BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN HIỀN SƠN CẤU TRÚC CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Huế, Năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Trần Hiền Sơn Demo Version - Select.Pdf SDK ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm, chu đáo Thầy giáo, PGS.TS Trần Đạo Dõng Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy giành nhiều thời gian trao đổi khoa học góp ý quý báu q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Huế, q Thầy Cơ giáo Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế, Thầy Cô giáo tham gia giảng dạy Cao học Khóa 21 Tôi xin chân thành cảm ơn người thân, bạn bè, anh chị học viên cao học Toán K21 Trường Đại học Sư phạm Huế tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Trần Hiền Sơn Demo Version - Select.Pdf SDK iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Chương Giới thiệu đại số Lie nửa đơn 1.1 Đại số Lie 1.2 Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh 1.3 Đại số Lie nửa đơn 1.4 Đại số Cartan 11 1.5 Hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn chẻ 14 Chương Cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng 22 2.1 Đại sốDemo Lie nửa đơn đối-xứng SDK Version Select.Pdf 22 2.2 Cấu trúc số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể 34 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 LỜI MỞ ĐẦU Việc mô tả cấu trúc đại số Lie nửa đơn nội dung lý thuyết Lie khơng gian đối xứng Đóng vai trò quan trọng việc khảo sát tính nửa đơn tiêu chuẩn Cartan xây dựng từ dạng Killng đại số Lie đại số Cartan, tức lớp đại số Lie lũy linh trùng với chuẩn tắc hóa Trong số đại số Lie nửa đơn, lớp đại số Lie nửa đơn đối xứng tức đại số Lie cho tồn tự đồng cấu đối hợp nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát, có mối liên hệ mật thiết với nhóm Lie nửa đơn đối xứng Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, mong muốn tìm hiểu làm rõ số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie nửa đơn đối xứng, từ ứng dụng để mơ tả cấu trúc số đại số Lie cụ thể: sl(n, R), so(p, q), su(p, q) Được gợi ý PGS.TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng" làm đề tài nghiên cứu luận văn Ngoài phần mở Version đầu, kết luận tài liệu SDK tham khảo, luận văn chia làm Demo - Select.Pdf hai chương: Trong chương I chúng tơi trình bày số khái niệm đại số Lie liên quan đến đề tài Nội dung chủ yếu chương khảo sát khái niệm, tính chất đại số Cartan, hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn chẻ Các tính chất tập nghiệm làm rõ để góp phần khảo sát tính chất, khái niệm chương sau Trong chương II chúng tơi trình bày đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích đối xứng đại số Lie thông qua tự đồng cấu đối hợp, không gian Cartan, tồn không gian Cartan đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích Iwasawa, số tính chất, định lí liên quan áp dụng khảo sát số đại số Lie cụ thể sl(n, R), so(p, q), su(p, q) để làm rõ lý thuyết trình bày Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng việc trình bày luận văn khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy cô đồng nghiệp dành cho luận văn CHƯƠNG Giới thiệu đại số Lie nửa đơn Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức đại số Lie nửa đơn, đại số Cartan hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn chẻ Các khái niệm kết chủ yếu tham khảo từ tài liệu [4], [6] [9] 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1 Cho g không gian véc tơ trường k Khi g gọi đại số Lie k tồn phép toán [, ] : g×g −→ g (X, Y ) −→ [X, Y ] cho a) [, ] tuyến tính biến; Demo Version - Select.Pdf SDK b) [X, X] = 0, ∀X ∈ g; c) Thỏa mãn đồng thức Jacobi, tức [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g Số chiều không gian véc tơ g gọi chiều đại số Lie g, kí hiệu dimk g, [, ] gọi tích Lie k = R : g gọi đại số Lie thực k = C : g gọi đại số Lie phức Đại số Lie g gọi giao hoán [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g Nhận xét 1.1 1) Mỗi không gian véctơ V trường k đại số Lie giao hốn với tích Lie: [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ V 2) Cho g đại số Lie, a không gian véc tơ g Đặt Ng (a) = {X ∈ g|[X, Y ] ∈ a, ∀Y ∈ a} ... 14 Chương Cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng 22 2.1 Đại sốDemo Lie nửa đơn đối- xứng SDK Version Select.Pdf 22 2.2 Cấu trúc số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể ... trình bày đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích đối xứng đại số Lie thông qua tự đồng cấu đối hợp, không gian Cartan, tồn không gian Cartan đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích Iwasawa, số tính... Lie đại số Cartan, tức lớp đại số Lie lũy linh trùng với chuẩn tắc hóa Trong số đại số Lie nửa đơn, lớp đại số Lie nửa đơn đối xứng tức đại số Lie cho tồn tự đồng cấu đối hợp nhiều nhà toán học