dx Q x y dy+ ∫ 2. Tính chất: Tích phân đường có các