LTC ST&GT ĐỀ 2 Bài 1: Cho biểu thức M = x x x x xx x − + + − + + +− − 2 3 3 12 65 92 a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M b. Tỡm x để M = 5 c. Tỡm x ∈ Z để M ∈ Z. bài 2: a) Tỡm x, y nguyờn dơng thoó món phơng trỡnh 3x 2 +10 xy + 8y 2 =96 b)tỡm x, y biết / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3 Bài 3: a. Cho cỏc số x, y, z dơng thoó món x 1 + y 1 + z 1 = 4 Chứng ming rằng: zyx ++2 1 + zyx ++ 2 1 + zyx 2 1 ++ 1 ≤ b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 2 20062 x xx +− (với x 0 ≠ ) Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD. Kẻ tia Ax, Ay sao cho yAx ˆ = 45 0 Tia Ax cắt CB và BD lần lợt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lợt tại F và Q a. Chứng minh 5 điểm E; P; Q; F; C cựng nằm trờn một đờng trũn b. S AEF∆ = 2 S APQ ∆ Kẻ đờng trung trực của CD cắt AE tại M. Tớnh số đo gúc MAB biết DPC ˆ = DMC ˆ Bài 5: (1đ) Cho ba số a, b , c khỏc 0 thoó món: 0 111 =++ cba ; Hóy tớnh P = 222 b ac a bc c ac ++ ĐÁP ÁN Bài 1:M = x x x x xx x − + + − + + +− − 2 3 3 12 65 92 a.ĐK 9;4;0 ≠≠≥ xxx 0,5đ Rỳt gọn M = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 32 2123392 −− −++−+−− xx xxxxx Biến đổi ta cú kết quả: M = ( )( ) 32 2 −− −− xx xx M = ( )( ) ( )( ) 3 1 23 21 − + =⇔ −− −+ x x M xx xx LTC ST&GT ( ) 164 4 16 416 1551 351 5 3 1 5 M . b. =⇒==⇒ =⇔ −=+⇔ −=+⇒ = − − ⇔= xx x xx xx x x c. M = 3 4 1 3 43 3 1 − += − +− = − + xx x x x Do M z ∈ nờn 3−x là ớc của 4 ⇒ 3−x nhận cỏc giỏ trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 { } 49;25;16;4;1 ∈⇒ x do ⇒≠ 4x { } 49;25;16;1 ∈ x Bài 2 a. 3x 2 + 10xy + 8y 2 = 96 <--> 3x 2 + 4xy + 6xy + 8y 2 = 96 <--> (3x 2 + 6xy) + (4xy + 8y 2 ) = 96 <--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 <--> (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyờn dơng nờn x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y 3 ≥ mà 96 = 2 5 . 3 cú cỏc ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tớch 2 thừa số khụng nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12 Lại cú x + 2y và 3x + 4y cú tớch là 96 (Là số chẵn) cú tổng 4x + 6y là số chẳn do đú    =+ =+ 2443 62 yx yx Hệ PT này vụ nghiệm Hoặc    =+ =+ 1643 62 yx yx    = = ⇒ 1 4 y x Hoặc    =+ =+ 1243 82 yx yx Hệ PT vụ nghiệm Vậy cấp số x, y nguyờn dơng cần tỡm là (x, y) = (4, 1) b. ta cú /A/ = /-A/ AA ∀≥ LTC ST&GT Nờn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ 3/3//20082005/ =≥−+−≥ xx (1) mà /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2) Kết hợp (1 và (2) ta cú / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 ≤ (3) (3) sảy ra khi và chỉ khi    = = ⇔    =− =− 2007 2006 0/2007/ 0/2006/ y x y x Bài 3 a. Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ b. Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta cú ( ) (*) 2 22 yx ba y b x a + + ≥+ <-->(a 2 y + b 2 x)(x + y) ( ) xyba 2 +≥ ⇔ a 2 y 2 + a 2 xy + b 2 x 2 + b 2 xy ≥ a 2 xy + 2abxy + b 2 xy ⇔ a 2 y 2 + b 2 x 2 ≥ 2abxy ⇔ a 2 y 2 – 2abxy + b 2 x 2 ≥ 0 ⇔ (ay - bx) 2 ≥ 0 (**) bất đẳng thức (**) đỳng với mọi a, b, và x,y > 0 Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay a b x y = Áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta cú 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2x y z x y z x y x z x y x z           + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           = ≤ + = + + + + + + + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 4 4 4 4 16x y x z x y z          ÷  ÷  ÷  ÷           ≤ + + + = + +  ÷   Tơng tự 1 1 1 2 1 2 16x y z x y z   ≤ + +  ÷ + +   1 1 1 1 2 2 16x y z x y z   ≤ + +  ÷ + +   Cộng từng vế cỏc bất đẳng thức trờn ta cú: LTC ST&GT 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 16 16 16 1 4 4 4 4 1 1 1 1 .4 1 16 16 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z       + + ≤ + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷ + + + + + +           ≤ + + ≤ + + ≤ =  ÷  ÷     Vỡ 1 1 1 4 x y z + + = ( ) 2 2 2 2006 0 x x B x x − + = ≠ Ta cú: x xx B x xx B 2006 20062006.22006 20062 22 2 2 +− =⇔ +− = ( ) ( ) 2006 2005 2006 2005200620052006 2 2 2 2 2 + +− ⇔ +− =⇔ x x x xx B Vỡ (x - 2006) 2 ≥ 0 với mọi x x 2 > 0 với mọi x khỏc 0 ( ) 2 2 2006 2005 2005 0 2006 2006 2006 2006 x B B khix x − ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = = Bài 4a. 0 45EBQ EAQ EBAQ = = ⇒ ) ) ) Y nội tiếp; ˆ B = 90 0  gúc AQE = 90 0  gúcEQF = 90 0 Tơng tự gúc FDP = gúc FAP = 45 0  Tứ giỏc FDAP nội tiếp gúc D = 90 0  gúc APF = 90 0  gúc EPF = 90 0 ……. 0,25đ Cỏc điểm Q, P,C luụn nhỡn dới 1gúc90 0 nờn 5 điểm E, P, Q, F, C cựng nằm trờn 1 đờng trũn đờng kớnh EF …………………0,25đ b. Ta cú gúc APQ + gúc QPE = 180 0 (2 gúc kề bự) ⇒ gúc APQ = gúc AFE Gúc AFE + gúc EPQ = 180 0 Tam giỏc APQ đồng dạng với tam giỏc AEF (g.g)  2 2 1 1 2 2 2 APQ APQ AEE AEF S k S S S ∆ ∆ ∆ ∆   = = = ⇒ =  ÷   c. gúc CPD = gúc CMD  tứ giỏc MPCD nội tiếp  gúc MCD = gúc CPD (cựng chắn cung MD) LTC ST&GT Lại cú gúc MPD = gúc CPD (do BD là trung trực của AC) gúc MCD = gúc MDC (do M thuộc trung trực của DC)  gúc CPD = gúcMDC = gúc CMD = gúcMCD  tam giỏc MDC đều  gúc CMD = 60 0  tam giỏc DMA cõn tại D (vỡ AD = DC = DM) Và gúc ADM =gúcADC – gúcMDC = 90 0 – 60 0 = 30 0  gúc MAD = gúc AMD (180 0 - 30 0 ) : 2 = 75 0  gúcMAB = 90 0 – 75 0 = 15 0 Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c  x + y + z = 0 (vỡ 1/a = 1/b + 1/c = 0)  x = -(y + z)  x 3 + y 3 + z 3 – 3 xyz = -(y + z) 3 + y 3 – 3xyz -( y 3 + 3y 2 z +3 y 2 z 2 + z 3 ) + y 3 + z 3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0 Từ x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = 0  x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz  1/ a 3 + 1/ b 3 + 1/ c 3 3 1/ a 3 .1/ b 3 .1/ c 3 = 3/abc Do đú P = ab/c 2 + bc/a 2 + ac/b 2 = abc (1/a 3 + 1/b 3 + 1/c 3 ) = abc.3/abc = 3 Nếu 1/a + 1/b + 1/c =o thỡ P = ab/c 2 + bc/a 2 + ac/b 2 = 3 . + 10xy + 8y 2 = 96 <--> 3x 2 + 4xy + 6xy + 8y 2 = 96 <--> (3x 2 + 6xy) + (4xy + 8y 2 ) = 96 <--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 <-->. minh bất đẳng thức phụ b. Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta cú ( ) (*) 2 22 yx ba y b x a + + ≥+ <-->(a 2 y + b 2 x)(x + y) ( ) xyba 2 +≥ ⇔ a 2 y