Lê Trọng Châu – ST&GT Đề thi vào lớp 10 chuyên năm học 2007 - 2008 TP Hồ Chí Minh KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP.HCM NĂM HỌC 2007-2008 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x(y + z + t). Ðẳng thức xảy ra khi nào? b) Chứng minh với mọi số thực a, b khác không ta luôn có bất dẳng thức sau: Câu 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình sau: x 2 – xy = 6x – 5y – 8. Câu 3: (4 điểm) Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình khi m = 24. b) Tìm m dể phuong trình có nghiệm. Câu 4: (2 điểm) Cho . Tính S = x + y. Câu 5: (2 điểm) Cho a, b là các số nguyên dương sao cho cũng là số nguyên. Gọi d là uớc số chung của a và b. Chứng minh . Câu 6: (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đuờng tròn (O) (AB < AC). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ dây AM song song với BC. Ðuờng thẳng MN cắt đuờng tròn (O) tại M và P. a) Cho biết , tính độ dài đoạn BC. Lê Trọng Châu – ST&GT b) Chứng minh . c) Chứng minh BC, ON và AP đồng qui. Hướng dẫn Bài 1 a) Ta có: x 2 + y 2 + z 2 + t 2 = x(y + z + t). (1) 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 + 4t 2 = 4x(y + z + t) (x 2 – 4xy + 4y 2 ) + (x 2 – 4xz + 4z 2 ) + (x 2 – 4xt + 4t 2 ) + x 2 = 0 (x – 2y) 2 + (x – 2z) 2 + (x – 2t) 2 + x 2 = 0 ( 2) Ta có (2) luôn đúng với mọi x, y, z và t. Vậy (1) đuợc chứng minh. Ðẳng thức xảy ra x – 2y = x – 2z = x – 2t = x = 0 x = y = z = t = 0. b) Ðặt . Ta có . (*) * Nếu thì T – 1 > 0 và nên (*) đúng. * Nếu thì T – 1 < 0 và T – 2 < 0 nên (*) đúng. Vậy với mọi số thực a, b khác không ta luôn có . Bài 2 Tìm nghiệm nguyên x, y của phương trình x 2 – xy = 6x – 5y – 8 (1) Ta có: (1) x 2 – 6x + 8 = y(x – 5) (2) (vì x = 5 không là nghiệm của (2)) . Vì x, y nguyên nên x – 5 {– 1; 1; 3; – 3} hay x {4; 6; 8; 2 } * Khi x = 2 thì y = 0 (thỏa) * Khi x = 4 thì y = 0 (thỏa) * Khi x = 6 thì y = 8 (thỏa) * Khi x = 8 thì y = 8 (thỏa). Vậy các nghiệm nguyên (x; y) của (1) là (2; 0), (4; 0), (6; 8) và (8; 8). Bài 3: Cho hệ phương trình (A) a) Khi m = 24 thì (A) (B) Ðặt u = x 2 + 2x = (x + 1) 2 – 1 –1 và v = y 2 + 2y = (y + 1) 2 – 1 – 1. Ta duợc (B) Vậy khi m = 24 thì (A) có các nghiệm (x; y) là: (1; 2), (1; –4); (–3; 2); (– 3; – 4), (2; 1), (2; – 3), (– 4; 1) và (– 4; – 3). b) Tìm m dể phương trình có nghiệm. Ðặt u = x 2 + 2x + 1= (x + 1) 2 = 0 và v = y 2 + 2y +1 = (y + 1) 2 = 0. Ta duợc (A) trở thành u, v lần luợt là các nghiệm của phuong trình X 2 – 13X + m + 12 = 0 (C ) Do dó: (A) có nghiệm (C ) có 2 nghiệm X 1 , X 2 0. . ?? Lê Trọng Châu – ST&GT Câu 5: (2 điểm) Ta có = là số nguyên dương nguyên dương mà mà (ÐPCM) Bài 6: Hình vẽ: – NB = NC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) – OB = OC = R Do dó: ON là trung trực của BC. Gọi K là giao diểm của ON và BC thì K là trung diểm BC. Ta có: tam giác OBN vuông tại B có BK là duờng cao Kết hợp với giả thiết ta suy ra: BK 2 = 16 BK = 4 BC = 8. b) Ta có tam giác NBP dồng dạng tam giác NMB (g– g) Tuong tự tam giác NCP dồng dạng tam giác NMC( g– g) mà NC = NB (3) Từ (1), (2) và (3) Lê Trọng Châu – ST&GT Mặt khác AM // BC tứ giác AMCB là hình thang cân MC = AB và MB = AC (5) Từ (4) và (5) (ÐPCM) c) Gọi Q là giao điểm của AP và BC. Ta chứng minh BQ = QC. Xét tam giác BQP dồng dạng với tam giác AQC (g– g) Tương tự tam giác CQP đồng dạng với tam giác AQB (g – g) Kết hợp (6), (7) và kết quả câu b) ta suy ra Q là trung diểm BC Q trùng K. Vậy BC, ON và AP dồng qui tại K. . – ST&GT Đề thi vào lớp 10 chuyên năm học 2007 - 2008 TP Hồ Chí Minh KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP.HCM NĂM HỌC 200 7- 2008 MÔN THI: TOÁN Thời. 200 7- 2008 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất