BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VÕ ANH DŨNG BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH: CÁC MỞ RỘNG VÀ SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN GIẢI TÍCH Huế, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VÕ ANH DŨNG BỔ ĐỀ FARKAS VÀ ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH: CÁC MỞ RỘNG VÀ SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Demo Version - Select.Pdf SDK LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN ĐỊNH Huế, năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Võ Anh Dũng Demo Version - Select.Pdf SDK ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới PGS TSKH Nguyễn Định, người Thầy tận tình dẫn truyền đạt kiến thức trình học tập ln động viên để tơi hồn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn tới tất Thầy Khoa Tốn, trường ĐHSP Huế giảng dạy tơi suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình tạo điều kiện tốt cho việc học bạn bè hỗ trợ việc hoàn thành luận văn Đồng Nai, ngày 03 tháng 03 năm 2014 Học viên Võ Anh Dũng Demo Version - Select.Pdf SDK iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức 1.1.Một số kiến thức giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.1.3 Ánh xạ K-lồi 1.1.4 Hàm nửa liên tục Demo Version - Select.Pdf SDK 1.2.Đối ngẫu hàm lồi, vi phân 1.2.1 Đối ngẫu hàm lồi 1.2.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.3.Một số kết đại giải tích lồi 10 Chương Bổ đề Farkas mở rộng 14 2.1.Điều kiện quy đối ngẫu 15 2.2.Bổ đề Farkas cho hệ không lồi 20 2.3.Bổ đề Farkas cho hệ lồi 26 2.4.Bổ đề Farkas mở rộng cho hệ DC 29 2.5.Bổ đề Farkas dạng tiệm cận 30 2.5.1 Bổ đề Farkas dạng tiệm cận cho hệ không lồi 33 2.5.2 Bổ đề Farkas dạng tiệm cận cho DC hệ lồi 34 Chương Sự tương đương kết dạng Farkas mở rộng định lý Hahn-Banach 39 3.1.Định lý Hahn-Banach, bổ đề Farkas dạng cổ điển tương đương 39 3.2.Các kết dạng Farkas mở rộng cho hệ lồi theo nón 44 3.3.Bổ đề Farkas cho hệ S-lồi 47 3.4.Các hệ 54 3.5.Định lý Hahn-Banach-Lagrange mở rộng 56 3.6.Sự tương đương mở rộng bổ đề Farkas định lý HahnBanach-Lagrange 58 3.7.Các định lý Hahn-Banach xấp xỉ 60 3.7.1 Định lý Hahn-Banach xấp xỉ cho trường hợp lồi 60 3.7.2 Định lý Hahn-Banach xấp xỉ cho trường hợp không lồi 61 Kết luận kiến nghị 63 Tài liệu thamVersion khảo - .Select.Pdf SDK Demo 64 MỞ ĐẦU Vào năm 1894, nhà vật lý Gyula Farkas quan tâm đến toán cân học, quan sát thấy cần thiết phải thiết lập đặc trưng nón lồi đa diện nửa khơng gian đóng Về mặt tốn học, đặc trưng "một bất đẳng thức tuyến tính hệ hệ tuyến tính nhất" Sau vài lần không thành công, Farkas chứng minh đặc trưng ông vào năm 1902 dạng không (cho tập lồi đa diện nửa không gian đóng tùy ý), sau gọi bổ đề Farkas Bổ đề Farkas sử dụng học, tài (xem [20], [21]) (Bổ đề Farkas phát biểu ngơn ngữ tốn học ngun lý thứ thị trường tài chính), đặc biệt lý thuyết tối ưu tuyến tính, phi tuyến (xem [15][25]) Bổ đề Farkas dạng tương đương Định lý Hahn-Banach (xem [22]) Vì tầm quan trọng đặc biệt nó, trăm năm qua bổ đề Farkas liên tục mở rộng từ hệ tuyến tính đến hệ vectơ, hệ lồi, phi tuyến khác thập niên cuối kỷ 20 (và thường gọi kết dạng Farkas), với áp dụng vào toán tối ưu tổng quát lớp toán cụ thể Trong thập niên đầu kỷ 21 này, cách tiếp cận khác, sử dụng lý Demo Version - Select.Pdf SDK thuyết đối ngẫu giải tích lồi, tác giả N Định, V Jeyakumar, đồng tác giả có nhiều kết việc mở rộng lý thuyết việc áp dụng kết dạng Farkas vào lý thuyết tối ưu Cụ thể, tác giả thiết lập nhiều kết dạng Farkas mở rộng cho hệ lồi, DC (hiệu hai hàm lồi) không cần điều kiện quy điều kiện quy (qualification conditions) gọi điều kiện (CC) yếu nhiều so với điều kiện tương ứng có trước Các kết ứng dụng thành công việc thiết lập điều kiện tối ưu, định lý đối ngẫu mạnh, ổn định tập chấp nhận cho toán tối ưu lồi, DC với vơ hạn ràng buộc Ngồi chúng sử dụng công cụ chủ yếu để nghiên cứu tốn tơi ưu vectơ, bất đẳng thức biến phân, toán cân với tham gia yếu tố lồi, DC ([18], [19]) Như ta biết, định lý Hahn-Banach dạng tương đương nó: Các định lý tách tập lồi, định lý khơng tương thích (Hồng Tụy), xem tảng giả tích lồi, tối ưu lồi thập niên vừa qua Tất dạng tương đương với bổ đề Farkas (dạng tuyến tính) Một vấn đề tự nhiên đặt là: Có chăng, mở rộng định lý Hahn-Banach tương ứng với phát triển, mở rộng bổ đề Farkas nêu (gọi kết dạng Farkas)? Mới tác giả N Dinh, M A Goberna, M A Lopez, M Volle cho phần câu trả lời khẳng định cho câu hỏi [8], [11], [13] Cấu trúc của luận văn bao gồm ba chương: Chương trình bày kiến thức sử dụng cho chương sau Chương khái quát phát triển, mở rộng bổ đề Farkas, trình bày bổ đề Farkas cho hệ khơng lồi, cho hệ lồi, hệ DC bổ đề Farkas dạng tiệm cận Chương trình bày tương đương định lý Hahn-Banach bổ đề Farkas (dạng cổ điển mở rộng định lý này) Demo Version - Select.Pdf SDK ... định lý Hahn-Banach dạng tương đương nó: Các định lý tách tập lồi, định lý khơng tương thích (Hoàng Tụy), xem tảng giả tích lồi, tối ưu lồi thập niên vừa qua Tất dạng tương đương với bổ đề Farkas. .. triển, mở rộng bổ đề Farkas, trình bày bổ đề Farkas cho hệ không lồi, cho hệ lồi, hệ DC bổ đề Farkas dạng tiệm cận Chương trình bày tương đương định lý Hahn-Banach bổ đề Farkas (dạng cổ điển... đề Farkas dạng tiệm cận cho DC hệ lồi 34 Chương Sự tương đương kết dạng Farkas mở rộng định lý Hahn-Banach 39 3.1.Định lý Hahn-Banach,