Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM B. CC TR CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 4 cực trị của hàm vô tỉ I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm vô tỉ. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc 2 : Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x 0 . Bớc 3 : Xét hai khả năng: a. Khả năng 1. (Nếu xét đợc dấu của y'). Khi đó: Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1 b. Khả năng 2. (Nếu không xét đợc dấu của y'). Khi đó: Tìm đạo hàm y''. Tính y''(x 0 ) rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 2. Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số y= 2 xx23 . Giải. Ta có điều kiện 3-2x-x 2 0 -3x1. Vậy: D=[-3,1]. Đạo hàm: y'= 2 xx23 x1 suy ra y'=0 -1-x=0 x=-1. Bảng biến thiên x - -3 -1 1 + y' + 0 - y 0 CĐ 2 0 Vậy: - Hàm số đồng biến trong khoảng (-3,-1). - Hàm số nghịch biến trong khoảng (-1, 1). - Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và giá trị cực đại y CĐ =2. Bài toán 2. Tìm m để hàm số y= cbxax 2 ++ có cực trị. phơng pháp chung Ta có: Tìm miền xác định D. Đạo hàm: y'= cbxax2 bax2 2 ++ + , y'=0 f(x)=2ax+b=0 (1) a. Hàm số không có cực trị . Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1 . Nếu a=0. Khi đó: y'= cbx2 b + không đổi dấu. 2 Chủ đề 4: Cực trị của hàm vô tỉ Vậy a=0 thoả mãn. Trờng hợp 2 . Nếu a0. Khi đó (1) x=- a2 b . Điều kiện là - a2 b không thuộc D. b. Hàm số có cực trị phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc D D a2 b 0a . c. Hàm số có cực tiểu phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ âm sang dơng > D a2 b 0a . d. Hàm số có cực đại phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ dơng sang âm < D a2 b 0a . Ví dụ 2: Cho hàm số y= 1x ax 2 + + . Tìm a để: a. Hàm số không có cực trị. b. Hàm số có cực trị c. Hàm số có cực tiểu. d. Hàm số có cực đại. Giải. Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'= 1x)1x( 1ax 22 ++ + suy ra y'=0 1-ax=0. (1) a. Hàm số không có cực trị phơng trình (1) vô nghiệm a=0. b. Hàm số có cực trị phơng trình (1) có nghiệm a0. 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số c. Hàm số có cực tiểu phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ âm sang dơng a<0. d. Hàm số có cực đại phơng trình (1) có nghiệm và qua đó y' đổi dấu từ d- ơng sang âm a>0. Ví dụ 3: Cho hàm số y=-x+1-m 2 x4 . Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị hàm số. Giải. Miền xác định D=[-2, 2]. Đạo hàm: y'=-1+ 2 x4 mx ; y''= 32 )x4( m4 . y'=0 2 x4 =mx =+ 4x)1m( 0mx 22 + = 1m 2 x 0mx 2 . (1) Trờng hợp 1. Với m=0, Khi đó (1) có nghiệm x=2D, nhng hàm số không đạt cực trị tại x=2 bởi khi đó y''=0 x. Trờng hợp 2. Với m>0 Phơng trình (1) có nghiệm x 1 = 1m 2 2 + D và y''(x 1 )>0. Vậy, hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Trờng hợp 3. Với m<0. Phơng trình (1) có nghiệm x 2 =- 1m 2 2 + D và y''(x 2 )<0. Vậy, hàm số đạt cực đại tại x 1 . Chú ý. Phơng pháp đợc mở rộng cho lớp hàm: y=x++ cbxax 2 ++ . Bài toán 3. Tìm m để hàm số y= x++ cbxax 2 ++ có cực trị. phơng pháp chung Ta đi: Tìm miền xác định D. Đạo hàm: y'=+ cbxax2 bax2 2 ++ + ; y''= 32 2 )cbxax(2 )bac4( ++ . a. Hàm số không có cực trị . Ta xét hai khả năng: Khả năng 1 . Phơng trình y'=0 không có nghiệm thuộc D. Khả năng 2 . y''=0 (4ac-b 2 )=0. b. Hàm số có cực trị 4 Chủ đề 4: Cực trị của hàm vô tỉ hệ = 0)x(''y 0)x('y có nghiệm xD. c. Hàm số có cực tiểu hệ > = 0)x(''y 0)x('y có nghiệm xD. d. Hàm số có cực đại hệ < = 0)x(''y 0)x('y có nghiệm xD. II.Các bài toán chọn lọc Bài 1 (Đề 14): Tìm cực trị của hàm số y=-2x+3 1x 2 + . bài giải Miền xác định: D=R. Đạo hàm: y'=-2+3. 1x x 2 + = 1x 1x2x3 2 2 + + , y'=0 2 1x 2 + =3x x= 5 52 . y''= 2/32 )1x( 3 + y''( 5 52 )>0. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x= 5 2 và không có cực đại. Bài 2 (Đề 147): Tìm m để hàm số y=-2x+2+m 5x4x 2 + có cực đại. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=-2+m. 5x4x 2x 2 + và y''= 2/32 )5x4x( m + . Dấu y'' phụ thuộc m nên điều kiện cần để hàm số có cực đại là m<0. Khi đó hàm số có cực đại phơng trình y'=0 có nghiệm. Ta có: y'=0 2 5x4x 2 + = m(x-2) 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số =+ 222 )2x(m)5x4x(4 0)2x(m = 4)2x)(4m( 02x 22 . Do đó y'=0 có nghiệm 4m 4 2 >0 < > 2m 2m . Vậy hàm số có cực đại khi: m<-2. Khi đó hoành độ điểm cực đại là x=2- 4m 2 2 . III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số: a. y= 5x4x 2 + . b. y= 3x2x 2 ++ . c. y=x+ 1x2 2 + . d. y= 32 xx3 e. y= 1xx 1x 2 + + . Bài tập 2. Với mỗi giá trị của tham số m, tìm cực trị của đồ thị các hàm số. a. y= 1x ax 2 + + b. y=x+3-m 1x 2 + c. y= 1mx2x 2 + +2-m Bài tập 3. (ĐHAN - 97) Xác định m để hàm số y=-2x+m 1x 2 + không có cực trị. 6 . y'=0 2 5x4x 2 + = m(x-2) 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số =+ 222 )2x(m)5x4x (4 0)2x(m = 4) 2x)(4m( 02x 22 . Do. (Đề 147 ): Tìm m để hàm số y=-2x+2+m 5x4x 2 + có cực đại. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=-2+m. 5x4x 2x 2 + và y''= 2/32 )5x4x( m