Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp các công thức xác suất thống kê giúp cho việc giải bài tập dễ dang hơn
Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo PHẦN XÁC SUẤT GIẢI TÍCH TỔ HP: Chỉnh hợp : Ank n! (n k )! Chỉnh hợp (lặp): k n A nk k n (các p tử không lặp lại) nhóm có thứ tự gồm k p.tử chọn từ n p.tử cho k lớn n nhóm có thứ tự gồm k p.tử lấy từ n p.tử cho, p.tử có mặt 1,2 k lần nhóm tạo thành Hoán vị: Pn A n ! n n Hoán vị n p.tử nhóm có thứ tự gồm đủ mặt n p.tử cho Tổ hợp: Cnk Lớp: 08L1TH n! k !( n k )! k n laø nhóm không phân biệt thứ tự gồm k p.tử khác chọn từ n p.tử cho Trang 1/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo BIẾN CỐ – PHÉP THỬ: Các loại biến cố: Biến cố chắn (U) Biến cố không (V) Biến cố ngẫu nhiên (A, B, C hay A1, B1, C1 ) Mối quan hệ biến cố: (Giả sử ta có A, B, C biến cố ) Định nghóa 1: Hai biến cố tương đương A = B - A xảy B xảy ngược lại Định nghóa 2: Biến cố tổng C = A + B Nếu C xảy A B xảy Định nghóa 3: Biến cố tổng n biến cố A = A1+A2+ +An Nếu n biến cố xảy Định nghóa 4: Biến cố tích C = A B Nếu C xảy A B xảy Định nghóa 5: Biến cố tích n biến cố A = A1.A2 An Nếu n biến cố đồng thời xảy Định nghóa 6: Biến cố xung khắc A B gọi hai biến cố xung khắc chúng không đồng thời xảy phép thử Định nghóa 7: Biến cố xung khắc n biến cố Nhóm n biến cố A1,A2, ,An gọi nhóm biến cố xung khắc đôi có hai biến cố n biến cố xung khắc Định nghóa 8: biến cố A1,A2, ,An nhóm biến cố đầy đủ chúng xung khắc đôi tổng chúng biến cố chắn (P(U) = 1) Định nghóa 9: Hai biến cố đối lặp A B gọi hai biến cố đối lặp chúng tạo nên nhóm biến cố đầy đủ (P(U) = 1) Lớp: 08L1TH Trang 2/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Định nghóa cổ điển xác suất: P( A) m n m: Số trường hợp thuận lợi để A xảy n: Số trường hợp khả xảy Các tính chất xác suất: Tính chất 1: A biến cố P( A) Tính chất 2: xác suất biến cố chắn P(U ) Tính chất 3: xác suất biến cố không P(V ) Tính chất 3: Nếu A B hai biến cố xung khắc, ta có P( A B ) P( A) P( B ) Chú ý: A B hai biến cố xung khắc chúng không đồng thời xảy phép thử Lớp: 08L1TH Trang 3/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT: Công thức cộng xàc suất : Công thức 1: Nếu A B hai biến cố xung khắc ; P( A B ) P( A) P( B ) Công thức 2: Nếu A B hai biến cố ; P( A B ) P( A) P( B ) P( A.B ) Hệ : Nếu A B hai biến cố đối lập ; P( A) P( B ) Chú ý: A B gọi đối lập chúng xung khắc; biến cố tổng chúng biến cố chắn (C = A + B) Công thức nhân xác suất : Xác suất có điều kiện : Xác suất biến cố A tính theo đk biến cố B xảy gọi xác xuất có đk Công thức nhân xác xuất: P( A.B ) P( A) P( B / A) P( A/ B ) Hệ quả: Nếu A B độc lập với nhau, ta có: P( A/ B ) P( A) P( B / A) P( B ) P( A.B ) P( A) P( B ) Lớp: 08L1TH Trang 4/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Công thức Bernoulli: Áp dụng cho phép thử độc lập Thực n phép thử độc lập Trong phép thử xảy trường hợp Gọi A phép thử xảy hai trường hợp Hoặc A xảy A xảy Trong phép thử : xác suất để xảy biến có A p; xác suất để xảy biến có A q = - p; Ta có, xác xuất để n phép thử có biến cố A xảy tính theo công thức sau: Pn ( x) Cnx p x q n x với x = 0, 1, , , n Công thức xác suất đầy đủ: Giả sử B xảy n biến cố : A1, A2, An nhóm biến cố đầy đủ P B P A1 P B / A1 P A2 P B / A2 P An P B / An Hay P B i 1 P Ai P B / Ai n Lớp: 08L1TH Trang 5/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo ĐẠI LƯNG NGẨU NHIÊN: Bảng phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc) (ĐLNN rời rạc ĐL mà giá trị có hữu hạn đếm được.) X x1 Pi p x2 p2 x3 p3 xn pn (Caùc giaù trị có ) (Các xác suất tương ứng ) Điều kiện: o pi o p1 + p2 +p3 + +pn = Hàm phân phối xác suất : (áp dụng cho ĐLNN rời rạc liên tục ) (ĐLNN liên tục ĐL mà giá trị có lắp kính khoản trục số ) Ký hiệu hàm phân phối xác suất : F(x) = P(X < x) Các tính chất hàm phân phối xác suất : a F x b F(x) hàm không giảm ( Đạo hàm không âm ; c F'x ) P( a X b ) F(b ) F( a ) d Các biểu thức giới hạn: lim F( x) ; Khi x F (x) x lim F( x) ; Khi x F (x) x Lớp: 08L1TH Trang 6/19 =1 =0 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Hàm mật độ xác suất : (áp dụng cho ĐLNN liên tục ) Ký hiệu hàm mật độ xác suất : f x F 'x Các tính chất hàm mật độ xác suaát : f x a b P a xb với x b => f dx x a x c F x f x dx d f x dx Chú ý: Một hàm f(x) muốn trở thành hàm mật độ xác suất ĐLNN LT X phải thỏa hai tính chất Lớp: 08L1TH Trang 7/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯNG NGẨU NHIÊN: Kỳ vọng toán : Các ĐLNN rời rạc X X x1 Pi p x2 p2 x3 p3 xn pn Ký hiệu & công thức tính kỳ vọng toaùn: M(x) = x1p1+ x2p2+ x3p3+ + xnpn Hay n M x xi pi i 1 Ý nghóa kỳ vọng toàn: đặc trưng cho giá trị trung bình ĐLNN Phương sai ĐLNN : Các ĐLNN rời rạc X X x1 Pi p x2 p2 x3 p3 xn pn Ký hiệu & công thức tính phương sai: D X ( x12 p1 x22 p2 xn2 pn ) M x Hay n D x xi2 pi M x i 1 Ý nghóa kỳ vọng toàn: đặc trưng cho mức độ phân tán giá trị có so với kỳ vọng toán Lớp: 08L1TH Trang 8/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP: Quy luật nhị thức : ĐL NN rời rạc X nhận giá trị có: 0,1,2,3 n; với xác suất tương ứng tính theo công thức sau: Công thức 1: P X x P x Cnx p x q n x Bảng phân phối xác suất: X Pi Cn0 p q n n Cn1 p1q n1 Cnn p n q M X n p D X n p.q Công thức : P x X x h Px P x 1 P x P x h Trong P(x), P (x +1) tính theo công thức Công thức : (Gần cho công thức 1) P x fu n p.q Với : u x n p n p.q fu Lớp: 08L1TH u2 e 2 Hoặc tính u, tra bảng phụ lục trang 192 ta tính f(U) Nếu u f(u) = f(-u) Trang 9/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Công thức : Công thức gần cho công thức P x X x h u2 u1 Với : u1 x n p n p.q u2 ( x h) n p n p.q u Lớp: 08L1TH 2 u e u2 Hoặc tính u1, u2; tra bảng phụ lục trang 192 ta tính được: u , u Nếu u f(u) = -f(u) Nếu u > => f(u) = 0.5 du Trang 10/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo PHẦN THỐNG KÊ MẪU NGẪU NHIÊN Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên : WX = (X1, X2 Xn) Ký hiệu mẫu cụ thể : wx = (x1, x2 xn) CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẨU NHIÊN Trung bình mẫu ngẫu nhiên: Ký hiệu công thức tính trung bình mẫu ngẫu nhiên: X X X X n n Xi n n i1 Ký hiệu công thức tính trung bình mẫu cụ thể : x x1 x2 xn n xi n n i 1 Phương sai mẫu ngẫu nhiên: Ký hiệu công thức tính phương sai mẫu ngẫu nhiên: S2 ( X X ) ( X X ) ( X n X )2 n ( X i X )2 n n i 1 Ký hiệu công thức tính phương sai mẫu cụ thể : s2 Lớp: 08L1TH ( x1 x) ( x2 x) ( xn x) n ( xi x)2 n n i 1 Trang 11/19 Löu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên: Ký hiệu công thức tính phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên: S 2 ( X X )2 ( X X ) ( X n X ) n ( X i X )2 n 1 n i 1 Hoaëc: S 2 n S n 1 Ký hiệu công thức tính phương sai mẫu cụ thể : s 2 Hoặc: ( x1 x )2 ( x2 x)2 ( xn x) n ( xi x)2 n n i 1 s 2 n s n 1 Độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên: Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu ngẫu nhiên: S S2 Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn mẫu cụ thể : s s2 Độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên: Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên: S S 2 Ký hiệu công thức tính độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu cụ thể : s s 2 Lớp: 08L1TH Trang 12/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo ƯỚC LƯNG TRUNG BÌNH: Trường hợp 1: n 30; D X (đã biết ) n 30 , D X hoaëc (đã biết ), X phân phối xác suất chuẩn x < m < x Với: độ xác tiêu chuẩn U 1 n 1 2 (Tính => U n , tra bảng phụ lục ta tính U : độ tin cậy ước lượng Trường hợp 2: n 30; D X (chưa biết ) x < m < x Với: độ xác tiêu chuẩn U 1 s n 2 ( s : tính từ mẫu cụ thể; tính => U s ; n , tra bảng phụ lục ta tính U : độ tin cậy ước lượng Lớp: 08L1TH Trang 13/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Trường hợp 3: n 30; D X (chưa biết ), X phân phối xác suất chuẩn x < m < x Với: độ xác tiêu chuẩn n 1 t1 s n (Tính 2 => tn 1 s ; n , tra bảng phụ lục ta tính tn1 : độ tin cậy ước lượng **************************************** Cả ba trường hợp có công thức : x < m < x Chỉ khác cách tính Lớp: 08L1TH I U n II U s n III tn 1 s n Trang 14/19 Löu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo ƯỚC LƯNG TỶ LỆ: GS P tỷ lệ chưa biết , ta cần ước lượng P, muốn ta tìm khoản số P1 P2: Công thức tính: f < m < f Với: f: tỷ lệ mẫu cụ thể độ xác tiêu chuẩn U 1 f (1 f ) ; => U 2 n (Tính f (1 f ) n , tra bảng phụ lục ta tính U : độ tin cậy ước lượng KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TRUNG BÌNH: GS ĐLNN X có kỳ vọng M(X ) = m chưa biết , dựa sở ta nêu giả thuyết: H : m m0 Tương ứng có loại giả thuyết đối: H : m m0 H : m m0 H : m m0 Lớp: 08L1TH Trang 15/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Các bước giải toán: Bước 1: Ta chọn thống kê (tuỳ trường hợp) làm tiêu chuẩn kiểm định Bước 2: Tìm miền bác bỏ W : o Với giả thuyết đối: H : m m0 W , U 1 U1 , o Với giả thuyết đối: H : m m0 W U1 , o Với giả thuyết đối: H : m m0 W , U1 Bước 3: tính uqs (Theo trường hợp) Lớp: 08L1TH Trang 16/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Bước 4: so sánh uqs với miền bác bỏ - Nếu - Nếu uqs W uqs W W => Bác bỏ H thừa nhận H => Thừa nhận H Các trường hợp để chọn thống kê U tính uqs: Trường hợp 1: (Thực qua bước trên) n 30; D X (đã biết ) n 30 , D X (đã biết ), X phân phối xác suất chuẩn ( X m0 ) n U uqs ( x m0 ) n Trường hợp 2: (Thực qua bước trên) n 30; D X (chưa biết ) ( X m0 ) n U S Lớp: 08L1TH Trang 17/19 uqs ( x m0 ) n s Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Trường hợp 3: n 30; D X (chưa biết ), X phân phối xác suất chuẩn ( X m0 ) n T S tqs ( x m0 ) n s Ở trường hợp xét miền bác bỏ, ta chuyển: U 1 T n 1 1 U1 T1n1 Lớp: 08L1TH Trang 18/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỶ LỆ: Tương tự kiểm định giả thuyết trung bình, ta có: H : p p0 Tương ứng có loại giả thuyết đối: W , U U , 1 1 H : p p0 W U1 , H : p p0 W , U1 H : p p0 Chọn thống kê, tính uqs: (chỉ có trường hợp) ( X p0 ) n U p0 (1 p0) uqs ( f p0 ) n p0 (1 p0 ) f: tỷ lệ mẫu cụ thể So sánh uqs với miền bác bỏ W - Nếu - Nếu Lớp: 08L1TH uqs uqs W => Bác bỏ H thừa nhận H W => Thừa nhận H Trang 19/19 Lưu hành nội ... Lớp: 08L1TH Trang 3/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT: Công thức cộng xàc suất : Công thức 1: Nếu A B hai biến cố xung... chẳn: => f(u) = f(-u) Trang 9/19 Lưu hành nội Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo Công thức : Công thức gần cho công thức P x X x h u2 u1 Với : u1 ... Tổng hợp công thức: Xác Suất & Thống Kê Toán Tài liệu tham khảo MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP: Quy luật nhị thức : ĐL NN rời rạc X nhận giá trị có: 0,1,2,3 n; với xác suất
