TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐN HỌC PHỔ THƠNG CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP CHỦ ĐẠO: KẾT HỢP SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC  PHỐI HỢP PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ  SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ  SỬ DỤNG KẾT HỢP ĐÁNH GIÁ – BẤT ĐẲNG THỨC  TỔNG HỢP CÁC PHÉP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN  BÀI TỐN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2014 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay không, nhờ phần lớn cơng học tập em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) Yêu bảo yêu, Ghét bảo ghét, Dù ngon nuông chiều, Cũng không nói yêu thành ghét, Dù cầm dao dọa giết, Cũng khơng nói ghét thành u (Lời mẹ dặn – Phùng Quán; 1957) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP Trong khn khổ Tốn học sơ cấp nói chung Đại số phổ thơng nói riêng, hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp dạng tốn thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều phận khác toán học sơ cấp toán học đại Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp phận hữu cơ, quan trọng, phổ biến giảng dạy thức chương trình sách giáo khoa Tốn lớp 9, 10, 11, 12 song song với khối lượng kiến thức liên quan Đây kiến thức phổ biến xuất kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp toàn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, kỳ thi đầy cam go, kịch tính bất ngờ, lại câu quan tâm bạn học sinh, phụ huynh, thầy cô, giới chuyên môn đơng đảo bạn đọc u Tốn u cầu dạng tốn đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm ẩn thỏa mãn tính chất nên để thao tác dạng toán này, bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp kiến thức học phương trình, hệ phương trình bất phương trình, đòi hỏi lực tư thí sinh cao Tuy nhiên "Trăm hay khơng hay tay quen", phương pháp được hệ trước đúc kết tận tụy cho hệ tương lai, bạn hoàn toàn đủ khả kế thừa, phát huy sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày vững bền, phồn vinh, hiển nhiên toán kỳ thi định rào cản, mà hội thử sức, hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần quốc ! Các phương pháp giải biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp luyện tập cách đặn, hệ thống hữu ích, khơng mơn Tốn mà phục vụ đắc lực cho môn khoa học tự nhiên khác hóa học, vật lý, sinh học, Tiếp theo Lý thuyết giải hệ phương trình chứa (Phần 1, 2, 3, 4), tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa cấp độ cao, trình bày chi tiết thí dụ điển hình hệ giải nhờ sử dụng tổng hợp phép thế, phép cộng đại số, đại lựợng liên hợp, sử dụng đồng tính chất đơn điệu hàm số, phép ước lượng – đánh giá – bất đẳng thức Đây nội dung có mức độ khó tương đối, đòi hỏi bạn độc giả cần có kiến thức vững phép giải phương trình chứa căn, kỹ biến đổi đại số tư chiều sâu bất đẳng thức Các thao tác tính tốn kỹ trình bày phương trình, hệ phương trình xin không nhắc lại I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, đẳng thức Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao Sử dụng thành thạo ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) Kỹ giải hệ phương trình hệ phương trình đối xứng, hệ phương trình đồng bậc, hệ phương trình chứa thơng thường Kỹ thuật đặt ẩn phụ, sử dụng đại lượng liên hợp, biến đổi tương đương Kiến thức tảng uớc lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ I MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC  x3  3x  x  y  y  13 y  8, Bài tốn Giải phương trình   x; y  ¡  2 2 x   y    y  1  x  x  Lời giải Điều kiện x  2; y  3 Phương trình thứ hệ tương đương với x3  x  3x   x   y  y  12 y   y    x  1  x    y    y  3 Đặt x   u; y   v  u  u  v  v  u  v  u  v    u  v   u  uv  v  1    Với u  uv  v     u  v   v  1 (Vô nghiệm)   Với u  v  x   y   x  y  , phương trình thứ hai hệ trở thành x   x   x  x   x    x  x  10  x    x   x       x5 x22  x   x2 1 1    x  5, x  3  (1) vô nghiệm x2 2 Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2;1 Ta có  x  1  x  x    y  y , Bài tốn Giải hệ phương trình  2 x  y  15  x  y Lời giải Điều kiện 2x  y  x; y  ¡  Phương trình thứ hệ tương đương với  x  1  x  1  3  y  y   x  1   x  1  y  y   3 3 Đặt x   u;  u  u  y  y  u  y  3u  y    u  y   u  uy  y  3    Với u  uy  y     u  y   y  1 (Vô nghiệm)   Với u  y  x   y phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x   x  x  20     x    x  x  24 x  2x    x  3 x       x8 x 1   x   1 2     x  8, x  1  (1) vô nghiệm x 1  2 Từ suy hệ ban đầu có nghiệm  x; y    3;  Rõ ràng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _  x  y   x  xy  y     x  y   8, Bài toán Giải hệ phương trình  4 x  y   62  x  x    y Lời giải Điều kiện x  y   Phương trình thứ hệ tương đương với x  y   x  y    x  y   8  x; y  ¡   x3  3x  x   y  y  y  x3  3x  x   3x   y  y  y   y    x  1   x  1   y  1   y  1 3 Đặt x   u; y   v  u  u  v  v  u  v  3u  3v    u  v   u  uv  v  3    Với u  uv  v     u  v   v  3 (Vô nghiệm)   Với u  v  x   y  , phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x   x  x  60    x     x  x  24  x    x   x       3 x  6 x5 3  x    x  4  1 4     x    1 vô nghiệm x5 3 Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm  x; y    4;6  Ta để ý 7 x  y  xy  x  y   12 x  x  1, Bài tốn Giải phương trình   x; y  ¡ 5 x  y   y  x  x     Lời giải Điều kiện x  y   Phương trình thứ hệ tương đương với x  12 x  x   x3  x y  xy  y    x  1   x  y   x   x  y  y   x Phương trình thứ hai hệ trở thành 3 x  1  x     x  x    x  1   x   x  x  x  5   x    x  x  x  12  x    x  2  x  6     x2  x 1 1  x    x  2 1 5     x  6, x  nên (1) vô nghiệm x 1  1 Suy hệ phương trình đề có nghiệm  x; y    2; 1 Dễ thấy CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _  x3  y  x  x  y  4, Bài toán Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y  x  y  Lời giải Điều kiện x  y  0; y  5 Phương trình thứ hệ tương đương với y   10  x; y  ¡  x3  x  x   x   y  y    x  1   x  1  y  y  Đặt x   t ta thu 1 1  t  y  3t  y    t  y   t  ty  y    t  y      t  y  y  3   t  y   t  ty  y  3      t  y t   y Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x  x    x  x  Với   x  , biến đổi dạng x  x   3x      x    x   x  1  x  15 x5  0 3x     x     x  5  x       2 3x     x     Rõ ràng x     0, x    ;6  nên    x    x  3x     x   Từ đến hệ có nghiệm  x; y    5; 4  Nhận xét Thơng qua tốn mở đầu, tiên nhiều bạn độc giả có thắc mắc tự nhiên chưa thấy mặt mũi gọi ý tưởng chủ đạo sử dụng công cụ đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số Hết sức bình tĩnh, tạm thời cần quan sát chút, rõ ràng tốn có phương trình định hướng, thuận tiện biến đổi tương đương để phân tích nhân tử, dừng chân mức độ đơn giản, có phương trình hệ ban đầu có dạng phương trình đa thức hai ẩn có đặc thù biến đổi hàm số đơn điệu theo dạng thức f u   f  v   u  v Chưa vội sử dụng cơng cụ đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số, hoàn toàn chưa sử dụng đồng hai phương trình hệ hay cơng cụ đạo hàm để khảo sát hàm số biến, đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số cần thiết Tiếp tục sử dụng phương pháp phương trình lại thu phương trình ẩn, hầu hết tốn cố ý xếp theo hướng sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời, yêu cầu bạn độc giả nắm vững phương pháp giải phương trình chứa để đọc hiểu tài liệu cách tốt Kiến thức đạo hàm – khảo sát hàm số thuộc liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT, thực nhẹ nhàng với bạn thí sinh ơn luyện thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, học sinh lớp THCS hồn tồn giải tồn tốn tương tự theo hướng phân tích nhân tử, với kiến thức thức phương pháp giải phương trình vơ tỷ thơng thường, điều đáng hoan nghênh Vì tác giả mong muốn bạn độc giả nhỏ tuổi coi lời giải sử dụng kiến thức đạo hàm – hàm số có tính chất tham khảo CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài tốn Trích lược câu 3, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT, Mơn Tốn; Tỉnh Lạng Sơn, Đề thức, năm học 2013 – 2014  x3  3x  x   y  y , Giải hệ phương trình   x; y  ¡   x   y   Lời giải Điều kiện x  3; y  1 Phương trình thứ hệ tương đương với x3  x  x   x   y  y   x  1   x  1  y  y 1 Xét hàm số f  t   t  3t ; t  ¡  f   t   3t   0, t  ¡ Hàm số liên tục đồng biến ¡ nên 1  f  x  1  f  y   x   y Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x   x   x   x  3x   x  3x   x 6  x  x     x 4 y 3 9 x  36   x  3x  x  12 x  36 Kết luận hệ phương trình có nghiệm  x; y    4;3 Bài tốn Trích lược câu 2.b, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT, Mơn Tốn; Thành phố Hà Nội, Đề thức, năm học 2013 – 2014  x3  y  3x  x  y   0, Giải hệ phương trình   x; y  ¡  2 2  x  3  y  y  x   Lời giải  2  x  Điều kiện   1  y  Phương trình thứ hệ tương đương với x3  x  x   x   y  y   x  1   x  1  y  y Xét hàm số 1 f  t   t  3t ; t  ¡  f   t   3t   0, t  ¡ Hàm số liên tục đồng biến ¡ nên 1  f  x  1  f  y   x   y Khi phương trình thứ hai hệ trở thành  2  3x  x   x  3 x      x   y  2 4  x  x  12 x   x 5x  6   Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ có nghiệm  x; y    0;1 Nhận xét Hai toán bước đầu sử dụng đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số, may mắn lại chung hàm số f  t   t  3t ; t  ¡ Trước tiên khơng q khó để nhận đơn giản định hướng xuất phát từ phương trình thứ hệ ban đầu Thực phân tích, thêm bớt biến đổi đến dạng tương đồng hàm số f  u   f  v   u  v Điều kiện tiên để có hành trình hàm số đặc trưng cần xét phải đơn điệu miền xác định (tập hợp số thực miền xác định biểu thức đề bài, thâm chí điều kiện có nghiệm ẩn) Để chứng minh hàm số đơn điệu miền bạn có hai phương án, sử dụng định nghĩa hàm số đơn điệu chương trình Đại số lớp 10 THPT công cụ đạo hàm Phương án Sử dụng công cụ đạo hàm CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f  t   t  3t ; t  ¡  f   t   3t   0, t  ¡ Đạo hàm dương nên hàm số liên tục đồng biến tập hợp số thực Từ f  u   f  v   u  v Phương án Sử dụng định nghĩa đơn điệu hàm số 3 f  x1   f  x2  x1  3x1   x2  3x2  x13  x23   x1  x2    x1  x2 x1  x2 x1  x2  x1  x2   x12  x1 x2  x22  3     x  x1 x2  x    x1  x2   x22   0, x1 ; x2  ¡ x1  x2   Suy hàm số đồng biến liên tục Thu f  u   f  v   u  v 2  x  x  xy  y   y  y  y  x  2,  Bài toán Giải hệ phương trình  2  x  y  1  y 1  y   x  x  x Lời giải Điều kiện x  y  1 Phương trình thứ hệ tương đương với  x; y  ¡  x3  3x y  3xy  y  x  y  y  y  y   y    x  y    x  y    y  1   y  1 3  Xét hàm số f  t   t  2t ; t  ¡  f   t   3t   0, t  ¡ Hàm số liên tục đồng biến ¡ nên   f  x  y   f  y  1  x  y  y   x  y  Phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x   x    y  1  x  x  x   x   x  x3  x  x   3x   x3  3x  x     3x    x3  x  x  x 1    x  1  x  x  3   2    x  1  3x    x   2 2 Dễ dàng nhận thấy      x  1  2, x    (1) vô nghiệm 3x   2 Từ ta thu nghiệm hệ  x; y   1;0   x  1 1  x3  x  y   y  1 y  1  1, Bài toán Giải hệ phương trình   x; y  ¡   x  y  x  y  19  xy  y  105, Lời giải Điều kiện x  y  0; x  y  19  Phương trình thứ hệ tương đương với x3  x  y  y  y   x  x  y  y  y   y   x  x   y  1  y Đặt y   t ta x  t  x  x  t  t  x  t  x  t    x  t   x  xt  t  1     x  t   t  1   Dễ nhận thấy (*) vô nghiệm 3 3 2   CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Với x  t  x  y  1; x  y   y   , phương trình thứ hai trở thành 2 y   y   y  y  y  105 (1)   ; y    ;        y  y   0, y    ;   , hàm số đồng biến y5   Xét hàm số f  y   y   y   y  y  y Đạo hàm f   y    y 1 Mặt khác lại có f    105 nên phương trình (1) có nghiệm y    x; y    4;5  Kết luận hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    5;   x  x y  x y  xy3 , Bài toán 10 Giải hệ phương trình  3  y   x  x  y  y  Lời giải  x; y  ¡   x2   x2  Điều kiện y  Phương trình thứ hệ tương đương với       x3  x  y   y  Xét hàm số f  t   t  3t ; t  ¡  f   t   3t   0, t  ¡ 1  x2  Hàm số liên tục đồng biến ¡ nên 1  f    f  x   x  y  y  Khi phương trình thứ hai hệ trở thành x   x  x   x    x3  x    x     x  1  x  x     2x  2     x  1  x  x      x  1   x2  x    2x 1   2x 1 1   2 2  23   x2  x   x    0, x  nên    x    x   y  2 2x 1 1 2x 1   Kết luận hệ cho có nghiệm  x; y   1;1 Để ý  x y  3x    2  y x  3y  Bài tốn 11 Giải hệ phương trình   x; y  ¡  3 x  y  x   1  10  x  x  y y Lời giải Điều kiện x  10; y  Phương trình thứ hệ tương đương với x  x  y    y  y  3x    x  xy  x  y  x y  y  x3  3x y  3xy  y  x  y  y  y   x  y    x  y   y  y Xét hàm số f  t   t  4t ; t  ¡  f   t   3t   0, t  ¡ 1 Hàm số liên tục đồng biến ¡ nên 1  f  x  y   f  y   x  y Phương trình thứ hai hệ trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 10 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3  x3  x3       x3   10  x  x 2 2 10  x  x  x 10  x  x     10  x  x  3x     10  x   x3  x  1   x  1   21     x  1  x  x  1    x  1   6 x      4   10  x    10  x  2 2  21  Nhận xét   x     0, x  10 nên    x    x   y  4  10  x   1 Kết luận hệ cho có nghiệm  x; y   1;   2  x3  x  xy   x  y  3xy    y  y  y,  Bài tốn 12 Giải hệ phương trình  x  y   x3 x  y   x y  x  x  y  11 Lời giải Điều kiện  x  y   x  x  y  11  0; x  y    x; y  ¡  Phương trình thứ hệ tương đương với x3  x y  xy  y  x  xy  y  x  y  y  y  y   x  y    x  y    x  y   y3  y  y 1 Xét hàm số f  t   t  t  2t ta có f   t   3t  2t   2t   t  1   0, t  ¡ Vậy hàm số đồng biến liên tục ¡ nên 1  f  x  y   f  y   x  y  y  x  y Khi phương trình thứ hai trở thành 3x   x3   x   x3  x  x  22 x  x  11  x   10  x3  x  x  12   5 3x     3x     x  x  x     15  9     x    x  x  1    x     6 x        3x     x   2  2 15 1  Rõ ràng   x     0, x  nên    x    x   y  2 3x    Đối chiếu điều kiện thu nghiệm  x; y    2;   x3  y  11y  12  y  x  x, Bài tốn 13 Giải hệ phương trình   x; y  ¡  3 11 y    x  y    x  27 Lời giải Điều kiện y  2 Phương trình thứ hệ tương đương với x3  3x  3x   x  x   3x   y  y  12 y   y  y   y    x  1   x  1   x  1   y     y     y   3 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 114 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _  y  y  y   x  x  4, Bài tốn 117 Giải hệ phương trình  2  y  x  y  x   Lời giải Điều kiện x; y  ¡ Cộng vế hai phương trình hệ ta thu  x; y  ¡  y  y   y  y   x2   x2  Xét hàm số f  t   t  t ; t   f   t     0, t  Vậy hàm số liên tục, đồng biến t  t Ta thu f    y2  y   f  x2   y  y   x    y  1  x    y  x  1 y  x  1   y  x  1; x   y  Với y  x   x  x   x   x  x    x  ; y  2  Với x   y  y  y   y  y  1   y    4 y    y  ; x  4      Kết luận hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;  ,  ;    2   4    y  y  y  x  22 x  21   x  1 x  1, Bài toán 118 Giải hệ phương trình   x; y  ¡  2 x  11x   y Lời giải Điều kiện x  Hệ phương trình cho tương đương với  y  y  y  x  22 x  21   x  1 x   4 x  22 x  18  y Trừ vế hai phương trình thu y  y  y  x  22 x  21   x  22 x  18    x  1 x   y  y  y  y    x  1 x    y  y  y  1   y  1   x    x    y  1   y  1   x  1 x   2 x  1 Xét hàm số f  t   t  2t ; t  ¡ f   t   3t   0, t  ¡ Hàm số liên tục đồng biến với t dương Ta có 1  f  y  1  f   x 1  y   x 1  y  x  1 Phương trình thứ hai hệ trở thành x  11x     x    x  11x  11  2 x   x  22 x  22  x   x  20 x  25  x   x     x  5   2x 1   2 x   x   3  x  x   2  3 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 115 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 4 x  28 x  49  x  4 x  30 x  50     x 5 y     x   x    3  x  2 x    3     x 1 y  4 x  12 x   x  2 x  x   Kết luận hệ phương trình cho có hai nghiệm  x; y    5;  , 1;    x y  x   0,  Bài tốn 119 Giải hệ phương trình  2 y2    8x2 y3  x   x y  Lời giải Thay  x  x y từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta có    x   3x y  x  x2 y   x2   x2 y  x   x 1  4x y  x  2  x2   x  2x2 y Rõ ràng x  không nghiệm (1) nên     x; y  ¡   y    8x2 y3  y    8x2 y x y.4 y y 1 1  y2 1 1  2x2 y   y2  1 1 x   x  x  x  x  x   x  x  0, x   x   x  0; x  x2 Lúc kết hợp   y 0 0 x 2 x  y    0, y  ¡ Lại biến đổi phương trình (1) 1  x2   x 1  y y2 1  1   2y x x x x Xét hàm số f  t   t  t t  1; t   f   t    2t  t2 1 2 y 1  y  0, t  ¡ , hàm liên tục đồng biến ¡ 1 1 Thu f    f  y   xy  phương trình thứ trở thành x   y  x Kết luận hệ phương trình có nghiệm 3 x  x   x x    y  1 y  y  2, Bài tốn 120 Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y  Lời giải Trừ vế hai phương trình hệ ta có  x; y  ¡  x  x x   y   y  1 y  y   y   x   x x   x  y  y    y  1 y  y   y  y    x2   x    y 1 y2  y   1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 116 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Ta nhận xét x   x  x  x  x  x   x  x  nên đặt y   u 1   x2   x   u2 1  u   x2   x  u2 1  u  x2   x  u   u  x2   u   x  u   x  u  x  u    xu  x  u   x  u   1  2 x2   u   x 1  u 1  x  u   x  u  x  y 1 2  x 1  x  u 1  u   2  5 2 Khi phương trình thứ hai trở thành y  y    y   2;    x; y    1; 2  ,  ;  3  3 3      Kết luận tốn có hai nghiệm kể Bài tốn 121 Trích lược câu 1, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT; Mơn Tốn; Đề thi thức; Sở Giáo dục Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2013 – 2014 3 x  x   x  1 x  x    y   y  y  5, Giải hệ phương trình   x; y  ¡  2  x  y  x  y  Lời giải Điều kiện x; y  ¡ Phương trình thứ hệ tương đương với  x  x  1   x  1 x  x    x  x    y   y  y    x  1   x  1 x  x   y  y    y   y  y    x  1   x  1  x  1    y  2   y  2 Xét hàm số f  t   2t  2t t  1; t  ¡ ta có f   t   4t  t   2t t2 1  y  2 1    0, t  ¡ Hàm số liên tục đồng biến toàn trục số thực, dẫn đến    f  x  1  f  y    x   y   x  y  1  Phương trình thứ hai hệ trở thành y  y   y  y  12  y   y  10 y    y   3;   3  8 1 Từ dẫn đến hệ có nghiệm  x; y    0; 3 ,  ;   3 3 Nhận xét tốn từ 117 đến 121 khơng nằm ngồi phạm vi lớp hệ phương trình chứa giải phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu – khảo sát hàm số Tuy nhiên chuyên mục thứ 2, mở với tốn số 100, khơng đơn khai thác phương trình hệ trước, yêu cầu kết hợp tổng hòa phép thế, sử dụng biến đổi tương đương, liên hợp từ hai phương trình để thiết lập tương đồng hàm số Lấy điển hình tốn số 121, tầm vóc tốn chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT mơn Tốn, tỉnh Bắc Giang, địa phương trung du miền Bắc có bề dày truyền thống học tập anh dũng Quan sát phương trình thứ hệ phương trình 121 thấy có chút tương đồng hàm số, phương trình thứ hai dùng phép biến đổi để xử lý, tất nhiên phép phương cách trước CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 117 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x  x   x  1 x  x    y   y  y   m  x  1   x  1 x  x   m  y     y   y  y  2 Rõ ràng cần ý đồng cho m  x  1  m  y    x  x 2 Lại có x  y  x  y   y  y    x  x    y    Khi  x2  x  2 2 m  x  1  m  y    m  x  x  1   y        x2  x   m  m  x  x  1    3x  x     Thực đồng m x  x   x  x  m  , dẫn đến lời giải   y  x   0,  Bài toán 122 Giải hệ phương trình   x; y  ¡  2  x   y  y   y  y  Lời giải Điều kiện x  Hệ cho tương đương với  y2  x   5 x      2  x   y  y   x   y  x   x  y  y   y     x 1    x   x    x 1   2  y  1   y   x   x     y  1   y 1    A  A, A  Chú ý   A  A  0, A  ¡ nên ta xét hàm số  A   A, A  f  t   t   t; t  ¡  f   t   t t2  1  t  t2  t2  Hàm số liên tục đồng biến toàn trục số nên thu    f  t  t2 t2   t t t2   x   f  y  1   0, t  ¡ x  y 1 Phương trình thứ lại trở thành y   y  1   y  y     y  0;5   x; y   1;0  ,  36;5  Kết luận hệ cho có hai nghiệm kể  xy   y x  2, Bài toán 123 Giải hệ phương trình  2  y   x  1 x  x   x  x Lời giải Do  x; y  ¡  x   x, x  ¡ nên phương trình thứ hệ biến đổi  y x   xy   y   x2   x   2y x 2x  x2   x  y Phương trình thứ hai hệ trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 118 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _   x   x   x  1 x  x   x  x  x  x x     x  1 x  x   x  x   x x   x   x  1 x  x    x  x x   x    x  1 x  x    x    x  1  x  1 Xét hàm số f  t   t  t t  2; t  ¡  f   t      x   x x   2 2t  2  0, t  ¡ t2  Như hàm số liên tục đồng biến toàn trục số thực Dẫn đến    f   x   f  x  1   x  x   x    y  Vậy hệ có nghiệm kể 3 x  y   10 xy,  Bài toán 124 Giải hệ phương trình  x  xy  y  1   x  y   x  y     Lời giải Điều kiện 1  x  y  Hệ phương trình cho tương đương với  x; y  ¡   x  y 2   x  y 2   x  y 2    x  y 2     x  y      1     x  y   3  x  y  1   x  y    x  y   1  x  y  1   x  y  Đặt x  y  t ta có phương trình ẩn t:  2t  3 2t   2t  4t  1   2t   2t   2t   8t  2t 1 Xét hàm số f  u   u  u; u  ¡  f   u   3u   0, u  ¡ Hàm số liên tục đồng biến tập hợp số thực nên ta có t  f 2t   f  2t   2t   2t    t   x  y  2t  t    x  y   x  y  Khi ta có hệ     x; y    2;1 ,  1; 2    x  y    x  y  3;3 Đối chiếu điều kiện ta có hai cặp nghiệm kể      x  y 2  x  xy  y   3,  Bài toán 125 Giải hệ phương trình  2 x  y  xy  Lời giải Nhận xét x  xy  y   x  y  xy    x  xy  y    x  y  Phương trình thứ hệ trở thành  x  y  1     t 1 t    t   x  y     Đặt  x  y   t ; t  ta có  t    3t     x; y  ¡  t  t  1 t2     t  1  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 119 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _  t  t  1    t  1   3   t    t   x  y  1;1  t 3 2  Xét hai trường hợp xảy  y  x  x  y  3 1 o     x; y    0; 1 ,  ;    2 4 4 2 x  y  xy  2 x   x  1  x  x  1   y  x   x  y  1  1   x ; y  0;1 ,        ;  2 x  y  xy  x  x   x x    4        Kết luận hệ cho có bốn cặp nghiệm kể Nhận xét Hệ phương trình chứa mang tên hệ sử dụng tính chất đơn điệu hàm số hay GTLN, GTNN hàm số xảy tương đồng với hai ẩn hàm khác theo hai biến, tùy ý xuất phát từ hai phương trình hệ Hai toán 124 125 hệ phương trình chứa thức giải phương pháp thế, có thơng qua chút ẩn phụ (nếu muốn), sau thay ta phương trình ẩn, quan trọng không thiết sử dụng công cụ đạo hàm – hàm số Trong thao tác giải hệ phương trình chắn tổng hợp nhiều công đoạn, nhiều kỹ năng, kỹ thuật, chưa kể lồng ghép hỗn hợp hướng xử lý phương trình vơ tỷ, phương trình hữu tỷ, có ranh giới phân định rạch ròi phương pháp hệ phương trình Chẳng hạn có hai cách diễn đạt đáng lưu ý  Trình độ học sinh lớp 8, 9, 10 chưa thể giải thí dụ 124, 125 sử dụng đạo hàm  Trình độ học sinh lớp 8, 9, 10 hoàn toàn giải thí dụ 124, 125 Nếu nói theo cách thứ nhất, vơ tình ngộ nhận, ngăn ngừa làm tư mạo hiểm em học sinh nhỏ tuổi, thực tế hai toán 124 125 đơn giản, chưa cần kiến thức đạo hàm – hàm số liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT Nói cách khác, hai tốn 110 111 khơng đặc thù cho phương thức sử dụng công cụ đạo hàm – hàm số, tác giả đề cập hy vọng bạn độc giả có nhìn đa chiều, khách quan chất phương pháp o 17 x  17 x   y  1 y   x x   17 y  y  34, Bài toán 126 Giải hệ phương trình  2 17 x  x  11x  14 y  y  25 Lời giải Điều kiện x  1; y  2 Trừ vế hai phương trình hệ ta có  x; y  ¡  x  x   y  1 y   x x   y  12 y   x  x   y  1 y   x x   y  y   x  x   x x   y  y    y  1 y    x  1   x  1 x   x    y     y   y   y  2   Xét hàm số f  t   t  2t  2t; t   f   t   4t  6t    t  1  2t  1  0, t  Hàm số liên tục đồng biến với t không âm nên ta    f   x 1  f   y   x 1  y   x   y   x  y  Phương trình thứ hai hệ trở thành 17 x3  x  11x  14  x  1   x  1  25  17 x3  17 x  45 x  45    x  1 17 x  45    x   y  Kết luận hệ có nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 120 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài tốn 127 Trích lược câu 3, Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 THPT, Mơn Tốn, Khối A A1; Kỳ thi lần thứ 3; Năm học 2013 – 2014; Trường THPT Chuyên, Đại học Vinh, Tỉnh Nghệ An 2 x  x  x   y  y  y  1, Giải hệ phương trình   x; y  ¡  2  x  y  x  y   Lời giải Điều kiện x  2; y   Trừ vế hai phương trình hệ ta có x  3x  x   y  y   y  y  y   x  3x  x    y  y  y    x  1   x  1  x    y   y  y  2 Xét hàm số f  t   t  t  t  1; t  1  f   t   2t   Ta có f   t     t  1 ; f   t     t  1  1 t 1 1  t 1   t    3 Khảo sát hàm số g  t   f   t   Min f   t   f        f   t   0, t  1  4 t 1 Do hàm số liên tục đồng biến với t  1 dẫn đến 1  f  x  1  f  y   x   y Phương trình thứ hai hệ trở thành 1   y   y  1  y    y  y     y  1 y  1   y   ;1 6   1 Từ suy hệ có hai cặp nghiệm  x; y   1;1 ,   ;   6 Nhận xét Ngoài phương án tính đạo hàm cấp hai để khảo sát biểu thức đạo hàm cấp một, bạn linh hoạt sử dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân với điểm rơi sau Trước tiên f  t   t  t  t  1; t  1  f   t   2t   t 1  y  1 Áp dụng 2t   1 1 1   t  1     3  t  1 1  33 1  2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1   6 x  x   17 x  18 y  y  y   16,  Bài tốn 128 Giải hệ phương trình  5 x  12 x  10  x   y Lời giải Điều kiện x  2; y   Trừ vế hai phương trình hệ ta có x  x  x   10  y  y  y   x   16  x; y  ¡   x2  5x   x   y  y  y    x  2  x   x   y  y  y  Xét hàm số f  t   t  t  t  1; t  1  f   t   2t      g  t  ; t  1 t 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 121 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Ta có g   t     t  1 ; g t     t  1   t 1   t  Thực khảo sát hàm g  t   Min g  t   g      f   t   0, t  1 t 1 Như hàm số f  t  liên tục đồng biến với t  1 , dẫn đến    f  x    f  y   x   y Dẫn đến x  12 x  10  x    x    x  11x   x  2  x  12 x   x   x      x     x  3  x   2x   x  1  2x  1    x   2 x     x    2 x   x  1  x  1 7  17  1    x  x   x  8x  4 x  x    x  2  x  2   2     x  2  2 x    x  2 Kết hợp điều kiện ta thu hai nghiệm kể Nhận xét Quan sát toán 128, hệ phương trình hình thức đơn giản thú vị độc đáo, nằm đề thi khảo sát chất lượng khối THPT Chuyên Đại học Vinh, Tỉnh Nghệ An nói, ngơi trường có bề dày thành tích học tập, thi cử cơng trình nghiên cứu, nằm địa phương tiếng truyền thống hiếu học, văn vật, tự cường, mảnh đất Nghệ An quê hương Chủ tịch Hồ Chí Minh Nhiều năm qua, đề thi đơn vị ln đầu tư cơng phu, có hàm lượng kiến thức bao hàm, đánh giá lực thí sinh dự thi, số sĩ tử nói vui “bám sát với đề thi thức Bộ giáo dục đào tạo” Thực phổ biến, tốn đòi hỏi nhiều kỹ năng, tư lập luận nhạy bén, công đoạn cộng đại số thiết lập tương đồng hàm, giai đoạn nhận định ẩn hàm, hẳn giáo viên đề tốn khơng cơng sức sáng tạo f  t   t  t  t  1; t  1  f   t   2t   t 1 Có lẽ nhiều bạn đọc, tác giả có ý định tìm nghiệm phương trình đạo hàm, nhiên việc bất khả thi đạo hàm hàm số đặc trưng bố trí để xác định dương, phương án tối ưu tìm giá trị nhỏ biểu thức đạo hàm, công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số, tức cần xét thêm hàm số thứ hai, đồng nghĩa với việc tính đạo hàm cấp hai hàm ban đầu 1 Hàm số thứ hai g  t   2t    g   t   f   t    t 1  t  1 Con đường mở lại thuận lợi xuất f   t     t  1  1  t 1   t    3 Tiến hành khảo sát hàm số g  t  dẫn đến Min g  t   g       g  t   0, t  1  f   t   0, t  1  4 t 1 Rõ ràng đến hàm số đồng biến liên tục thực Tác giả tiến hành số quan sát nhỏ phát cơng đoạn mấu chốt thiết lập hàm số, từ thiết lập mn vàn tốn tương tự, thực tế khơng q khó Trước tiên lưu ý bạn đọc cần có kiến thức ngun hàm tích phân sau 3 1   2   2 2    t  m   t  m   ;  at  b   at  b             3 a tm a at  b t  m   at  b  Hai cơng thức tảng cho đạo hàm cấp hai, tức hàm số phụ g  t  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 122 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ g  t    g  t    t  m   at  b   g t    g t   tm a at  b Tiếp theo, khái quát số bước sau ( a, b, c, d  )  Lựa chọn nghiệm cho đạo hàm cấp hai g t    c    at  b  Lấy nguyên hàm hàm số g  t  0  at  b  c2  b  c  at  b  c  t  a 3 2  f  t   ct  td  at  b a a at  b b  Chú ý f   t   g  t   ct  d   0, t   thất bại, trường hợp đơn giản Do a a at  b d b cần lựa chọn số thỏa mãn    để bắt buộc xét hàm số phụ c a  Quy đồng bỏ mẫu đảm bảo hàm số có hệ số nguyên ca 2t  2a 2td  at  b f  t   ct  td  at  b  a a2 Điển tốn số 114, tác giả găm nghiệm đẹp với a  b  c  g t    ; g   t     t  1   t    t   t  1 f   t   g  t   ct  d  Lấy nguyên hàm ngược trở lại f   t   g  t   t  t2  t 1  f t   t  t   2 t 1 Lấy hệ số nguyên thu f  t  : t  t  Tăng cường mức độ phức tạp cho hàm số f  t  : t  t  t   f   t   2t   t 1  0, t  1 , thất bại t 1 Sau tìm mối liên hệ hai biến, tiếp tục xây dựng phương trình thứ hai, nhiên toán 113 tác giả toán sử dụng phương trình bậc hai bản, lại nghiệm hữu tỷ nữa, không lý mà không giải Xuất phát từ quan sát nhỏ trên, tác giả mạo hiểm triển khai thành cơng với tốn số 127, chút thời gian có niềm vui lớn, phần nhỏ tốn ẩn giấu chất thực hàm số, điều đặc biệt găm số đẹp vào phương trình thứ hệ, hai số 17 6, ngày 17.06.1997, ngày có ý nghĩa – ngày sinh nhật cô bé, cô bé đặc biệt, Nếu chọn f  t  : t  3t  t   f   t   2t   4 x   x  17 x  22 y  32, Bài tốn 129 Giải hệ phương trình  2 6 x  17 x  x   x   y  40 y  y   41 Lời giải Điều kiện x   ; y  3 Trừ vế hai phương trình hệ ta có  x; y  ¡  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 123 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x  x   y  x  18 y  y    x  x   y  18 y   y   x  18 x   18 x  18  x   y  18 y  y    x  1  18  x  1   x  1   y  18 y  y  2   12    f   t   18t  18   18  t    3t  3t    Xét hàm số g  t   t    g t    g   t     3t     3t    t  3 3t   3t   Xét hàm số f  t   9t  18t  3t  2; t  Khảo sát hàm số g  t   Min g  t   g 1  t 2   f   t   18  12  3 Vậy hàm số f  t  liên tục đồng biến miền t  Dẫn đến    f  x  1  f  y   x   y Phương trình thứ hệ trở thành x   x  17 x  22  x  1  32  x  x  10  x     x  x  1  x   x      x  1   x32   x   0  x  1 y   x   Từ suy hệ có nghiệm x  1; y  Nhận xét Bài toán số 129 tiếp tục với motip cũ, toán 128, tác giả lựa chọn nghiệm cho đạo hàm cấp hai f  t   g  t   t    f   t   g   t    3 3t   3t   Rõ ràng g   t     3t     3t    t  Lấy nguyên hàm đưa hàm số gốc dự kiến f  t   t  t  3t  Từ găm ẩn hàm tùy theo sở thích, sử dụng biến đổi đại số bạn thu toán với số nghiệm ý Lưu ý sử dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân sau 3t  1 f  t   g t   t       3 3t  3t  3t  Quy đồng đưa đạo hàm có hệ số nguyên f  t   9t  18t  3t  2; t   33 3t  1 1   33   0 3 3t  3t  27 3 4 x  x  24 x   x  y  34  0, Bài toán 130 Giải hệ phương trình  2 4 x  x  x  33  y  y  24 y  Lời giải Điều kiện x   ; y  2 Trừ vế hai phương trình hệ ta có  x; y  ¡  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 124 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x   24 x   y  y  24 y   x  x   x   24 x   y  y  24 y    x  1   x  1  24 x   y  y  24 y  2   12 t2 Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 12 6 f   t   2t    t  2   2 t2 t2 t2 Xét hàm số f  t   t  2t  24 t  2; t  2  f   t   2t   6   3 2.6.6   t2 t2 Do hàm số liên tục đồng biến tập hợp số thực Dẫn đến    f  x  1  f  y   x   y Phương trình thứ hệ trở thành x  x  24 x   x   x  1  34   3 t  2   x  1  24 x   16  x  x3  x     x    x  x  x  1  3 x   2  x    x  x  1     x  x  x  1  Kết luận hệ phương trình ban đầu vơ nghiệm    x   y y  1, 12 x  x  xy  Bài tốn 131 Giải hệ phương trình    2 x  xy  3x   x     x; y  ¡  Lời giải Điều kiện x  4; y   x   y y  1, 12 x  x  xy   Hệ phương trình cho tương đương với  2 x  xy  3x  x    Cộng vế hai phương trình ta có x  x  1  y y   x  x  1  y y   x  x  1  y y   x3  x   y   1 y    x   x   y  1 y   y     y 1  y 1 Xét hàm số f  t   t  t ; t  ¡  f   t   3t   0, t  ¡ Hàm số liên tục đồng biến nên f 2x  f  x  y 1  2x  y 1   4 x  y   Phương trình thứ hai trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 125 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 2 x  xy  x  x 4x2  x    2 x  x  3x  2 0 2  x3  x  x  x   x3  x  x   x   2 x   2x 1   x  1  x  x  3    x  1  x   2x   2x    1 Rõ ràng  x  1  x     , x   1 vô nghiệm 2x   Từ suy hệ có nghiệm x  ; y  2 5 y  y  y   3 x  35 x  x   14, Bài toán 132 Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y   Lời giải Điều kiện x  1; y  Hệ phương trình cho tương đương với 5 y  y  y   3 x  35 x  x   14,  2 4 y  y  x  32 x  16 Cộng vế hai phương trình ta  x  1   x  1   x 1  f    x; y  ¡  2 t Hàm số liên tục đồng biến với t không âm nên ta   x; y  ¡  x    y  1  y   y  Xét hàm số f  t   t  t  t ; t   f   t   4t  2t  f 1 y 1  x 1   0, t  y 1  x   y 1  x  y  Thế vào phương trình thứ hai ta giải dễ dàng Bài tập tương tự Trích lược câu 2.1, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT; Mơn Tốn; Đề thi thức; Sở Giáo dục Đào tạo Tỉnh Hải Dương; Năm học 2015 – 2016 3 x  x   x x    y  1 y  y  2, Giải hệ phương trình  2 2 x  y   x  y  3   x  1  x   y  y  y  12  , Giải hệ phương trình   x; y  ¡   x    y  y  3  CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 126 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập tốn hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải tốn Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài tốn chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hồnh Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 127 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải toán Đại số Giải tích Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Mai Xn Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 33 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 34 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp 35 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 36 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 37 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 38 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 39 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twitter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP 128 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP ... 22 toán mở màn, chắn nhiều bạn độc giả hình dung phần ý tưởng sử dụng cơng cụ đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số giải hệ phương trình chứa thức (hệ phương trình vơ tỷ) nói chung Các toán dừng... thuyết giải hệ phương trình chứa (Phần 1, 2, 3, 4), tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa cấp độ cao, trình bày chi tiết thí dụ điển hình hệ giải nhờ sử dụng. .. hướng sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời, yêu cầu bạn độc giả nắm vững phương pháp giải phương trình chứa để đọc hiểu tài liệu cách tốt Kiến thức đạo hàm – khảo sát hàm số thuộc