TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN CHƯƠNG I : TÍCH PHÂN BỘI I TÍCH PHÂN BỘI HAI ∫∫ f ( x; y ) dxdy D Đổi biến tích phân bội hai  x = x ( u; v ) Xét phép đổi biến :  Khi miền D mặt phẳng Oxy biến thành D' y = y u ; v ( )  mặt phẳng O'uv D ( x; y ) xu/ = / Ta dùng định thức Jacobi : J = yu D ( u; v ) Ta có cơng thức đổi biến : xv/ ≠ 0, ∀ ( u; v ) ∈ D / / yv ∫∫ f ( x; y ) dxdy = ∫∫ f  x ( u; v) , y ( u; v) J D D (1.1) dudv (1.2) / Đổi biến hệ toạ độ cực Công thức liên hệ toạ độ Descartes ( x; y ) toạ độ cực ( r ; ϕ ) điểm M :  x = r cos ϕ   y = r si n ϕ Ta dùng định thức Jacobi : J = D ( x; y ) D (r;ϕ ) = xr/ xϕ/ yr/ yϕ/ = cos ϕ si n ϕ − r si n ϕ =r r cos ϕ (1.3) Cơng thức tích phân bội hai hệ toạ độ cực : ∫∫ f ( x; y ) dxdy = ∫∫ f ( r cos ϕ; r si n ϕ ) r dr dϕ D D (1.4) / Các phép đổi biến mở rộng tích phân bội hai toạ độ cực : a) Kết hợp với phép tịnh tiến phép đổi biến sang toạ độ cực : 2 Biên D đường tròn ( x − a ) + ( y − b) = R  x = a + r cos ϕ Đặt  Khi : J = r Suy ra: Miền D / =  y = b + r si n ϕ {( r ; ϕ ) : ≤ ϕ ≤ 2π ; ≤ r ≤ R} b) Kết hợp với phép co giãn phép đổi biến sang toạ độ cực : Biên D ellip x2 a2 + y2 b2 =  x = ar cos ϕ Đặt  Khi : J = abr Suy ra: Miền D / =  y = br si n ϕ {( r ; ϕ ) : ≤ ϕ ≤ 2π ; ≤ r ≤ 1} TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Một số ứng dụng tích phân bội hai a) Tính diện tích hình phẳng : S = ∫∫ dxdy (1.5) D b) Tính thể tích vật thể : V = ∫∫ f ( x; y ) dxdy V = ∫∫ f ( x; y ) − f ( x; y ) dxdy D (1.6) D c) Tính diện tích mặt cong : * Nếu mặt cong có phương trình z = f ( x; y ) : S = ∫∫ 2 ( ) + ( z ) dxdy + zx/ / y (1.7) D xy * Nếu mặt cong có phương trình x = f ( y; z) : S = ∫∫ 2 ( ) + ( x ) dydz + x y/ / z (1.8) D yz * Nếu mặt cong có phương trình y = f ( x; z) : S = ∫∫ ( ) ( ) + yz/ + yz/ dxdz (1.9) D xz d) Khối lượng bảng phẳng : m = ∫∫ f ( x; y ) dxdy (1.10) D Nếu f ( x; y ) = ρ0 ( ρ > 0, ρ = const ) ta nói bảng phẳng D đồng chất Khi khối (1.11) lượng D : m = S ρ (S diện tích bảng phẳng) e) Momen quán tính bảng phẳng : - Momen quán tính trục Ox : I x = ∫∫ y f ( x; y) dxdy (1.12) D - Momen quán tính trục Oy : I y = ∫∫ x f ( x; y) dxdy (1.13) D - Momen quán tính gốc O : I O = I x + I y = ∫∫ ( y ) (1.14) ∫∫ yf ( x; y) dxdy (1.15) + x2 f ( x; y ) dxdy D f) Momen tĩnh toạ độ trọng tâm bảng phẳng : - Momen tĩnh bảng phẳng D trục Ox : M x = D - Momen tĩnh bảng phẳng D trục Oy : M y = ∫∫ xf ( x; y ) dxdy (1.16) D  My =  xG = m m  - Toạ độ tâm G ( xG ; yG ) bảng phẳng D là:  y = M x =  G (m khối lượng bảng phẳng) m m  TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM ∫∫ xf ( x; y) dxdy D (1.17) ∫∫ yf ( x; y) dxdy D Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN II TÍCH PHÂN BỘI BA ∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz V Đổi biến tổng quát tích phân bội ba  x = x ( u; v; w )  Xét phép đổi biến  y = y ( u; v; w ) Khi miền V mặt phẳng Oxyz biến thành V'   z = z ( u; v; w ) mặt phẳng O'uvw Ta dùng định thức Jacobi : J = V ( x; y; z) V ( u; v; w ) xu/ = yu/ xv/ yv/ xw/ yw/ ≠ 0, ∀ ( u; v; w ) ∈ V / zu/ zv/ zw/ (1.18) Ta có cơng thức đổi biến : ∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz = ∫∫∫ f  x ( u; v; w ) , y ( u; v; w ) , z ( u; v; w ) J V dudvdw (1.19) V/ Đổi biến hệ toạ độ trụ  x = r cos ϕ  Công thức liên hệ :  y = r si n ϕ Điều kiện : ≤ r ≤ +∞; ≤ ϕ ≤ 2π ; − ∞ < z < +∞ z = z  cos ϕ Định thức Jacobi : J = si n ϕ − r si n ϕ r cos ϕ 0 =r (1.20) Cơng thức tích phân bội ba hệ toạ độ trụ : ∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz = ∫∫∫ f ( r cos ϕ; r si n ϕ; z) r dr dϕ dz V (1.21) V/ Đổi biến hệ toạ độ cầu  x = r si n θ cos ϕ  Công thức liên hệ :  y = r si n θ si n ϕ Điều kiện : ≤ r ≤ +∞; ≤ ϕ ≤ 2π ; < θ < π  z = r cos θ  si n θ cos ϕ Định thức Jacobi : J = r cos θ cos ϕ − r si n θ si n ϕ si n θ si n ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ si n ϕ cos θ − r si n θ = − r si n θ (1.22) TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Cơng thức tích phân bội ba hệ toạ độ cầu : ∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz = ∫∫∫ f ( r si n θ cos ϕ; r si n θ si n ϕ; r cos θ ) r si n θ dr dϕ dz (1.23) V/ V Phép đổi biến mở rộng x2 y2 z2   Xét miền V miền Ellipsoid (hoặc phần) : V = ( x; y; z) : + + ≤ 1 a b c   Xét hai phép đổi biến sau :  x X = a  x = aX  y x2 y2 z2   a) Phép co giãn : Y = ⇔  y = bY Suy : + + ≤ ⇔ X + Y2 + Z2 ≤ b a b c   z = cZ  z  Z = c   x = r si n θ cos ϕ  b) Phép đổi biến sang hệ toạ độ cầu :  y = r si n θ si n ϕ  z = r cos θ  X2 + Y2 + Z2 ≤ ⇔ r2 ≤ ⇒ ≤ r ≤  x = ar si n θ cos ϕ  Kết hợp hai phép đổi biến trên, ta có phép đổi biến mở rộng :  y = br si n θ si n ϕ  z = cr cos θ  Khi : J = − abcr si n θ Suy : V / = {( r ; ϕ; θ ) : ≤ ϕ ≤ 2π ; ≤ θ ≤ π ; ≤ r ≤ 1} Một số ứng dụng tích phân bội ba a) Tính thể tích vật thể : T = ∫∫∫ dxdydz (1.24) V b) Khối lượng, toạ độ trọng tâm : Cho vật thể V có khối lượng riêng M ( x; y; z) ∈ V ρ ( x; y; z) - Khối lượng V : m = ∫∫∫ ρ ( x; y; z) dxdydz (1.25) V - Toạ độ trọng tâm G ( xG ; yG ; zG )   xG = m    V :  yG = m   z =  G m  ∫∫∫ x ρ ( x; y; z) dxdydz V ∫∫∫ yρ ( x; y; z) dxdydz (1.26) V ∫∫∫ zρ ( x; y; z) dxdydz V TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG I TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI ∫ f ( x; y ) ds ∫ f ( x; y; z) ds AB AB Cách tính tích phân đường loại  x = x ( t ) a) Trường hợp : Cung AB có phương trình tham số  ; t1 ≤ t ≤ t2 y = y t ()  Khi : ∫ f ( x; y ) ds = t2 ∫ f  x ( t ) , y ( t ) 2 ( ) ( ) dt x/ + y/ (2.1) t1 AB b) Trường hợp : Cung AB có phương trình hệ toạ độ cực r = r (ϕ ) , ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 Khi : ∫ f ( x; y ) ds = ϕ2 ∫ ( ) dϕ f  r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) si n ϕ  r + r / (2.2) ϕ1 AB c) Trường hợp : Cung AB có phương trình y = y ( x ) , a ≤ x ≤ b Khi : ∫ b f ( x; y ) ds = ∫ ( ) dx f  x, y ( x )  + y / (2.3) a AB x = x ( t )  d) Trường hợp : Cung AB khơng gian ℝ có phương trình dạng tham số  y = y ( t )  t1 ≤ t ≤ t2  z = z ( t ) Khi : ∫ AB f ( x; y ) ds = t1 ∫ f  x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) 2 ( x ) + ( y ) + ( z ) dt / / / (2.4) t2 e) Phương trình tham số đường tròn, elip :  x = R cos t * x2 + y2 = R có phương trình tham số   y = R si n t  x = a + R cos t 2 * ( x − a ) + ( y − a ) = R có phương trình tham số   y = b + R si n t * x2 a2 +  x = aR cos t = R có phương trình tham số  y = bR si n t b2  y2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Ứng dụng tích phân đường loại a) Cho dây phẳng L từ A đến B, có khối lượng riêng M ( x; y ) ∈ L ρ ( x; y ) Khi : ∫ ρ ( x; y) ds * Khối lượng dây L : m = (2.5) AB * Toạ độ trọng tâm G ( xG ; yG )   xG = m  dây L :  y =  G m  ∫ x ρ ( x; y ) ds AB ∫ (2.6) y ρ ( x; y ) ds AB b) Đối với dây L không gian từ A đến B, có khối lượng riêng M ( x; y; z) ∈ L ρ ( x; y; z) ta có cơng thức tương ứng : * Khối lượng : m = ∫ ρ ( x; y; z) ds (2.7) AB  x = x ρ ( x; y; z) ds  G m AB   y ρ ( x; y; z) ds :  yG = m  AB  z = zρ ( x; y; z) ds  G m  AB ∫ * Toạ độ trọng tâm G ( xG ; yG ) ∫ (2.8) ∫ II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI ∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy ∫ P ( x; y; z) dx + Q ( x; y; z) dy + R ( x; y; z) dz AB AB Một số lưu ý tích phân đường loại * Kí hiệu ∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy tích phân đường loại đường cong kín L lấy L+ theo chiều dương * Công sinh lực F = P ( x; y ) i + Q ( x; y ) j tác động lên chất điểm làm dịch chuyển chất điểm từ A đến B dọc theo cung AB : W= ∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy AB TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Cách tính tích phân đường loại a) Trường hợp :  x = x ( t ) Viết ngắn * Cung L từ A ( x A ; y A ) đến B ( xB ; yB ) có phương trình tham số  y = y t ( )   x = x ( t )  x ( t A ) = x A  x ( t B ) = xB gọn L :   Cơng thức tích ; t : t A → t B ,   y = y ( t )  y ( t A ) = y A  y ( t B ) = yB phân : tB / / ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy = ∫  P ( x ( t ) , y ( t )) x ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) ) y ( t ) dt L (2.9) tA x = x (t )  * Trường hợp cung L khơng gian ℝ có phương trình tham số  y = y ( t ) ; t : t A → t B   z = z ( t ) ∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y) dy + R ( x; y) dz L (2.10) tB = ∫ P ( x ( t ) , y ( t ) , z( t )) x ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) y ( t ) + R ( x ( t ) , y ( t ) , z( t )) z ( t ) dt / / / tA b) Trường hợp : * Cung L từ A ( x A ; y A ) đến B ( xB ; yB ) có phương trình y = y ( x ) Viết ngắn gọn L : y = y ( x ) ; x : x A → xB Khi : xB / ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy = ∫  P ( x, y ( x )) + Q ( x, y ( x ) ) y ( x ) dx L (2.11) xA * Nếu L : x = x ( y ) ; y : y A → yB , cơng thức tích phân : yB ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy = ∫ L  P x ( y ) , y x / ( y ) + Q x ( y ) , y  dx   ( ) ( ) (2.12) yA Công thức Green ∫ L+ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy = ∫∫ D  ∂Q ∂P  −   dxdy  ∂x ∂y  (2.13) * Chú ý : a) Khi áp dụng công thức Green, cần lưu ý đường cong L phải đường cong kín lấy theo chiều dương TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN b) Từ công thức Green, cho P ( x; y ) = − y Q = ( x; y ) = x Khi ta có cơng thức tính diện tích S miền D : S = ∫∫ dxdy = ∫ xdy − ydx (2.14) L+ D Định lý bốn mệnh đề tương đương a) Bốn mệnh đề tương đương : Giả sử hai hàm số P ( x; y ) Q ( x; y ) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở đơn liên D Khi mệnh đề sau tương đương với i/ ∂P ∂Q = , ∀ ( x; y ) ∈ D ∂y ∂x ii/ (2.15) ∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y) dy = , với L đường cong kín trơn khúc nằm D L iii/ ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy , cung AB nằm D, phụ thuộc vào điểm AB A, B mà khơng phụ thuộc vào dạng cung AB (tích phân khơng phụ thuộc đường đi), nghĩa là: ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy = ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy L1 (với L1, L2 có điểm đầu L2 A điểm cuối B) iv/ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy vi phân toàn phần hai hàm biến u ( x; y ) D, nghĩa : du = ∂u ∂u dx + dy = P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy ∂x ∂y b) Chú ý : i/ Ta dùng (2.15) để kết luận tích phân ∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y) dy không phụ thuộc đường AB B ii/ Kí hiệu ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy để tích phân không phụ thuộc đường từ điểm A A đến điểm B c) Cách tính tích phân khơng phụ thuộc đường : Xét tích phân I = ∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy AB * Cách : Chọn đường (nằm miền D trơn khúc) nối A B Thông thường người ta chọn đường gấp khúc * Cách : Tìm hàm u ( x; y ) cho du = P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy theo công thức sau : x u ( x; y ) = ∫ P ( x; y) dx + ∫ Q ( x ; y ) dy Trong : ( x ; y ) tuỳ ý x0 Khi : y 0 (2.16) y0 I = u ( x; y ) B A = u (B) − u ( A) TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM (2.17) Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN MẶT I TÍCH PHÂN MẶT LOẠI ∫∫ f ( x; y; z) dS S Cách tính tích phân mặt loại * Nếu mặt cong S có phương trình : z = z ( x; y ) , ( x; y ) ∈ D xy ∫∫ f ( x; y; z) dS = S ∫∫ 2 ( ) + ( z ) dxdy f  x; y; z ( x; y )  + zx/ / y (3.1) D xy * Nếu mặt cong S có phương trình : y = y ( x; z) , ( x; z) ∈ D xz ∫∫ f ( x; y; z) dS = S ∫∫ ( ) ( ) f  x; y ( x; z) ; z + y x/ + y z/ dxdz (3.2) D xz * Nếu mặt cong S có phương trình : x = x ( y; z) , ( y; z) ∈ D yz ∫∫ f ( x; y; z) dS = S ∫∫ 2 ( ) + ( x ) dydz f  x ( x; z) ; y; z + x y/ / z (3.3) D yz Chú ý : Nếu đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S điểm, ta phải chia mặt S thành phần nhỏ cho đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S không điểm Khi tích phân tổng tích phân mặt nhỏ Một số ứng dụng tích phân mặt loại Trong không gian cho mảnh cong vật chất S Giả sử ρ ( x; y; z) khối lượng riêng S M ( x; y; z) ∈ S Diện tích mặt S : T = ∫∫ dS (3.4) S Khối lượng mảnh S : m = ∫∫ ρ ( x; y; z) dS (3.5) S  x G = m    Toạ độ trọng tâm G mảnh S :  y G = m   z =  G m  ∫∫ xρ ( x; y; z) dS S ∫∫ yρ ( x; y; z) dS (3.6) S ∫∫ zρ ( x; y; z) dS S TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN II TÍCH PHÂN MẶT LOẠI ∫∫ P ( x; y; z) cos α + Q ( x; y; z) cos β + R ( x; y; z) cos γ  dS S Hoặc ∫∫ P ( x; y; z) dydz + Q ( x; y; z) dzdx + R ( x; y; z) dxdy Hoặc ∫∫ F.n.dS S S Cách tính tích phân mặt loại a) Vector pháp tuyến mặt cong : Cho mặt cong định hướng S trơn, có phương trình F ( x; y; z) = Vector pháp tuyến S M ∈ S : n ( M ) = Fx/ ( M ) ; Fy/ ( M ) ; Fz/ ( M )    Vector pháp tuyến đơn vị S M ∈ S : n dv ( M ) = (3.7) n (M ) (3.8) n (M ) Đặc biệt : • Nếu S : z = z ( x; y ) ⇒ F ( x; y; z) = z − z ( x; y ) = ( ) n ( M ) = −zx/ ; −zy/ ;1 n dv ( M ) = n (M ) n (M ) n (M ) = ( ) + (z ) + zz/ / y (3.9) • Nếu S : x = x ( y; z) ⇒ F ( x; y; z) = x − x ( y; z) = ( ) n ( M ) = 1; − x y/ ; − x z/ n dv ( M ) = n (M ) n (M ) n (M ) = 1+ ( ) +( ) x y/ x z/ (3.10) • Nếu y = y ( x; z) ⇒ F ( x; y; z) = y − y ( x; z) = ( ) n ( M ) = − y x/ ;1; − y z/ n dv ( M ) = n (M ) n (M ) = n (M ) ( ) + (y ) + y z/ / z (3.11) b) Cách tính tích phân mặt loại : Xét tích phân mặt loại : ∫∫ P ( x; y; z) dydz + Q ( x; y; z) dzdx + R ( x; y; z) dxdy S * Trường hợp : I = ∫∫ R ( x; y; z) dxdy Với mặt cong S : z = z ( x; y ) , ( x; y ) ∈ D xy S I = ∫∫ R ( x; y; z) dxdy = ± ∫∫ R  x; y; z ( x; y ) dxdy S (3.12) D xy TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 10 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN  x = x ( t ) - Các nghiệm phương trình ( I ) :   y = x ( t ) g ( t ) + f ( t ) (4.11) II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP ( ) Dạng tổng quát : F x; y; y / ; y / / = Dạng tuyến tính : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = Dạng tuyến tính không : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = f ( x ) Phương trình vi phân giảm cấp (Phương trình vi phân khuyết) ( ) a) Phương trình vi phân khuyết y : F x; y / ; y / / = - Đặt z = y / = ( I) dy ⇒ z/ = y/ / dx ( ) - Thay vào ( I ) ta phương trình vi phân cấp : F x;z;z / = ( ) b) Phương trình vi phân khuyết x : F y; y / ; y / / = - Đặt z = y / = ( II ) dy dz ⇒ y / / = z.z / = z dx dy  dz  - Thay vào ( II ) ⇒ phương trình vi phân cấp với biến y hàm số z = z ( y ) : F  y;z;z  = dy   ( ) c) Phương trình vi phân khuyết x y : F y / ; y / / = - Đặt z = y / = ( III ) dy dz ⇒ y/ / = z/ = dx dx  dz  - Thay vào ( III ) ⇒ phương trình vi phân cấp với biến x hàm số z = z ( z ) : F  z;  =  dx  Phương trình vi phân tuyến tính cấp a) Các dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp : * Dạng tuyến tính : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = (1) * Dạng tuyến tính không : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = f ( x ) ( 2) b) Các định lí nghiệm tổng quát : TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 18 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN * Định lí : (Về nghiệm tổng quát phương trình (1)) Nếu y1 ( x ) y ( x ) hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính (1) nghiệm tổng qt : y = C1y1 + C2 y2 , ∀C1,C2 ∈ ℝ * Định lí : (Về nghiệm tổng quát phương trình (2)) Nếu y1 ( x ) , y ( x ) hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình tương ứng (2) y r nghiệm riêng (2) nghiệm tổng quát : y = C1y1 + C y + y r , ∀C1,C ∈ ℝ * Định lí : (Nguyên lí chồng chất nghiệm) Xét phương trình vi phân khơng : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = f1 ( x ) (1*) a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = f ( x ) ( *) a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = f1 ( x ) + f ( x ) ( 3*) Giả sử y r1 ( x ) , yr2 ( x ) tương ứng nghiệm riêng (1*) (2*) Khi đó, nghiệm riêng (3*) : y r = yr1 ( x ) , yr2 ( x ) nghiệm tổng quát (3*) : y = C1y1 + C2 y + y r1 ( x ) + y r2 ( x ) , ∀C1,C2 ∈ ℝ Tìm nghiệm riêng thứ hai biết nghiệm riêng thứ phương trình vi phân tuyến tính cấp Xét phương trình vi phân cấp tuyến tính : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = (1 ) Giả sử y ( x ) ≡ nghiệm riêng phương trình (1) Nghiệm riêng thứ có dạng: y ( x ) = u ( x ) y ( x ) Để tìm u ( x ) ta có cách :  y = u.y  * Cách : Ta tính  y 2/ = u.y 1/ + u / y Sau thay vào (1), ta phương trình  // // / / //  y = u.y + 2u y + u y ( ) vi phân xác định u : ay u / / + 2ay 1/ + by u / = ( ) Giải phương trình (2) tìm u ( x ) * Cách : Tính trực tiếp u ( x ) công thức u ( x ) = ∫ y 12 ( x ) b( x ) dx ∫ a( x ) e dx TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM − (4.12) Trang 19 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Giải phương trình tuyến tính cấp khơng phương pháp biến thiên số Xét phương trình vi phân cấp tuyến tính khơng : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = f ( x ) (1 ) Phương trình (1) có phương trình tương ứng : a ( x ) y / / + b ( x ) y / + c ( x ) y = ( 2) Phương pháp giải : - Bước : Tìm nghiệm riêng phương trình (2), suy nghiệm tổng quát phương trình (2) : y = C1y1 + C2y , ∀C1 , C2 ∈ ℝ C / y + C / y = 2  1 - Bước : Ta coi C1 = C1 ( x ) ; C2 = C2 ( x ) Xét hệ :  f (x) / / / / C1y1 + C2 y = a (x)  C / = g ( x )  - Bước : Giải hệ (3), thu  ⇒ C2/ = h ( x ) ( 3)  C1 = g ( x ) dx + K  C2 = h ( x ) dx + K  ∫ ∫ - Bước : Kết luận nghiệm tổng quát phương trình (1) : y =  g ( x ) dx + K  y1 +  h ( x ) dx + K  y , ∀K , K ∈ ℝ     ∫ ∫ Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số ay / / + by / + cy = ( a ≠ ) (1 ) Phương trình đặc trưng (1) có dạng : ak + bk + c = ( ) Giả sử phương trình (2) có nghiệm phân biệt k k a) Trường hợp : k ≠ k (Hai nghiệm phân biệt) k 1x - Phương trình (1) có nghiệm độc lập tuyến tính y = e k 1x - Nghiệm tổng quát phương trình (1) : y = C1e k 2x y = e k 2x + C2 e , C1 , C2 ∈ ℝ b) Trường hợp : k = k = k (Nghiệm kép) - Phương trình (1) có nghiệm độc lập tuyến tính y = ekx y = xekx - Nghiệm tổng quát phương trình (1) : y = ( C1 + xC2 ) ekx , C1 , C2 ∈ ℝ TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 20 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN c) Trường hợp : k 1,2 = α ± i β (Nghiệm phức)  y = eαx cos β x  - Phương trình (1) có nghiệm độc lập tuyến tính  αx  y = e si n βx - Nghiệm tổng quát phương trình (1) : y = ( C1 cos βx + C2 si n βx ) eαx , C1 , C2 ∈ ℝ Phương vi phân tuyến tính cấp hệ số khơng ay / / + by / + cy = f ( x ) ( a ≠ ) (1 ) ( 2) Phương trình (1 ) có phương trình tương ứng : ay / / + by / + cy = Phương trình ( ) có phương trình đặc trưng : ak + bk + c = ( 3) * Bước : Giải phương trình (2) (Xem lại mục 5) Tìm nghiệm tổng quát (2) : y = C1y + C2 y , ∀C1 , C2 ∈ ℝ * Bước : Tìm nghiệm tổng quát cho phương trình (1 ) a) Cách : Áp dụng phương pháp biến thiên số (Xem lại mục 4) b) Cách : Áp dụng phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng y r cho phương trình (1) i/ Trường hợp : f ( x ) = Pn ( x ) eαx - Nếu α không nghiệm (3) y r có dạng y r = Qn ( x ) eαx - Nếu α nghiệm đơn nghiệm (3) y r có dạng y r = x.Qn ( x ) eαx - Nếu α nghiệm kép (3) y r có dạng y r = x Qn ( x ) eαx Trong : Qn ( x ) đa thức bậc với Pn ( x ) ii/ Trường hợp : f ( x ) = eαx Pm ( x ) cos β x + Qn ( x ) si n β x  - Nếu α ± i β khơng nghiệm (3) nghiệm riêng y r có dạng : y r = eαx  R k ( x ) cos β x + Sk ( x ) si n βx  , k = max {m; n} - Nếu α ± i β nghiệm (3) nghiệm riêng y r có dạng : y r = xeαx  R k ( x ) cos βx + Sk ( x ) si n β x  , k = max {m; n} TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 21 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Sau tìm nghiệm riêng y r , ta tính y r/ y r/ / vào phương trình (1) tìm ẩn số nghiệm riêng /  / / ( u.v ) = u v + u.v Lưu ý : Các công thức tính đạo hàm :  // / / / / / / ( u.v ) = u v + 2.u v + u.v  Nghiệm tổng quát (1) có dạng : y = y + y r = C1y + C2 y + y r , C1 , C2 ∈ ℝ Phương trình vi phân Euler – Cauchy ax y / / + bxy / + cy = f ( x ) (1 ) ( a, b, c ∈ ℝ, a ≠ ) dt Đặt x = et ⇔ t = l n x Ta có : dx = et dt ⇒ = e− t dx Suy : xy / = dy d y dy x y = Thay vào (1), ta phương trình vi phân tuyến − dt dt dt tính cấp hệ số với hàm y biến t : a d 2y dt + ( b − a) ( ) dy + cy = f et dt ( 2) Giải phương trình ( ) , tìm nghiệm y theo t, sau thay t = l n x ta nghiệm phương trình (1) Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số a) Dạng : a oy ( n ) + a y ( n −1) + a y ( n − 2) + + a ny = (1) ( ak ∈ ℝ; k = 0, n; ao = 0) Phương trình (1) có phương trình đặc trưng: aok n + a1k n −1 + a2k n − + + an = ( 2) Giả sử k , k , , k m nghiệm thực phương trình (2) Ta xét trường hợp (Xem lại mục 5) phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số nhất, ta có nghiệm phương trình (2) y 1; y ; ; y m Suy nghiệm tổng quát (2) là: y = C1y1 + C2 y + + Cm y m , ∀C1 , C2 , , Cm ∈ ℝ b) Dạng không : y ( n ) + a y ( n −1) + a y ( n − 2) + + a ( ) ( 3) ny = f x i/ Bước : Giải phương trình tương ứng tìm nghiệm tổng quát y - Phương trình (3) có phương trình phương trình (1) TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 22 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN - Giải phương trình (1) , suy nghiệm tổng quát phương trình ( 3) : y = C1y + C2 y + + Cm y m , ∀C1 , C2 , , Cm ∈ ℝ ii/ Bước : Tìm nghiệm tổng quát phương trình (3) * Cách : Áp dụng phương pháp biến thiên số   C/ y = i i   / /  Ci y i =  - Giải hệ phương trình :  ⇒ Ci/ = ϕi ( x ) ⇒ Ci ( x ) =  ( n − 2) =  Ci/ y i  f (x)  / ( n −1 ) =  Ci y i a  ∑ ∑ ∫ ϕi ( x ) dx + K ∑ ∑ n - Nghiệm tổng quát (3) : y = ∑ ( ∫ ϕi ( x ) dx + K i ) y i , K i ∈ ℝ, i = 1, n i =1 * Cách : Tìm nghiệm riêng y r phương pháp hệ số bất định - Trường hợp : f ( x ) = Pm ( x ) eαx + Nếu α khơng nghiệm (2) y r (3) có dạng y r = Q m ( x ) eαx + Nếu α nghiệm bội ℓ (2) y r (3) có dạng y r = x ℓ Q m ( x ) eαx - Trường hợp : f ( x ) = eαx Pm ( x ) cos β x + Qn ( x ) si n β x  + Nếu α ± i β không nghiệm (2) nghiệm riêng y r có dạng : y r = eαx  R k ( x ) cos βx + Qn ( x ) si n βx  , k = max {m; n} + Nếu α ± i β nghiệm bội ℓ (2) nghiệm riêng y r có dạng : y r = x ℓ eαx  R k ( x ) cos βx + Qn ( x ) si n β x  , k = max {m; n} iii/ Bước : Kết luận n - Nghiệm tổng quát (3) : y = y + y r = ∑ Ci y i + y r (Ci ∈ ℝ; i = 1, n ) i =1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 23 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN III HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP  y / = a y + a y + + a y 11 12 1n n   y / = a y + a y + + a y 21 22 2n n    /  y n = an1y + an2 y + + ann y n (I ) * Phương pháp giải : Áp dụng phương pháp khử Đưa hệ cho phương trình vi phân cấp cao hàm phải tìm, giải phương trình vi phân cho hàm đó, từ tìm hàm lại  y / = −2y − 4z + 4x +  Ví dụ : Giải hệ phương trình vi phân sau :  z / = − y + z + x  Từ phương trình (1) , ta có : z = (1 ) ( 2) ) ( 1 − y / − 2y + 4x + ⇒ z/ = − y / / − y / 4 Thay vào phương trình ( ) , ta : − ( ) // / − y / − 2y + 4x + + x y − y = −y + 4 ⇔ − y / / − 2y / = −4y − y / − 2y − 4x − + 6x ⇔ y / / + y / − 6y = −6x − 4x + ( 3) Phương trình ( 3) có phương trình tương ứng : y / / + y / − 6y = Phương trình ( ) có phương trình đặc trưng : k + k − = (4) (5) k = ⇔  k = −3 ⇒ Nghiệm tổng quát phương trình ( ) : y = C1e2x + C2e−3x ( C1 , C2 ∈ ℝ ) Ta có : f ( x ) = −6x − 4x + = eαx Pn ( x ) ⇒ α = 0; n = Mà α = không nghiệm phương trình ( ) , nên nghiệm riêng y r có dạng : y r = Ax + Bx + C  y / = 2Ax + B  ⇒ r  y r/ / = 2A TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 24 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Thế vào phương trình ( 3) , ta : ) ( 2A + 2Ax + B − Ax + Bx + C = −6x − 4x + ⇔ −6Ax + ( 2A − 6B ) x + 2A + B − 6C = −6x − 4x + −6A = −6  ⇔ 2A − 6B = −4 2A + B − 6C =  A =  ⇔ B = C =  Nghiệm riêng phương trình ( 3) : y r = x + x Suy : Nghiệm tổng quát phương trình ( ) : y = C1e2x + C2e−3x + x + x ( C1, C2 ∈ ℝ )  y = C e2x + C e−3x + x + x  Suy r a :  − y / − 2y + 4x + z =  y = C e2x + C e−3x + x + x  ⇔ −2C1e2x + 3C2e−3x − 2x − − 2C1e2x − 2C2e−3x − 2x − 2x + 4x + z =  y = C e2x + C e−3x + x + x  ⇔ −4C1e2x + C2e−3x − 2x z =  y = C e2x + C e−3x + x + x  ⇔ ( C1, C2 ∈ ℝ ) −3x 2x − x z = −C1e + C2e  ( ) ( ( ) ) Vậy : Nghiệm hệ phương trình cho :  y = C e2x + C e−3x + x + x   1 z = −C1e2x + C2e−3x − x  (C1, C2 ∈ ℝ ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 25 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN CHƯƠNG V : CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM I CHUỖI SỐ ∞ ∑ un u1 + u2 + + un = n =1 Các khái niệm chuỗi số a) Sự hội tụ chuỗi số : Ta gọi Sn = u1 + u2 + + un tổng riêng thứ n chuỗi ∞ - Nếu tồn l i m Sn = S (hữu hạn) chuỗi số n →∞ ∑ un hội tụ có tổng S n =1 ∞ - Nếu không tồn l i m Sn = S l i m Sn = ∞ chuỗi số n →∞ n →∞ ∑ un phân kì n =1 b) Định lý hội tụ : ∞ - Nếu chuỗi ∑ un n =1 ∞ ∑ hội tụ l i m un = Nhưng l i m un = ⇒ un hội tụ n →∞ n →∞ n =1 ∞ - Nếu l i m un ≠ n →∞ ∑ un n =1 ∞ - Nếu chuỗi phân kì ∞ ∑ un , ∑ v n n =1 hội tụ chuỗi n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ ( un + v n ) , ∑ ( c.un ) (với c số) hội tụ, ta có : ∞ ∞ ∞ ∑ ( u n + v n ) = ∑ un + ∑ v n n =1 n =1 ∞ - Nếu ∑ un n =1 ; ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ ( c.un ) = c ∑ un ∞ hội tụ chuỗi n =1 ∑ un ( k ∈ ℕ * ) hội tụ n =k c) Chú ý tính tổng chuỗi số : * + q + q + + q n −1 = * l i m qn = n →∞ − qn 1−q ( q < 1) TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 26 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Chuỗi số dương ∞ a) Định nghĩa : ∑ un gọi chuỗi số dương un ≥ 0, ∀n n =1 ∞ Chuỗi số dương ∑ un hội tụ dãy tổng riêng {Sn } bị chặn n =1 ∞ b) Định lí so sánh : Cho chuỗi số dương ∑ un ∞ ∑ n =1 n =1 ∞ ∞ Giả sử ≤ un ≤ v n , ∀n ≥ Khi : ∞ Nếu ∞ ∑ v n hội tụ ∑ un n =1 n =1 ∞ Nếu ∑ un hội tụ ∞ ∑ v n phân kì phân kì n =1 n =1 c) Định lí so sánh : Cho chuỗi số dương ∑ un n =1 u im n ∑ v n Giả sử nl →∞ = k Ta có n =1 Nếu < k < +∞ chuỗi hội tụ phân kì ∞ Nếu k = ∞ ∑ v n hội tụ ∑ un n =1 n =1 ∞ Nếu k = +∞ hội tụ ∑ un ∞ phân kì n =1 ∑ v n phân kì n =1 d) Chú ý : i/ Người ta chứng minh : ∞ * Chuỗi điều hoà : ∑n phân kì n =1 ∞ * Chuỗi Riemann ∑ nα hội tụ α > phân kì α ≤ n =1 ii/ Khi áp dụng định lí so sánh 2, ta thường áp dụng thuyết vô lớn, vô bé để tính giới hạn Áp dụng định lí so sánh trường hợp k = TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 27 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN iii/ Các vô bé tương đương l i m un = n →∞ ♦ si n un ~ un ( n → ∞ ) ♦ − cos un ~ ♦ l n (1 + u n ) ~ u n ( n → ∞ ) ♦e un u (n → ∞) n − ~ un ( n → ∞ ) ♦ p k ( n ) = aon k + a1n k −1 + + a k ~ aon k ( n → ∞; ao ≠ ) iv/ Nếu l i m an = l i m (1 + an ) an = e n →∞ n →∞ Ba tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương a) Tiêu chuẩn D'A Lembert : ∞ Cho chuỗi số dương im ∑ un Giả sử nl →∞ n =1 un +1 un = D Khi : - Nếu D < chuỗi hội tụ - Nếu D > chuỗi phân kì - Nếu D = ta chưa có kết luận chuỗi hội tụ hay phân kì Trong trường hợp này, áp dụng định lí so sánh lý thuyết khác để khảo sát tính hội tụ b) Tiêu chuẩn Cauchy : ∞ Cho chuỗi số dương i m n un ∑ un Giả sử nl →∞ = C Khi : n =1 - Nếu C < chuỗi hội tụ - Nếu C > chuỗi phân kì - Nếu C = ta chưa có kết luận chuỗi hội tụ hay phân kì c) Tiêu chuẩn Maclaurin - Cauchy (tiêu chuẩn tích phân) : ∞ Cho chuỗi số dương ∑ un Giả sử có hàm liên tục f ( x ) thoả điều kiện : n =1 * f ( n ) = un , ∀n * lim f (x) = x →+∞ * f ( x ) đơn điệu giảm 1; +∞ ) +∞ ∞ Khi chuỗi ∑ un n =1 hội tụ tích phân suy rộng ∫ f ( x ) dx hội tụ TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 28 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN ∞ Sự hội tụ chuỗi Riemann ∑ nα n =1 ∞ Nếu α = ∞ ∑ n α = ∑ = +∞ Suy chuỗi phân kì n =1 n =1 Nếu α < l i m n →∞ n α = l i m n −α = +∞ Suy chuỗi phân kì Nếu α > Ta có : un = f (x) = x α n →∞ n α = f ( n ) , : , ∀x ∈ 1; +∞ ) f ( x ) giảm 1; +∞ ) l i m f ( x ) = x →+∞ +∞ Xét tích phân suy rộng : I = ∫ +∞ f ( x ) dx = • Nếu α = I = ( l n x ) +∞ ∫ 1 x α dx = +∞ Suy chuỗi phân kì +∞ 1−α  1 α > 1−α  • Nếu α ≠ I = x =−  1 − lim x =− 1−α 1−α − α −∞ α < x →+∞  Suy tích phân suy rộng I hội tụ α > phân kì α < ∞ Theo tiêu chuẩn tích phân chuỗi Riemann ∑ nα hội tụ α > phân kì α ≤ n =1 Chuỗi có dấu thay đổi ∞ a) Chuỗi đan dấu : ∑ ( −1) n =1 n un ( un ≥ 0, ∀n ) ∞ n +1 − un ( un ≥ 0, ∀n ) ( ) ∑ n =1 * Định lí Leibnitz : Nếu dãy {un } giảm l i m un = chuỗi đan dấu hội tụ n →∞ b) Định lí hội tụ tuyệt đối : ∞ Nếu chuỗi số dương ∑ un n =1 ∞ hội tụ chuỗi có dấu ∑ un hội tụ n =1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 29 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN c) Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ : ∞ * Nếu chuỗi ∑ un ∞ n =1 hội tụ tuyệt đối n =1 ∞ * Nếu chuỗi ∑ un hội tụ ta nói chuỗi có dấu ∞ ∑ un hội tụ chuỗi ∑ un n =1 ∞ phân kì ta nói chuỗi n =1 ∑ un bán hội tụ n =1 II CHUỖI HÀM ∞ ∑ un ( x ) n =1 Sự hội tụ chuỗi hàm a) Tiêu chuẩn Weierstrass (tính hội tụ chuỗi hàm) : Nếu un ( x ) ≤ an , ∀n, x ∈ D chuỗi số dương ∞ ∞ ∑ an hội tụ chuỗi hàm n =1 ∑ un ( x ) hội n =1 tụ D b) Các tính chất chuỗi hàm hàm hội tụ : i/ Tính chất (Tính liên tục tổng) Nếu hàm số un ( x ) , n = 1; 2; liên tục D chuỗi hàm ∞ ∑ un ( x ) hội n =1 tụ D tới hàm S ( x ) hàm S ( x ) liên tục D Hệ : (Dùng để chứng minh chuỗi không hội tụ đều) Nếu hàm số un ( x ) , n = 1; 2; liên tục D tổng S ( x ) hàm không ∞ liên tục D chuỗi hàm ∑ un ( x ) không hội tụ D n =1 ii/ Tính chất (Tích phân số hạng) Nếu hàm số un ( x ) , n = 1; 2; liên tục đoạn a; b  chuỗi hàm ∞ ∑ un ( x ) n =1 hội tụ a; b  tới hàm S ( x ) : b ∞ ∞ b b a a ∫ n∑=1 un ( x ) dx = n∑=1 ∫ un ( x ) dx = ∫ S ( x ) dx a iii/ Tính chất (Đạo hàm số hạng) TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 30 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN Nếu hàm số un ( x ) , n = 1; 2; có đạo hàm liên tục khoảng ( a; b ) chuỗi ∞ hàm ∑ un ( x ) hội tụ ( a; b ) tới hàm S ( x ) chuỗi n =1 ∞ ∑ un/ ( x ) hội tụ n =1 đoạn c; d  ⊂ ( a; b ) hàm S ( x ) khả vi ( a; b ) , ta có : ∞  d   un ( x )  =  dx  n =1  ∑ ∞ ∑ un/ ( x ) = S/ ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) n =1 ∞ * Chú ý : Tính chất thường dùng để tính tổng chuỗi ∑ un ( x ) n =1 Chuỗi luỹ thừa ∞ ∑ an x n n =1 a) Định lí Abel : ∞ * Nếu chuỗi luỹ thừa ∑ an x n hội tụ x o ≠ hội tụ x thoả x < x o n =1 ∞ * Nếu chuỗi luỹ thừa ∑ an x n phân kì x1 phân kì x thoả x > x1 n =1 b) Các bước tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa : - Bước : Tìm bán kính hội tụ R = lim n →∞ an R = l i m n →∞ n a a n +1 n - Bước : Xét hội tụ chuỗi số tương ứng với x = ± R ∞ + Tại x = R , ta có chuỗi số ∑ an ( −R ) n (1) n =1 ∞ + Tại x = − R , ta có chuỗi số ∑ an Rn (2) n =1 Xét xem chuỗi (1 ) chuỗi ( ) hội tụ hay phân kì < < Suy miền hội tụ chuỗi luỹ thừa : −R  x  R ≤ ≤ Dấu "=" xảy chuỗi số xét x hội tụ TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 31 TÀI LIỆU GIẢI TÍCH BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN c) Các tính chất chuỗi luỹ thừa : ∞ Nếu chuỗi luỹ thừa ∑ an x n có bán kính hội tụ R > f ( x ) tổng : n =1 i/ Hàm f ( x ) liên tục khoảng ( − R; R ) ii/ f ( x ) khả tích đoạn a; b  ⊂ ( − R; R ) b ∫ f ( x ) dx = a b ∞ ∫ n∑=1  b n +1 − a n +1   an    n + n =1   ∞ n an x dx = a iii/ f ( x ) khả vi ( − R; R ) f / ( x ) = ∞ ∑ ∑ na n x n −1 Chuỗi n =1 ∞ ∑ nan x n −1 có bán n =1 kính hội tụ R Chuỗi Taylor a) Định nghĩa : ∞ - Chuỗi Taylor : f ∑ (n ) x ( o) n! n =0 ( x − xo ) ∞ - Chuỗi Maclaurin (xo = 0) : ∑ n =0 f n (n ) ( ) n! xn b) Chuỗi Maclaurin số hàm sơ cấp : ∞ xn x2 xn =1+x + + + + ; e = n! 2! n! n =0 x ∑ ∞ si n x = ∑ ( −1 ) n n =0 ∞ cos x = ∑ n ( −1 ) n =0 = 1−x = 1+x ∀x ∈ ( −∞; +∞ ) n x 2n +1 x3 x5 x 2n +1 =x− + − + ( −1) + ; 3! ! ( 2n + 1) ! ( 2n + 1) ! x∈ℝ 2n n x x 2n x2 x4 =1− + − + ( −1) + ; 2! 4! ( 2n ) ! ( 2n ) ! x∈ℝ ∞ ∑ x n = + x + x + + x n + ; ∀x ∈ ( −1;1) n =0 ∞ ∑ ( −1 ) n n x n = − x + x − + ( −1) x n + ; ∀x ∈ ( −1;1) n =0 l n (1 + x ) = ∞ ∑ ( −1 ) n n =0 n +1 n x x n +1 x2 =x− + + ( −1) + ; n +1 n +1 ∀x ∈ ( −1;1 III CHUỖI FOURER (Đọc thêm tài liệu) TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HCM Trang 32