BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ ANH VŨ ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH LỒI SUY RỘNG VÀ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG TRONG TRƯỜNG HỢP KHẢ VI Demo Version - Select.Pdf SDK Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn: PGS-TS Phan Nhật Tĩnh HUẾ 4/2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố- cơng trình Demo Version Select.Pdf SDK khác Lê Anh Vũ ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS-TS Phan Nhật Tĩnh Qua em xin phép gửi đến Thầy lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc Em xin chân thành cảm ơn Trường ĐHSP Huế, quý Thầy Cơ giáo Khoa Tốn Trường ĐHSP Huế Trường ĐHKH Huế giảng dạy em suốt năm học trường giúp em có kiến thức khoa học điều kiện để hoàn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Một lần em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, anh chị bạn lớp cao học Tốn Giải Tích khóa 21 quan tâm, giúp đỡ động viên em suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua Trân trọng chân thành cảm ơn! Demo Version - Select.Pdf SDK Huế, 2014 Lê Anh Vũ iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Chương ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH LỒI SUY RỘNG 1.1 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất- Select.Pdf SDK Demo Version 1.2 Điều kiện cấp cho tính lồi suy rộng 10 Chương ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG 13 2.1 Ánh xạ tựa đơn điệu, giả đơn điệu 13 2.1.1 Các định nghĩa 13 2.1.2 Một số tính chất 15 2.1.3 Điều kiện cần cho tính đơn điệu suy rộng 17 2.2 Tính nửa xác định dương dạng tồn phương khơng gian tuyến tính 18 2.2.1 Chỉ số quán tính ma trận 19 2.2.2 Các điều kiện tương đương với (PSD) (PD) 20 2.3 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu suy rộng 24 2.4 Điều kiện cấp hai cho tính lồi suy rộng 27 Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG 30 3.1 Hàm Cobb-Douglas 30 3.2 Điều kiện Mereau-Paquet 32 3.3 Hàm toàn phương lồi suy rộng 34 3.4 Tính lồi suy rộng không gian affine 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Demo Version - Select.Pdf SDK LỜI NÓI ĐẦU Hàm lồi đóng vai trò quan trọng nhiều ngành toán học ứng dụng Một lí tính tương thích với toán cực trị Chẳng hạn, vài điều kiện cần cho tồn cực trị trở thành điều kiện đủ có diện hàm lồi Tuy nhiên, tất vấn đề thực tế sống mơ tả mơ hình tốn học lồi Trong nhiều trường hợp, hàm không lồi đưa mơ tả xác nhiều thực tế Thường hàm không lồi giữ lại số tính chất tốt số đặc trưng hàm lồi Chẳng hạn, diện chúng đảm bảo điều kiện cần cực trị trở thành điều kiện đủ cực trị địa phương trở thành cực trị toàn cục Điều dẫn đến đời số khái niệm suy rộng khái niệm cổ điển hàm lồi Đặc biệt, khái niệm đưa lĩnh vực kinh tế, kỷ thuật, khoa học quản Version - Select.Pdf SDK lý, vào nửaDemo cuối kỷ 20 Một tính chất hữu dụng hàm lồi tập mức lồi Nhiều hàm khơng lồi có tính chất Nếu ta xem xét lớp tất hàm mà tập mức lồi, thu lớp hàm tựa lồi, rộng nhiều so với lớp hàm lồi Có lẽ người đề xuất tính lồi suy rộng Finetti, năm 1949 ơng giới thiệu lớp hàm, mà sau gọi hàm tựa lồi, đặc trưng tập mức lồi Mặc dù, trước vào năm 1928, định lý cực trị John Von Neumann giới thiệu lớp hàm giả thuyết kỷ thuật, loại hàm số Kể từ đó, nhiều kiểu hàm lồi suy rộng đề xuất theo nhu cầu phát sinh ứng dụng đặc biệt Năm 1980, sách dành riêng cho tính lồi suy rộng kỷ yếu Viện nghiên cứu tổng quát NATO tổ chức Avriel, Schaible Ziemba Canada Năm 1978, Mordecai Avriel khởi xướng chuyên khảo dành cho tính lồi suy rộng sau ơng đề xuất tổ chức hội nghị quốc tế chủ đề Một tính chất nhiều người biết đến tính lồi liên quan chặt chẽ đến tính đơn điệu : Hàm số f lồi ∇f ánh xạ đơn điệu Các liên hệ tương tự thiết lập lớp hàm lồi suy rộng với số lớp ánh xạ, mà người ta gọi chung ánh xạ đơn điệu suy rộng Chẳng hạn, hàm khả vi f tựa lồi ∇f có tính chất gọi tựa đơn điệu Ánh xạ đơn điệu suy rộng xuất lần vào năm 1936 cách độc lập gần lúc hai báo chuyên đề Georgescu-Roegen Wald lý thuyết kinh tế Tính tựa đơn điệu giới thiệu Hassouni [11] vào năm 1983 độc lập với Karamardian Schaible [14] vào năm 1990, tính giả đơn điệu giới thiệu trước vào năm 1976 Karamardian [15] Việc phát mối liên hệ chặt chẽ lĩnh vực nghiên cứu tường tận tính lồi suy rộng lĩnh vực chưa hiểu biết nhiều tính đơn điệu suy rộng thúc đẩy hoạt động nghiên cứu lĩnh vực Ngày nay, tính đơn điệu suy rộng sử dụng toán phần bù, bất đẳng thức biến phân toán cân bằng, Vì lí nêu gợi ý PGS.TS Phan Nhật Tĩnh lựa chọn đề tài : Đặc trưng tính lồi suy rộng đơn điệu suy rộng trường hợp khả vi để thực luận văn cao học Nội dung luận văn tổng quan từ tài liệu : [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [13], [14], [15], [16] Về mặt cấu trúc luận văn chia làm ba chương : Chương 1: Đặc trưng tính lồi suy rộng - Select.Pdf SDK TrongDemo chươngVersion này, tác giả nghiên cứu nội dung cụ thể sau: 1.1 Hàm tựa lồi, hàm giả lồi 1.2 Điều kiện cấp cho tính lồi suy rộng Chương 2: Đặc trưng tính đơn điệu suy rộng Trong chương này, tác giả nghiên cứu nội dung cụ thể sau: 2.1 Ánh xạ tựa đơn điệu, giả đơn điệu 2.2 Tính nửa xác định dương dạng tồn phương khơng gian tuyến tính 2.3 Điều kiện đủ cho tính đơn điệu suy rộng 2.4 Điều kiện cấp hai cho tính lồi suy rộng Chương 3: Một vài ứng dụng Trong chương này, tác giả nghiên cứu số nội dung cụ thể sau: 3.1 Hàm Cobb-Douglas 3.2 Điều kiện Mereau-Paquet 3.3 Hàm tồn phương lồi suy rộng 3.4 Tính lồi suy rộng không gian affine ... lớp hàm lồi suy rộng với số lớp ánh xạ, mà người ta gọi chung ánh xạ đơn điệu suy rộng Chẳng hạn, hàm khả vi f tựa lồi ∇f có tính chất gọi tựa đơn điệu Ánh xạ đơn điệu suy rộng xuất lần vào năm... tính chất- Select.Pdf SDK Demo Version 1.2 Điều kiện cấp cho tính lồi suy rộng 10 Chương ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG 13 2.1 Ánh xạ tựa đơn điệu, ... lĩnh vực nghiên cứu tường tận tính lồi suy rộng lĩnh vực chưa hiểu biết nhiều tính đơn điệu suy rộng thúc đẩy hoạt động nghiên cứu lĩnh vực Ngày nay, tính đơn điệu suy rộng sử dụng toán phần bù,